资料分享 QQ 群 65 联系电话 : ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分分 ) 已知中心在原点焦点在轴上的椭圆 C 过点离心率为点为其右顶点过点 A B 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E F 两点直线 AE AF 与直线分别交于点 M N ⑴ 求椭圆 C 的方程 ;

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宜学乔
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1 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : 解析几何题型汇编一方法建议学而思高考研究中心武洪姣曲丹老师圆锥曲线对于一些必备的核心条件进行了解以后充分的练习题目以及掌握在解决题目的必要技巧方法主要选择好的方法二题型分类 (I) 向量表达相关的问题向量的数量积与角度问题直接考查向量的数量积计算分别是证明是定值求范围和证明存在定点 ( 海淀二模文 9)( 本小题满分分 ) 已知椭圆 C : ( ) 的右焦点为 F() 且点 ( ) 在椭圆 C 上 ⑴ 求椭圆 C 的标准方程 ; 5 ⑵ 已知点 Q( ) 动直线 l 过点 F 且直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点证明 : QAQB 为定值解析 ⑴ 由题意知 : c 根据椭圆的定义得 : a ( ) ( ) 即 a 所以 b 从而椭圆 C 的标准方程为 y ⑵ 当直线 l 的斜率为时 A( ) B( ) 5 5 则 QA QB ( ) ( ) 6 当直线 l 的斜率不为时设直线 l 的方程为 : ty A y B y y 由可得 : ( t ) y ty ty t y y t 显然 yy t 因为 ty ty 所以 5 5 ( y ) ( y) ( ty )( ty ) y y ( t ) y y t( y y) 6 t ( t ) t t t t t 6 ( t ) 6 6 即 QA QB 6 5

2 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分分 ) 已知中心在原点焦点在轴上的椭圆 C 过点离心率为点为其右顶点过点 A B 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E F 两点直线 AE AF 与直线分别交于点 M N ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; ⑵ 求 EM EN 的取值范围解析 ⑴ 设椭圆的方程为 c c 依题意得解得 a b a a b 所以椭圆 C 的方程为 y ⑵ 显然点 A( ) 当直线 l 的斜率不存在时不妨设点 E 在轴上方易得 E( ) F( ) M( ) N( ) 所以 EM FN 当直线 l 的斜率存在时由题意可设直线 l 的方程为 y k( ) 显然 k 时不符合题意 y k( ) 由得 ( ) 8k y 8k 设 E( y ) F( y ) 则 y y 直线 AE AF 的方程分别为 : y ( ) y ( ) y y 令则 M( ) N( ) y( ) y( ) 所以 EM ( ) FN ( ) y ( ) y( ) yy 所以 EM FN ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( k ) ( )( ) ( ) [ ( ) 9] [ k ] ( ) 8k 8k ( 9) ( k ) 8k 6k 5 k 6k 5 ( ) ( ) 6k 6k 因为 k 所以 6k 所以 6k 即 EM FN ( ) 6 k 6

3 综上所述 EM FN 5 的取值范围是 [ ) 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : ( 海淀二模理 8)( 本小题满分分 ) 已知椭圆 C : ( ab ) 的右焦点为 F 且点在椭圆 C 上 ⑴ 求椭圆 C 的标准方程 ; ⑵ 已知动直线 l 过点 F 且与椭圆 C 交于 A B 两点试问轴上是否存在定点 Q 使得 QA QB 恒成立? 若存在求出点 Q 的坐标 ; 如果不存在请说明理由 6 解析 ⑴ 椭圆方程为 y 解得 a b ⑵ 设当直线 l 不与轴垂直时设直线 l : y k A y B y Qm 则 QAQB m y m y m m k 联立直线与椭圆方程有 k 即 k p k p p p k p k p k p k p 从而 QA QB k k p p 5 若 QA QB 为定值则解得 p 此时 QA QB 6 经验证当直线 l 与轴垂直时 QA QB 也成立 6 5 综上点 Q 的坐标为 k k 即 p p p p k p p p p 56 证明某点在以某线段为直径的圆上转化成垂直问题 ( 东城二模理 8)( 本小题共分 ) 已知抛物线 C : ym 为直线 l : y 上任意一点过点 M 作抛物线 C 的两条切线 MA MB 切点分别为 A B ⑴ 当 M 的坐标为时求过 M A B 三点的圆的方程 ; ⑵ 证明 : 以 AB 为直径的圆恒过点 M 解析 ⑴ 当 M 的坐标为 ( ) 时设过 M 点的切线方程为 y k y 由消 y 得 (*) y k

