知识点 : 特称命题全称命题命题的真假判断与应用难度 :2 2. 已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为, 它的长轴长等于圆 C:x 2 +y 2-2x-15=0 的半径, 则椭圆的标准方程是 ( ) A. 23=1 B. 212=1 C. 24+y 2 =1 D. 24=1 解析 : 利用配方化简

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希杼隗
7 years ago
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1 学年山东省枣庄市滕州三中高二 ( 上 ) 期中数学试卷一选择题 : 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分, 在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的. 1. 下列命题中, 假命题是 ( ) A. x R,2 x-1 >0 B. x R,sinx= C. x R,x 2 -x+1>0 D. x R,lgx=2 解析 :1. 先理解特称命题与全称命题及存在量词与全称量词的含义, 再进行判断.2. 用符号 x 表示对任意 x, 用符号 x 表示存在 x. 含有全称量词的命题就称为全称命题, 含有存在量词的命题称为特称命题. 解 : 由指数函数 y=2 x 的图象与性质易知, x R,2 x-1 >0, 故选项 A 为真命题. 由正弦函数 y=sinx 的有界性知,-1 sinx 1, 所以不存在 x R, 使得 sinx= 成立, 故选项 B 为假命题. 由 x 2 -x+1= >0 知, x R,x 2 -x+1>0, 故选项 C 为真命题. 由 lgx=2 知,x=10 2 =100, 即存在 x=100, 使 lgx=2, 故选项 D 为真命题. 综上知, 答案为 B. 答案 :B 考点 :1. 像所有任意每一个等量词, 常用符号表示 ; 有一个有些存在一个等表示部分的量词, 常用符号表示. 全称命题的一般形式为 : x M,p(x); 特称命题的一般形式为 : x0 M,p(x0).2. 判断全称命题为真, 需由条件推出结论, 注意应满足条件的任意性 ; 判断全称命题为假, 只需根据条件举出一个反例即可. 判断特称命题为真, 只需根据条件举出一个正例即可 ; 判断特称命题为假, 需由条件推出矛盾才行.

2 知识点 : 特称命题全称命题命题的真假判断与应用难度 :2 2. 已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为, 它的长轴长等于圆 C:x 2 +y 2-2x-15=0 的半径, 则椭圆的标准方程是 ( ) A. 23=1 B. 212=1 C. 24+y 2 =1 D. 24=1 解析 : 利用配方化简 x 2 +y 2-2x-15=0 得到圆的半径为 4, 所以椭圆的长轴为 4, 根据离心率求出 c, 根据勾股定理求出 b 得到椭圆的解析式即可. 解 : x 2 +y 2-2x-15=0, (x-1) 2 +y 2 =16, r=4=2a, a=2, e=, c=1, b 2 =3. 故选 A 答案 :A 考点 : 考查学生会根据条件求圆标准方程, 以及灵活运用椭圆简单性质解决数学问题的能力. 知识点 : 圆的标准方程椭圆的简单性质难度 :2 3. 过点 A(11,2) 作圆 x 2 +y 2 +2x-4y-164=0 的弦, 其中弦长为整数的共有 ( ) A. 16 条 B. 17 条

3 C. 32 条 D. 34 条解析 : 化简圆的方程为标准方程, 求出弦长的最小值和最大值, 取其整数个数. 解 : 圆的标准方程是 :(x+1) 2 +(y-2) 2 =13 2, 圆心 (-1,2), 半径 r=13 过点 A(11,2) 的最短的弦长为 10, 最长的弦长为 26,( 分别只有一条 ) 还有长度为 11,12,,25 的各 2 条, 所以共有弦长为整数的 =32 条. 故选 C. 答案 :C 考点 : 本题实际上是求弦长问题, 容易出错的地方是 : 除最小最大弦长外, 各有 2 条. 知识点 : 直线与圆的位置关系难度 :2 4. 函数 f(x)=x 2-2ax+1 在 (-,2] 上是单调递减函数的必要不充分条件是 ( ) A. a 2 B. a=6 C. a 3 D. a 0 解析 : 根据二次函数的性质得出 : 函数 f(x)=x 2-2ax+1 在 (-,2] 上是单调递减函数, 对称轴 x=a,a 2, 再根据充分必要条件的定义可判断. 解 : 函数 f(x)=x 2-2ax+1 在 (-,2] 上是单调递减函数, 对称轴 x=a a 2, 根据充分必要条件的定义可判断 :a 0 是必要不充分条件, 故选 :D 答案 :D 考点 : 本题考查了函数的性质, 充分必要条件的定义属于容易题, 难度不大. 知识点 : 必要条件充分条件与充要条件的判断难度 :2 5. 过抛物线 y 2 =-x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A B 两点, 且 A B 在直线 x= 上的射影分别 M,N, 则 MFN 等于 ( ) A. 45

