学年江西省南昌市高二（上）期末数学试卷（甲卷）（文科）

Size: px

Start display at page:

Download "学年江西省南昌市高二（上）期末数学试卷（甲卷）（文科）"

梢给宿
7 years ago
Views:

1 学年江西省南昌市高二 ( 上 ) 期末数学试卷 ( 甲卷 ) ( 文科 ) 一选择题 ( 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分, 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内 ) 1.(5 分 )(2015 西安校级二模 ) a=b-4 是直线 y=x+2 与圆 (x-a) 2 +(y-b) 2 =2 相切的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 命题对任意 x R,2x 2 - x+1<0 的否定是 ( ) A. 对任意 x R,2x 2 - x+1 0 B. 存在 x R,2x 2 - x+1 0 C. 存在 x R,2x 2 - x+1 0 D. 存在 x R,2x 2 - x+1<0 3.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 曲线 f(x)= x 2 在点 (1, ) 处的切线方程为 ( ) A.2x+2y+1=0 B.2x+2y - 1=0 C.2x - 2y - 3=0 D.2x - 2y - 1=0 4.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 存在下列三个命题 : 1 等边三角形的三个内角都是 60 的逆命题 ; 2 若 k>0, 则一元二次方程 x 2 +2x-k=0 有实根的逆否命题 ; 3 全等三角形的面积相等的否命题. 其中真命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 设 f(x)=xe x, 若 fʹ(xo)=0, 则 x0 等于 ( ) A.e 2 B. - 1 C. D.ln2 6.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 若函数 f(x)=ax - lnx 在内单调递增, 则 a 的取值范围为 ( ) 第 1 页 ( 共 18 页 )

2 A.[2,+ )B.( -,2] C.( -,0] D.( -,0] [2,+ ) 7.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知直线 ax - by - 2=0 与曲线 y=x 3 在点 P(1,1) 处的切线互相垂直, 则的值 ( ) A. B. C. D. 8.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 对于实数 x,y, 条件 p:x+y 8, 条件 q:x 2 或 y 6, 那么 p 是 q 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 都不对 9.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知命题 p:3 3,q:3>4, 则下列判断正确的是 ( ) A.p q 为真,p q 为假, p 为假 B.p q 为真,p q 为假, p 为真 C.p q 为假,p q 为假, p 为假 D.p q 为真,p q 为真, p 为假 10.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 在区间 [,2] 上, 函数 f(x)=x 2 +px+q 与 g(x)=2x+ 在同一点取得相同的最小值, 那么 f(x) 在 [,2] 上的最大值是 ( ) A. B. C.8 D.4 11.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知椭圆 + =1(a>b>0) 的离心率 e=, 右焦点为 F (c,0), 方程 ax 2 +bx - c=0 的两个实根 x1,x2, 则点 P(x1,x2)( ) A. 必在圆 x 2 +)y 2 =2 上 B. 必在圆 x 2 +y 2 =2 内 C. 必在圆 x 2 +y 2 =2 外 D. 以上三种情况都有可能第 2 页 ( 共 18 页 )