4 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : 令 ( k) 解得 k 代入方程 (*) 解得 A() B( ) 设圆心 P 的坐标为 ( a) 由 PM PB 得 a 解得 a 故过 M A B 三点的圆的方程为 ( y) ⑵ 设 M ( ) 由已知得 y y 设切点分别为 A ( ) B ( ) 所以 kma kmb 切线 MA 的方程为 y ( ) 即 y 切线 MB 的方程为 y ( ) 即 y 又因为切线 MA 过点 M ( ) 所以得又因为切线 MB 也过点 M ( ) 所以得所以是方程的两实根由韦达定理得因为 MA ( ) MB ( ) 所以 MAMB ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 将代入得 MAMB 所以以 AB 为直径的圆恒过点 M 5 ( 海淀二模文 9)( 本小题满分分 ) 已知椭圆 G 的离心率为短轴端点分别为 A B ⑴ 求椭圆 G 的标准方程 ; ⑵ 若 C D是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点直线 BC 与轴交于点 M 判断以线段 MD 为直径的圆是否过点 A 并说明理由 y a a 解析 ⑴ 由已知可设椭圆 G 的方程为 : 由 e 可得 e a 解得 a a 8

5 所以椭圆的标准方程为 y ⑵ 法一 : C D y 设则因为 A B y 所以直线 BC 的方程为 y 令 y 得 M y 所以 M y 所以 AM AD y 所以 AM AD y y y 又因为代入得 AM AD y y y 因为 y 所以 AM AD 所以 MAN 9 所以点 A 不在以线段 MN 为直径的圆上法二 : 设直线 BC 的方程为 y k 则 M k y 由化简得到 k y k 所以 k 所以 k k 所以 y k k k k k 所以 C k k k 所以 D k k k 所以 AM AD k k k k 所以 AM AD k k k 所以 MAN 9 所以点 A 不在以线段 MN 为直径的圆上 6 ( 海淀二模理 9)( 本小题满分分 ) 已知椭圆 G 的离心率为其短轴两端点为 A 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : B ⑴ 求椭圆 G 的方程 ; ⑵ 若 C D 是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点直线 AC BD 与轴分别交于点 M N 判断以 MN 为直径的圆是否过点 A 并说明理由 a a 解析 ⑴ 由已知可设椭圆 G 的方程为 : 9

6 a 由 e 可得 e 解得 a a 所以椭圆的标准方程为 ⑵ 法一 : C y 且 D y 设则因为 A B y 所以直线 AC 的方程为 y 令 y 得 M y 所以 M y y 同理直线 BD 的方程为 y 求得 N y AM AN y y 所以 AM AN y 由 C 在椭圆 G: y 上所以 y 所以 AM AN 所以 MAN 9 所以以线段 MN 为直径的圆不过点 A 法二 : 设直线 AC 的方程为 y k 则 M k y 化简得到 k y k 所以 k 所以 k k 所以 y k k k k k 所以 C k k k 因为 C D关于 y 轴对称所以 D k k 所以直线 BD 的方程为 y 令 y 得到 k k k k 所以即 y k N k AM AN k k 所以 MAN 9 所以以线段 MN 为直径的圆恒过和两点资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899

7 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分分 ) 已知椭圆 C : ( a b ) 经过点离心率为 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; ⑵ 直线 y k( ) ( k ) 与椭圆 C 交于 AB 两点点 M 是椭圆 C 的右顶点直线 AM 与直线 BM 分别与 y 轴交于点 PQ 试问以线段 PQ 为直径的圆是否过轴上的定点? 若是求出定点坐标 ; 若不是说明理由 c = 解析 ⑴ 由题意得 a 解得 a = b 所以椭圆 C 的方程是 y ⑵ 以线段 PQ 为直径的圆过轴上的定点 y k( ) 由得 ( k ) 8k y 8k 设 A( y ) B( y ) 则有又因为点 M 是椭圆 C 的右顶点所以点 M () y y 由题意可知直线 AM 的方程为 y ( ) 故点 P y y 直线 BM 的方程为 y ( ) 故点 Q 若以线段 PQ 为直径的圆过轴上的定点 N( ) 则等价于 PN QN 恒成立 y y 又因为 PN QN y y y y 所以 PN QN 恒成立 ( )( ) 8k 又因为 ( )( ) ( ) 8k y y k( ) k( ) k [ ( ) ] k kk k yy 所以 k 解得 ( )( ) 故以线段 PQ 为直径的圆过轴上的定点 ( ) 89 是给出向量的一个表达式整理得到垂直关系 8 ( 朝阳二模理 9)( 本小题满分分 ) 已知椭圆 C 的中心在原点 O 焦点在轴上离心率为 ⑴ 求椭圆 C 的标准方程 ; 右焦点到右顶点的距离为 ⑵ 是否存在与椭圆 C 交于 AB 两点的直线 l : y k m( k R ) 使得 OA OB OA OB 成立?

