2008年全国初中数学联合竞赛

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1 06 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在 评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数 一 选择题 :( 本题满分 分, 每小题 7 分 ) 第一试 () 用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, 把 x [ x] 称为 x 的小数部分 已知 t,a 是 t 的小数部分, b 是 t 的小数部分, 则 ( ) b a 答 D t, 而, a t 又 t, 而, b t ( ) b a ( ) 三种图书的单价分别为 0 元 元和 0 元, 某学校计划恰好用 00 元购买上述图书 0 本, 那么 不同的购书方案共有 9 种 0 种 种 D 种 答 ( ) 设购买三种图书的数量分别为 abc,,, 则 a b c 0,0a b 0c 00, 易得 b 0 a, c 0 a, 于是 a 有 种可能的取值 ( 分别为 0,,,,,,6,7,8,9,0) 对于每一个 a 值, 对应地可求出唯一的 b 和 c, 所以, 不同的购书方案共有 种 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差, 则称这个正整数为 和谐数 如 : ( ), 6, 和 6 均为 和谐数 那么, 不超过 06 的正整数中, 所有的 和谐数 之和为 D96 答 ( ) 注意到 (k ) (k ) ( k ), 由 ( k ) 06 得 k 0 取 k =0,,,,,,6,7,8,9, 即得所有的不超过 06 的 和谐数, 它们的和为 [ ( ) ] ( ) ( 6 ) (9 7 ) 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 页 ( 共 7 页 )

2 已知 O 的半径 OD 垂直于弦, 交 于点, 连接 O 并延长交 O 于点 E, 若 =8,D =, 则 E 的面积为 ( ) 6 D8 答 E 设 O x, 则 O OD x, 在 Rt O 中, 由勾股定理得 O O, O 即 x ( x ), 解得 x 又 O 为 E 的中位线, 所以 E O 6 所以直角 E 的面积为 E D 如图, 在四边形 D 中, D 90,, D, 对角线的交点为 M, 则 DM = ( ) D 答 D H 作 H D 于点 H, 易知 MH MD, 所以 D M H M M, 又 D, 所以 M H M D 设 M x, 则 M x 在 Rt M 中, 可得 H M M x x 所以, 由 式得 x x x x, 解得 x ( 另一解 x 舍去 ) 所以 M, DM M D 6 设实数 x, y, z 满足 x y z, 则 M xy yz xz 的最大值为 ( ) D 答 M xy yz xz xy (y x)( x y) [ y ( x ) y ( x ) ] x x ( x ) ( y x ) ( x ), 所以 M xy yz xz 的最大值为 二 填空题 :( 本题满分 8 分, 每小题 7 分 ) x xy y x y ( y x ) x x 06 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 页 ( 共 7 页 )

3 已知 的顶点 在反比例函数 y ( x 0) 的图象上, 90, =0, x x 轴, 点 在点 的上方, 且 =6, 则点 的坐标为 答 (,) 作 D 于点 D, 易求得 D, D 设 m (, ), m n (, ), 结合题意可知 n n m 0, Dn (, ), 所以 D n m, D, 故 n m m m n, m n, 联立解 得 m, n 所以, 点 的坐标为 (,) 在四边形 D 中, // D, 平分 D,O 为对角线的交点, D O, OD, 则 = 答 6 因为 // D, 平分 D, 所以 D D, 所以 D D, 又 D O, 所以 D O, 所以 DO OD 记 D D =, DO OD O D 又 // D, 所以 DO O, 结合 D O 可得 O, 且 O O 又 OD, 所以 O OD, 所以 OD OD 结合图形可得 : 且 80, 解得 6, 7 所以 D D 7, 所以 D D D, 所以 D D, 于是可得 D D 6 有位学生忘记写两个三位数间的乘号, 得到一个六位数 这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积 的 倍, 这个六位数是 答 67 设两个三位数分别为 x 和 y, 由题设知 000x y xy 由 式得 y xy 000 x (y 000) x, 故 y 是 x 的整数倍, 不妨设 y tx ( t 为正整数 ), 代入 000 t 000 t 000 式得 000 t tx, 所以 x 因为 x 是三位数, 所以 x 00, 从而可得 t, t t 99 又 t 为正整数, 故 t 的可能的取值只能是,, 验证可知 : 只有 t = 符合题意 所以 t =, x 67, y, 所求的六位数为 67 将 个 个 个 个 个 共 个数填入一个 行 列的表格内 ( 每格填入一个数 ), 使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 考虑每列中各数之和, 设这 个和的最小值为 M, 则 M 的 最大值为 答 0 06 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 页 ( 共 7 页 )