3 12.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 对于三次函数 f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d(a 0), 给出定义 : 设 fʹ(x) 是函数 y=f(x) 的导数,fʺ(x) 是 fʹ(x) 的导数, 若方程 fʺ(x)=0 有实数解 x0, 则称点 (x0,f(x0)) 为函数 y=f(x) 的拐点. 经过探究发现 : 任何一个三次函数都有拐点 ; 任何一个三次函数都有对称中心, 且拐点就是对称中心. 设函数 g(x) =, 则 g( )+g( )+ +g( )( ) A.2011 B.2012 C.2013 D.2014 二填空题 ( 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分, 请将正确答案填空在答卷上 ) 13.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知点 P(x,y) 在直线 x - y - 1=0 上运动, 则 (x - 2) 2 +(y - 2) 2 的最小值为. 14.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 函数 f(x)=x 2 cosx 在 x= 处的导数值等于. 15.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知函数 f(x)= 在 x=2 处有极值, 则实数 a 的值为. 16.(5 分 )(2014 秋南昌期末 )1 对任意 x R,2x 2 - x+1>0;2 x>1 且 y>2 是 x+y >3 的充要条件 ;3 函数 y= + 的最小值为 2, 其中真命题为. 三解答题 ( 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) 17.(10 分 )(2014 秋南昌期末 ) 判断命题若 m>0, 则方程 x 2 +2x - 3m=0 有实数根的逆否命题的真假. 18.(12 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知函数 f(x)= +2xfʹ(1), 试比较 f(e) 与 f(1) 的大小关系. 19.(12 分 )(2011 湖南模拟 ) 已知函数 f(x)=x 3 +x (1) 求曲线 y=f(x) 在点 (2, - 6) 处的切线方程 ; (2) 直线 l 为曲线 y=f(x) 的切线, 且经过原点, 求直线 l 的方程及切点坐标. 第 3 页 ( 共 18 页 )

4 20.(12 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知命题 p: 1 x 5 是 x 2 - (a+1)x+a 0 的充分不必要条件, 命题 q: 满足 AC=6,BC=a, CAB=30 的 ABC 有两个. 若 p q 是真命题, 求实数 a 的取值范围. 21.(12 分 )(2014 秋南昌期末 ) 如图, 椭圆 + =1(a>b>0) 的顶点为 A1,A2,B1B2, 焦点为 F1,F2,a 2 +b 2 =7 S =2S (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 设直线 m 过 P(1,1), 且与椭圆相交于 A,B 两点, 当 P 是 A,B 的中点时, 求直线 m 的方程. 22.(12 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知函数 f(x)=x 3 +ax 2 - a 2 x+m(a>0). (1) 若 a=1 时函数 f(x) 有三个互不相同的零点, 求实数 m 的取值范围 ; (2) 若对任意的 a [3,6], 不等式 f(x) 1 对任意 x [ - 1,2], 恒成立, 求实数 m 的取值范围. 第 4 页 ( 共 18 页 )

5 学年江西省南昌市高二 ( 上 ) 期末数学试卷 ( 甲卷 )( 文科 ) 参考答案与试题解析一选择题 ( 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分, 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内 ) 1.(5 分 )(2015 西安校级二模 ) a=b - 4 是直线 y=x+2 与圆 (x - a) 2 +(y - b) 2 =2 相切的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件考点必要条件充分条件与充要条件的判断. 菁优网版权所有专题直线与圆 ; 简易逻辑. 分析根据充分条件和必要条件的定义结合直线和圆相切的条件进行判断即可. 解答解 : 若直线 y=x+2 与圆 (x - a) 2 +(y - b) 2 =2 相切, 则圆心坐标为 (a,b), 半径 R=, 圆心到直线的距离 d=, 即 a - b+2 =2, 解得 a - b+2=2 或 a - b+2= - 2, 即 a=b 或 a=b - 4, 故 a=b - 4 是直线 y=x+2 与圆 (x - a) 2 +(y - b) 2 =2 相切的充分不必要条件, 故选 :A 点评本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据直线和圆相切的条件是解决本题的关键. 2.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 命题对任意 x R,2x 2 - x+1<0 的否定是 ( ) A. 对任意 x R,2x 2 - x+1 0 B. 存在 x R,2x 2 - x+1 0 C. 存在 x R,2x 2 - x+1 0 D. 存在 x R,2x 2 - x+1<0 考点命题的否定. 菁优网版权所有专题简易逻辑. 分析根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 第 5 页 ( 共 18 页 )