8 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : 若存在求出实数 m 的取值范围若不存在请说明理由解析 ⑴ 设椭圆 C 的方程为 ab 半焦距为 c c 依题意 e 由右焦点到右顶点的距离为得 ac a 解得 c a 所以 b a c 所以椭圆 C 的标准方程是 ⑵ 存在直线 l 使得 OA OB OA OB 成立理由如下 : y k m 得 ( k ) 8km m 由 (8 km) ( k )(m ) 化简得 8km 设 A( ) B( ) 则若 OA OB OA OB 成立 m m 即 OA OB OA OB 等价于 OAOB 所以 y y ( k m)( k m) 即 ( k ) km( ) m m 8km ( k ) km m 化简得 m k 将 k m 代入 m 中 ( ) m m 解得 m 又由 m k m 从而 m m 或 m 所以实数 m 的取值范围是 9 ( 朝阳二模文 9)( 本小题满分分 ) 已知椭圆 C 的中心在原点 O 焦点在轴上离心率为 ⑴ 求椭圆 C 的标准方程 ; 右焦点到右顶点的距离为 ⑵ 若直线 l : m y 与椭圆 C 交于 AB 两点是否存在实数 m 使 OA OB OA OB 成立? 若存在求 m 的值 ; 若不存在请说明理由解析 ⑴ 设椭圆 C 的方程为 ab 半焦距为 c c e 依题意 a 解得 c a 所以 b a c ac 所以椭圆 C 的标准方程是 ⑵ 不存在实数 m 使 OA OB OA OB 证明如下 : 把 y m 代入椭圆 C: y 中整理得 ( m ) 8m 8 由于直线 l 恒过椭圆内定点所以判别式

9 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : m 设 A( ) B( ) 则 m 8 m 依题意若 OA OB OA OB 平方得 OAOB y y ( m ) ( m ) 即整理得 ( m ) m( ) 8 8m 5 所以 ( m ) 整理得 m 矛盾 m m 所以不存在实数 m 使 OA OB OA OB 是证明某三角形为直角三角形需要确定直角是哪个角进行讨论 ( 西城二模文 9)( 本小题满分分 ) 设 F F 分别为椭圆 W: y 的左右焦点斜率为 k 的直线 l 经过右焦点 F 且与椭圆 W 相交于 AB 两点 ⑴ 求 ABF 的周长 ; ⑵ 如果 ABF 为直角三角形求直线 l 的斜率 k 解析 ⑴ 椭圆 W 的长半轴长 a 左焦点 F ( ) 右焦点 F () 由椭圆的定义得 AF AF a BF BF a 所以 ABF 的周长为 AF AF BF BF a ⑵ 因为 ABF 为直角三角形所以 BF A 9 或 BAF 9 或 ABF 9 当 BF A 9 时设直线 AB 的方程为 y k( ) A( y ) B( y ) y 由得 ( k ) k y k( ) k 所以 k k 由 BF A 9 得 FA FB F A ( y ) F B ( y ) 因为所以 F A F B ( ) y y ( k ) ( k )( ) k ( ) k ( )( ) k ( k ) ( k ) k k k 解得 k 当 BAF 9 ( 与 ABF 9 相同 ) 时则点 A 在以线段 FF 为直径的圆 y 上也在椭圆 W 上 y 由解得 A () 或 A( ) y 根据两点间斜率公式得 k 综上直线 l 的斜率 k 或 k 时 ABF 为直角三角形

