习题10-1

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妩螗郑
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1 第七章空间解析几何与向量代数 1. 求点 (,-3,-1) 关于 :(1) 各坐标面 ;() 各坐标轴 ;(3) 坐标原点的对称点. 解答 :(1)xOy 面 : (, 3,1),yOz 面 : (, 3, 1),zOx 面 : (,3, 1) ()x 轴 :(,3,1 ),y 轴 :(, 3,1),z 轴 :(,3, 1) (3) (,3,1 ). 所属章节 : 第七章第一节 ; ;. 求点 (4,-3,5) 到坐标原点和各坐标轴的距离. 解答 : 点 (4,-3,5) 到坐标原点的距离为 (4 0) + ( 3 0) + (5 0) = 5, 点 (4,-3,5) 到 x 轴的距离为点 (4,-3,5) 到 y 轴的距离为点 (4,-3,5) 到 z 轴的距离为 (4 4) + ( 3 0) + (5 0) = 34, (4 0) + ( 3 ( 3)) + (5 0) = 41, (4 0) + ( 3 0) + (5 5) = 5. 所属章节 : 第七章第一节 3. 把两点 (1,1,1) 和 (1,,0) 间的线段分成两部分, 使其比等于 :1, 试求分点的坐标. x 1 y 1 z 解答 : 设分点坐标为 ( x, y, z ), 则由条件 = = =, 解得 x = 1, y =, z =, 即所 1 x y 0 z 求分点坐标为 1,, 3 3. 所属章节 : 第七章第一节 4. 设立方体的一个顶点在原点, 三条棱分别在三条坐标轴的正半轴上, 已知棱长为 a, 求各 83

2 顶点的坐标. 解答 : 各顶点的坐标为 : ( 0,0,0 ),( a,0,0 ),( 0, a,0 ),( 0,0, a),( a, a, a),( a, a,0 ),( a,0, a),( 0, a, a). 所属章节 : 第七章第一节 5. 在 yoz 平面上求一点, 使它与点 A(3,1,), 点 B(4,-,-) 和点 C(0,5,1) 的距离相等. 解答 : 设所求点为 P(0, y, z ), 则由条件有 PA = PB = PC, 故 (0 3) ( 1) ( ) (0 4) ( ) ( ) (0 0) ( 5) ( 1) + y + z = + y + + z + = + y + z, 解得 y = 1, z =. 即所求点为 (0,1, ). 所属章节 : 第七章第一节 6. 在 z 轴上求一点, 使它到点 A(-4,1,7) 和点 B(3,5,-) 的距离相等. 解答 : 设所求点为 P(0,0, z ), 则由条件有 PA = PB, 故解得 14 z = 9 (0 4) (0 1) ( 7) (0 3) (0 5) ( ) z = + + z +, 14. 即所求点为 (0,0, ) 9. 所属章节 : 第七章第一节 7. 已知向量 a 和 b 的夹角为 60, 且 a = 5, b = 8, 试求 a + b 和 a b. 解答 : 由于 a + b = ( a + b) ( a + b) = a + b + a b cosθ = 19, 代入已知条件, 即可得 a + b = 19 ; 又由于 a b = ( a b) ( a b) = a + b a b cosθ = 49, 故 a b = 7. 所属章节 : 第七章第三节 84

3 8. 设向量 a 和 b 的夹角为 (1) a b () ( 3 a b) ( a + b) π 3, 且 a = 3, b = 4, 试求 : 解答 :(1) a b = a b cosθ = 3 4 cos π = 6 ; 3 () (3 a b) ( a + b) = 3 a 4 b + 4 a b = 61. 所属章节 : 第七章第三节 9. 设 A = a + 3 b, B = 3 a b, 其中 a =, b = 1, 向量 a 和 b 的夹角为 Pr oj B A. π 3, 试求 A B 及解答 : A B = ( a + 3 b) (3 a b) = 6 a 3 b + 7 a b = 6 a 3 b + 7 a b cosθ = 8 ; 由于 B = B B = (3 a b) (3 a b) = 9 a + b 6 a b = 9 a + b 6 a b cosθ = 31, 所以 Pr oj 所属章节 : 第七章第三节 B A B A = = =. B 设 A = a + b, B = k a + b, a = 1, b =, 且 a b, 问 : A B (1)k 为何值时, A B; ()k 为何值时,A 与 B 为邻边的平行四边形面积为 6. 解答 :(1) 要使 A B, 则 A B 入条件即 k + 4, 解得 k = ;, 即 ( a + b) ( k a + b) = k a + b + ( + k) a b, 代 () 要使以 A 与 B 为邻边的平行四边形面积为 6, 即 A B = 6, 代入条件即 k = 3, 解得 k = 1或 k = 5. 85

4 所属章节 : 第七章第四节 11. 已知向量 a+3b 垂直于向量 7a-5b, 向量 a-4b 垂直于向量 7a-b, 试求向量 a 与 b 的夹角. 解答 : 因为 a+3b 7a 5b,a 4b 7a b, 所以 (a+3b) (7a 5b)=0, (a 4b) (7a b)=0, 即 7 a +16a b 15 b =0, 7 a 30a b+8 b =0, 由以上两式可得 a = b = a b, 于是 cos( a, b) = a b = 1, ( a, b) = π. a b 3 所属章节 : 第七章第三节 1. 设 [ a, b, c ] =, 求 : ( a + b) ( b + c) ( c + a),,. 解答 : ( a b) ( b c) ( c a) a b b c c a a b a c c a [ a b c] a + b, b + c, c + a = [( a + b) ( b + c)] ( c + a) = ( a b+ a c) ( c+ a) = a, b, c = 4. 所属章节 : 第七章第四节 13. 设 a = { } b = { } a 3,,6, b,1,0, 试求下列各向量的坐标 : (1) a + b ; () 1 b ; (3) 1. 3 a + b 解答 :(1) a + b = { 3,,6} + {,1,0 } = { 1, 1,6 } a b = + = ; b =, 1,0 = 1,,0 ; () { } ,,6,1,0 a + b = + = 1,, (3) a b = { } { } 所属章节 : 第七章第二节 86

5 14. 求向量 a = i + j + k 的模以及它与坐标轴之间的夹角. 解答 : a = 1 + ( ) + 1 = ; 与坐标轴的夹角余弦分别为 cos α = =,cos,cos β = = γ = =, a a a 故与坐标轴的夹角分别为 α = 60, β = 45, γ = 60. 所属章节 : 第七章第二节 15. 已知一向量的起点是 A(,-,5), 终点是 B(-1,6,7), 试求 : (1) 向量 AB 在各坐标轴上的投影 ; () 向量 AB 的模和方向余弦 ; (3) AB 的单位向量. 解答 : 由于向量 AB = { 3,8,}, 所以 (1) 向量 AB 在各坐标轴上的投影为 3, 8, ; () 向量 AB 的模 ( 3) = 77, 3 8 方向余弦为 cos α =,cos β =,cosγ = ; (3) AB 的单位向量所属章节 : 第七章第二节 AB 3 8 =,,. AB 已知向量 { 3, 1, } 的起点坐标为 (,0,-5), 求它的终点坐标. 解答 : 终点坐标为 ( 3, 1, ) + (,0, 5) = ( 5, 1, 3). 87

