2016 西城区高三二模数学 ( 文科 ) 一. 选择题 : 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1.( 5 分 ) 设全集 U=R, 集合 A={x x>0},b={x x<1}, 则集合 ( U A) B=( ) A.(

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硕于廉
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1 2016 西城区高三二模数学 ( 文科 ) 一. 选择题 : 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1.( 5 分 ) 设全集 U=R, 集合 A={x x>0},b={x x<1}, 则集合 ( U A) B=( ) A.( -,0) B.( -,0] C.( 1,+ ) D.[1,+ ) 2.( 5 分 ) 下列函数中, 既是奇函数又在 R 上单调递减的是 ( ) A.y= B.y=e -x C.y= -x 3 D.y=lnx 3.( 5 分 ) 设 x,y 满足约束条件, 则 z=x+3y 的最大值是 ( ) A. B. C. - D.1 4.( 5 分 ) 执行如图所示的程序框图, 如果输出的 S=, 那么判断框内应填入的条件是 ( ) A.i<3 B.i<4 C.i<5 D.i<6 5.( 5 分 ) 在 ABC 中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 sin(a+b)=,a=3,c=4, 则 sina= ( ) A. B. C. D. 6.( 5 分 ) m>n>0 是曲线 mx 2 +ny 2 =1 为焦点在 x 轴上的椭圆的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件第 1 页共 13 页

2 7.( 5 分 ) 某市家庭煤气的使用量 x(m 3 ) 和煤气费 f(x)( 元 ) 满足关系 f(x)=, 已知某家庭今年前三个月的煤气费如表月份用气量煤气费一月份 4m 3 4 元二月份 25m 3 14 元三月份 35m 3 19 元若四月份该家庭使用了 20m 3 的煤气, 则其煤气费为 ( ) A.11.5 元 B.11 元 C.10.5 元 D.10 元 8.( 5 分 ) 设直线 l:3x+4y+a=0, 圆 C:( x - 2) 2 +y 2 =2, 若在直线 l 上存在一点 M, 使得过 M 的圆 C 的切线 MP,MQ(P,Q 为切点 ) 满足 PMQ=90, 则 a 的取值范围是 ( ) A.[ - 18,6] B.[6-5,6+5 ] C.[ - 16,4] D.[ - 6-5, ] 二填空题 : 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 9.( 5 分 ) 已知复数 z=(2-i)( 1+i), 则在复平面内,z 对应点的坐标为. 10.( 5 分 ) 设平面向量, 满足 = =2, ( + )=7, 则向量, 夹角的余弦值为. 11.( 5 分 ) 某四棱锥的三视图如图所示, 该四棱锥最长棱的棱长为. 12.( 5 分 ) 设双曲线 C 的焦点在 x 轴上, 渐近线方程为 y= x, 则其离心率为 ; 若点 (4, 2) 在 C 上, 则双曲线 C 的方程为. 13.( 5 分 ) 设函数 f(x)= 那么 f[f( - )]= ; 若函数 y=f(x) - k 有且只有两个零点, 则实数 k 的取值范围是. 14.( 5 分 ) 在某中学的校园微电影节活动中, 学校将从微电影的点播量和专家评分两个角度来进行评优, 若 A 电影的点播量和专家评分中至少有一项高于 B 电影, 则称 A 电影不亚于 B 电影, 已知共有 5 部微电影参展, 如果某部电影不亚于其他 4 部, 就称此部电影为优秀影片, 那么在这 5 第 2 页共 13 页

3 部微电影中, 最多可能有部优秀影片. 三解答题 : 本大题共 6 小题, 共 80 分. 解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤. 15.( 13 分 ) 已知函数 f(x)=(1+ tanx)cos 2 x. (Ⅰ) 求函数 f(x) 的定义域和最小正周期 ; (Ⅱ) 当 x (0, ) 时, 求函数 f(x) 的值域. 16.( 13 分 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 4a n -3S n =2, 其中 n N *. (Ⅰ) 求证 : 数列 {a n } 为等比数列 ; (Ⅱ) 设 b n = a n -4n, 求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. 17.( 14 分 ) 如图, 在周长为 8 的矩形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,DA 的中点. 将矩形 ABCD 沿着线段 EF 折起, 使得 DFA=60. 设 G 为 AF 上一点, 且满足 CF 平面 BDG. (Ⅰ) 求证 :EF DG; (Ⅱ) 求证 :G 为线段 AF 的中点 ; (Ⅲ) 求线段 CG 长度的最小值. 18.( 13 分 ) 某中学有初中学生 1800 人, 高中学生 1200 人. 为了解学生本学期课外阅读时间, 现采用分层抽样的方法, 从中抽取了 100 名学生, 先统计了他们课外阅读时间, 然后按初中学生和高中学生分为两组, 再将每组学生的阅读时间 ( 单位 : 小时 ) 分为 5 组 :[0,10), [10,20), [20, 30 ), [30, 40 ), [40, 50], 并分别加以统计, 得到如图所示的频率分布直方图. 第 3 页共 13 页

