2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）

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杖桂
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1 0 北京高考数学真题 ( 文科 ) 第一部分 ( 选择题共 40 分 ) 一选择题 : 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项已知集合 A R 0, B R ( )( ) 0, 则 A B = ( ) A (, ) B (, ) C (,) D (, ) 0i 在复平面内, 复数对应的点坐标为 ( ) i A (,) B (,) C(-,) D(,-) 0 设不等式组表示的平面区域为 D 在区域 D 内随机取一个点, 则此点到坐标原点的 0 y 距离大于的概率是 ( ) 开始 A B C D 4 k=0,s= 执行如图所示的程序框图, 输出的 S 值为 ( ) A B4 C8 D6 k=k+ 5 函数 f ( ) ( ) 的零点个数为 ( ) A 0 B C D 6 已知 {a} 为等比数列下面结论中正确的是 ( ) a a a B a a a A C 若 a a, 则 a a D 若 a a, 则 a4 a 7 某三棱锥的三视图如图所示, 该三棱锥的表面积是 ( ) A B C 56 5 D 某棵果树前年得总产量 S 与之间的关系如图所示, 从目前记录的结果看, 前 m 年的年平均产量最高, m 的值为 ( ) A5 B C 9 D k< 输出 S 结束否是 ( 第 4 题图 ) S=S k 第二部分 ( 非选择题共 0 分 ) 二填空题 : 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 0 分 9 直线 y 被圆 ( y ) 4 截得的弦长为 0 已知 {a} 为等差数列, S 为其前项和若 a, S a, 则 a ; S = 在 ABC 中, 若 a, b, A, 则 C 的大小为

2 已知函数 f()=lg, 若 f ( ab), 则 f ( a ) f ( b ) 已知正方形 ABCD 的边长为, 点 E 是 AB 边上的动点, 则 DE CB 的值为 4 已知 f ( ) m( m)( m ), g( ) 若 R, f ( ) 0 或 g( ) 0, 则 m 的取值范围是三解答题 : 本大题共 6 小题, 共 80 分解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程 5( 本小题分 ) (si cos ) si 已知函数 f ( ) si () 求 f() 的定义域及最小正周期 ; () 求 f() 的单调递减区间 6 ( 本小题 4 分 ) 如图, 在 Rt ABC 中, C=90,D,E 分别是 AC,AB 上的中点, 点 F 为线段 CD 上的一点将 ADE 沿 DE 折起到 ADE 的位置, 使 AF CD, 如图 () 求证 :DE 平面 A CB; A () 求证 :AF BE; A () 线段 AB 上是否存在点 Q, 使 AC 平面 DEQ? 说明理由 D F E F D E C 图 B C 图 B 7( 本小题分 ) 近年来, 某市为了促进生活垃圾的分类处理, 将生活垃圾分为厨余垃圾可回收物和其他垃圾三类, 并分别设置了相应的垃圾箱, 为调查居民生活垃圾分类投放情况, 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 000 吨生活垃圾, 数据统计如下 ( 单位 : 吨 ): 厨余垃圾箱可回收物箱其他垃圾箱厨余垃圾可回收物其他垃圾 () 试估计厨余垃圾投放正确的概率 ; () 试估计生活垃圾投放错误的概率 ; () 假设厨余垃圾在厨余垃圾箱可回收物箱其他垃圾箱的投放量分别为 a,b,c, 其中 a 0, a b c 600 当数据 a,b,c 的方差 S 最大时, 写出 a,b,c 的值 ( 结论不要求证明 ), 并求此时 S 的值 ( 注 : 方差 s [( ) ( ) ( ) ], 其中为,,, 的平均数 )

3 8( 本小题分 ) 已知函数 f ( ) a ( a 0 ), g( ) b () 若曲线 y=f() 与曲线 y=g() 在它们的交点 (, c ) 处具有公共切线, 求 a, b 的值 ; () 当 a, b 9 时, 求函数 f()+ g() 在区间 [ k,] 上的最大值为 8, 求 k 的取值范围 9( 本小题 4 分 ) y 已知椭圆 C : ( a b 0) 的一个顶点为 A (,0), 离心率为 a b y k( ) 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程 ; (Ⅱ) 当 AMN 得面积为 0 时, 求 k 的值直线 0( 本小题分 ) 设 A 是如下形式的行列的数表, a b c d e f 满足 : 性质 P: a, b, c, d, e, f [,], 且 a b+ c+ d+ e+ f = 0 记 ri ( A ) 为 A 的第 i 行各数之和 ( i=,), c j ( A ) 为 A 的第 j 列各数之和 ( j=,,); 记 k( A ) 为 r ( A ), r ( A ), c ( A ), c ( A ), c ( A ) 中的最小值 () 对如下数表 A, 求 k( A ) 的值 ; () 设数表 A 形如 -- d d d - 其中 - d 0 求 k( A ) 的最大值 ; () 对所以满足性质 P 的行列的数表 A, 求 k( A ) 的最大值

4 一选择题答案 D 解析 A A 参考答案及试题解析, 利用二次不等式的解法可得 B 或 4, 画出数轴易得考点定位本小题考查的是集合( 交集 ) 运算和一次和二次不等式的解法答案 A 解析 0 i 0 i ( i ) i, 实部是, 虚部是, 对应复平面上的点为 (,), 故选 A i ( i)( i) 考点定位本小题主要考查复数除法的化简运算以及复平面实部虚部的概念答案 D 0 解析题目中表示的区域表示正方形区域, 而动点 D 可以存在的位置为正方形面 0 y 4 积减去四分之一的圆的面积部分, 因此 p 4, 故选 D 4 考点定位本小题是一道综合题, 它涉及到的知识包括 : 线性规划, 圆的概念和面积公式概率 4 答案 C 解析 k 0, s k, s k, s k, s 8, 循环结束, 输出的 S 为 8, 故选 C 考点定位本小题主要考查程序框图, 涉及到判断循环结束的时刻, 以及简单整数指数幂的计算 5 答案 B 解析函数 f ( ) ( ) 的零点, 即令 f()=0, 根据此题可得 ( ), 在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像, 可得交点只有一个, 所以零点只有一个, 故选答案 B 考点定位本小题表面上考查的是零点问题, 实质上考查的是函数图像问题, 该题涉及到图像幂函数和指数函数 6 答案 B 解析当 a 0, q 0 时, 可知 a 0, a 0, a 0, 所以 A 选项错误 ; 当 q 时,C 选项错误 ; 当 q 0 时, a a a q a q a 4 a, 与 D 选项矛盾因此根据均值定理可知 B 选项正确考点定位本小题主要考查的是等比数列的基本概念, 其中还涉及了均值不等式的知识, 如果对于等比数列的基本概念 ( 公比的符号问题 ) 理解不清, 也容易错选, 当然最好选择题用排除法来做 7 答案 B 解析从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥, 本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和利用垂直关系和三角形面积公式, 可得 : S 0, S 0, S 0, S 6 5, 因此该几底后右左何体表面积 S, 故选 B 考点定位本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题, 原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年者的是表面积, 因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力

