2010年高考数学（文科）上海试题

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灶童
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1 00 年高考数学 ( 文科 ) 上海试题班级学号姓名一填空题 ( 本大题满分 56 分每小题 4 分 ). 已知集合 A{3m}B{34}A B{34} 则 m.. 不等式 x x 4 0 的解集是. cos sin 行列式的值是. sin cos 若复数 zi(i 为虚数单位 ) 则 z z z. 5. 将一个总体分为 A B C 三层其个体数之比为 5:3:. 若用分层抽样方法抽取容量为 00 的样本则应从 C 中抽取个个体. 6. 已知四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 6 的正方体侧棱 PA 底面 ABCD 且 PA8 则该四棱锥的体积是. 7. 圆 C:x y x4y40 的圆心到直线 3x4y40 的距离开始 d. 8. 动点 P 到点 F(0) 的距离与它到直线 x0 的距离相等 T 9S 0 则点 P 的轨迹方程为. 9. 函数 f(x)log 3 (x3) 的反函数的图像与 y 轴的交点坐标是. 输出 TS 0. 从一副混合后的扑克牌 (5 张 ) 中随机抽取张则抽出的张均为红桃的概率为 ( 结果用最简分数表示 ). T 9.00 年上海世博会园区每天 9:00 开园 0:00 停止入园. 在是右边的框图中 S 表示上海世博会官方网站在每个整点 T T 报道的入园总人数 a 表示整点报道前个小时内入园人数则空白的执行框内应填入. 输入 a 3 n n n 3 4 n n. 在 n 行 n 列矩阵 n 中 n n 3 n n 结束记位于第 i 行第 j 列的数为 a ij (ij n). 当 n9 时 a a a 33 a 99. 否 3. 在平面直角坐标系中双曲线 Γ 的中心在原点它的一个焦点坐标为 ( 50) e () e ( ) 分别是两条渐近线的方向向量. 任取双曲线 Γ 上的点 P 若 OP ae e(a R) 则 a 满足的一个等式是.

2 4. 将直线 l :xy0 l :nxyn0 l 3 :xnyn0(nn*n ) 围成的三角形面积记为 S n 则 lim S n. n 二选择题 ( 本大题满分 0 分每小题 5 分 ) x y 3 x y 3 5. 满足线性约束条件的目标函数 zxy 的最大值是 x 0 y 0 A. B. 3 C. D.3 6. xk (kz) 是 tanx 成立的 4 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若 x 0 是方程 lgxx 的解则 x 0 属于区间 A.(0) B.(.5) C.(.5.75) D.(.75) 8. 若 ABC 的三个内角满足 sina:sinb:sinc5::3 则 ABC A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形也可能是钝角三角形三解答题 ( 本大题满分 74 分 ) 9.( 本题满分分 ) x 已知 0 x 化简 : lg(cos x tan x sin ) lg[ cos( x )] lg( sin x). 4 0.( 本题满分 4 分 ) 第小题满分 7 分第小题满分 7 分. 如图所示为了制作一个圆柱形灯笼先要制作 4 个全等的矩形骨架总计耗用 9.6 米铁丝. 再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面 ( 不安装上底面 ).

3 () 当圆柱底面半径 r 取何值时 S 取得最大值? 并求出该最大值 ( 结果精确到 0.0 平方米 ); () 若要制作一个如图放置的底面半径为 0.3 米的灯笼请作出用于制作灯笼的三视图 ( 作图时不需考虑骨架等因素 )..( 本题满分 4 分 ) 第小题满分 6 分第小题满分 8 分. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n 且 S n n5a n 85nN*. () 证明 :{a n } 是等比数列 ; () 求数列 {S n } 的通项公式并求出使得 S n >S n 成立的最小正整数 n..( 本题满分 6 分 ) 第小题满分 3 分第小题满分 5 分第 3 小题满分 8 分. 若实数 x y m 满足 xm < ym 则称 x 比 y 接近 m. () 若 x 比 3 接近 0 求 x 的取值范围 ; () 对任意两个不相等的正数 a 证明 :a a 比 a 3 3 接近 a a ; (3) 已知函数 f(x) 的定义域 D{x x kkzxr}. 任取 xdf(x) 等于 sinx 和 sinx 中接近 0 的那个值. 写出函数 f(x) 的解析式并指出它的奇偶性最小正周期最小值和单调性 ( 结论不要求证明 ) 3.( 本题满分 8 分 ) 第小题满分 4 分第小题满分 6 分第 3 小题满分 8 分. x y 已知椭圆 Γ 的方程为 ( a 0) A(0) B(0) 和 Q(a0) 为 Γ 的三 a 个顶点. () 若点 M 满足 AM ( AQ AB ) 求点 M 的坐标 ; () 设直线 l :yk xp 交椭圆 Γ 于 C D 两点交直线 l :yk x 于点 E. 若 k k a 证明 :E 为 CD 的中点 ; (3) 设点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l 使得 l 与椭圆 Γ 的两个交点 P P 满足 PPPP PQ? 令 a05 点 P 的坐标