6 解答解 : 命题为全称命题, 则命题的否定是 : 存在 x R,2x 2 - x+1 0, 故选 :B. 点评本题主要考查含有量词的命题的否定, 根据全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键. 3.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 曲线 f(x)= x 2 在点 (1, ) 处的切线方程为 ( ) A.2x+2y+1=0 B.2x+2y - 1=0 C.2x - 2y - 3=0 D.2x - 2y - 1=0 考点利用导数研究曲线上某点切线方程. 菁优网版权所有专题计算题 ; 导数的概念及应用 ; 直线与圆. 分析求出函数的导数, 求得切线的斜率, 由点斜式方程即可得到切线方程. 解答解 :f(x)= x 2 的导数为 fʹ(x)=x, 即有在点 (1, ) 处的切线斜率为 1, 则在点 (1, ) 处的切线方程为 y- =x-1, 即为 2x-2y-1=0. 故选 :D. 点评本题考查导数的运用: 求切线方程, 主要考查导数的几何意义, 运用点斜式方程和正确求导是解题的关键. 4.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 存在下列三个命题 : 1 等边三角形的三个内角都是 60 的逆命题 ; 2 若 k>0, 则一元二次方程 x 2 +2x - k=0 有实根的逆否命题 ; 3 全等三角形的面积相等的否命题. 其中真命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点命题的真假判断与应用. 菁优网版权所有专题综合题 ; 简易逻辑. 分析 1 利用逆命题的意义即可得出, 再利用等边三角形的定义即可得出 ; 2 利用逆否命题的定义即可得出, 再利用一元二次方程的是否有实数根与判别式的关系即可得出 ; 3 利用否命题的意义即可得出, 进而判断出真假. 解答解 :1 等边三角形的三个内角均为 60 的逆命题为三个内角均为 60 的三角形是等边三角形, 正确 ; 2 若 k>0, 则方程 x 2 +2x - k=0 有实根的逆否命题是方程 x 2 +2x - k=0 没有实根, 则 k 0, 对于逆否命题 : 方程 x 2 +2x - k=0 没有实根, 则 =4+4k<0, 解得 k< - 1, k 0, 因此正确 ; 3 全等三角形的面积相等的否命题是不全等的三角形的面积不相等, 不正确. 综上可知 : 只有 12 正确. 第 6 页 ( 共 18 页 )

7 故选 :C. 点评本题考查命题的真假判断与应用, 考查了四种命题的定义及其之间的关系, 属于基础题. 5.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 设 f(x)=xe x, 若 fʹ(xo)=0, 则 x0 等于 ( ) A.e 2 B. - 1 C. D.ln2 考点导数的运算. 菁优网版权所有专题导数的概念及应用. 分析求函数的导数, 根据导数的运算法则解方程, 即可得到结论. 解答解 : 由导数的运算法则可知 fʹ(x)=e x +xe x =(1+x)e x, 由 fʹ(x0)=(1+x0)e x0 =0, 解得 x0= - 1, 故选 :B 点评本题主要考查导数的基本计算, 要求熟练掌握函数的导数公式以及导数的运算法则, 比较基础. 6.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 若函数 f(x)=ax - lnx 在内单调递增, 则 a 的取值范围为 ( ) A.[2,+ )B.( -,2] C.( -,0] D.( -,0] [2,+ ) 考点利用导数研究函数的单调性. 菁优网版权所有专题导数的综合应用. 分析求导数 fʹ(x), 由函数 f(x) 在区间 [1+ ) 内单调递增, 得 fʹ(x) 0 在 [1,+ ) 上恒成立, 分离参数后转化为求函数最值即可. 解答解 :fʹ(x)=(ax - lnx)ʹ=a - (x>0), (1) 由已知, 得 fʹ(x) 0 在 [,+ ) 上恒成立, 即 a 在 [,+ ) 上恒成立, 又当 x [,+ ) 时, 2, a 2, 即 a 的取值范围为 [2,+ ). 故选 :A. 点评本题考查利用导数研究函数的单调性在闭区间上的最值及函数恒成立问题, 考查分类讨论思想, 函数恒成立问题往往转化为函数最值解决. 第 7 页 ( 共 18 页 )