5 8 答案 C 解析由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快, 超过平均值, 所以应该加入, 因此选 C 考点定位本小题知识点考查很灵活, 要根据图像识别看出变化趋势, 判断变化速度可以用导数来解, 当然此题若利用数学估计过于复杂, 最好从感觉出发, 由于目的是使平均产量最高, 就需要随着的增大, S 变化超过平均值的加入, 随着增大, S 变化不足平均值, 故舍去 9 答案解析将题目所给的直线与圆的图形画出, 半弦长为 d ( ), 以及圆半径 r l, 圆心到直线的距离构成了一个直角三角形, 因此 l ( ) r d 4 l 8 l 考点定位本小题涉及到的是直线与圆的知识, 由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆, 对于二生来说, 可能能些陌生, 直线与圆相交求弦长, 利用直角三角形解题, 也并非难题 0 答案, ( ) 4 解析 S a, 所以 a a d a d d a a d, S ( ) 4 考点定位本小题主要考查等差数列的基本运算, 考查通项公式和前项和公式的计算答案 b c a c a 解析 cos A c, 而, 故 si C C bc si C si A 考点定位本小题主要考查的是解三角形, 所用方法并不唯一, 对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案答案解析 f ( ) lg, f ( ab), lg( ab) f a f b a b ab ( ) ( ) lg lg lg( ) 考点定位本小题考查的是对数函数, 要求学生会利用对数的运算公式进行化简, 同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉答案 ; 解析根据平面向量的点乘公式 DE CB DE DA DE DA cos, 可知 DE cos DA, 因此 DE CB DA ; DE DC DE DC cos DE cos, 而 DE cos 就是向量 DE 在 DC, 所以长度为点与 B 点重合, 射影为 DC 边上的射影, 要想让 DE DC 最大, 即让射影最大, 此时 E 考点定位本题是平面向量问题, 考查学生对于平面向量点乘知识的理解, 其中包含动点问题, 考查学生最值的求法 4 答案 ( 4,0) 解析首先看 g( ) 没有参数, 从 g( ) 入手, 显然时, g( ) 0, 时, g( ) 0, 而对 R, f ( ) 0 或 g( ) 0 成立即可, 故只要时, f ( ) 0 (*) 恒成立即可当 m 0 时, f()=0, 不符合 ( * ), 所以舍去 ; 当 m 0 时, 由 5

6 f ( ) m( m)( m ) 0 得 m m, 并不对成立, 舍去 ; 当 m 0 时, 由 f ( ) m( m)( m ) 0, 注意 m 0,, 故 m 0, 所以 m 0, 即 m ( ), 又, 故 ( ) (, 4], 所以 m 4, 又 m 0, 故 m ( 4,0), 综上, m 的取值范围是 ( 4,0) 考点定位本题考查学生函数的综合能力, 涉及到二次函数的图像的开口, 根的大小, 涉及到指数函数, 还涉及到简易逻辑中的或, 还考查了分类讨论的思想, 对 m 进行讨论 5 考点定位本题考查三角函数, 三角函数难度较低, 此类型题平时的练习中练习得较多, 考生应该觉得非常容易入手解 :() 由 si 0 得 k,( k Z ), 故 f() 的定义域为 { R k, k Z} 因为 (si cos ) si f ( ) = cos (si cos ) = si cos = si( ), si 4 所以 f() 的最小正周期 T () 函数 y si 的单调递减区间为 [ k, k ]( k Z) 7 由 k k, k ( k Z) 得 k k,( k Z ) 所以 f ( ) 的单调递减区间为 [ k k ],( k Z) 考点定位本题第二问是对基本功的考查, 对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决第三问的创新式问法, 难度比较大解 :() 因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点, 所以 DE BC 又因为 DE 平面 ACB, 所以 DE 平面 ACB () 由已知得 AC BC 且 DE BC, 所以 DE AC 所以 DE A D,DE CD 所以 DE 平面 A DC 而 A F 平面 ADC, 所以 DE A F 又因为 A F CD, 所以 A F 平面 BCDE 所以 A F BE A () 线段 AB 上存在点 Q, 使 A C 平面 DEQ 理由如下 : 如图, Q 分别取 AC,AB 的中点 P,Q, 则 PQ BC P 又因为 DE BC, 所以 DE PQ 所以平面 DEQ 即为平面 DEP E D 由 () 知 DE 平面 A DC, 所以 DE A C F 又因为 P 是等腰三角形 DAC 底边 AC 的中点, 所以 AC DP, 所以 AC 平面 DEP, 从而 AC 平面 DEQ C B 故线段 AB 上存在点 Q, 使得 AC 平面 DEQ 7 考点定位此题的难度集中在第三问, 基他两问难度不大, 第三问是对能力的考查, 不要求证明, 即不要求说明理由, 但是要求学生对方差意义的理解非常深刻 () 厨余垃圾投放正确的概率约为厨余垃圾箱里厨余垃圾量 400 = = 厨余垃圾总量 () 设生活垃圾投放错误为事件 A, 则事件 A 表示生活垃圾投放正确事件 A 的概率约为厨余垃圾箱里厨余垃圾量可回收物箱里可回收物量与其他垃圾箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量, 即 P( A ), 约为 =07 所以 P(A) 约为 =0, 6