4 是 (8). 若椭圆 Γ 上的点 P P 满足 PPPP PQ 求点 P P 的坐标. 00 年高考数学 ( 理科 ) 上海试题班级学号姓名一填空题 ( 本大题满分 56 分每小题 4 分 ). 不等式 x x 4 0 的解集是.. 若复数 zi(i 为虚数单位 ) 则 z z z. 3. 动点 P 到点 F(0) 的距离与它到直线 x0 的距离相等则点 P 的轨迹方程为. cos sin 行列式的值是. sin cos 圆 C:x y x4y40 的圆心到直线 3x4y40 的距离 d. 6. 随机变量的概率分布由下表给出 : 开始 x T 9S 0 P( =x) 则该随机变量的均值是年上海世博会园区每天 9:00 开园 0:00 停止入园. 在右边的框图中 S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数 a 表示整点报道前个小时内入园人数则空白的执行框内应填入. 8. 对于不等于的正数 a 函数 f(x)log a (x3) 的反函数的图像都经过点 P 则点 P 的坐标为. 9. 从一副混合后的扑克牌 (5 张 ) 中随机抽取张事件 A 为抽得红桃 K 事件 B 为抽得黑桃则概率 P( A B) ( 结果用最简分数表示 ). 输出 TS T 9 是 T T 输入 a 否结束

5 3 n n n 3 4 n n 0. 在 n 行 n 列矩阵 n 中记位于第 i 行第 j 列的 n n 3 n n 数为 a ij (ij n). 当 n9 时 a a a 33 a 99.. 将直线 l :nxyn0 l :xnyn0(nn*) x 轴 y 轴围成的封闭区域的面积记为 S n D 则 lim S n. n. 如图所示在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中 AC 与 BD 相交于点 O 剪去 AOB 将剩余部分沿 OC OD 折叠使 OA OB 重合则以 A(B) C D O 为顶点的四面体的体积是. 3. 如图所示直线 x x 与双曲线 : y 的渐近线 4 A y O C B 交于 E E 两点记 OE e OE e 线上的点 P 若 OP ae ( ) e a R 任取双曲则 a 满足的一个等式是. 4. 从集合 U { a c d} 的子集中选出 4 个不同的子集需同时满足以下两个条件 : O E E x () U 都要选出 ;() 对选出的任意两个子集 A 和 B 必有 A B或 A B. 那么共有种不同的选择. 二选择题 ( 本大题满分 0 分每小题 5 分 ) 5. xk (kz) 是 tanx 成立的 4 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 x t 6. 直线 l 的参数方程是 ( t R ) 则 l 的方向向量 d 可以是 y t A.() B.() C.() D.() 7. 若 x 0 是方程 x x 3 的解则 x 0 属于区间