8 7.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知直线 ax - by - 2=0 与曲线 y=x 3 在点 P(1,1) 处的切线互相垂直, 则的值 ( ) A. B. C. D. 考点利用导数研究曲线上某点切线方程. 菁优网版权所有专题计算题 ; 导数的概念及应用 ; 直线与圆. 分析求导函数, 求得切线的斜率, 利用曲线 y=x 3 在点 P(1,1) 处的切线与直线 ax - by - 2=0 互相垂直, 即有斜率之积为- 1, 计算即可求得结论. 解答解 : 求导函数, 可得 yʹ=3x 2, 当 x=1 时,yʹ=3, y=x 3 在点 P(1,1) 处的切线与直线 ax - by - 2=0 互相垂直, 3 = - 1, = -. 故选 :C. 点评本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 以及导数的几何意义 : 在切点处的导数值为切线的斜率, 两直线垂直则斜率乘积为-1, 属于基础题. 8.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 对于实数 x,y, 条件 p:x+y 8, 条件 q:x 2 或 y 6, 那么 p 是 q 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 都不对考点必要条件充分条件与充要条件的判断. 菁优网版权所有专题探究型. 分析利用充分条件和必要条件的定义判断, 由于原命题不好判断, 所以利用逆否命题的等价性, 判断逆否命题的充分性和必要性. 解答解 : 原命题的逆否命题为 : q:x=2 且 y=6, p:x+y=8. 若 x=2 且 y=6, 则 :x+y=8, 若当 x=1,y=7 时, 满足 :x+y=8, 但 x=2 且 y=6 不成立, 所以 q 是 p 的充分不必要条件. 所以 p 是 q 的充分不必要条件, 故选 A. 点评本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 利用逆否命题的等价性, 将命题转化是解决本题的关键. 9.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知命题 p:3 3,q:3>4, 则下列判断正确的是 ( ) A.p q 为真,p q 为假, p 为假 B.p q 为真,p q 为假, p 为真第 8 页 ( 共 18 页 )

9 C.p q 为假,p q 为假, p 为假 D.p q 为真,p q 为真, p 为假考点复合命题的真假. 菁优网版权所有专题简易逻辑. 分析本题的关键是判定已知命题 p:3 3,q:3>4 的真假, 再利用复合命题的真假判定. 解答解 : 对于命题 p:3 3 显然 p 真命题对于命题 q:3>4, 显然 q 假命题根据复合命题的真假判定知 p q 为真,p q 为假, p 为假故选 :A. 点评本题考查的知识点是复合命题的真假判定, 解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假, 再根据真值表进行判断. 10.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 在区间 [,2] 上, 函数 f(x)=x 2 +px+q 与 g(x)=2x+ 在同一点取得相同的最小值, 那么 f(x) 在 [,2] 上的最大值是 ( ) A. B. C.8 D.4 考点利用导数求闭区间上函数的最值; 二次函数的性质. 菁优网版权所有专题函数的性质及应用. 分析先利用基本不等式求得函数 f(x) 的最小值, 及此时 x 的值, 进而根据二次函数的性质列方程求得 b 和 c, 最后根据二次函数的性质求得函数在区间上的最大值解答解 :g(x)=2x+ =x+x+ 3, 当 x=1 时取得最小值, 对于函数 f(x), 当 x=1 时, 函数有最小值 3, 求得 p= - 2,q=4, f(x)=x 2-2x+4=(x - 1) 2 +3, 函数 f(x) 的对称轴为 x=1, 开口向上, 第 9 页 ( 共 18 页 )