4 B. 60 C. 90 D. 以上都不对解析 : 由抛物线的性质有 FA = MA, 推断出 AMF= AFM, 同理 BFN= BNF, 再有两直线平行内错角相等, 可得出结论解 : 根据抛物线的方程可知准线方程为 x=, 由抛物线的性质有 FA = MA, AMF= AFM, 同理 BFN= BNF, AM x 轴 BN, MFO= AMF AFO= MFO, 同理可知 BFN= NFO MFN= MFO+ NF0=90 故选 B 答案 :C 考点 : 本题主要考查了抛物线的简单性质和平面几何的基础知识. 灵活利用了抛物线的定义解决实际问题. 知识点 : 抛物线的简单性质难度 :2 6. 有下列四个命题 :1 命题若 xy=1, 则 x,y 互为倒数的逆命题 ;2 命题面积相等的三角形全等的否命题 ;3 命题若 m>1, 则 x 2-2x+m=0 有实根的逆否命题 ; 4 命题若 A B=B, 则 A B 的逆否命题. 其中是真命题的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 :12 写出相应的命题, 再加以判断 ;34 利用原命题与逆否命题有相同的真假性. 解 : 根据倒数的定义, 可得若 xy=1, 则 x y 互为倒数的逆命题 : 若 x y 互为倒数, 则 xy=1 是真命题,1 正确 ; 面积相等的三角形全等的否命题 : 面积不相等的三角形不全等是真命题,2 正确 ; 原命题与逆否命题有相同的真假性, 方程 x 2-2x+m=0 有实根 =4-4m 0 m 1, 原命题若 m>1, 则 x 2-2x+m=0 有实根是假命题, 3 错误 ; 原命题与逆否命题有相同的真假性, 命题若 A B=B, 则 A B 为假命题, 4 错误. 真命题的个数是 2, 故选 :B. 答案 :B

5 考点 : 本题给出几个命题, 要我们找出其中真命题的个数. 着重考查了倒数的定义全等三角形的性质一元二次方程根的判别式和集合的运算性质等知识, 考查了四种命题及其相互关系, 属于中档题. 知识点 : 命题的真假判断与应用难度 :2 7. 方程 mx+ny 2 =0 与 mx 2 +ny 2 =1( m > n >0) 的曲线在同一坐标系中的示意图应是 ( ) A. B. C. D. 解析 : 当 m 和 n 同号时, 抛物线开口向左, 方程 mx 2 +ny 2 =1( m > n >0) 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 当 m 和 n 异号时, 抛物线 y 2 =- 开口向右, 方程 mx 2 +ny 2 =1( m > n >0) 表示双曲线. 解 : 方程 mx+ny 2 =0 即 y 2 =-, 表示抛物线, 方程 mx 2 +ny 2 =1( m > n >0) 表示椭圆或双曲线. 当 m 和 n 同号时, 抛物线开口向左, 方程 mx 2 +ny 2 =1( m > n

6 >0) 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 无符合条件的选项. 当 m 和 n 异号时, 抛物线 y 2 =- 开口向右, 方程 mx 2 +ny 2 =1( m > n >0) 表示双曲线, 故选 A. 答案 :A 考点 : 本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状, 体现了分类头论的数学思想, 分类讨论是解题的关键. 知识点 : 曲线与方程难度 :2 8. 已知动点 P(x,y) 满足 2+(y-2)2=, 则点 P 的轨迹是 ( ) A. 两条相交直线 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆解析 : 分别令 f(x)=, 他们的几何意义分别是点到定点和定直线的距离相等, 利用抛物线的定义推断出答案. 解 : 令 f(x)=, 其几何意义为 (x,y) 点到直线 y=3x+4y+12 的距离, 依题意二者相等, 即点到点 (1,2) 的距离与到定直线的距离相等, 进而可推断出 P 的轨迹为抛物线. 故选 B 答案 :B 考点 : 本题主要考查了抛物线的定义, 点的轨迹方程问题. 关键是对方程的几何意义的灵活应用. 知识点 : 轨迹方程难度 :2 9. 一个圆的圆心为椭圆的右焦点, 且该圆过椭圆的中心交椭圆于 P, 直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点 ) 是该圆的切线, 则椭圆的离心率为 ( )