4 (Ⅰ) 写出 a 的值 ; (Ⅱ) 试估计该校所有学生中, 阅读时间不小于 30 个小时的学生人数 ; (Ⅲ) 从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人, 求至少抽到 1 名高中生的概率. 19.( 13 分 ) 已知函数 f(x)=. (Ⅰ) 若 f (a)=1, 求 a 的值 ; (Ⅱ) 设 a 0, 若对于定义域内的任意 x 1, 总存在 x 2 使得 f(x 2 )<f(x 1 ), 求 a 的取值范围. 20.( 14 分 ) 已知抛物线 C:x 2 =4y, 过点 P(0,m)( m>0) 的动直线 l 与 C 相交于 A,B 两点, 抛物线 C 在点 A 和点 B 处的切线相交于点 Q, 直线 AQ,BQ 与 x 轴分别相交于点 E,F. (Ⅰ) 写出抛物线 C 的焦点坐标和准线方程 ; (Ⅱ) 求证 : 点 Q 在直线 y= -m 上 ; (Ⅲ) 判断是否存在点 P, 使得四边形 PEQF 为矩形? 若存在, 求出点 P 的坐标 ; 若不存在, 说明理由. 第 4 页共 13 页

5 参考答案与试题解析一. 选择题 : 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1. 解答集合 A={x x>0}, ={x x 0}, B={x x<1}, ( U A) B={x x 0}, 故选 :B. 2. 解答 A. 反比例函数在 R 上没有单调性, 该选项错误 ; B., 图象不关于原点对称, 不是奇函数, 该选项错误 ; C.y= - x 3 的定义域为 R, 且- ( - x) 3 = - ( - x 3 ); 该函数为奇函数 ; x 增大时,x 3 增大, - x 3 减小, 即 y 减小, 该函数在 R 上单调递减 ; 该选项正确 ; D. 对数函数 y=lnx 的图象不关于原点对称, 不是奇函数, 该选项错误. 故选 C. 3. 解答由 z=x+3y 得, 作出不等式组对应的平面区域如图 ( 阴影部分 ): 平移直线由图象可知当直线经过点 A 时, 直线的截距最大, 此时 z 也最大,, 解, 即 A(, ), 代入目标函数 z=x+3y, 得 z= +3 =. 故 z=x+3y 的最大值为. 故选 :B. 第 5 页共 13 页

6 4. 解答进行循环前 i=2,s=1, 计算 S=, 应满足循环条件,i=3; 执行循环后 S= 执行循环后 S=, 应满足循环条件,i=4;, 应满足循环条件,i=5; 执行循环后 S=, 应不满足条件循环条件, 输出 S= ; 故判断框内应填入的条件是 i<5; 故选 :C. 5. 解答 A+B+C=π, sin(a+b)=sinc=, 又 a=3,c=4, =, 即 =, sina=, 故选 B. 6. 解答 m>n>0 方程 mx 2 +ny 2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 方程 mx 2 +ny 2 =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆 n>m>0, m>n>0 是方程 mx 2 +ny 2 =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆的既不充分也不必要条件. 故选 D. 第 6 页共 13 页

7 7. 解答由题意得 :C=4, 将 (25,14),( 35,19) 代入 f(x)=4+b(x - A), 得 :, 解得, f(x)=, 故 x=20 时 :f(20)=11.5, 故选 :A. 8. 解答圆 C:( x-2) 2 +y 2 =2, 圆心为 :(2,0), 半径为, 在直线 l 上存在一点 M, 使得过 M 的圆 C 的切线 MP,MQ(P,Q 为切点 ) 满足 PMQ=90, 在直线 l 上存在一点 M, 使得 M 到 C(2,0) 的距离等于 2, 只需 C(2,0) 到直线 l 的距离小于或等于 2, 故 2, 解得- 16 a 4, 故选 :C. 二填空题 : 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 9. 解答 z=(2-i)( 1+i)=3+i, 则在复平面内,z 对应点的坐标为 :(3,1). 故答案为 :(3,1). 10. 解答 ( + )= =7, 即 4+ =7, =3, cos< >= =. 故答案为 :. 11. 解答根据三视图可知几何体是一个四棱锥, 底面是一个直角梯形,AD AB AD BC,AD=AB=2 BC=1, PA 底面 ABCD, 且 PA=2, 第 7 页共 13 页

