绝密★启封并使用完毕前

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1 绝密 启封并使用完毕前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试数学 ( 文 )( 北京卷 ) 本试卷共 5 页,150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回 第一部分 ( 选择题共 40 分 ) 一 选择题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项 1. 已知集合 A={( <2)},B={ 2,0,1,2}, 则 A. {0,1} B. { 1,0,1} C. { 2,0,1,2} D. { 1,0,1,2} 答案 A 解析 分析: 将集合化成最简形式, 再进行求交集运算. 详解 : 故选 A. 点睛 : 此题考查集合的运算, 属于送分题. 2. 在复平面内, 复数的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案 D 解析 分析: 将复数化为最简形式, 求其共轭复数, 找到共轭复数在复平面的对应点, 判断其所在象限. 详解 : 的共轭复数为 对应点为, 在第四象限, 故选 D. 点睛 : 此题考查复数的四则运算, 属于送分题, 解题时注意审清题意, 切勿不可因简单导致马虎丢分.

2 3. 执行如图所示的程序框图, 输出的 s 值为 (A) 1 2 (C) 7 6 答案 B (B) 5 6 (D) 7 12 解析 分析: 初始化数值, 执行循环结构, 判断条件是否成立, 详解 : 初始化数值循环结果执行如下 : 第一次 : 不成立 ; 第二次 : 成立, 循环结束, 输出, 故选 B. 点睛 : 此题考查循环结构型程序框图, 解决此类问题的关键在于 : 第一, 要确定是利用当型还是直到型循环结构 ; 第二, 要准确表示累计变量 ; 第三, 要注意从哪一步开始循环, 弄清进入或终止的循环

3 条件 循环次数. 4. 设 a,b,c,d 是非零实数, 则 ad=bc 是 a,b,c,d 成等比数列 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 分析: 证明 成等比数列 只需举出反例即可, 论证 成等比数 列 可利用等比数列的性质. 详解 : 当 时, 不成等比数列, 所以不是充分条件 ; 当 成等比数列时, 则, 所以是必要条件. 综上所述, 是 成等比数列 的必要不充分条件 故选 B. 点睛 : 此题主要考查充分必要条件, 实质是判断命题 以及 的真假. 判断一个命题为真 命题, 要给出理论依据 推理证明 ; 判断一个命题为假命题, 只需举出反例即可, 或者当一个命题正 面很难判断真假时, 可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题. 5. 十二平均律 是通用的音律体系, 明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例, 为这个理论的发展做出 了重要贡献. 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份, 依次得到十三个单音, 从第二个单音起, 每一个单 音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于. 若第一个单音的频率 f, 则第八个单音频率为 A. B. C. D. 答案 D 解析 分析: 根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列, 利用等比数列的相关性质可解. 详解 : 因为每一个单音与前一个单音频率比为, 所以, 又, 则 故选 D. 点睛 : 此题考查等比数列的实际应用, 解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主 要有如下两种 :

4 (1) 定义法, 若 ( ) 或 ( ), 数列是等比数列 ; (2) 等比中项公式法, 若数列中, 且 ( ), 则数列是等比数列. 6. 某四棱锥的三视图如图所示, 在此四棱锥的侧面中, 直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案 C 解析 分析: 根据三视图还原几何体, 利用勾股定理求出棱长, 再利用勾股定理逆定理判断直角三角形 的个数. 详解 : 由三视图可得四棱锥, 在四棱锥 中,, 由勾股定理可知 :, 则在四棱锥中, 直角三角形有 : 共三个, 故选 C. 点睛 : 此题考查三视图相关知识, 解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原, 分析线面 线

5 线垂直关系, 利用勾股定理求出每条棱长, 进而可进行棱长 表面积 体积等相关问题的求解. 7. 在平面坐标系中, 是圆上的四段弧 ( 如图 ), 点 P 在其中一段上, 角以 O 为始 边,OP 为终边, 若, 则 P 所在的圆弧是 (A) AB (C) EF (B) CD (D) GH 答案 C 解析 分析 : 逐个分析 A B C D 四个选项, 利用三角函数的三角函数线可得正确结论. 详解 : 由下图可得 : 有向线段为余弦线, 有向线段为正弦线, 有向线段为正切线. A 选项 : 当点在 上时,,, 故 A 选项错误 ; B 选项 : 当点在 上时,,,, 故 B 选项错误 ; C 选项 : 当点在 上时,,,, 故 C 选项正确 ; D 选项 : 点在 上且 在第三象限,, 故 D 选项错误.