7 A. B. C. D. 解析 : 根据题意思可得 : 点 P 是切点, 所以 PF2=c 并且 PF1 PF2. 所以 PF1F2=30, 所以, 所以 e=. 故选 D. 答案 :D 考点 : 解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题, 以即椭圆的定义. 知识点 : 圆与圆锥曲线的综合难度 :2 10. 已知点 P 为抛物线 y= x 2 上的动点, 点 P 在 x 轴上的射影为 M, 点 A 的坐标是 (6, A. 8 ), 则 PA + PM 的最小值是 ( ) B. C. 10 D. 解析 : 先根据抛物线方程求得焦点和准线方程, 可把问题转化为 P 到准线与 P 到 A 点距离之和最小, 进而根据抛物线的定义可知抛物线中 P 到准线的距离等于 P 到焦点的距离, 进而推断出 P A F 三点共线时 PF + PA 距离之和最小, 利用两点间距离公式求得 FA, 则 PA + PM 可求. 解 : 依题意可知, 抛物线 y= x 2 即抛物线 2y=x 2 焦点为 (0, ), 准

8 线方程为 y=-, 只需直接考虑 P 到准线与 P 到 A 点距离之和最小即可,( 因为 x 轴与准线间距离为定值不会影响讨论结果 ), 由于在抛物线中 P 到准线的距离等于 P 到焦点的距离, 此时问题进一步转化为 PF + PA 距离之和最小即可 (F 为曲线焦点 ), 显然当 P A F 三点共线时 PF + PA 距离之和最小, 为 FA, 由两点间距离公式得 FA = = 故选 :B. 答案 :B 考点 : 本题主要考查了抛物线的简单性质. 考查了学生数形结合的思想和分析推理能力. 知识点 : 抛物线的简单性质难度 :2 11. 若椭圆 22-y2=1 有相同的焦点 F1 F2,P 是这两条曲线的一个交点, 则 F1PF2 的面积是 ( ) A. 4 B. 2 C. 1 D. 解析 : 不妨设 P 为双曲线右支上的点, 由椭圆的定义可得,PF1+PF2=4, 由双曲线的定义, 可得,PF1-PF2=2, 解方程, 再判断三角形 PF1F2 为直角三角形, 由面积公式即可得到. 解 : 不妨设 P 为双曲线右支上的点, 由椭圆的定义可得,PF1+PF2=4, 由双曲线的定义, 可得,PF1-PF2=2, 解得 PF1=2+,PF2=2-,F1F2=2, 由于 (2 ) 2 +(2- ) 2 =(2 ) 2, 则三角形 PF1F2 为直角三角形, 则面积为 : =1, 故选 C. 答案 :C 考点 : 本题考查椭圆和双曲线的方程和定义, 考查三角形的面积计算, 属于基础题. 知识点 : 双曲线的简单性质

9 椭圆的简单性质难度 :2 12. 已知 A,B 是椭圆, 则 k1 + k2 的最小值为 ( ) A. 1 B. C. D. 2 解析 : 先假设出点 M,N,A,B 的坐标, 然后表示出两斜率的关系, 再由 k1 + k2 的最小值为 1 运用基本不等式的知识可得到当 x0=0 时可取到最小值, 进而找到 a,b,c 的关系, 进而可求得离心率的值. 解 : 设 M(t,s),N(t,-s),t [0,a],s [0,b],A(-a, 0),B(a,0),k1=,k2=- k1 + k2 = =2 =-, 即 t=0 时等号成立. 因为 A,B 是椭圆, 椭圆的离心率为,, a=2b k1 + k2 的最小值为 1 故选 A. 答案 :A 考点 : 本题主要考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用. 圆锥曲线是高考的重点问题, 基本不等式在解决最值时有重要作用, 所以这两方面的知识都很重要, 一定要强化复习. 知识点 : 椭圆的简单性质基本不等式难度 :3 二填空题 : 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 13. 过椭圆 216+ =1 的焦点 F 的弦中最短弦长是.