10 在区间 [,2] 上, 函数的最大值为 f(2)=4, 故选 :D 点评本题主要考查了基本不等式的应用, 二次函数的性质. 对于二次函数的对称轴, 顶点位置, 应能熟练应用, 属于中档题. 11.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知椭圆 + =1(a>b>0) 的离心率 e=, 右焦点为 F (c,0), 方程 ax 2 +bx - c=0 的两个实根 x1,x2, 则点 P(x1,x2)( ) A. 必在圆 x 2 +)y 2 =2 上 B. 必在圆 x 2 +y 2 =2 内 C. 必在圆 x 2 +y 2 =2 外 D. 以上三种情况都有可能考点椭圆的简单性质. 菁优网版权所有专题计算题 ; 圆锥曲线的定义性质与方程. 分析由题意可求得 c= a,b= a, 从而可求得 x1 和 x2, 利用韦达定理可求得 x1 2 +x2 2 的值, 从而可判断点 P 与圆 x 2 +y 2 =2 的关系. 解答解 : 椭圆的离心率 e= =, c= a,b= a, ax 2 +bx - c=ax 2 + ax - a=0, a 0, x 2 + x - =0, 又该方程两个实根分别为 x1 和 x2, x1+x2= -,x1x2= -, x1 2 +x2 2 =(x1+x2) 2-2x1x2= +1<2. 点 P 在圆 x 2 +y 2 =2 的内部. 故选 B. 点评本题考查椭圆的简单性质, 考查点与圆的位置关系, 求得 c,b 与 a 的关系是关键, 属于中档题. 12.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 对于三次函数 f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d(a 0), 给出定义 : 设 fʹ(x) 是函数 y=f(x) 的导数,fʺ(x) 是 fʹ(x) 的导数, 若方程 fʺ(x)=0 有实数解 x0, 则称点 (x0,f(x0)) 为函数 y=f(x) 的拐点. 经过探究发现 : 任何一个三次函数都有拐点 ; 任何一个三次函数都有对称中心, 且拐点就是对称中心. 设函数 g(x) =, 则 g( )+g( )+ +g( )( ) A.2011 B.2012 C.2013 D.2014 第 10 页 ( 共 18 页 )

11 考点导数的运算. 菁优网版权所有专题导数的概念及应用. 分析求出原函数的导函数, 再求出导函数的导函数, 由导函数的导函数等于 0 求出 x 的值, 可得 g(1 - x)+g(x)=2, 从而得到 g( )+g( )+ +g( ) 的值. 解答解 : g(x)=, gʹ(x)=x 2 - x - 3, 由 gʺ(x)=2x - 1=0, 得 x=. g( )=1 g(x) 的对称中心为 (,1), g(1 - x)+g(x)=2, g( )+g( )=g( )+g( )= =2g( )=2g( )=2. g( )+g( )+ +g( )=2013 故选 C. 点评本题是新定义题, 考查了函数导函数的零点的求法, 考查了函数的性质, 解答的关键是寻找函数值所满足的规律, 是中档题. 二填空题 ( 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分, 请将正确答案填空在答卷上 ) 13.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知点 P(x,y) 在直线 x - y - 1=0 上运动, 则 (x - 2) 2 +(y - 2) 2 的最小值为. 考点点到直线的距离公式. 菁优网版权所有专题直线与圆. 分析点 P(x,y) 在直线 x - y - 1=0 上运动, 则 (x - 2) 2 +(y - 2) 2 的最小值即为 (2, 2) 到直线的距离的平方. 解答解 : 点 P(x,y) 在直线 x - y - 1=0 上运动, 则 (x - 2) 2 +(y - 2) 2 的最小值 = =. 故答案为 :. 点评本题考查了点到直线的距离公式的应用, 属于基础题. 14.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 函数 f(x)=x 2 cosx 在 x= 处的导数值等于. 考点导数的运算. 菁优网版权所有专题导数的概念及应用. 分析求函数的导数, 根据导数的运算法则即可得到结论. 解答解 : 由导数的运算法则可知 fʹ(x)=2xcosx - x 2 sinx, 第 11 页 ( 共 18 页 )