6 所属章节 : 第七章第二节 17. 已知向量的终点为 B(,-1,7), 它在坐标轴上的投影依次为 4-4 和 7, 求该向量起点 A 的坐标. 解答 : 起点 A 的坐标 (, 1,7 ) ( 4, 4,7) = (,3,0 ). 所属章节 : 第七章第二节 18. 已知向量 a = { } b = { } a 1,1,5, b, 3,5, 求与 a 3 b 同向的单位向量. 解答 : 由于 a 3 b = { 1,1,5 } 3{, 3,5} = { 5,10, 10} a b, 单位化, 与 a 3 b 所属章节 : 第七章第二节 a 3 b 1 1 = 5,10, 10 =,,. a 3 b a b 同向的单位向量为 { } 19. 设向量 a = { l } b = { l m} a,5, 1, b 3,,, 且 a / / b, b 试求 l 与 m 的值. ( 题目与解答不统一 ) 如果题目中向量为 a = { l,5, 1 }, b = { 3,1, m} 原参考答案, 下面按原题解答. 1 参考答案 : l = 15, m =. 5 解答 : 由于 a / / b, b 所以 l 3 所属章节 : 第七章第二节 1 a b, 则答案为 l = 15, m =. 即 = =, 解得 l = 15, m = 或 l = 15, m =. l m 已知向量 a = 3 i + j + k, b = i 3 j k, 试求 a b 与 a b. 解答 : a b = ( 3) + ( 1) = 1; 88

7 i j k { } a b = 3 1 = 5,7, 所属章节 : 第七章第四节 1. 已知 A( 1,,3) B ( 4, 4, 3) C (, 4,3) 和 D ( 8,6,6) 解答 : AB = { 3,, 6}, CD = { 6,,3} 所属章节 : 第七章第四节, Pr oj CD, 试求向量 AB AB CD 4 AB = =. CD 7 在向量 CD 上的投影.. 设直线 L 通过点 (-,1,3) 和 (0,-1,), 求点 (10,5,10) 到直线 L 的距离. 解答 : 设 A(,1,3), B(0, 1,), P(10,5,10), 点 P 到直线 L 的距离为 d, 则 PA = PB = AB = { 1, 4, 7 }, { 10, 6, 8 }, {,, 1} 1 1 利用 S PAB = PA PB, S PAB = AB d, 解得 d = 10. 所属章节 : 第七章第四节 3. 求点 (1,-3,) 关于点 (-1,,1) 的对称点. 解答 : 设 A(1, 3,), B( 1,,1), 所求点为 C( x, y, z ), 由题意知 AB = BC, 即 {,5, 1} { x 1, y, z 1} = +, 解得 C( 3,7,0). 所属章节 : 第七章第四节 4. 求以向量 a = i + 5 j, b = 3 j + 3 k, c = j 5 k 为相邻三棱的平行六面体的体积. 89

8 5 0 解答 : 由于 [ a, b, c ] 3 3 = 4, 所以所求六面体的体积为 0 5 V = [ a, b, c ] = 4. 所属章节 : 第七章第四节难度 : 三级 5. 试证 A(, 1, ), B ( 1,,1 ), C (,3,0) 和 ( 5,0, 6) D 四点共面. 解答 : 由题意 AB = { 1,3,3 }, AC = { 0,4, }, AD = { 3,1, 4} [ AB, AC, AD] 4, 所以 A, B, C, D 四点共面. 所属章节 : 第七章第四节难度 : 三级 3 1 4, 由于 6. 确定球面 x + y + z x + 4y 4z 7 的球心和半径. 参考答案 : 球心 ( ) 1,,, R = 4. ( 本题参考答案有误 ) 解答 : 将原方程 x + y + z x + 4y 4z 7 配方, 得 ( x 1) + ( y + ) + ( z ) = 9, 故球心为 (1,,), 半径为 R = 3. 所属章节 : 第七章第五节 7. 一球面过坐标原点和 A(,0,0) B ( 1,1,0 ) C ( 1,0, 1) 参考答案 : ( ) x 1 + y + z = 1. 三点, 试确定该球面的方程. 解答 : 设球面的方程为 ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = R, 将它所经过的四个点的坐标代入,

