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敛江
4 years ago
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1 9 年 ( 第十一届 ) 全国大学生数学竞赛 ( 非数学类 ) 预赛模拟试题一填空题 ( 每小题 6 分, 共 3 分 ) 考生注意 : 考试时间 5 分钟试卷总分分. 已知 f ( ) 在 8的邻域内有连续导数, 且 lim f ( ), lim f '( ) 673, 8 8 则极限 lim t f ( u)du dt t 3 (8 ) 9 f. 设函数 f (, y ) 可微, f (, y) f (, y ) lim f (, y) cot y, 则 f (, y) si y, f (, ), 且满足 3. 设函数 f ( ) y dy, 则 f ( )d 4. 若 S 为球面 y ( z ) 的外表面, 则 S 3 5 d d d d 3 d d y z y z z y 5. 已知 lim, f ( ) lim, ( ) ( ) ( ), 则 f () - 二 ( 分 ) 计算极限 si. lim si d si si si 解 : si 3, si 3,

2 si si si d si d 3 d, 4 分 si si 由夹逼准则, lim si d d. 分而 si si t si t d d( -t) dt t t t, si si si 4 d ( )d si d. 4 分即所求极限值为. 4 f ( ) 三 ( 分 ) 设函数 f ( ) 在 [, ] 上有连续的导数, 且 lim. 证明 : 级数 f ( ) 发散, 而 ( ) f ( ) 收敛. f ( ) 证明 : 由 f ( ) 的连续性可导性以及 lim, 可知 f ( ) lim f ( ) f (), 且 lim f () 分又函数 f ( ) 在 [, ] 上有连续的导数, 有 lim f ( ) f () 由极限的保号性, 存在, 使时, f ( ) 说明 f ( ) 在 [, ] 单调递增, 且 f ( ) 分所以对正整数 m, 正数列 f ( ), f ( ), ( ), f, 单调减少, 且以 m m m 为极限分由莱布尼兹审敛法知, m ( ) f ( ) 收敛, 从而 ( ) f ( ) 收敛分 f ( ) 又 lim f (), 而发散, 所以 f ( ) 发散. 分四 ( 分 ) 设函数 f ( ) 连续, a b c 为常数, a b c,

3 {(, y, z) y z }, 试证明 : 证法一 : 利用元素法. ( )d ( ) ( )d - I f a by cz v u f u u 对于固定的 u, 作平面 Pu : a by cz u, 点 O (,, ) 到平面 P u 的距离 d u 平面 P u 与相交的充要条件是 u 4 分作平面 P : ( d ) ud u a by cz u u 平面 P u 与平面 Pu du 截成一薄片, 这一薄片可视为一扁圆柱, 扁圆柱的体积 d ( )d v u u, 这一薄片的面密度为 f ( a by cz), 这一薄片的质量为 f ( a by cz)d v ( u ) f ( u)du 于是, 由三重积分的物理意义, 4 分 ( )d ( ) ( )d - 分 I f a by cz v u f u u 证法二 : 利用三重积分的换元积分法. 作正交变换 (, y, z) (,, ), 其中第三个变换为 a by cz 在 O 坐标系中用柱面坐标, r cos, r si,, 则 4 分 I f ( a by cz)d v f ( )d v f ( )d rdrd - D 其中, D {( r, ),, r } 于是, D r r d d ( ) 4 分从而 I f ( a by cz)d v ( ) f ( )d ( u ) f ( u)du - - 分五 ( 分 ) 设为 y z ( z ) 的外侧, 连续函数 f (, y ) 满足 f (, y) ( y) ( z z )dyd z y( z z )dzd ( zf (, y) z )ddy 3

4 求 f (, y ). 解法一 : 记 I ( z z )dyd z y( z z )dzd ( zf (, y) z )ddy z 补充平面 :, 取下侧, 则 y ( z z )dyd z y( z z )dzd ( zf (, y) z )ddy z z z [ ( z )] [ y( z )] [ zf (, y) ] [ ]d d yd z y z [ (, )]d d d z f y y z d d d (, )d d d D z z z y f y y z d d d (, )d d d z y z f y y z ( )d (, )d d d z z z f y y z 4 5 f (, y)ddydz ( z z )dyd z y( z z )dzd ( zf (, y) z )ddy 分 D y ddy 于是 I ( z z )dyd z y( z z )dzd ( zf (, y) z )ddy 4 6 f (, y)ddydz f (, y)ddydz 5 5 分 f (, y) ( y) ( z z )dyd z y( z z )dzd ( zf (, y) z )ddy 即 6 f (, y) ( y) f (, y)ddydz 5 记 a f (, y)ddy dz 则 6 a ( y) ddydz a ddydz ddydz 5 6 a y y z a y ( ) d d d D 4