12 fʹ( )=2 cos - ( ) 2 sin =, 故答案为 : 点评本题主要考查导数的基本计算, 要求熟练掌握函数的导数公式以及导数的运算法则, 比较基础. 15.(5 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知函数 f(x)= 在 x=2 处有极值, 则实数 a 的值为 1. 考点利用导数研究函数的极值. 菁优网版权所有专题导数的综合应用. 分析先求出函数的导数, 再将 x=2 代入, 求出 a 的值即可. 解答解 : fʹ(x)=x 2-2ax, fʹ(2)=4-4a=0, 解得 :a=1, 故答案为 :1. 点评本题考察了函数的单调性问题, 研究了导数的应用, 是一道基础题. 16.(5 分 )(2014 秋南昌期末 )1 对任意 x R,2x 2 - x+1>0;2 x>1 且 y>2 是 x+y >3 的充要条件 ;3 函数 y= + 的最小值为 2, 其中真命题为 1. 考点命题的真假判断与应用. 菁优网版权所有专题简易逻辑. 分析 1 利用判别式进行判断, 2 利用充分条件和必要条件的定义进行判断, 3 根据基本不等式的性质进行判断. 解答解 :1 判别式 =1-4 2= - 7<0, 对任意 x R,2x 2 - x+1>0 成立, 故 1 正确, 2 当 x=0,y=4, 满足 x+y>3, 但 x>1 且 y>2 不成立, 即必要性不成立, 故 x>1 且 y>2 是 x+y>3 的充要条件错误 ; 3y= +, 当且仅当 =, 即 x 2 +2=1, 即 x 2 = -1 取等号, 则等式不成立, 故 3 错误, 故真命题为 1, 故答案为 :1 第 12 页 ( 共 18 页 )

13 点评本题主要考查命题的真假判断, 要求熟练掌握各种命题的判断方法. 三解答题 ( 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) 17.(10 分 )(2014 秋南昌期末 ) 判断命题若 m>0, 则方程 x 2 +2x - 3m=0 有实数根的逆否命题的真假. 考点四种命题间的逆否关系; 四种命题的真假关系. 菁优网版权所有专题证明题. 分析因原命题与它的逆否命题等价, 所以欲判断原命题若 m>0, 则方程 x 2 +2x - 3m=0 有实数根的逆否命题的真假, 只须判断原命题的真假即可. 解答解 : m>0, 12m>0, 12m+4>0. 方程 x 2 +2x - 3m=0 的判别式 =12m+4>0. 原命题若 m>0, 则方程 x 2 +2x - 3m=0 有实数根为真命题. 又因原命题与它的逆否命题等价, 所以若 m>0, 则方程 x 2 +2x - 3m=0 有实数根的逆否命题也为真命题. 点评本题考查四种命题的相互转化和真假关系的应用, 是基础题. 18.(12 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知函数 f(x)= +2xfʹ(1), 试比较 f(e) 与 f(1) 的大小关系. 考点导数的运算. 菁优网版权所有专题导数的概念及应用. 分析先对函数求导, 得到 fʹ(1) 的值, 进而得到 f(e) 与 f(1) 的值, 即可得到答案. 解答解 : 由题意得, 令 x=1 得即 fʹ(1)= - 1, 所以得,f(1)= - 2, 由得 f(e)<f(1). 点评本小题考查了导数的运算法则, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想. 属于基础题. 19.(12 分 )(2011 湖南模拟 ) 已知函数 f(x)=x 3 +x (1) 求曲线 y=f(x) 在点 (2, - 6) 处的切线方程 ; (2) 直线 l 为曲线 y=f(x) 的切线, 且经过原点, 求直线 l 的方程及切点坐标. 考点直线的点斜式方程. 菁优网版权所有分析 (1) 先求出函数的导函数, 再求出函数在 (2, - 6) 处的导数即斜率, 易求切线方程. (2) 设切点为 (x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f'(x0)=3x0 2 +1, 从而求得直线 l 的方程, 有条件直线 1 过原点可求解切点坐标, 进而可得直线 1 的方程. 第 13 页 ( 共 18 页 )

14 解答解 :(1) f'(x)=(x 3 +x - 16)'=3x 2 +1, 在点 (2, - 6) 处的切线的斜率 k=fʹ(2)= =13, 切线的方程为 y=13x (2) 设切点为 (x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f'(x0)=3x0 2 +1, 直线 l 的方程为 y=(3x0 2 +1)(x - x0)+x0 3 +x0-16. 又直线 l 过点 (0,0), 0=(3x0 2 +1)( - x0)+x0 3 +x0-16, 整理, 得 x0 3 = - 8, x0= - 2, y0=( - 2) 3 +( - 2) - 16= - 26, 直线 l 的斜率 k=3 ( - 2) 2 +1=13, 直线 l 的方程为 y=13x, 切点坐标为 ( - 2, - 26). 点评本题主要考查直线的点斜式方程, 属基础题型, 较为简单. 20.(12 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知命题 p: 1 x 5 是 x 2 - (a+1)x+a 0 的充分不必要条件, 命题 q: 满足 AC=6,BC=a, CAB=30 的 ABC 有两个. 若 p q 是真命题, 求实数 a 的取值范围. 考点复合命题的真假; 必要条件充分条件与充要条件的判断. 菁优网版权所有专题简易逻辑. 分析本题的关键是给出命题 p: 1 x 5 是 x 2 - (a+1)x+a 0 的充分不必要条件, 命题 q: 满足 AC=6,BC=a, CAB=30 的 ABC 有两个为真时 a 的取值范围, 在利用 p 假 q 真给出 a 的取值范围解答解 : 对于命题 p: 1 x 5 是 x 2 - (a+1)x+a 0 的充分不必要条件, 1 x 5 是 1 x a 的真子集 a>5 对于命题 q: 满足 AC=6,BC=a, CAB=30 的 ABC 有两个. 3<a<6 若 p q 是真命题 p 假 q 真则, 综上, 实数 a 的取值范围 :3<a 5 点评本题考查的知识点是复合命题的真假判定, 解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假, 再根据真值表进行判断. 21.(12 分 )(2014 秋南昌期末 ) 如图, 椭圆 + =1(a>b>0) 的顶点为 A1,A2,B1B2, 焦点为 F1,F2,a 2 +b 2 =7 S =2S (1) 求椭圆 C 的方程 ; 第 14 页 ( 共 18 页 )

15 (2) 设直线 m 过 P(1,1), 且与椭圆相交于 A,B 两点, 当 P 是 A,B 的中点时, 求直线 m 的方程. 考点椭圆的简单性质. 菁优网版权所有专题综合题 ; 圆锥曲线的定义性质与方程. 分析 (1) 根据椭圆的几何性质知 a 2 +b 2 =7, 由已知条件得知 a=2c, 从而解得 a,b 即求出其方程 ; (2) 分情况进行讨论 : 当直线 m 的斜率存在时, 利用平方差法 : 设 A(x1,y1),B(x2, y2), 代入椭圆方程作差, 根据斜率公式中点坐标公式即可求得斜率, 再由点斜式即可求得此时直线方程 ; 当直线斜率不存在时, 求出点 A B 坐标, 检验即可. 解答解 :(1) 依题意有 A1B2 = =, a 2 +b 2 =7 (1 分 ) 又由. 有 2a b=2 2c b, a=2c (2 分 ) 解得 a 2 =4,b 2 =3, (3 分 ), 故椭圆 C 的方程为. (4 分 ) (2) 当直线 m 的斜率存在时, 设直线 m 的方程为 y=k(x - 1)+1,A(x1,y1),B(x2, y2), 则,, 两式相减得 :. (6 分 ) P 是 AB 的中点, 可得直线 m 的斜率为, (10 分 ) 当直线 m 的斜率不存在时, 将 x=1 代入椭圆方程并解得,, 这时 AB 的中点为 (1,0), x=1 不符合题设要求. (11 分 ) 综上, 直线 m 的方程为 3x+4y-7=0 (12 分 ) 点评本题考查直线与圆锥曲线的位置关系椭圆方程的求解, 考查分类讨论思想, 凡涉及弦中点问题一般可考虑点差法, 即设出弦端点坐标, 代入圆锥曲线方程作差, 由中点坐标公式及斜率公式可得弦斜率及中点坐标关系. 第 15 页 ( 共 18 页 )