9 即可解得 x0 1, y0 z0 0, R 1 = = = =, 即球面方程为 ( ) x y z 所属章节 : 第七章第五节 = 试求与 M (, 1,3 ) M ( 4,1, ) 1 参考答案 : 4x + 4y 10z = 7. 距离相等的点的轨迹方程. 解答 : 设动点坐标为 P( x, y, z ), 则由条件有 PM1 = PM, 故有 ( x ) ( y 1) ( z 3) ( x 4) ( y 1) ( z ) = + + +, 化简得 4x + 4y 10z = 7. 所属章节 : 第七章第五节 9. 指出下列方程所表示的曲面 : (1) x y 1 = 1 ; x y () = 1; 4 9 y z (3) + = 1; (4) z = + y 4 9 解答 :(1) 母线平行于 z 轴的圆柱面 ; () 母线平行于 z 轴的双曲柱面 ; (3) 母线平行于 x 轴的椭圆柱面 ; (4) 母线平行于 x 轴的抛物柱面. 所属章节 : 第七章第五节 30. 说明下列旋转曲面是如何形成的并写出其名称 : y (1) x + z = 1; () x + y = 4 z; 4 91

10 z x + y (3) = 1; (4) x + y = 4z 16 9 y y x = 1, z = 1, 解答 :(1) 旋转单叶双曲面, 它是由双曲线 4 或 4 绕 y 轴旋转而成 ; z x x 4 z, () 旋转抛物面, 它由抛物线 = y 4 z, 或 y = 绕 z 轴旋转而成 ; x z x z y = 1, = 1, (3) 旋转双叶双曲面, 它是由双曲线 16 9 或 16 9 绕 z 轴旋转而成 ; y x x = 4 z, (4) 圆锥面, 它由相交的两条直线 y 4 z, 或 y = 绕 z 轴旋转而成. x 所属章节 : 第七章第五节 31. 建立下列旋转曲面的方程 : z 5x (1) 曲线 L : =, 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面 ; y y z ()yoz 平面上的椭圆 + = 1绕 z 轴旋转一周所生成的曲面 ; 4 9 (3)xOy 平面上的双曲线 4x 9y = 36绕 y 轴和 x 轴旋转一周所生成的曲面 ; y = x (4) 直线, 绕 x 轴旋转一周所生成的曲面. z 解答 :(1) y + z = 5 x; x y z () + + = 1; (3) 绕 y 轴 : 4x 9y + 4z = 36, 绕 x 轴 : 4x 9y 9z = 36; (4) x y z 4. 9

11 所属章节 : 第七章第五节 3. 指出下列方程所表示的曲线 : x y z 5. (1) + + = x = 3; y z = 1 (3) 9 4 ; x x + y + + z = 1 4 5, y + 1 ; () ( ) ( ) 4 (4) x = y ; z = 1 x y z + + = 1 (5) ; x. 解答 :(1) 平面 x=3 上的圆 ; () 平面 y=-1 上的圆 ; (3) 平面 x= 上的双曲线 ; (4) 平面 z=1 上的抛物线 ; (5) 平面 x= 上的椭圆. 所属章节 : 第七章第五节 x y z 36, 33. 求曲线 + + = 在 xoy 平面上的投影曲线. z = ( 原参考答案有误 ) x y 3 解答 : 在所给方程中消去 z, 得 x + y = 1, 加上 z, 即得 + =. z 所属章节 : 第七章第五节 z x y, 34. 求曲线 = + 在 xoy 平面上的投影曲线. x + y + z = 1 93

12 1 1 3 解答 : 在所给方程中消去 z, 得 x + + y + = x + y + + =. z 所属章节 : 第七章第五节, 加上 z, 即得 35. 求下列曲线在 xoy 平面上的投影 : x + y + 4z = 1, (1) x = y + z ; x + y = 4, () x y + z = 1. 5x 3y 1 解答 :(1) 在所给方程中消去 z, 得 5x 3y = 1, 加上 z, 即得 = ; z () 在所给方程中消去 z, 得 x + y = 4, 加上 z, 另外由 x y + z = 1 知 x y 4 y = x + z + 1, 故 y 1, 于是投影曲线为 + = z 且 y 1. 所属章节 : 第七章第五节 x + y + z = 1, 36. 求曲线在各坐标面上的投影 :? x + y + ( z 1) = 1 3 x + y =,, 解答 :xoy 面 : 4 z yoz 面 : z 1 = 0, 且 x y 3 ; xoz 面 : z 1 = 0, 且 x y 3. 所属章节 : 第七章第五节 37. 求下列各平面的方程 : 94

13 (1) 平行与 ( 于 )Oy 轴, 且通过点 (1,-5,1) 和 (3,,-); () 通过 Ox 轴和点 (4,-3,-1); (3) 平行于 xoz 平面, 且通过点 (3,,-7). 解答 :(1) 由于所求平面平行于 Oy 轴, 故可设方程为 Ax + Cz + D, 将另外两点坐标代入即得 3x + z 5 ; () 由于所求平面通过 Ox 轴, 故可设方程为 By + Cz, 将另一点坐标代入即得 y 3z ; (3) 由于所求平面平行于 xoz 平面, 故可设方程为 By + D, 又通过点 (3,, 7), 故 y =. 所属章节 : 第七章第六节 38. 设点 P(3,-6,) 为原点到一平面的垂足, 求该平面的方程. OP 解答 : 法向量为 n = = { 3, 6,} 3x 6y + z 49. 所属章节 : 第七章第六节, 所求平面的方程为 3( x 3) 6( y + 6) + ( z ), 即 39. 求通过两点 (8,-3,1) 和 (4,7,), 且垂直于平面 3x + 5y z 1 的平面方程. 解答 : 由条件可设法向量为由点法式方程得 n = { 4,10,1} { 3,5, 1} = { 15, 1, 50}, 15x + y + 50z 167. 所属章节 : 第七章第六节 95

14 40. 求通过点 ( 1,,1) P 且垂直于两平面 x + y 和 5y + z 的平面方程. 解答 : 由条件可设法向量为由点法式方程得 n = { 1,1,0 } { 0,5,1} = { 1, 1,5 }, x y + 5z 4. 所属章节 : 第七章第六节 41. 求一个通过点 ( 1, 5,1) 和 ( 3,, 1) 解答 : 由条件可设法向量为由点法式方程得 n = {,7, } { 0,1,0} = {,0, }, x + z. 所属章节 : 第七章第六节且平行 y 轴的平面方程. 4. 求 a 和 b 的值, 使 : (1) 平面 x + ay + 3z 5 与 bx 6y z + 平行 ; () 平面 3x 5y + az 3 与 x + 3y + z + 5 垂直. 解答 :(1) 要使平面 x + ay + 3z 5 与 bx 6y z + 平行, 则两个法向量平行, 故有 a 3 b = 6 = 1, 解得 a = 18, b = ; 3 () 要使平面 3x 5y + az 3 与 x + 3y + z + 5 垂直, 必须两个法向量垂直, 故有 ( 5) 3+ a, 解得 a = 6. 所属章节 : 第七章第六节 96

15 求过点 (,-3,8) 且平行于直线 x y z + = = 的直线方程解答 : 由于两直线平行, 方向向量相同, 故得所求直线方程 x y + z = =. 3 5 所属章节 : 第七章第七节 44. 求过点 (4,-,3) 且垂直于平面 x + y 3z + 1 的直线方程. 解答 : 由于所求直线垂直于已知平面, 它的方向向量与该平面的法向量相同, 即 s = { 1,, 3} x 4 y + z 3 于是所求方程为 = =. 1 3 所属章节 : 第七章第七节, x + y z 1, 45. 求过点 (-1,,1) 且平行于直线的直线方程. x + y z + 1 解答 : 已知直线的方向向量为 s = { 1,1, } { 1,, 1} = { 3, 1,1 } 1 1 于是所求直线方程为 x + y z = = 所属章节 : 第七章第七节, 所求直线方向向量与它相同, 46. 试求下列直线的标准方程 : (1) x 4 y + z = 0, 3x y z + 9 ; x 3z + 5 ; () y z + 8. 解答 :(1) 令 x, 代入方程, 求得直线上一点坐标为 (0,1,4), 方向向量为 s = {, 4,1} { 3, 1, } = { 9,7,10} x y 1 z 4 于是标准方程为 = = ; () 令 z, 代入方程, 求得直线上一点坐标为 ( 5, 8,0), 方向向量为 s = { 1,0, 3} { 0,1, } = { 3,,1},, 97

16 5 8 于是标准方程为 x + y + = = z. 3 1 所属章节 : 第七章第七节 47. 确定下列直线与平面的位置关系 : (1) x + 3 y + = 4 = z 7 3 x y z () = = 3 7 与 4x y z 3 ; 与 6x 4y + 14z 9. 解答 :(1) 直线的方向向量 s = {,7, 3}, 平面的法向量 n = { 4,, } 直线与平面平行 ; () 直线的方向向量 s = { 3,, 7}, 平面的法向量 n = { 6, 4,14} 平面垂直. 所属章节 : 第七章第七节, 易证 s n, 故所给, 易证 s n, 故所给直线与 48. 确定下列直线间的平行或垂直关系 : x + y z = 7, 3x + 6y 3z = 8, (1) 与 x + y + z = 7 x y z. x + y = 1, x y = 1, () 与 y z = 1 x z = 3. x + y z = 7, 解答 :(1) 直线 x + y + z = 7 3x + 6y 3z = 8, 直线 x y z. 由于它们平行, 所以两条直线平行 ; x + y = 1, () 直线 y z = 1 i j k ,1,5, 1 1 的方向向量为 s = = { } i j k , 3, 15, 1 1 的方向向量为 s = = { } i j k 1 1 0,1,, 0 1 的方向向量为 s = = { } 98

17 x y = 1, 直线 x z = 3. 由于它们垂直, 所以两条直线垂直. 所属章节 : 第七章第七节 i j k 1 1 0,,1, 1 0 的方向向量为 s = = { } x + y z 求直线 = = 与平面 x + 3y + 3z 8 的交点和交角. 3 1 参考答案 : ( ) ,1,1, arcsin. 154 ( 参考答案有误?) 解答 : 将直线方程 x = 3t x + y z + 1 = = 改写成参数形式 y = t +, 代入所给平面方程 3 1 z = t 1 x + 3y + 3z 8, 解得 t = 1, 再代回直线方程, 即得交点 (1,1,1); 由于直线的方向向量为 s = { 3,1, }, 平面的法向量 n = {,3,3} s n sinϕ = = =, 于是交角为 arcsin. s n 所属章节 : 第七章第七节, 所以交角的正弦为 50. 求点 (3,-1,-1) 在平面 x + y + 3z 30 上的投影. 解答 : 过已知点 ( 3, 1, 1) 向已知平面作垂线已知平面解得参数 t = 16 7 所属章节 : 第七章第七节 x = t + 3 x 3 y + 1 z + 1 = =, 参数形式为 y = t 1, 代入 1 3 z = 3t , 于是交点也即所求投影点为,,

18 x + 7 y + z 求点 (,3,1) 在直线 = = 上的投影. 1 3 解答 : 过已知点作垂直于已知直线的平面 ( x ) + ( y 1) + 3( z 1), x = t 7 再将已知直线的参数方程 y = t 代入, 即得参数 t =, 两者交点即所求投影点为 ( 5,,4). z = 3t 所属章节 : 第七章第七节 5. 在平面 x + y + z = 1上求作一直线, 使它与直线 y = 1, z = 1垂直相交. 解答 : 由于所求直线与直线 y = 1, z = 1垂直, 故可作平面平行与该已知直线, 得平面方程 x = x0 x = x 0, 联立已知平面方程 x + y + z = 1, 得一条直线, 又由于所求直线与直线 x + y + z = 1 x = x0 y = 1, z = 1相交, 将 y = 1, z = 1代入直线方程, 可得 x x + y + z = 0 = 1, 于是所求直线方程 1 x = 1 x 1 y 1 z + 1 为, 即 = =. x + y + z = 所属章节 : 第七章第七节难度 : 三级 53. 通过点 (-1,0,4) 作一直线, 使它平行于平面 3x 4y + z 10, 且与直线相交. x + 1 y 3 = = z 3 1 解答 : 过点 (-1,0,4) 作一平面, 使它平行于平面 3x 4y + z 10, 得 3x 4y + z 1, x = 3t 1 x + 1 y 3 z 由于所求直线与已知直线 = = 相交, 将已知直线方程化为参数方程 y = t + 3, 3 1 z = t 代入平面方程 3x 4y + z 1, 得交点 (,, ) 7 7 7, 此为所求直线上另一点, 过两点作出直 x + 1 y z 4 线 = =, 即为所求

19 所属章节 : 第七章第七节难度 : 三级 x + 1 y z 1 x y + 1 z 54. 求两异面直线 = = 和 = = 之间的距离解答 : 分别在两条已知直线上任取一点, 如取 P( 1,0,1), Q(0, 1,), 连接两点得向量 PQ = { 1, 1,1}, 作与两条已知直线都垂直的向量 s = { 1,1, } { 1,3,4 } = {,,} PQ s 3 则所求距离为 d = Pr oj s PQ = = =. s 1 3 所属章节 : 第七章第七节难度 : 三级, x x 1 y z 一直线通过点 (1,,1) 并与 = y = z 相交, 且垂直于直线 = =, 求它的方 3 1 程. 解答 : 过已知点 P (1,,1) 作垂直于已知直线 π :3x + y + z 8, x 1 y z + 1 = = 的平面, 得 3 1 x 它与已知直线 = y = z 交于点 Q(,, ), 连接 P, Q, 即得所求直线 x 1 y z 1 = =. 3 5 所属章节 : 第七章第七节 x + y, 56. 求通过直线且平行于直线 x = y = z 的平面方程. x y + z x + y, 解答 : 过直线的平面束为 x + y + λ( x y + z ), 即 x y + z (1 + λ) x + (1 λ) y + λz λ, 由于它与直线 x = y = z 平行, 故 (1 + λ) + (1 λ) + λ, 解得 λ =, 于是所求平面方程为 x 3y + z

20 所属章节 : 第七章第七节 x 4y + z, 57. 求通过直线且垂直于平面 4x y + z = 1的平面方程. 3x y z 9 x 4y + z 解答 : 过直线的平面束为 x 4 y + z + λ(3x y z 9), 即 3x y z 9 ( + 3 λ) x + ( 4 λ) y + (1 λ) z 9λ, 由于它垂直于平面 4x y + z = 1, 故两者的法向量平 13 行, 解得 λ =, 代回平面束方程, 即得所求平面方程 17x + 31y 37z 所属章节 : 第七章第七节 58. 过两平面 x + y z 和 x + y + z 的交线, 作两个互相垂直的平面, 且使其中一个平面通过点 A(0,1,-1). 解答 : 过两平面 x + y z 和 x + y + z 的交线的平面束方程为 x + y z + λ( x + y + z), 即 (1 + λ) x + (1+ λ) y + ( 1 + λ) z, 由于其中一个平面经过点 A(0,1, 1), 将此点坐标代入平面束方程, 得 λ =, 得到一个平面 x + 3y + 3z, 由于平面束中的另一个平面与上面平面垂直, 利用法向量垂直, 解得 9x + 8y 11z. 所属章节 : 第七章第七节难度 : 三级 10

第七章空间解析几何与向量代数

第七章空间解析几何与向量代数 7. 空间直角坐标系 7. 向量及其加减法向量与数的乘法一判断题. 点 (-,-,-) 是在第八卦限. 任何向量都有确定的方向. 任二向量,, 若. 则同向. 若二向量, 满足关系, 则, 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 反向 6. 若 c, 则 c 7. 向量, 满足, 则, 同向二填空题. 点 (,,-) 关于坐标原点对称的点是. 点 (,,-)