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志徵董
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1 绝密启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 天津卷 ) 数学 ( 理工类 ) 本试卷分为第 Ⅰ 卷 ( 选择题 ) 和第 Ⅱ 卷 ( 非选择题 ) 两部分, 共 50 分, 考试用时 0 分钟第 Ⅰ 卷至页, 第 Ⅱ 卷至 5 页答卷前, 考生务必将自己的姓名准考号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时, 考生务必将答案涂写在答题卡上, 答在试卷上的无效考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利! 注意事项 : 第 Ⅰ 卷. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分参考公式 : 如果事件 A, B 互斥, 那么如果事件 A, B 相互独立, 那么 PA ( B) PA ( ) PB ( ). PAB ( ) PAPB ( ) ( ). 棱柱的体积公式 V Sh. 4 球的体积公式 V π R. 其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. 其中 R 表示球的半径. 一. 选择题 : 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. () 设集合 A {,, 6}, B {, 4}, C { x R x 5}, 则 ( A B) C (A){} (B){,, 4} (C){,,, 4 6} (D){ x R x 5} x y 0, y 0, () 设变量 x, y 满足约束条件则目标函数 z x y的最大值为 0, y, (A) (B) (C) 数学 ( 天津卷理工 ) 第页 ( 共 5 页 ) (D)

2 () 阅读右面的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 N 的值为 4, 则输出 N 的值为 (A) 0 (B) (C) (D) π π (4) 设 R, 则是 sin 的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 x (5) 已知双曲线 y ( 0, b 0 ) b 的左焦点为 F, 离心率为. 若经过 F 和 P (0, 4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线, 则双曲线的方程为 (A) (B) (C) (D) (6) 已知奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数, g( x) xf( x). 若 g( log 5.), b g( ), c g(), 则, b, c 的大小关系为 (A) b c (B) c b (C) b c (D) b c 5π (7) 设函数 f( x) sin( ),x R, 其中 0, π. 若 f ( ) 8, f ( π ) 0, 8 且 f ( x ) 的最小正周期大于 π, 则 (A) π, (B) π, (C) π, (D), 7π 4 4, x, f x 设 R, 若关于 x 的不等式 f ( x), x. x (8) 已知函数上恒成立, 则的取值范围是 (A)[ 47, ] (B) [, ] (C)[, ] (D) 6 6 否开始输入 N N 能被整除? 是 N N N? 是输出 N 结束 ( 第题图 ) 否 N = N - x 9 [, ] 6 在 R 数学 ( 天津卷理工 ) 第页 ( 共 5 页 )

3 绝密启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 天津卷 ) 注意事项 : 数学 ( 理工类 ) 第 Ⅱ 卷. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 本卷共小题, 共 0 分二. 填空题 : 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 0 分. i (9) 已知 R, i 为虚数单位, 若为实数, 则的值为. i (0) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上, 若这个正方体的表面积为 8, 则这个球的体积为. π ( ) 在极坐标系中, 直线 4 cos( ) 0 与圆 sin 的公共点的个数 6 为. () 若, b R, b 0, 则 4b 的最小值为. b 4 4 () 在 ABC 中, A 60, AB, AC. 若 BD DC,AE AC AB( R ), 且 AD AE 4, 则的值为. (4) 用数字,,,,,,,, 组成没有重复数字, 且至多有一个数字是偶数的四位数, 这样的四位数一共有个.( 用数字作答 ) 数学 ( 天津卷理工 ) 第页 ( 共 5 页 )

4 三. 解答题 : 本大题共 6 小题, 共 80 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (5)( 本小题满分分 ) 在 ABC 中, 内角 A,B,C 所对的边分别为,b,c. 已知 b, 5, c 6, sin B. 5 (Ⅰ) 求 b 和 sin A 的值 ; π (Ⅱ) 求 sin( A ) 的值. 4 (6)( 本小题满分分 ) 从甲地到乙地要经过个十字路口, 设各路口信号灯工作相互独立, 且在各路口遇到红灯的概率分别为,, 4. (Ⅰ) 记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 求随机变量 X 的分布列和数学期望 ; (Ⅱ) 若有辆车独立地从甲地到乙地, 求这辆车共遇到个红灯的概率. (7)( 本小题满分分 ) 如图, 在三棱锥 P ABC 中, PA 底面 ABC, BAC 90. 点 D,E,N 分别为棱 PA,PC,BC 的中点, M 是线段 AD 的中点, PA AC 4, AB. (Ⅰ) 求证 : MN 平面 BDE ; (Ⅱ) 求二面角 C EM N 的正弦值 ; (Ⅲ) 已知点 H 在棱 PA 上, 且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 7, 求线段 AH 的长. B D M A P N E C 数学 ( 天津卷理工 ) 第 4 页 ( 共 5 页 )

5 (8)( 本小题满分分 ) 已知 * 为等差数列, 前 n 项和为 S n ( N ), b 比大于 0, b b, b 4, S b 4. (Ⅰ) 求和 b 的通项公式 ; n * (Ⅱ) 求数列 b 的前 n 项和 ( N ). n n 是首项为的等比数列, 且公 (9)( 本小题满分 4 分 ) 设椭圆 ( b 0 ) 的左焦点为 F, 右顶点为 A, 离心率为 b. 已知 A 是抛物线 y px( p 0 ) 的焦点, F 到抛物线的准线 l 的距离为. (Ⅰ) 求椭圆的方程和抛物线的方程 ; (Ⅱ) 设 l 上两点 P,Q 关于 x 轴对称, 直线 AP 与椭圆相交于点 B ( B 异于点 A ), 直线 BQ 与 x 轴相交于点 D. 若 APD 的面积为 (0)( 本小题满分 4 分 ) 6, 求直线 AP 的方程. 4 设 Z, 已知定义在 R 上的函数 f ( x) x 6x 在区间 (, ) 内有一个零点 x 0, g( x ) 为 f ( x ) 的导函数. (Ⅰ) 求 g( x ) 的单调区间 ; (Ⅱ) 设 m [, x0) ( x0, ], 函数 hx ( ) gx ( )( m0 ) f( m), 求证 : hmhx ( ) ( 0 ) 0; (Ⅲ) 求证 : 存在大于 0 的常数 A, 使得对于任意的正整数 p, q, 且 p [ ) ( ] q p. q Aq, x 0 x,, 0 满足 x0 4 数学 ( 天津卷理工 ) 第 5 页 ( 共 5 页 )

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( ) 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :~8 小题, 每小题分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +