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岭孙
5 years ago
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1 初二秋季第四讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换旋转习题. 为等边内一点, = 3, = 3, 求证 : 以为边可以构成一个三角形, 并确定所构成的三角形的各内角的度数. 解析绕点旋转到 ', 可得 ' 就是以为边构成的三角形, 则 ' = 3 60 = 63, ' = 3 60 = 53, ' = = 64, 即三角形各个内角度数分别为和 64 习题. 如图, 是正内一点, = 30, 将绕点逆时针方向旋转 60 得到 ', 连结 ', 当为多少度时, ' 是等腰三角形? ' 解析令 = α, 则 = 30 α, 易得 ' 中, ' = α 60, ' = 70 α, 从而 ' = 70 显然, 当 α = 30, 00, 5 时, ' 是等腰三角形习题 3. 如图所示, 是等边中的一点, =, = 3, = 4, 试求的边长. 解题是一种实践性的技能, 就像游泳滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿练习和钻研学到它玻利亚 / 9

2 解析由于有等边三角形, 故可考虑将绕点旋转 60, 使出现在一个三角形中, 从而构造出一个直角三角形. 将绕点逆时针旋转 60, 则与重合, 点转至点, 点转至点, 连接, 如图所示, 有 = =, =, = 60. 故为等边三角形, = = 3, 在中, = 4 = + ( 3) = +, 故 = 90, =, 从而有 = 30, 故 = + = = 90. 所以, 在 Rt 中, = + = 4 + ( 3) = 8, = 7. 习题 4. ⑴ 如图所示, 在四边形中, =, = 60, = 0, 证明 : + =. ⑵ 如图所示, 在四边形中,=, = 60, 为四边形内部一点, = 0, 证明 : + +. 解析 ⑴( 思想 : 以为旋转中心将旋转 60 到 ) 如图所示, 延长至, 使 =. 连接, 由 = 0 可知 = 60, 又由 = 可知为等边三角形, 即有 = =, = 60. 解题是一种实践性的技能, 就像游泳滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿练习和钻研学到它玻利亚 / 9

3 又因 =, = 60, 连接, 可知为等边三角形, 即 = =, = 60. 在和中, 由 = 可得 : = + = + =. 而 =, =, 故. 于是 = = + = +, 即 + =. ' ⑵( 思想, 以为旋转中心, 将旋转 60 到 ) 如图所示, 在四边形外侧作等边, 由 = 0 可知四边形符合 () 的条件, 连接, 则 = +. 连接, 则易知 +, 即 + +. 此时, 解题的目标是证明 =. 因为是等边三角形, 故 =, = 60. 连接, 易知为等边三角形, 故 =, = 60. 在和中, = + = + =, =, =, 故. 从而 =. 故 + +. 解题是一种实践性的技能, 就像游泳滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿练习和钻研学到它玻利亚 3 / 9

4 习题 5. 如图, 已知在中, =, = 90, 点是上的任意一点, 探究 : + 与的关系, 并证明你的结论. 解析探究得到的关系为 : + =. 证明 : 以为边向三角形外作 =, 且 =, 连接. 在和中 = = = =, = + = 90 又 = + = 90 即 = 90 同理 = 90 = + = + + = + =, = + = + 即 = +. 习题 6. 是等腰 Rt 斜边所在直线上的两点, 满足 = 35 ; 求证 : + =. 解题是一种实践性的技能, 就像游泳滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿练习和钻研学到它玻利亚 4 / 9

5 解析将绕点逆时针旋转 90 得到 ', 证明与 ' 全等即可. ' 习题 7. 问题 : 如图, 在菱形和菱形 FG 中, 点,, 在同一条直线上, 是线段 F 的中点, 连结 G,. 若 = F = 60, 探究 G 与的位置 G 关系及的值. G 图 F 图 G F 小聪同学的思路是 : 延长 G 交于点 H, 构造全等三角形, 经过推理使问题得到解决. 请你参考小聪同学的思路, 探究并解决下列问题 : G ⑴ 写出上面问题中线段 G 与的位置关系及的值 ; ⑵ 将图中的菱形 FG 绕点顺时针旋转, 使菱形 FG 的对角线 F 恰好与菱形的边在同一条直线上, 原问题中的其他条件不变 ( 如图 ). 你在 ⑴ 中得到的两个结论是否发生变化? 写出你的猜想并加以证明. G 解析 ⑴ 线段 G 与的位置关系是 G ; 3 =. ⑵ 猜想 :⑴ 中的结论没有发生变化. H G 证明 : 如图, 延长 G 交于点 H, 连结 H, G. F 是线段 F 的中点, F =. 解题是一种实践性的技能, 就像游泳滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿练习和钻研学到它玻利亚 5 / 9