16 22.(12 分 )(2014 秋南昌期末 ) 已知函数 f(x)=x 3 +ax 2 - a 2 x+m(a>0). (1) 若 a=1 时函数 f(x) 有三个互不相同的零点, 求实数 m 的取值范围 ; (2) 若对任意的 a [3,6], 不等式 f(x) 1 对任意 x [ - 1,2], 恒成立, 求实数 m 的取值范围. 考点导数在最大值最小值问题中的应用. 菁优网版权所有专题综合题 ; 函数的性质及应用 ; 导数的综合应用. 分析 (1)a=1 时, 函数有三个互不相同的零点, 转化为 x 3 +x 2 - x+m=0 即 m= - x 3 - x 2 +x 有三个互不相等的实数根. 令 g(x)= - x 3 - x 2 +x, 利用导数可得 g(x) 的极值, 借助图象可得 m 的范围 ; (2) 要使得 f(x) 1 对任意 x [ - 1,2] 恒成立, 可转化为 [f(x)]max 1, 利用导数可求得 [f(x)]max, 然后分离参数 m 后可转化为求关于 a 的函数最值问题解决 ; 解答解:(1) 当 a=1 时,. 函数有三个互不相同的零点, x 3 +x 2 -x+m=0 即 m= -x 3 -x 2 +x 有三个互不相等的实数根. 令 g(x)= -x 3 -x 2 +x, 则 g'(x)= -3x 2-2x+1=-(3x-1)(x+1). 令 g'(x)>0, 解得 ; 令 g'(x)<0, 解得 x< - 1 或 x>, g(x) 在 ( -, - 1) 和上均为减函数, 在上为增函数, [g(x)] 极小值 =g( - 1)= - 1,[g(x)] 极大值 =g( )=, m 的取值范围是. (2), 且 a>0, 当 x< - a 或时,f'(x)>0; 当时,f'(x)<0. 函数 f(x) 的单调递增区间为 ( -, - a) 和, 单调递减区间为. 第 16 页 ( 共 18 页 )

17 当 a [3,6] 时,, - a - 3. 又 x [ - 1,2], f(x) 的最大值为 f( - 1) 和 f(2) 中的较大者. f( - 1) - f(2)=3a 2-3a - 9>0,. 要使得 f(x) 1 对任意 x [ - 1,2] 恒成立, 即 [f(x)]max 1, 亦即- 1+a+a 2 +m 1, 即当 a [3, 6] 时,m - a 2 - a+2 恒成立. - a 2 - a+2 在 a [3,6] 上的最小值为- 40, m 的取值范围是 ( -, - 40]. 点评本题考查函数的零点利用导数求函数的极值最值, 考查恒成立问题, 考查转化思想, 考查学生综合运用导数知识解决问题的能力. 第 17 页 ( 共 18 页 )

18 第 18 页 ( 共 18 页 )

2016 西城区高二 ( 下 ) 期末数学 ( 文科 ) 一选择题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的 ) 1.( 5 分 ) 已知集合 A={x R 0<x<1},B={x R x (2x-1)>0}, 则 A B=( )

2016 西城区高二 ( 下 ) 期末数学 ( 文科 ) 一选择题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的 ) 1.( 5 分 ) 已知集合 A={x R 0