6 综上, 故选 C. 点睛 : 此题考查三角函数的定义, 解题的关键是能够利用数形结合思想, 作出图形, 找到所对应的三角函数线进行比较. 8. 设集合则 A. 对任意实数 a, B. 对任意实数 a,(2,1) C. 当且仅当 a<0 时,(2,1) D. 当且仅当时,(2,1) 答案 D 解析 分析 : 求出及所对应的集合, 利用集合之间的包含关系进行求解. 详解 : 若, 则且, 即若, 则, 此命题的逆否命题为 : 若, 则有, 故选 D. 点睛 : 此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用, 集合法是判断充分条件与必要条件的一种 非常有效的方法, 根据 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设, 若, 则 ; 若, 则, 当一个问题从正面思考很难入手时, 可以考虑其逆否命题形式. 第二部分 ( 非选择题 共 110 分 ) 二 填空题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分 9. 设向量 a=(1,0),b=( 1,m), 若, 则 m=. 答案 解析 分析: 根据 坐标表示出, 再根据, 得坐标关系, 解方程即可. 详解 :,, 由 得 :,, 即. 点睛 : 此题考查向量的运算, 在解决向量基础题时, 常常用到以下 : 设, 则 1 ;2.

7 10. 已知直线 l 过点 (1,0) 且垂直于轴, 若 l 被抛物线 截得的线段长为 4, 则抛物线的焦点坐标为. 答案 解析 分析 : 根据题干描述画出相应图形, 分析可得抛物线经过点, 将点 坐标代入可求参数的值, 进而可求焦点坐标. 详细 : 由题意可得, 点 在抛物线上, 将 代入 中, 解得 :,, 由抛物线方程可得 :, 焦点坐标为. 点睛 : 此题考查抛物线的相关知识, 属于易得分题, 关键在于能够结合抛物线的对称性质, 得到抛物 线上点的坐标, 再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键. 11. 能说明 若 a>b, 则 为假命题的一组 a,b 的值依次为. 答案 ( 答案不唯一 ) 解析 分析 : 根据原命题与命题的否定的真假关系, 可将问题转化为找到使 若, 则 成立的, 根据不等式的性质, 去特值即可. 详解 : 使 若, 则 为假命题 则使 若, 则 为真命题即可, 只需取 即可满足 所以满足条件的一组的值为 ( 答案不唯一 )

8 点睛 : 此题考查不等式的运算, 解决本题的核心关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换, 对不等式性质及其等价变形的充分理解, 只要多取几组数值, 解决本题并不困难. 12. 若双曲线的离心率为, 则 a=. 答案 4 解析 分析 : 根据离心率公式, 及双曲线中的关系可联立方程组, 进而求解参数的值. 详解 : 在双曲线中,, 且 点睛 : 此题考查双曲线的基本知识, 离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点, 根据双曲线的离 心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式, 解题的关键在于利用公式, 找到之间的关系. 13. 若,y 满足, 则 2y 的最小值是. 答案 3 解析 分析 : 将原不等式转化为不等式组, 画出可行域, 分析目标函数 的几何意义, 可知当 时取得最小值. 详解 : 不等式可转化为, 即 满足条件的 在平面直角坐标系中的可行域如下图

9 令, 由图象可知, 当 过点 时, 取最小值, 此时, 的最小值为. 点睛 : 此题考查线性规划, 求线性目标函数 的最值, 当 时, 直线过可行域在轴上 截距最大时, 值最大, 在轴上截距最小时, 值最小 ; 当 时, 直线过可行域在轴上截距最大时, 值 最小, 在轴上截距最小时, 值最大. 14. 若的面积为, 且 C 为钝角, 则 B= ; 的取值范围是. 答案 (1). (2). 解析 分析: 根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得, 可求得 ; 再利用, 将问题转化为求函数的取值范围问题. 详解 :,, 即,, 则 为钝角,, 故. 点睛 : 此题考查解三角形的综合应用, 余弦定理的公式有三个, 能够根据题干给出的信息选用合适的 余弦定理公式是解题的第一个关键 ; 根据三角形内角 的隐含条件, 结合诱导公式及正 弦定理, 将问题转化为求解含 的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 三 解答题共 6 小题, 共 80 分. 解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程 15. 设 是等差数列, 且. (Ⅰ) 求 的通项公式 ; (Ⅱ) 求.