10 解析 : 对于椭圆, 过焦点的弦中垂直于 x 轴的弦最短, 所以 x=, 带入椭圆方程即可求出对应 y 值, 从而求出最短的弦长. 解 : 由题意设 F( ), 过 F 的弦中垂直于 x 轴的弦最短 ; x= 时,y= ; 最短弦长为. 故答案为 :. 答案 : 考点 : 考查椭圆的标准方程, 椭圆的焦点, 弦的概念, 以及过焦点的弦中垂直于 x 轴的弦最短. 知识点 : 椭圆的简单性质难度 :2 14. 过抛物线 y 2 =-12x 的焦点作直线 l, 直线 l 交抛物线于,A,B 两点, 若线段 AB 中点的横坐标为 -9, 则 AB =. 解析 : 利用抛物线方程求得 p, 进而利用抛物线上的点到焦点的距离和到准选距离相等的性质表示用两个点的横坐标表示出 AB 的长度, 利用线段 AB 的中点的横坐标求得 A,B 两点横坐标的和, 最后求得答案. 解 : 抛物线的方程为 y 2 =-12x, 2p=12,p=6, AB =xa+xb+p=xa+xb+6, 若线段 AB 的中点 M 的横坐标为 -9, (xa+xb)=-9, xa+xb=-18, AB =18+6=24. 故答案为 :24 答案 :24 考点 : 本题给出过抛物线 y 2 =-12x 焦点的一条弦中点的横坐标, 求该弦的长度. 着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识, 属于基础题. 利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等, 把线段长度的转化为点的横坐标的问题是解题的关键. 知识点 : 抛物线的标准方程难度 :2 15. 已知圆 C 过双曲线 216=1 的一个顶点和一个焦点, 且圆心在此双曲线上, 则圆心到双曲线中心的距离是.

11 解析 : 由双曲线的几何性质易知圆 C 过双曲线同一支上的顶点和焦点, 所以圆 C 的圆心的横坐标为 4. 故圆心坐标为 (4,± ). 由此可求出它到双曲线中心的距离. 解 : 由双曲线的几何性质易知圆 C 过双曲线同一支上的顶点和焦点, 所以圆 C 的圆心的横坐标为 4. 故圆心坐标为 (4,± ). 它到中心 (0,0) 的距离为 d= =. 故答案为 :. 答案 : 考点 : 本题考查双曲线的性质和应用, 解题时注意圆的性质的应用. 知识点 : 双曲线的简单性质难度 :2 16. 设点 P 是椭圆 2a2+ =1(a>b>0) 与圆 x 2 +y 2 =3b 2 的一个交点,F1,F2 分别是椭圆的左右焦点, 且 PF1 =3 PF2, 则椭圆的离心率为. 解析 : 根据已知条件容易判断出 P 点在 y 轴的右侧, 所以联立椭圆与圆的方程可求出 P 点坐标, 根据椭圆的定义及条件 PF1 =3 PF2 可得到, 所以可得到 a,c 的关系式 :7a 2 =8c 2, 从而求出离心率. 解 : 根据已知条件知 P 点在 y 轴右侧 ; 由, 或 a= ( 舍去 ); a 2 =8b 2 =8a 2-8c 2 ; 7a 2 =8c 2 ;. 故答案为 :. 答案 : 考点 : 考查椭圆的标准方程, 椭圆的焦点, 以及椭圆的定义, 两点间距离公式, 离心率的定义. 知识点 : 椭圆的简单性质