10 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : 几何条件需要进行转化且需要两个代数条件才能表达出 ( 东城一模理 9)( 本小题共分 ) 已知椭圆 C : ( ab ) 的离心率是其左右顶点分别为 A A B 为短轴的端点 A BA 的面积为 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; ⑵ F 为椭圆 C 的右焦点若点 P 是椭圆 C 上异于 A A 的任意一点直线 AP AP 与直线分别交于 M N 两点证明 : 以 MN 为直径的圆与直线 PF 相切于点 F ab c 解析 ⑴ 由已知解得故所求椭圆方程为 a c A A F ⑵ 由 ⑴ 知设 P y 则 y 于是直线 y AP 方程为 y 6y 所以 M y 同理 N 所以 FM FN 6y y 所以 FM FN 所以令得 y M 6y 6y y 6y y 9 y 9 9 F M F N 点 F 在以 MN 为直径的圆上 y 设 MN 的中点为 E 则 E 可得 FE y 又 F P y y 所以 F E F P y ; 所以 FE F P y 因为 FE 是以 MN 为直径的圆的半径 E 为圆心 F E F P 故以 MN 为直径的圆与直线 PF 相切于右焦点 F 向量共线问题是知道共线的点的比例关系可以直接求出坐标关系 ; 是要证明三点共线可以通过向量共线来证明 ; 需要转化成三点共线问题也可以通过同一法等难度较大

11 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : ( 西城一模理 9)( 分 ) 已知椭圆 W : y 直线 l 与 W 相交于 M N 两点 l 与轴 y 轴分别相交于 C D两点 O 为坐标原点 ⑴ 若直线 l 的方程为求 OCD 外接圆的方程 ; ⑵ 判断是否存在直线 l 使得 C D是线段 MN 的两个三等分点若存在求出直线 l 的方程 ; 若不存在说明理由解析 ⑴ 因为直线 l 的方程为 y 所以与轴的交点 C() 与 y 轴的交点 D 5 则线段 CD 的中点 CD 5 即 OCD 外接圆的圆心为半径为 CD 所以 OCD 外接圆的方程为 5 y 6 ⑵ 结论 : 存在直线 l 使得 CD 是线段 MN 的两个三等分点理由如下 : 由题意设直线 l 的方程为 y k m( km ) M ( ) N( ) m 则 C D( m) k y k m 由方程组得 ( k ) m m y 所以 6k 8m 8 (*) m m 由韦达定理得 k k 由 CD 是线段 MN 的两个三等分点得线段 MN 的中点与线段 CD 的中点重合 m m 所以 k k 解得 k 法二 : 由 CD 是线段 MN 的两个三等分点得 MN CD m 所以 k m k m m m 5 即解得 m k k k 5 验证知 (*) 成立法三 : m m MC CD DN 从而满足 ( k ) m m k k 代入解得 m 5 所以存在直线 l 使得 CD 是线段 MN 的两个三等分点 5

12 5 5 此时直线 l 的方程为 y 或 y 5 5 ( 高考理 9)( 本小题共分 ) C : 5 m m y 8 mr 已知曲线资料分享 QQ 群 65 联系电话 : ⑴ 若曲线 C 是焦点在轴上的椭圆求 m 的取值范围 ; ⑵ 设 m 曲线 C 与 y 轴的交点为 A B( 点 A 位于点 B 的上方 ) 直线 y k 与曲线 C 交于不同的两点 M N 直线 y 与直线 BM 交于点 G 求证 : A G N 三点共线解析 ⑴ 原曲线方程可化简得 : 8 8 5m m m m 8 由题意可得 : 解得 : m 5 5 m 8 m ⑵ 由已知直线代入椭圆方程化简得 : (k ) 6k =(k ) 解得 : k 6k 由韦达定理得 : M N k MN k 设 N( k ) M ( k ) G ( ) N N M km 6 M MB 方程为 : y 则 G M k M 6 M AG M k 6 AN k M G N N 欲证 A G N 三点共线只需证 AG AN 共线 M 即 ( Nk ) N 成立化简得 : ( k k) M N M k 6 6( M N ) 将代入易知等式成立则 A G N 三点共线得证 ( 西城二模理 9) 设 A B 是椭圆 W: 上不关于坐标轴对称的两个点直线 AB 交轴于点 M ( 与点 A B 不重合 ) O 为坐标原点 ⑴ 如果点 M 是椭圆 W 的右焦点线段 MB 的中点在 y 轴上求直线 AB 的方程 ; ⑵ 设 N 为轴上一点且 OM ON 直线 AN 与椭圆 W 的另外一个交点为 C 证明 : 点 B 与点 C 关于轴对称解析 ⑴ 椭圆 W 的右焦点为 M () 因为线段 MB 的中点在 y 轴上所以点 B 的横坐标为因为点 B 在椭圆 W 上将代入椭圆 W 的方程得点 B 的坐标为所以直线 AB ( 即 MB ) 的方程为 y 或 y ⑵ 设点 B 关于轴的对称点为 B ( 在椭圆 W 上 ) 6