6 A. 3 B. 3 C. 3 D 某人要作一个三角形要求它的三条高的长度分别是 3 5 则此人将 A. 不能作出满足要求的三角形 B. 作出一个锐角三角形 C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形三解答题 ( 本大题满分 74 分 ) 9.( 本题满分分 ) x 已知 0 x 化简 : lg(cos x tan x sin ) lg[ cos( x )] lg( sin x). 4 0.( 本题满分 3 分 ) 第小题满分 5 分第小题满分 8 分. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n 且 S n n5a n 85nN*. () 证明 :{a n } 是等比数列 ; () 求数列 {S n } 的通项公式并指出 n 为何值时 S n 取得最小值并说明理由. 0.( 本题满分 4 分 ) 第小题满分 5 分第小题满分 8 分. 如图所示为了制作一个圆柱形灯笼先要制作 B 4 个全等的矩形骨架总计耗用 9.6 米铁丝. 骨架将圆 8 B 7 B B 6 柱底面 8 等分. 再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面 ( 不安装上底面 ). B 5 B () 当圆柱底面半径 r 取何值时 S 取得最大值? B 3 B 4 并求出该最大值 ( 结果精确到 0.0 平方米 ); () 在灯笼内以矩形骨架的顶点为端点安装一些霓虹灯. 当灯笼底面半径为 0.3 米时求图中两根直线型霓虹灯 A B 3 A 3 B 5 所在异面直线所成角的大小 A 8 A 7 A ( 结果用反三角函数值表示 ). 6 A A A 3 A 4 A 5.( 本题满分 8 分 ) 第小题满分 3 分第小题满分 5 分第 3 小题满分 0 分. 若实数 x y m 满足 xm > ym 则称 x 比 y 远离 m. () 若 x 比远离 0 求 x 的取值范围 ; () 对任意两个不相等的正数 a 证明 :a 3 3 比 a a 远离 a a ;

7 k (3) 已知函数 f(x) 的定义域 D { x x k Z x R }. 任取 xdf(x) 等于 4 sinx 和 cosx 中远离 0 的那个值. 写出函数 f(x) 的解析式并指出它的基本性质 ( 结论不要求证明 ) 3.( 本题满分 8 分 ) 第小题满分 3 分第小题满分 6 分第 3 小题满分 9 分. x y 已知椭圆的方程为 ( a 0) 点 P 的坐标为 (a). a () 若直角坐标平面上的点 M A(0) B(a0) 满足 PM ( PA PB ) 求点 M 的坐标 ; () 设直线 l :yk xp 交椭圆 Γ 于 C D 两点交直线 l :yk x 于点 E. 若 k k a 证明 :E 为 CD 的中点 ; (3) 对于椭圆 Γ 上的点 Q(acos sin )(0< <) 如果椭圆 Γ 上存在不同的两点 P P 使 PPPP PQ 写出求作点 P P 的步骤并求出使 P P 存在的的取值范围. 文科参考答案一填空题.;.(4); 3.0.5; 4.6i; 5.0; 6.96; 7.3; 8.y 8x; 9.(0); 0. 3 ;.S Sa;.45; 3.4a; 二选择题 5.C; 6.A; 7.C; 8.C. 三解答题 9. 原式 lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx) 0. 0.() 设圆柱形灯笼的母线长为 l 则 l.r(0<r<0.6)s3(r0.4) 0.48 所以当 r0.4 时 S 取得最大值约为.5 平方米 ; () 当 r0.3 时 l0.6 作三视图略..() 当 n 时 a 4; 当 n 时 a n S n S n 5a n 5a n 所以

8 5 an ( an ) 6 又 a 5 0 所以数列 {a n } 是等比数列 ; () 由 () 知 : a n n 得 a n n 从而 Sn n 5 75 n 90 (nn*); 6 n 5 由 S n >S n 得 6 5.() x(); n log 4.9 最小正整数 n () 对任意两个不相等的正数 a 有 a a a a a 3 3 a a 3 3 因为 a a a a a a a a a ( )( ) 0 所以 3 3 a a a a a a a 即 a a 比 a 3 3 接近 a a ; (3) sin x x( k k ) f ( x) sin x x k kz sin x x ( k k ) f(x) 是偶函数 f(x) 是周期函数最小正周期 T 函数 f(x) 的最小值为 0 函数 f(x) 在区间 [ k k) 单调递增在区间 ( k k ] 单调递减 kz. a 3.() M ( ) ; y kx p () 由方程组 x y 消 y 得方程 ( a k ) x a kpx a ( p ) 0 a 因为直线 l: y kx p 交椭圆于 C D 两点所以 >0 即 a k p 0 设 C(x y ) D(x y )CD 中点坐标为 (x 0 y 0 ) x x a k p x0 a k 则 p y0 kx0 p a k