6 由题意可知 FG. GF = H. 又 GF = H, GF H, G = H, GF = H. 四边形是菱形, =, H = = 60. 由 = F = 60, 且菱形 FG 的对角线 F 恰好与菱形的边在同一条直线上, 可得 G = 60. H = G. 四边形 FG 是菱形, GF = G, H = G. H G, H = G, H = G. H + H = G + H = 0, 即 HG = 0. H ⑶ G G = G, H = G, G, G = H = =. = tan ( 90 α ). 证明过程略. 习题 8. 已知 : 在 Rt 中, =, 在 Rt 中, =, 连结, 取的中点, 连结和. ⑴ 若点在边上, 点在边上且与点不重合, 如图, 探索的关系并给予证明 ; ⑵ 如果将图中的绕点逆时针旋转小于 45 的角, 如图, 那么 ⑴ 中的结论是否仍成立? 如果不成立, 请举出反例 ; 如果成立, 请给予证明. 图图 ⑶ 如图, 例题条件不变, 将等腰直角三角形绕点按逆时针方向旋转 45 o, 结论 : 为等腰直角三角形, 成立吗? ⑷ 如图将等腰直角三角形绕点按逆时针方向旋转 90 o, 其余条件不变, 结论 : 为等腰直角三角形还成立吗? 解题是一种实践性的技能, 就像游泳滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿练习和钻研学到它玻利亚 6 / 9

7 解析 ⑴ =, 在 Rt 中, 是斜边的中点, = = =. =. 在 Rt 中, 是斜边的中点, = = =. =. =, + = ( + ) + = = 45, = = 90, 即. ⑵ 当 Δ 绕点逆时针旋转小于 45 的角时, ⑴ 中的结论成立. 连结, 延长至点 F, 使得 = F, 连结 F F, 延长交于点 H. F H = F, = F, =, 四边形 F 是平行四边形. F, =, = F. F, H = F. = 45 H = H = H 45, ( ) F = F 45, = F. 又 =, F. = F, = F. 解题是一种实践性的技能, 就像游泳滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿练习和钻研学到它玻利亚 7 / 9

8 + = F +, F = = 90. 在 Rt F 中, 由 = F, = F, 得 = 且. ⑶ 延长交于点 T, T 为等腰直角三角形,, = T 又 =, 又 = T T, = T, = T = = T, = T. = T, T, 结论得证 ⑷ 延长交于 H, 连结 H, 由上题易知 H, = H 又 =, H = =, = H H, = H, = H H = 90 o, = = 45 o, 结论得证习题 9. 如图所示, 在中, = 0, 是内部一点, 试比较 + + 与 + 的大小关系. 解析如图所示, 将绕点逆时针旋转 60, 得到 Q, 连接 Q, 则 Q =, =, Q =, 解题是一种实践性的技能, 就像游泳滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿练习和钻研学到它玻利亚 8 / 9

9 = Q, 与 Q 均为等边三角形, 从而 Q = 60, =, Q =. 而 + = 80, 故三点共线. 因此 + + = Q+ Q+ > = + = +, 即 + + > +. 习题 0. 在矩形中, = 600, = 000, 是内部一点,Q 是边上任意一点, 试确定点 Q 的位置, 使得 + + Q最小, 并求出这个最小值. Q 解析点 Q 是边的中点, 点在的中垂线上, 满足 = = 0. 最小值为 ' H Q 解题是一种实践性的技能, 就像游泳滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿练习和钻研学到它玻利亚 9 / 9

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<4D F736F F D20B3F5B6FEC7EFBCBEB5DAC8FDBDB2BFCEBAF3D7F7D2B5B4F0B0B8A3A8BCE2B6CBB0E0A3A92E646F63> 初二秋季第三讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换旋转习题. ⑴ 请在下列网格图中画出所给图形绕点 O 顺时针依次旋转 90 80 70 后所成的图形.( 注意 : 有阴影部分图形旋转后的对应图形要涂上阴影. 不要求写画法 ) ⑵ 如图作出绕旋转中心逆时针旋转 75 得到的图形. 解析 ⑴ 在方格纸上旋转 90 实际上就是找出某些直线的垂线先选几个关键点找出这几个关键点与旋转中心连线的垂线