12 难度 :3 三解答题 : 本大题共 6 小题, 共 70 分, 解答应有证明或演算步骤 17. 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上, 圆心的横坐标是整数, 且与直线 4x+3y-29=0 相切.(1) 求圆的方程 ;(2) 设直线 ax-y+5=0(a>0) 与圆相交于 A,B 两点, 求实数 a 的取值范围. 解析 :(1) 设圆心为 M(m,0),m z, 根据圆与直线 4x+3y-29=0 相切, 可得 =5, 求得 m 的值, 可得所求的圆的方程.(2) 把直线 ax-y+5=0(a>0) 代入圆的方程可得 (a 2 +1)x 2 +2(5a-1)x+1=0. 再由 >0, 求得 a 的范围. 解 :(1) 设圆心为 M(m,0),m z, 根据圆与直线 4x+3y-29=0 相切, 可得 =5, 即 4m- 29 =25, 再根据 m 为整数求得 m=1. 故所求的圆的方程为 (x-1) 2 +y 2 =25.(2) 把直线 ax-y+5=0(a>0) 代入圆的方程可得 (a 2 +1)x 2 +2(5a-1)x+1=0. 由于直线 ax-y+5=0 和圆相交于 A,B 两点, 可得 =4(5a-1) 2-4(a 2 +1)>0, 即 12a 2-5a>0, 求得 a>, 故 a 的范围为 (,+ ). 考点 : 本题主要考查直线和圆的位置关系, 点到直线的距离公式, 一元二次不等式的解法, 属于中档题. 知识点 : 圆的标准方程直线与圆的位置关系难度 :3 18. 在平面直角坐标系 xoy 中, 直线 l 与抛物线 y 2 =4x 相交于不同的两点 A,B.(Ⅰ) 如果直线 l 过抛物线的焦点, 求的值 ;(Ⅱ) 在此抛物线上求一点 P, 使得 P 到 Q(5,0) 的距离最小, 并求最小值. 解析 :(Ⅰ) 根据抛物线的方程得到焦点的坐标, 设出直线与抛物线的两个交点和直线方程, 是直线的方程与抛物线方程联立, 得到关于 y 的一元二次方程, 根据根与系数的关系,

13 表达出两个向量的数量积.(Ⅱ)P(x,y), 则 PQ = =x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=t 2 y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=- 4t 2 +4t =-3.(Ⅱ) 设 P(x,y), 则 PQ =, PQ min=4. 考点 : 本题考查了直线与抛物线相交问题转化为抛物线的方程联立得到根与系数的关系等基础知识与基本技能方法, 属于中档题. 知识点 : 直线与圆锥曲线的关系抛物线的简单性质难度 :3 19. 已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1), 焦点在 x 轴上, 若右焦点到直线 x-y+2 =0 的距离为 3.(Ⅰ) 求椭圆的方程 ;(Ⅱ) 设椭圆与直线 y=x+m 相交于不同的两点 M N, 问是否存在实数 m 使 AM = AN ; 若存在求出 m 的值 ; 若不存在说明理由. 解析 :(Ⅰ) 利用椭圆的一个顶点为 A(0,-1), 焦点在 x 轴上, 设出椭圆的方程, 利用右焦点到直线 x-y+2 =0 的距离为 3, 即可求解椭圆方程 ;(Ⅱ) 设椭圆与直线 y=x+m 相交于不同的两点 M N, 中点为 P, 联立直线方程与椭圆方程, 利用韦达定理以及判别式求出 m 的范围, 通过中点坐标, 以及 AM = AN ; 求出 m 的值 ; 判断即可. 解 :(Ⅰ) 依题意可设椭圆方程为以不存在实数 m 使 AM = AN., 即 m=2, 因为 :-2<m<2. 所考点 : 本题考查椭圆方程的求法, 直线与椭圆的位置关系的应用, 存在性问题的解题策略, 难度比较大, 注意 m 的范围是易错点. 知识点 : 直线与圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程

14 直线与圆锥曲线的关系难度 :3 20. 如图, 已知四棱锥 S-ABCD 中, SAD 是边长为 a 的正三角形, 平面 SAD 平面 ABCD, 四边形 ABCD 为菱形, DAB=60,P 为 AD 的中点,Q 为 SB 的中点.(Ⅰ) 求证 :PQ 平面 SCD;(Ⅱ) 求二面角 B-PC-Q 的大小. 解析 :(1) 取 SC 的中点 R, 连 QR,DR,PD BC 且 PD= BC,QR BC 且 QP= BC, 由公理 4 得 PQ DR, 从而有 PQ 面 SCD.(2) 以 P 为坐标原点,PA 为 x 轴,PB 为 y 轴,PS 为 z 轴建立空间直角坐标系, 只要求得两半平面的一个法向量即可, 先求得相关点的坐标, 进而得到相关向量的坐标, 然后用向量的夹角公式求解. 证明 :(1) 证明取 SC 的中点 R, 连 QR,DR. 由题意知 :PD BC 且 PD= BC;QR BC 且 QP= BC, QR PD 且 QR=PD. PQ DR, 又 PQ 面 SCD, PQ 面 SCD.(6 分 )(2) 解 : 以 P 为坐标原点,PA 为 x 轴,PB 为 y 轴,PS 为 z 轴建立空间直角坐标系, 则 S(0,0, a),b(0, a, 0),C(-a, a,0),q(0, a). 面 PBC 的法向量为 =(0,0, a), 设为面 PQC 的一个法向量, 由,cos<, 二面角 B-PC-Q 的大小为 arccos.(12 分 )