5 6 a ( y y) y ddy a D 6 a ( y ) y ddy a D 3 6 a d r r dr a 解得 a 分故 f (, y ) ( y ) ( ) y 分 5 z z z 解法二 : 设 a ( z )dyd z y( z )dzd ( zf (, y) )ddy 则 f (, y) ( y) a 分 z 补充平面 :, 取下侧, 则 y ( z z )dyd z y( z z )dzd ( zf (, y) z )ddy z z z [ ( z )] [ y( z )] [ zf (, y) ] [ ]d d yd z y z [ z f (, y)]ddyd z [z ( y) a]ddydz [z y 4 y a]ddydz d d r r si dr a a 4 分 ( z z )dyd z y( z z )dzd ( zf (, y) z )ddy D y ddy 分 z z z 于是 a ( z )dyd z y( z )dzd ( zf (, y) )ddy 4 6 a a

6 故 8 a 5 8 f (, y) ( y) a ( y) 5 分六 ( 分 ) 设在上半平面 D {(, y) y } 内, 函数 f (, y ) 具有连续偏导数, 且对任意 t, f t ty t f y (, ) (, ). 证明 : 对 D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线 L, 都有 yf (, y)d f (, y)dy L 证明 : 因为对任意 t, f ( t, ty) t f (, y). 两边同时对 t 求导, 则 f t ty yf t ty t f y 3 (, ) (, ) (, ) 令 t, 则 f (, y) yf (, y) f (, y) 5 分设 P(, y) yf (, y), Q(, y) f (, y), 则 P(, y) y f (, y) yf (, y), Q(, y) P(, y) f (, y) f (, y) f (, y) ( f (, y) yf (, y)) y 所以, 对 D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线 L, 都有 L yf (, y)d f (, y)dy 5 分七 ( 分 ) 设函数 f ( ) 在 [, ] 上连续, 在 (, ) 内有二阶导数, 且 f () f (), f ( ) ( (, ) ), f ( )d, 求证 : () 函数 f ( ) 在 (, ) 内恰有两个零点 ;() 至少存在一点 (, ), 使得 f ( ) f ( t)dt. 证明 : () 由 f ( ), 知曲线 y f ( ) 在 (, ) 是向上凹的, 故函数 f ( ) 在 [, ] 上有唯一的最小值点 m (, ), 且有 f ( m). 否则若 f ( ), 这与 f ( )d 矛盾. 又因为 f () f (), 所以 f (), f (). 否则会有 6

7 f ( ) ( (, ) ), 同样与 f ( )d 矛盾. 于是有 f () f ( m ), f ( ) f (). 又因 f ( ) 在 [, ] 上连续, 所以由零点定理知, 存在 (, ), m ( m, ), 使得 f ( ) f ( ). 即 f ( ) 在 (, ) 至少有两个零点. 3 分如果 f ( ) 在 (, ) 有三个零点, 由罗尔定理, 函数 f ( ) 在 (, ) 内有两个零点, 再由罗尔定理, 知函数 f ( ) 在 (, ) 内有一个零点, 这与 f ( ) 矛盾. m () 令分 F( ) f ( ) f ( t)dt 分由 f ( m ) 以及 f ( ) 单调递增, 知 f ( ), f ( ). 由 () 可知, f ( ) ( (, ) (, )), 所以于是故有 f ( )d, f ( )d f ( )d f ( )d f ( )d f ( )d F f f t t, F( ) f ( ) f ( t)dt 分 ( ) ( ) ( )d 由于 F( ) 在 [, ] (, ) 上连续, 故由零点定理, 知存在 (, ) (, ), 使得 F( ), 即有 f ( ) f ( t)dt. 分八 ( 分 ) 求顶点为 A (,, 3), 轴与平面 : y z 垂直, 且过点 B (6, 5, 5) 的圆锥面方程解 : 轴线的方程为 : y z 3 过点 B (6, 5, 5) 且垂直于轴的平面为 : ( 6) ( y 5) ( z 5) 即 y z 7 分 7

8 该平面与轴的交点为 (5, 6, 5), 与点 B (6, 5, 5) 的距离为, 分 ( 5) ( y 6) ( z 5) 因此圆锥面的准线为 y z 7 分对锥面上任一点 (, y, z ), 过该点与顶点的母线为 X Y Z 3 y z 3 它与准线的交点设为 ( X, Y, Z ), 即存在参数 t, 使得将其代入准线方程, 并消去 t 得分 X ( ) t Y ( y ) t Z 3 ( z 3) t 86 86y 43z 5y 76z 76yz 36 36y 63z 79 分 8

试卷

竞赛试卷 ( 数学专业参考答案一 (5 分在仿射坐标系中求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分即 X + Y Z...3 分又因为 l 与平行所以有联立上述两个方程解得 :