10 答案 (I) (II) 解析 分析:(1) 设公差为, 根据题意可列关于 的方程组, 求解, 代入通项公式可得 ;(2) 由 (1) 可得, 进而可利用等比数列求和公式进行求解. 详解 :(I) 设等差数列 的公差为,,, 又,.. (II) 由 (I) 知,, 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.. 点睛 : 等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量, 知道其中三个可求另外两个, 体现了用 方程组解决问题的思想. 16. 已知函数. (Ⅰ) 求的最小正周期 ; (Ⅱ) 若在区间上的最大值为, 求的最小值. 答案 (Ⅰ) (Ⅱ) 解析 分析 :(1) 将化简整理成的形式, 利用公式可求最小正周期 ;(2) 根 据, 可求的范围, 结合函数图像的性质, 可得参数的取值范围. 详解 :

11 (Ⅰ), 所以的最小正周期为. (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知. 因为, 所以. 要使得在上的最大值为, 即在上的最大值为 1. 所以, 即. 所以的最小值为. 点睛 : 本题主要考查三角函数的有关知识, 解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简, 化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性, 及公式中符号的正负. 17. 电影公司随机收集了电影的有关数据, 经分类整理得到下表 : 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数 好评率 好评率是指 : 一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (Ⅰ) 从电影公司收集的电影中随机选取 1 部, 求这部电影是获得好评的第四类电影的概率 ; (Ⅱ) 随机选取 1 部电影, 估计这部电影没有获得好评的概率 ; (Ⅲ) 电影公司为增加投资回报, 拟改变投资策略, 这将导致不同类型电影的好评率发生变化. 假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化, 那么哪类电影的好评率增加 0.1, 哪类电影的好评率减少 0.1, 使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?( 只需写出结论 ) 答案 (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 解析 分析:(1) 分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数, 代入公式可得概率 ; (2) 利用古典概型公式, 计算没有获得好评的电影部数, 代入公式可得概率 ;(3) 根据每部电影获得好

12 评的部数做出合理建议.. 详解 : (Ⅰ) 由题意知, 样本中电影的总部数是 =2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是 =50, 故所求概率为. (Ⅱ) 设 随机选取 1 部电影, 这部电影没有获得好评 为事件 B. 没有获得好评的电影共有 =1628 部. 由古典概型概率公式得. (Ⅲ) 增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 点睛 : 本题主要考查概率与统计知识, 属于易得分题, 应用古典概型求某事件的步骤 : 第一步, 判断本试验的结果是否为等可能事件, 设出事件 ; 第二步, 分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数 ; 第三步, 利用公式求出事件的概率. 18. ( 本小题 14 分 ) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, 平面 PAD 平面 ABCD,PA PD,PA=PD,E,F 分别为 AD,PB 的中点. (Ⅰ) 求证 :PE BC; (Ⅱ) 求证 : 平面 PAB 平面 PCD; (Ⅲ) 求证 :EF 平面 PCD. 答案 (Ⅰ) 见解析 (Ⅱ) 见解析 (Ⅲ) 见解析 解析 分析:(1) 欲证, 只需证明即可 ;(2) 先证平面, 再证平面 PAB 平面 PCD;(3) 取中点, 连接, 证明, 则平面.