8 该四棱锥最长棱的棱长为 PC= = =3, 故答案为 : 解答双曲线 C 的焦点在 x 轴上, 渐近线方程为 y= x, =, 即 = =e 2-1=, 则 e 2 =, 则 e=, 设双曲线方程为 - y 2 =λ,λ>0, 若点 (4,2) 在 C 上, λ= =8-4=4, 即双曲线方程为- y 2 =4, 即, 故答案为 : 13. 解答由分段函数可知 f( - )=, f[f( - )]=f( )= ; 由 y=f(x) -k=0, 得 f(x)=k. 令 y=k 与 y=f(x), 作出函数 y=k 与 y=f(x) 的图象如图 : 第 8 页共 13 页

9 由图可知, 函数 y=f(x) - k 有且只有两个零点, 则实数 k 的取值范围是. 故答案为 : ;(,+ ). 14. 解答记这 5 部微电影为 A 1 -A 5, 设这 5 部微电影为先退到两部电影的情形, 若 A 1 的点播量 >A 2 的点播量, 且 A 2 的专家评分 >A 1 的专家评分, 则优秀影片最多可能有 2 部 ; 再考虑 3 部电影的情形, 若 A 1 的点播量 >A 2 的点播量 >A 3 的点播量, 且 A 3 的专家评分 >A 2 的专家评分 >A 1 的专家评分, 则优秀影片最多可能有 3 部. 以此类推可知 : 这 5 部微电影中, 优秀影片最多可能有 5 部. 故答案为 :5. 三解答题 : 本大题共 6 小题, 共 80 分. 解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤. 15. 解答 (Ⅰ) 函数 f(x) 的定义域为 {x x +kπ,k Z}, f(x)=(1+ tanx)cos 2 x=cos 2 x+ sinxcosx, = cos2x+ sin2x+ =sin(2x+ )+, f(x) 的最小正周期为 T=π. (Ⅱ) x (0, ), <2x+ <, sin(2x+ ) (-,1], f(x) (0, ], 即当 x (0, ) 时, 求函数 f(x) 的值域为 (0, ]. 第 9 页共 13 页

10 16. 解答 (Ⅰ) 证明 : 因为 4a n -3S n =2,1 所以当 n=1 时,4a 1-3S 1 =2, 解得 a 1 =2; 当 n 2 时,4a n-1-3s n-1 =2,2 3 分由 1-2, 得 4a n -4a n-1-3(s n -S n-1 )=0, 所以 a n =4a n-1, 由 a 1 =2, 得 a n 0, 故 {a n } 是首项为 2, 公比为 4 的等比数列. (Ⅱ) 解 : 由 (Ⅰ), 得 a n =2 4 n-1. 所以 b n = a n -4n=4 n-1-4n, 则 {b n } 的前 n 项和 T n =( n - 1 ) - 4( n)= - 4 = - 2n 2-2n 解答 (Ⅰ) 证明 : 因为在折起前的矩形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,DA 的中点, 所以 EF FD,EF FA, 又因为 FD FA=F, 所以 EF 平面 DFA. (2 分 ) 又因为 DG 平面 DFA, 所以 EF DG. (4 分 ) (Ⅱ) 证明 : 因为在折起前的矩形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,DA 的中点, 所以在立体图中,AB EF CD. 即在立体图中, 四边形 ABCD 为平行四边形. 连接 AC, 设 AC BD=O, 则 AO=CO. (6 分 ) 又因为 CF 平面 BDG,CF 平面 ACF, 平面 ACF 平面 BDG=OG, 所以 CF OG, 所以在 ACF 中,OG 为中位线, 即 G 为线段 AF 的中点. (9 分 ) (Ⅲ) 解 : 因为 G 为线段 AF 的中点, DFA=60. 所以 DFA 为等边三角形, 且 DG FA, 又因为 EF DG,EF FA=F, 所以 DG 平面 ABEF. 设 BE 的中点为 H, 连接 GH,CH, 易得四边形 DGHC 为平行四边形, 第 10 页共 13 页

11 所以 CH 平面 ABEF, 所以 CG 2 =GH 2 +CH 2. (11 分 ) 设 DF=x, 由题意得 CH=DG= x,gh=cd=4-2x, 所以 CG 2 =(4-2x) 2 +( x) 2 = x 2-16x+16, (13 分 ) 所以当 x= 时,CG 2 min=. 所以线段 CG 长度的最小值为. (14 分 ) 18. 解答 (Ⅰ) 由频率分布直方图得 ( a+0.040) 10=1, a=0.03. (3 分 ) (Ⅱ) 由分层抽样, 知抽取的初中生有 60 名, 高中生有 40 名. (4 分 ) 初中生中, 阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为 ( ) 10=0.25, 所有的初中生中, 阅读时间不小于 30 个小时的学生约有 =450 人, (6 分 ) 同理, 高中生中, 阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为 ( ) 10=0.35, 学生人数约有 =420 人. 该校所有学生中, 阅读时间不小于 30 个小时的学生人数约有 =870 人. (8 分 ) (Ⅲ) 记从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人, 至少抽到 1 名高中生为事件 A, (9 分 ) 初中生中, 阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 =0.05, 样本人数为 =3 人. 高中生中, 阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 =0.05, 样本人数为 =2 人. (10 分 ) 记这 3 名初中生为 A 1,A 2,A 3, 这 2 名高中生为 B 1,B 2, 则从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人, 所有可能结果有 10 种, 即 :(A 1,A 2 ),(A 1,A 3 ),(A 1,B 1 ),(A 1,B 2 ),(A 2,A 3 ),(A 2,B 1 ),(A 2,B 2 ),(A 3,B 1 ),(A 3,B 2 ), (B 1,B 2 ), 而事件 A 的结果有 7 种, 它们是 :(A 1,B 1 ),( A 1,B 2 ),( A 2,B 1 ),( A 2,B 2 ),( A 3,B 1 ),( A 3,B 2 ), (B 1,B 2 ), 第 11 页共 13 页