9 y kx p 由方程组消 y 得方程 (k k )xp y kx 又因为 k p a k p x x0 k k a k 所以 ak p y kx y 0 a k 故 E 为 CD 的中点 ; (3) 因为点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上所以点 F 在椭圆 Γ 内可以求得直线 OF 的斜率 k 由 PPPP PQ 知 F 为 P P 的中点根据 () 可得直线 l 的斜率 k 从而得直线 l 的方程. ak F( ) 直线 OF 的斜率 k 直线 l 的斜率 k ak y x 解方程组消 y:x x480 解得 P (64) P (83). x y 00 5 理科参考答案一填空题.(4);.6i; 3.y 8x; 4.0; 5.3; 6.8.; 7.S Sa; 8.(0); ; 0.45;.;. 6 3 ; 3.4a; 二选择题 5.A; 6.C; 7.C; 8.D. 三解答题 9. 原式 lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx) 0. 0.() 当 n 时 a 4; 当 n 时 a n S n S n 5a n 5a n 所以 5 an ( an ) 6 又 a 5 0 所以数列 {a n } 是等比数列 ;

10 () 由 () 知 : a n n 得 a n n 从而 Sn n 5 75 n 90 (nn*); 6 n 5 解不等式 S n <S n 得 6 5 n log 4.9 当 n 5 时数列 {S n } 单调递增 ; 同理可得当 n 5 时数列 {S n } 单调递减 ; 故当 n5 时 S n 取得最小值..() 设圆柱形灯笼的母线长为 l 则 l.r(0<r<0.6)s3(r0.4) 0.48 所以当 r0.4 时 S 取得最大值约为.5 平方米 ; () 当 r0.3 时 l0.6 建立空间直角坐标系可得 AB 3 ( ) AB 3 5 ( ) A B3 A3 B5 设向量 AB 3 与 AB 3 5 的夹角为则 cos A B A B 所以 A B 3 A 3 B 5 所在异面直线所成角的大小为 arccos. 3.() x( ) (. ) ; 3 3 () 对任意两个不相等的正数 a 有 a a a a a a a 3 3 因为 a a a a a a a a a ( )( ) 0 所以 3 3 (3) a a a a a a a 即 a 3 3 比 a a 远离 a a ; 3 sin x x ( k k ) f( x) 4 4 cos x x ( k k ) 4 4 性质 :f(x) 是偶函数图像关于 y 轴对称 f(x) 是周期函数最小正周期 T k k k k 3 函数 f(x) 在区间 ( ] 单调递增在区间 [ ) 单调递减 kz 函数 f(x) 的值域为 ( ]. a 3.() M ( ) ;

11 y kx p () 由方程组 x y 消 y 得方程 ( a k ) x a kpx a ( p ) 0 a 因为直线 l: y kx p 交椭圆于 C D 两点所以 >0 即 a k p 0 设 C(x y ) D(x y )CD 中点坐标为 (x 0 y 0 ) x x a k p x a k 则 p y0 kx0 p a k 0 y kx p 由方程组消 y 得方程 (k k )xp y kx 又因为 k p a k p x x0 k k a k 所以 ak p y kx y 0 a k 故 E 为 CD 的中点 ; a( cos ) ( sin ) (3) 求作点 P P 的步骤 : 求出 PQ 的中点 E( ) ( sin ) 求出直线 OE 的斜率 k a( cos ) 3 由 PPPP PQ 知 E 为 CD 的中点根据 () 可得 CD 的斜率 k a k ( cos ) a( sin ) ( sin ) ( cos ) ( cos ) 4 从而得直线 CD 的方程 : y ( a x ) a( sin ) 5 将直线 CD 与椭圆 Γ 的方程联立方程组的解即为点 P P 的坐标. 欲使 P P 存在必须点 E 在椭圆内 ( cos ) ( sin ) 所以 4 4 化简得 sin cos sin( ) 又 0< < 即所以 arcsin 故的取值范围是 (0 arcsin ). 4 4

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于