13 详解 : (Ⅰ), 且为 的中点,. 底面 为矩形,,. (Ⅱ) 底面 为矩形,. 平面 平面, 平面.. 又, 平面, 平面 平面. (Ⅲ) 如图, 取 中点, 连接. 分别为 和 的中点,, 且. 四边形 为矩形, 且为 的中点,,, 且, 四边形 为平行四边形,. 又 平面, 平面, 平面. 点睛 : 证明面面关系的核心是证明线面关系, 证明线面关系的核心是证明线线关系. 证明线线平行的方 法 :(1) 线面平行的性质定理 ;(2) 三角形中位线法 ;(3) 平行四边形法. 证明线线垂直的常用方 法 :(1) 等腰三角形三线合一 ;(2) 勾股定理逆定理 ;(3) 线面垂直的性质定理 ;(4) 菱形对角 线互相垂直. 19. 设函数. (Ⅰ) 若曲线 在点 处的切线斜率为 0, 求 a;

14 (Ⅱ) 若 在 处取得极小值, 求 a 的取值范围. 答案 (Ⅰ) (Ⅱ) 解析 分析:(1) 求导, 构建等量关系, 解方程可得参数的值 ;(2) 对分 及 两 种情况进行分类讨论, 通过研究 的变化情况可得 取得极值的可能, 进而可求参数的取值范围. 详解 : 解 :(Ⅰ) 因为, 所以., 由题设知, 即, 解得. (Ⅱ) 方法一 : 由 (Ⅰ) 得. 若 a>1, 则当 时, ; 当 时,. 所以 在 x=1 处取得极小值. 若, 则当 时,, 所以. 所以 1 不是 的极小值点. 综上可知,a 的取值范围是. 方法二 :. (1) 当 a=0 时, 令 得 x=1. 随 x 的变化情况如下表 : x 极大值 在 x=1 处取得极大值, 不合题意.

15 (2) 当 a>0 时, 令 得. 1 当, 即 a=1 时,, 在上单调递增, 无极值, 不合题意. 2 当, 即 0<a<1 时, 随 x 的变化情况如下表 : x 极大值 极小值 在 x=1 处取得极大值, 不合题意. 3 当, 即 a>1 时, 随 x 的变化情况如下表 : x 极大值 极小值 在 x=1 处取得极小值, 即 a>1 满足题意. (3) 当 a<0 时, 令得. 随 x 的变化情况如下表 : x 极小值 极大值 在 x=1 处取得极大值, 不合题意. 综上所述,a 的取值范围为.

16 点睛 : 导数类问题是高考数学中的必考题, 也是压轴题, 主要考查的形式有以下四个 :1 考查导数的几何意义, 涉及求曲线切线方程的问题 ;2 利用导数证明函数单调性或求单调区间问题 ;3 利用导数求函数的极值最值问题 ;4 关于不等式的恒成立问题. 解题时需要注意的有以下两个方面 :1 在求切线方程问题时, 注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同 ;2 在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想, 要做到不重不漏 ;3 不等式的恒成立问题属于高考中的难点, 要注意问题转换的等价性. 20. 已知椭圆的离心率为, 焦距为. 斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A,B. (Ⅰ) 求椭圆 M 的方程 ; (Ⅱ) 若, 求的最大值 ; (Ⅲ) 设, 直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C, 直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D. 若 C,D 和点 共线, 求 k. 答案 (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 解析 分析:(1) 根据题干可得 的方程组, 求解 的值, 代入可得椭圆方程 ;(2) 设直线方程为, 联立, 消整理得, 利用根与系数关系及弦长公式表示出, 求其最值 ; (3) 联立直线与椭圆方程, 根据韦达定理写出两根关系, 结合 三点共线, 利用共线向量基本定理得 出等量关系, 可求斜率. 详解 : (Ⅰ) 由题意得, 所以, 又, 所以, 所以, 所以椭圆的标准方程为. (Ⅱ) 设直线的方程为, 由消去可得, 则, 即,

17 设,, 则,, 则, 易得当时,, 故的最大值为. (Ⅲ) 设,,,, 则 1, 2, 又, 所以可设, 直线的方程为, 由消去可得, 则, 即, 又, 代入 1 式可得, 所以, 所以, 同理可得. 故,, 因为三点共线, 所以, 将点的坐标代入化简可得, 即. 点睛 : 本题主要考查椭圆与直线的位置关系, 第一问只要找到 要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用, 可将弦长公式 三者之间的关系即可求解 ; 第二问主 变形为, 再将根与系数关系代入求解 ; 第三问考查椭圆与向量的综合知识, 关 键在于能够将三点共线转化为向量关系, 再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.

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