4 依据 个 分布的列数的不同情形分别求 M 的最大值 若 个 分布在同一列, 则 M =; 若 个 分布在两列中, 则由题设知这两列中出现的最大数至多为, 故 M 0, 所 以 M 0 ; 若 个 分布在三列中, 则由题设知这三列中出现的最大数至多为, 故 M 0, 所以 M 0 ; 若 个 分布在至少四列中, 则其中某一列至少有一个数大于, 与题设矛盾 综上所述, M 0 ; 另一方面, 右边给出的例子说明 M 可以取到 0 故 M 的最大值为 0 第一试 () 一 选择题 :( 本题满分 分, 每小题 7 分 ) 题目和解答与 () 卷第 题相同 题目和解答与 () 卷第 题相同 已知二次函数 y ax bx ( a 0) 的图象的顶点在第二象限, 且过点 (,0) 当 a b为整数 时, ab = ( ) 0 D 答 由于二次函数 y ax bx ( a 0) 的图象的顶点在第二象限, 且过点 (,0) 和 (0,), 故 a 0, b 0, a b 0, 所以 b 0 且 b a, 于是可得 a 0 a 当 a b a 为整数时, 因为 a, 所以 a 0 题目和解答与 () 卷第 题相同 题目和解答与 () 卷第 题相同 6 题目和解答与 () 卷第 6 题相同 二 填空题 :( 本题满分 8 分, 每小题 7 分 ), 故 a, b, 所以 ab 已知 的最大边 上的高线 D 和中线 M 恰好把 三等分, D, 则 M = 答 显然 若, 则由已知条件易知 DM D, 所以 D DM M D DM 又因为 M 平分 D, 所以, 由角平分线定理可得, 即 cos D, M 所以 D = 60, 进而可得 90, D 0 在 Rt D 中, D, D 0, 可求得 D, 所以 DM 在 Rt DM 中, 由勾股定理得 M D DM 若, 同理可求得 M 06 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 页 ( 共 7 页 )

5 题目和解答与 () 卷第 题相同 若质数 pq, 满足 :q p 0, p q 则 pq 的最大值为 答 007 由 q p 0 得 p q, 所以 pq q(q ), 显然 q(q ) 的值随着质数 q 的增大而增大, 当且仅当 q 取得最大值时 pq 取得最大值 又因为 p q, 即 p q= q, 所以 q 9 因为 q 为质数, 所以 q 的可能的取值为,9,7,,,7,,, 当 q = 时, p q =6, 不是质数 ; 当 q =9 时, p q =, 是质数 所以, q 的最大值为 9, pq 的最大值为 9=007 题目和解答与 () 卷第 题相同 第二试 () 一 ( 本题满分 0 分 ) 已知 ab, 为正整数, 求 M a ab b 能取到的最小正整数值 解因为 ab, 为正整数, 要使得 M a ab b 的值为正整数, 显然有 a 当 a 时,b 只能为, 此时 M, 故 M a ab b 能取到的最小正整数值不超过 分当 a 时,b 只能为 或 若 b =, 则 M 8; 若 b =, 则 M 7 当 a 时,b 只能为 或 或 若 b =, 则 M 8; 若 b =, 则 M ; 若 b =, 则 M 0 分 下面考虑 : M a ab b 的值能否为? 若 M, 即 a ab b, 即 a ab b, 注意到 b 为奇数, 所以 a 是奇 数, b 是偶数, 此时, a ab 被 除所得余数为, b 被 除所得余数为, 故 式不可能成立, 即 M 因此, M a ab b 能取到的最小正整数值为 0 分 二 ( 本题满分 分 ) 如图, 点 在以 为直径的 O 上,D 于点 D, 点 E 在 D 上, E, 四边形 DEFM 是正方形, M 的延长线与 O 交于点 N 证明 : FN DE 证明连接 N 为 O 的直径,D, N D 90 D, D, D,, D 分 D 又由 DEFM 为正方形及 D 可知 : 点 M 在 D 上, M O D E F N(P) 06 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 页 ( 共 7 页 )