13 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : 要证点 B 与点 C 关于轴对称只要证点 B 与点 C 重合又因为直线 AN 与椭圆 W 的交点为 C( 与点 A 不重合 ) 所以只要证明点 A N B 三点共线以下给出证明 : 由题意设直线 AB 的方程为 y k m( k ) A( ) B( ) B ( y ) 则 y 由得 ( k ) 8km m y k m 所以 (8 km) ( k )(m ) 8km m m 在 y k m 中令 y 得点 M 的坐标为 k k 由 OM ON 得点 N 的坐标为 m 设直线 NA NB 的斜率分别为 k NA k NB y y y y 则 kna k m m NB m m m m 因为 y y m m ( k m) ( k m) ( k m) ( k m) m m m 8km k m ( ) 8k k m 8k m m 8m k 8m k k k 所以 k NA k 所以点 A N B 三点共线 NB 即点 B 与点 C 关于轴对称 (II) 其它问题经常涉及到多条有关联的直线或是不止一个二次曲线要探索一些几何量之间的关系这类问题通常需要通过读题作图等理清各个几何图形之间的关系选择设定合适的变量去减少计算有些时候设定单变量有利于确定化简与求值的方向但计算有时过于复杂 ; 设定多个变量有时可以减少计算但是满足的关系式通常较多需要一定的化简变形能力每个人可以根据自己擅长的选择不同的方法是探索多条直线的斜率的关系直接计算即可 ( 朝阳一模文 9)( 本题满分分 ) 已知椭圆 C : 短轴的两个端点的连线相互垂直 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; 的两个焦点分别为 F F 点 M 与椭圆

14 ⑵ 过点 M 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A B 两点设点 N 别为 k k 求证 : k k 为定值解析 ⑴ 依题意由已知得 c a b 由已知易得 b OM 解得 a 则椭圆的方程为 ⑵ 当直线 l 的斜率不存在时由 y y 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : 解得 y 设 A ( ) B( ) 则 k k 为定值当直线 l 的斜率存在时设直线 l 的方程为 : y k( ) 记直线 AN BN 的斜率分将 y k( ) 代入 y 整理化简得 (k ) 6k k 依题意直线 l 与椭圆 C 必相交于两点设 A( ) B( y ) 6k 则 k k k 又 y k( ) y k( ) y y 所以 k k ( y )( ) ( y)( ) [ k( )]( ) [ k( )]( ) ( )( ) 9 ( ) ( ) k[ ( ) 6] 9 ( ) k 6k ( ) k[ 6] k k (k ) 6k k 6(k ) 9 k k 综上得 k k为常数 ( 朝阳一模文 9)( 本小题满分分 ) 已知椭圆 C : a b 过点 A 离心率为 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; B 且斜率为 k( k ) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E F 两点直线 AE AF 分别交 ⑵ 过点直线于 M N 两点线段 MN 的中点为 P 记直线 PB 的斜率为 k 求证 : k k 为定值 c c 解析 ⑴ 依题得解得 a b a a 所以椭圆 C 的方程为 y ⑵ 根据已知可设直线 l 的方程为 y k( ) y k( ) 得 ( ) 8k y 由 8