12 至少抽到 1 名高中生的概率 P(A)=. (13 分 ) 19. 解答 (Ⅰ) 解 : 函数 y=f(x) 的定义域 D={x x R 且 x -a}, 由题意,f (a) 有意义, 所以 a 0. 求导, 得 f (x)= -. (3 分 ) 所以 f (a)= =1, 解得 :a=±. (5 分 ) (Ⅱ) 解 : 对于定义域内的任意 x 1, 总存在 x 2 使得 f(x 2 )<f(x 1 ), 等价于 f(x) 不存在最小值. (6 分 ) 1 当 a=0 时, 由 f(x)=, 得 f(x) 无最小值, 符合题意. (8 分 ) 2 当 a<0 时, 令 f (x)=0, 得 x= -a 或 x=3a. (9 分 ) 随着 x 的变化时,f (x) 与 f(x) 的变化情况如下表 : x ( -, 3a (3a, - - a ( - a,+ 3a) a) ) f (x) 不存在 - f(x) 极小不存在 (11 分 ) 所以函数 f(x) 的单调递减区间为 (-,3a),( -a,+ ), 单调递增区间为 (3a,-a). 因为当 x>a 时,f(x)= >0, 当 x<a 时,f(x)<0, 所以 f(x) min =f(3a). 所以当 x 1 =3a 时, 不存在 x 2 使得 f(x 2 )<f(x 1 ). 综上所述,a 的取值范围为 a {0}. (13 分 ) 20. 解答 (Ⅰ) 解 : 焦点坐标为 (0,1), 准线方程为 Y= - 1. (2 分 ) (Ⅱ) 证明 : 由题意, 知直线 l 的斜率存在, 故设 l 的方程为 y=kx+m. 由方程组得 x 2-4kx - 4m=0, 由题意, 得 =16k 2 +16m>0. 设 A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ), 则 x 1 +x 2 =4k,x 1 x 2 = - 4m, (4 分 ) 第 12 页共 13 页

13 由抛物线方程 x 2 =4y, 得 y= x 2, 所以 y = x, 所以抛物线在点 A 处的切线方程为 y- = x 1 (x-x 1 ), 化简, 得 y= x 1 x- 同理, 抛物线在点 B 处的切线方程为 y= x 2 x- (6 分 ) 联立方程, 得 x 1 x- = x 2 x- 即 (x 1 -x 2 )x= (x 1 -x 2 )( x 1 +x 2 ), 因为 x 1 x 1, 所以 x= (x 1 +x 2 ), 代入, 得 y= x 1 x 2 = -m, 所以点 Q( (x 1 +x 2 ), -m), 即 Q(2k, -m) 点 Q 在直线 y= -m 上. (8 分 ) (Ⅲ) 解 : 假设存在点 P, 使得四边形 PEQF 为矩形, 由四边形 PEQF 为矩形, 得 EQ FQ,AQ BQ k AQ k BQ = -1, x 1 x 2 = -1, x 1 x 2 = (-4m)=-1, m=1,p(0,1) 下面验证此时的四边形 PEQF 为平行四边形即可. 令 y=0, 得 E( x 1,0). 同理得 F( x 2,0). 所以直线 EP 的斜率为 k EP = =, 直线 FQ 的斜率 k FQ = =, (12 分 ) 所以 k EP =k FQ, 即 EP FQ. 同理 PF EQ. 所以四边形 PEQF 为平行四边形. 综上所述, 存在点 P(0,1), 使得四边形 PEQF 为矩形. (14 分 ) 第 13 页共 13 页

2016 西城区高二 ( 下 ) 期末数学 ( 文科 ) 一选择题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的 ) 1.( 5 分 ) 已知集合 A={x R 0<x<1},B={x R x (2x-1)>0}, 则 A B=( )

2016 西城区高二 ( 下 ) 期末数学 ( 文科 ) 一选择题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的 ) 1.( 5 分 ) 已知集合 A={x R 0