7 () 当 a 6 0 0, b c 0 时, S 取得最大值因为 ( a b c ) 00, 所以 S [(600 00) (0 00) (0 00) ] 考点定位此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目, 考醒的切线单调性极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容也是学生掌握比较好的知识点, 在题目占能够发现 F( ) 8 和分析出区间 [ k,] 包含极大值点, 比较重要解 :() f ( ) a, g( )= b 因为曲线 y=f() 与曲线 y=gf() 在它们的交点, c 处具有公共切线, 所以 f () g(), f () g() 即 a b 且 a b 解得 a, b () 记 h( ) f ( ) g( ) 当 a, b 9 时, h( ) 9, h( ) 6 9 令 h'()=0, 解得 :, ; h() 与 h'() 在 (,] 上的情况如下 : (, ) (,) (,) h () h() 8-4 由此可知 : 当 k 时, 函数 h() 在区间 [ k,] 上的最大值为 h( ) 8 ; 当 k 时, 函数 h() 在区间 [ k,] 上的最大值小于 8 因此, k 的取值范围是 (, ] 9 考点定位此题难度集中在运算, 但是整体题目难度确实不大, 从形式到条件的设计都是非常熟悉的, 相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的 a 解 :() 由题意得 c y 解得 b 所以椭圆 C 的方程为 a 4 a b c y k( ) () 由 y 得 ( k ) 4k k k 设点 M,N 的坐标分别为 (,y),(,y), 则 y k( ), y k( ),, k k 4 k ( k )(4 6 k ) 所以 MN = ( ) ( y y) = ( k )[( ) 4 ] = k k 由因为点 A(,0) 到直线 y k( ) 的距离 d, k k 4 6k k 4 6k 0 所以 AMN 的面积为 S MN d 由, 解得 k k k 0 考点定位此题作为压轴题难度较大, 考查学生分析问题解决问题的能力, 考查学生严谨的 7

8 逻辑思维能力 () 因为 r ( A ) =, r ( A), c ( A), c ( A) 07, c ( A) 8, 所以 k( A) 07 () r ( A) d, r ( A) d, c ( A) c ( A) d, c ( A) d 因为 d 0, 所以 r ( A ) = r ( A) d 0, c ( A) d 0 所以 k( A) d 当 d 0 时, k( A ) 取得最大值 () 任给满足性质 P 的数表 A ( 如图所示 ) a b c d e f * 任意改变 A 的行次序或列次序, 或把 A 中的每个数换成它的相反数, 所得数表 A 仍满足性质 P, * 并且 k( A) k( A ), 因此, 不妨设 r ( A) 0, c ( A) 0, c( A) 0, 由 k( A ) 的定义知, k( A) r ( A), k( A) c ( A), k( A) c ( A), 从而 k( A) r ( A) c( A) c( A) ( a b c) ( a d) ( b e) ( a b c d e f ) ( a b f ) a b f 因此 k( A), 由 () 知, 存在满足性质 P 的数表 A, 使 k( A), 故 k( A ) 的最大值为 8

一根据所给图表，回答下列问题。

一根据所给图表，回答下列问题。 09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷数学专业知识一选择题 ( 本大题共题每题分共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时因为 z i R 而 z i R 知故 p

2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （文）（北京卷）

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