15 设 E( y ) F( y ) 则 8k y y 直线 AE AF 的方程分别为 : y ( ) y ( ) y y y y 令则 M( ) N( ) 所以 P( ( )) k k( )( ) k( )( ) k k ( )( ) 所以 k 8k 8 6k 6k 6k 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : k ( ) ( ) k ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分分 ) 已知椭圆 C : ( a b ) 的两个焦点分别为 F ( ) F ( ) 点 M () 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; ⑵ 已知点 N 的坐标为 () 点 P 的坐标为 ( m n)( m ) 过点 M 任作直线 l 与椭圆 C 相交于 A B 两点设直线 AN NP BN 的斜率分别为 k k k 若 k k k 试求 mn 满足的关系式解析 ⑴ 依题意 c b 所以 a b c 故椭圆 C 的方程为 y ⑵ 当直线 l 的斜率不存在时由 y 6 解得 y 6 6 不妨设 A B 6 6 k k k k k 所以 k 因为又 n 所以 m n的关系式为即 m n m 当直线 l 的斜率存在时设直线 l 的方程为 y k( ) 将 y k( ) 代入 y 整理化简得 k 6k k 6k k 设 A y B y 则 k k y k y k 又 y y y y 所以 k k 9

16 资料分享 QQ 群 65 联系电话 k k 9 k ( ) 6k 9 k 6 k 6 k k 6k k 6k k k k 6k 9 k k n m 所以 m n 的关系为 m n 所以 k 所以 k 5 要选择参数进行设定并要对给出的几何条件或结论进行代数转化西城一模理 9 本小题满分分 5 y 已知椭圆 C : a b 的离心率为定点 M 椭圆短轴的端点是 B B a b 且 MB MB ⑴ 求椭圆 C 的方程 ⑵ 设过点 M 且斜率不为的直线交椭圆 C 于 A B 两点试问轴上是否存在定点 P 使 PM 平分 APB 若存在求出点 P 的坐标若不存在说明理由 b 5 a b b 解析 ⑴由得 e a 9 a a 依题意 MB B 是等腰直角三角形从而 b 故 a 9 ⑵设 A( y ) B ( y ) 直线 AB 的方程为 my 所以椭圆 C 的方程是将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立消去得 (m 9) y 6my 6m 所以 y y y y m 9 m 9 若 PF 平分 APB 则直线 PA PB 的倾斜角互补所以 k PA k PB y y 设 P(a) 则有 a a my y ( a)( y y ) 将 my my 代入上式整理得 (my a)(my a) 所以 my y ( a)( y y ) 6m 将 y y y y 代入上式 m 9 m 9 整理得 ( a 9) m 9 由于上式对任意实数 m 都成立所以 a 9 综上存在定点 P( ) 使 PM 平分 APB 5 西城二模理 8 文 9 本小题满分分

17 资料分享 QQ 群 65 联系电话 y m 的左顶点为 A M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点点 P m 与点 A 关于点 M 对称 9 ⑴ 若点 P 的坐标为求 m 的值 5 5 ⑵ 若椭圆 C 上存在点 M 使得 OP OM 求 m 的取值范围如图椭圆 C : 解析 ⑴依题意 M 是线段 AP 的中点 9 因为 A( ) P( ) 所以点 M 的坐标为 ( ) 解得 m 由点 M 在椭圆 C 上所以 5 5m y ⑵设 M ( y ) 则且 ① m 因为 M 是线段 AP 的中点所以 P( y ) 因为 OP OM 所以 ( ) y ② 由 ① ② 消去 y 整理得 m 所以 m 6 ( ) 8 当且仅当时上式等号成立所以 m 的取值范围是 ( ] 6 8 要选择设定恰当的参数减少计算 6 东城一模理 9 本小题共分已知椭圆 C : (a b ) 的两个焦点分别为 F F 离心率为过 F 的直线 l 与椭圆 a b C 交于 M N 两点且 MNF 的周长为 8 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ⑵ 过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A B 两点证明点 O 到直线 AB 的距离为定值并求出这个定值解析 ⑴由题意知 a 8 所以 a 因为 e b a c 所以 e 所以 b a a 所以椭圆 C 的方程为 ⑵由题意当直线 AB 的斜率不存在此时可设 A( ) B ( ) 又 A B 两点在椭圆 C 上所以