15 考点 : 本题主要考查线线, 线面, 面面平行关系的转化及平面图形的应用, 还考查了向量法在求二面角中的应用, 属中档题. 知识点 : 直线与平面平行的判定与二面角有关的立体几何综合题难度 :3 21. 设过点 P(x,y) 的直线分别与 x 轴和 y 轴交于 A,B 两点, 点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点, 若且.(1) 求点 P 的轨迹 M 的方程 ;(2) 过 F (2,0) 的直线与轨迹 M 交于 A,B 两点, 求的取值范围. 解析 :(1) 由点 P(x,y), 点 Q 与点 P 关于 y 轴对称题设知 Q(-x,y), 设 A(a,0), B(0,b), 由且, 知, 由此能求出点 P 的轨迹 M 的方程.(2) 设过 F(2,0) 的直线方程为 y=kx-2k, 联立 =(x1-2)(x2-2)+y1y2=(1+k 2 )(x1-2)(x2-2), 利用韦达定理能求出的取值范围. 解 :(1) 过点 P(x,y) 的直线分别与 x 轴和 y 轴交于 A,B 两点, 点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, Q(-x,y), 设 A(a,0),B(0,b), O 为坐标原点,

16 =(x,yb), =(a-x,-y), =(-x,y),, 且,, 解得点 P 的轨迹 M 的方程为 = (x1-2,y1), =(x2-2,y2), =(x1-2)(x2-2)+y1y2=(1+k 2 )(x1-2) (x2-2)=(1+k 2 )[x1x2-2(x1+x2)+4]=(1+k 2 )( + 的最小值 ; 当 k=0 时, 的最大值为 1. 的取值范围是 (, 1]. 考点 : 本题考查椭圆方程的求法, 考查向量乘积人取值范围的求法, 解题时要认真审题, 注意韦达定理和向量知识的合理运用. 知识点 : 轨迹方程平面向量数量积的运算难度 :4

17 22. 如图, 椭圆 2a2+ =1(a>b>0) 的一个焦点是 F(1, 0),O 为坐标原点.(Ⅰ) 已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形, 求椭圆的方程 ;(Ⅱ) 设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A B 两点. 若直线 l 绕点 F 任意转动, 值有 OA 2 + OB 2 < AB 2, 求 a 的取值范围. 解析 :(Ⅰ) 设 M,N 为短轴的两个三等分点, 因为 MNF 为正三角形, 所以, 由此能够推导出椭圆方程.(Ⅱ) 设 A(x1,y1),B(x2,y2).(ⅰ) 当直线 AB 与 x 轴重合时, 由题意知恒有 OA 2 + OB 2 < AB 2.(ⅱ) 当直线 AB 不与 x 轴重合时, 设直线 AB 的方程为 :x=my+1, 代入 =(x1,y1) (x2,y2) =x1x2+y1y2<0 恒成立. 由此入手能够推导出 a 的取值范围. 解 : (Ⅰ) 设 M,N 为短轴的两个三等分点, 因为 MNF 为正三角形, 所以, 即 1=, 解得 a 2 =b 2 +1=4, 因此, 椭圆方程为或 a< ( 舍去 ), 即 a>, 综合 (i)(ii),a 的取值范围为 (,+ ). 考点 : 本题主要考查直线与椭圆的位置关系, 不等式的解法等基本知识, 考查运算能力和综合解题能力. 解题时要注意运算能力的培养. 知识点 : 椭圆的应用

18 其他不等式的解法难度 :4

学年北京市六十六中高二（上）期中数学试卷（文科）

学年北京市六十六中高二（上）期中数学试卷（文科） 2014-2015 学年北京市六十六中高二 ( 上 ) 期中数学试卷 ( 文科 ) 参考答案与试题解析一选择题 ( 共 10 小题, 每小题 4 分, 满分 40 分 ) 1.( 4 分 )(2011 湛江模拟 ) 若 p,q 是两个简单命题, 且 p 或 q 是假命题, 则必有 ( ) A.p 真 q 真 B. p 真 q 假 C.p 假 q 假 D.p 假 q 真考点 : 复合命题的真假.