6 DE DM EF MF N DM, N DM, N DM, D M N M N, 又 E, E N, D M M N 分 以 F 为圆心 FE 为半径作 F, 与直线 M 交于另一点 P, 显然 : F 与 切于点 E 于是, 由切割线定理可得 E M P N P, 点 N 即为点 P, 点 N 在 F 上, FN FE DE 分 三 ( 本题满分 分 ) 已知正实数 x, y, z 满足 : xy yz zx 且 ( x )( y ) ( y )( z ) ( z )( x ) () 求 的值 () 证明 :9( x y)( y z)( z x) 8 xyz( xy yz zx) ( x )( y ) ( y )( z ) ( z )( x ) 解 () 由等式 得 z( x )( y ) x( y )( z ) y( z )( x ) xyz, 展开整理得 x y z x yz xy z [ x( y z ) y( z x ) z( x y )] ( x y z) xyz, 即 xyz( xy yz xz) ( x y z)( xy yz xz) ( x y z) xyz 0, 所以 [ xyz ( x y z)]( xy yz xz ) 0 0 分 又因为 xy yz zx, 所以 xyz ( x y z) 0, 所以 xyz x y z, 因此, () 因为 x, y, z 为正数, 所以 分 9( x y)( y z)( z x) 8 xyz( xy yz zx) =9( x y)( y z)( z x) 8( x y z)( xy yz zx) = x y xy x z xz y z yz 6xyz = 所以 9( x y)( y z)( z x) 8 xyz( xy yz zx) x( y z) y( z x) z( x y) 0, 分 06 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 6 页 ( 共 7 页 )

7 第二试 () 一 ( 本题满分 0 分 ) 题目和解答与 () 卷第一题相同 二 ( 本题满分 分 ) 已知 : a b c, a b c, a b c 7 求 ( a ab b )( b bc c )( c ca a ) 的值 解因为 a b c, a b c, 所以 ( ab bc ac) ( a b c) ( a b c ) 0, 所以 ab bc ac 分 结合恒等式 a b c abc ( a b c)( a b c ab bc ac), 可得 7 abc ( ) 0, 所以 abc 0 分 而 a ab b ( a b)( a b c) ( ab bc ac) ( c) ( c) 分 同理可得 b bc c ( a), c ca a ( b), 所以 ( a ab b )( b bc c )( c ca a ) ( a)( b)( c) [6 6 ( )] 6 分 三 ( 本题满分 分 ) 如图, 在等腰 中,, D 为 边上异于中点的点, 点 关于直线 D 的对称点为点 E, E 的延长线与 D 的延长线交于点 F, 求 D F 的值 解连接 E ED F, 由题设条件可知 ED, 所以 E D 四点共圆, 于是可得 ED D 0 分又因为点 和点 E 关于直线 D 对称, 所以 ED F E 分因此 D F, 所以 F 四点共圆, 又, 所以 D F, 0 分 D D 所以 D F, 所以, 所以 D F F F 分 06 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 7 页 ( 共 7 页 )

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