18 所以点 O 到直线 AB 的距离 d 当直线 AB 的斜率存在时设直线 AB 的方程为 y k m 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : y k m 由消去 y 得 ( k ) 8km m 8km m 由已知设 A( ) B( y ) 所以因为 OA OB 所以 y y 所以 ( k m)( k m) m 8k m 即 ( k ) km( ) m 所以 ( k ) m 整理得 m ( k ) 满足 m 所以点 O 到直线 AB 的距离 d 为定值 k ( 高考文 9)( 本小题分 ) 已知椭圆 C : y ⑴ 求椭圆 C 的离心率 ; ⑵ 设 O 为原点若点 A 在直线 y 上点 B 在椭圆 C 上且 OA OB 最小值解析 ⑴ 由题意椭圆 C 的标准方程为所以 a b 从而 c a b 因此 a c c 故椭圆 C 的离心率 e a ⑵ 设点 A B 的坐标分别为 t 其中 y 因为 OA OB 所以 OAOB 即 t 解得 t 又 y 所以 AB t y y y y 因为 y 8 且当故线段 AB 长度的最小值为 8 ( 高考理 9)( 本小题分 ) 已知椭圆 C : 求线段 AB 长度的 8 时等号成立所以 AB 8 ⑴ 求椭圆 C 的离心率 ⑵ 设 O 为原点若点 A 在椭圆 C 上点 B 在直线 y 上且 OA OB 试判断直线 AB 与圆 y 的位置关系并证明你的结论解析 ⑴ 椭圆的标准方程为 :

19 c a b 则 c 离心率 e ; a ⑵ 直线 AB 与圆 y 相切证明如下 : 设点 A B 的坐标分别为 t 其中 y 因为 OA OB 所以 OA OB 即 t 解得 t 当 t 时 t y 代入椭圆 C 的方程得 t 故直线 AB 的方程为圆心 O 到直线 AB 的距离 d 此时直线 AB 与圆 y 相切当 y t时直线 AB 的方程为 y t t y t y ty 即圆心 O 到直线 AB 的距离 d 又 y t ty y y y t 故 d y 8 6 y 此时直线 AB 与圆 y 相切资料分享 QQ 群 65 联系电话 : 是两种二次曲线要对条件进行转化让条件便于表达与计算 9 ( 海淀一模文 9)( 本小题满分分 ) 已知圆 M : ( ) y 若椭圆 C : ( ab ) 的右顶点为圆 M 的圆心离心率为 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; ⑵ 已知直线 l : y k 若直线 l 与椭圆 C 分别交于 A B 两点与圆 M 分别交于 G H 两点 ( 其中点 G 在线段 AB 上 ) 且 AG BH 求 k 的值解析 ⑴ 设椭圆的焦距为 c c 因为 a 所以 a c 所以 b 所以椭圆 C : y ⑵ 设 A ( y ) B ( y ) y k 由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A B 则 y 所以 ( k ) 则 k 8 8( k ) 所以 AB ( k ) k k

20 资料分享 QQ 群 65 联系电话 : k k 点 M ( ) 到直线 l 的距离 d 则 GH k k 显然若点 H 也在线段 AB 上则由对称性可知直线 y k 就是 y 轴矛盾因为 AG BH 所以 AB GH 8( k ) k 所以 ( ) k k 解得 k 即 k ( 海淀一模理 9)( 本小题满分分 ) 已知圆 M : y r ( r ) 若椭圆 C : ( ab ) 的右顶点为圆 M 的圆心离心率为 ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; ⑵ 若存在直线 l : y k 使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A B 两点与圆 M 分别交于 G H 两点点 G 在线段 AB 上且 AG BH 求圆 M 半径 r 的取值范围解析 ⑴ 设椭圆的焦距为 c c 因为 a 所以所以 a c b 所以椭圆 C : y ⑵ 设 A ( y ) B ( y ) y k 由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A B 则 y 所以 ( k ) 则 k 8 8( k ) 所以 AB ( k ) k k 点 M ( ) 到直线 l 的距离 d k 则 GH r k 显然若点 H 也在线段 AB 上则由对称性可知直线 y k 就是 y 轴矛盾所以要使 AG BH 只要 AB GH 8( k ) k 所以 ( r ) k k k ( k ) (k k ) k r ( ) k k k k k k k k 当 k 时 r ; 当 k 时 r ( ) ( ) k k 又显然 r ( ) 所以 r k k

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2009年课标甲乙

2009年课标甲乙绝密启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 文科数学试题答案及评分参考评分说明 :. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半

资料分享 QQ 群 65 联系电话 : ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分 分 ) 已知中心在原点 焦点在 轴上的椭圆 C 过点 离心率为 点为其右顶点 过点 A B 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E F 两点 直线 AE AF 与直线 分别交于点 M N ⑴ 求椭圆 C 的方程 ;

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