2018年普通高等学校招生全国统一考试

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匆某岑
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1 绝密启用前注意事项 : 2018 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上 2. 作答时, 将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效 3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回一选择题 : 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1. A. B. C. D. 答案 D 解析分析 : 根据公式, 可直接计算得详解 :, 故选 D. 点睛 : 复数题是每年高考的必考内容, 一般以选择或填空形式出现, 属简单得分题, 高考中复数主要考查的内容有 : 复数的分类复数的几何意义共轭复数, 复数的模及复数的乘除运算, 在解决此类问题时, 注意避免忽略中的负号导致出错. 2. 已知集合,, 则 A. B. C. D. 答案 C 解析分析: 根据集合可直接求解. 详解 :,, 故选 C 点睛 : 集合题也是每年高考的必考内容, 一般以客观题形式出现, 一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式, 如果是离散型集合可采用 Venn 图法解决, 若是连续型集合则可借助不等式进行运算.

2 3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 答案 B 解析分析 : 通过研究函数奇偶性以及单调性, 确定函数图像. 详解 : 为奇函数, 舍去 A, 舍去 D;, 所以舍去 C; 因此选 B. 点睛 : 有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路 (1) 由函数的定义域, 判断图象左右的位置, 由函数的值域, 判断图象的上下位置 ;2 由函数的单调性, 判断图象的变化趋势 ;3 由函数的奇偶性, 判断图象的对称性 ;4 由函数的周期性, 判断图象的循环往复. 4. 已知向量, 满足,, 则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 答案 B 解析分析: 根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解 : 因为所以选 B. 点睛 : 向量加减乘 : 5. 从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务, 则选中的 2 人都是女同学的概率为 A. B. C. D.

3 答案 D 解析分析 : 分别求出事件 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务的总可能及事件选中的 2 人都是女同学的总可能, 代入概率公式可求得概率. 详解 : 设 2 名男同学为,3 名女同学为, 从以上 5 名同学中任选 2 人总共有共 10 种可能, 选中的 2 人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的 2 人都是女同学的概率为, 故选 D. 点睛 : 应用古典概型求某事件的步骤 : 第一步, 判断本试验的结果是否为等可能事件, 设出事件 ; 第二步, 分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数 ; 第三步, 利用公式求出事件的概率. 6. 双曲线的离心率为, 则其渐近线方程为 A. B. C. D. 答案 A 解析分析 : 根据离心率得 a,c 关系, 进而得 a,b 关系, 再根据双曲线方程求渐近线方程, 得结果. 详解 : 因为渐近线方程为, 所以渐近线方程为, 选 A. 点睛 : 已知双曲线方程求渐近线方程 :. 7. 在中,,,, 则 A. B. C. D. 答案 A 解析分析: 先根据二倍角余弦公式求 cosc, 再根据余弦定理求 AB. 详解 : 因为

因此累加量为隔项. 详解 : 由得程序框图先对奇数项累加, 偶数项累加, 最后再相减. 因此在空白框中应填入, 选 B.

4 所以, 选 A. 点睛 : 解三角形问题, 多为边和角的求值问题, 这就需要根据正余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系, 从而达到解决问题的目的. 8. 为计算, 设计了右侧的程序框图, 则在空白框中应填入 A. B. C. D. 答案 B 解析分析: 根据程序框图可知先对奇数项累加, 偶数项累加, 最后再相减. 因此累加量为隔项. 详解 : 由得程序框图先对奇数项累加, 偶数项累加, 最后再相减. 因此在空白框中应填入, 选 B. 点睛 : 算法与流程图的考查, 侧重于对流程图循环结构的考查. 先明晰算法及流程图的相关概念, 包括选择结构循环结构伪代码, 其次要重视循环起点条件循环次数循环终止条件, 更要通过循环规律, 明确流程图研究的数学问题, 是求和还是求项.

点睛 : 求异面直线所成角主要有以下两种方法 : (1) 几何法 :1 平移两直线中的一条或两条, 到一个平面中 ;2 利用边角关系, 找到 ( 或构造 ) 所求角所在的三角形 ;3 求出三边或三边比例关系,

5 9. 在正方体中, 为棱的中点, 则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D. 答案 C 解析分析: 利用正方体中,, 将问题转化为求共面直线与所成角的正切值, 在中进行计算即可. 详解 : 在正方体中,, 所以异面直线与所成角为, 设正方体边长为, 则由为棱的中点, 可得, 所以则. 故选 C. 点睛 : 求异面直线所成角主要有以下两种方法 : (1) 几何法 :1 平移两直线中的一条或两条, 到一个平面中 ;2 利用边角关系, 找到 ( 或构造 ) 所求角所在的三角形 ;3 求出三边或三边比例关系, 用余弦定理求角. (2) 向量法 :1 求两直线的方向向量 ;2 求两向量夹角的余弦 ;3 因为直线夹角为锐角, 所以 2 对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 10. 若在是减函数, 则的最大值是 A. B. C. D. 答案 C 解析分析: 先确定三角函数单调减区间, 再根据集合包含关系确定的最大值

6 详解 : 因为, 所以由得因此, 从而的最大值为, 选 A. 点睛 : 函数的性质 : (1). (2) 周期 (3) 由求对称轴, (4) 由求增区间 ; 由求减区间. 11. 已知, 是椭圆的两个焦点, 是上的一点, 若, 且, 则的离心率为 A. B. C. D. 答案 D 解析分析: 设, 则根据平面几何知识可求, 再结合椭圆定义可求离心率. 详解 : 在中, 设, 则, 又由椭圆定义可知则离心率, 故选 D. 点睛 : 椭圆定义的应用主要有两个方面 : 一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆, 二是利用定义求焦点三角形的周长面积椭圆的弦长及最值和离心率问题等 ; 焦点三角形是椭圆问题中的常考知识点, 在解决这类问题时经常会用到正弦定理, 余弦定理以及椭圆的定义. 12. 已知是定义域为的奇函数, 满足. 若, 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 答案 C 解析分析: 先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期, 再根据周期以及对应函数值求结果. 详解 : 因为是定义域为的奇函数, 且, 所以, 因此,

因为, 所以,, 从而, 选 C. 点睛 : 函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题, 常利用奇偶性及周期性进行变换, 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 二填空题 : 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分 13. 曲线在点处的切线方程为. 答案 y=2x 2 解析分析: 求导, 可得斜率, 进而得出切线的点斜式方程.

7 因为, 所以,, 从而, 选 C. 点睛 : 函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题, 常利用奇偶性及周期性进行变换, 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 二填空题 : 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分 13. 曲线在点处的切线方程为. 答案 y=2x 2 解析分析: 求导, 可得斜率, 进而得出切线的点斜式方程. 详解 : 由, 得则曲线在点处的切线的斜率为, 则所求切线方程为, 即. 点睛 : 求曲线在某点处的切线方程的步骤 :1 求出函数在该点处的导数值即为切线斜率 ;2 写出切线的点斜式方程 ;3 化简整理. 14. 若满足约束条件则的最大值为. 答案 9 解析分析 : 作出可行域, 根据目标函数的几何意义可知当时,. 点睛 : 线性规划问题是高考中常考考点, 主要以选择及填空的形式出现, 基本题型为给出约束条件求目标函数的最值, 主要结合方式有 : 截距型斜率型距离型等. 15. 已知, 则.

已知圆锥的顶点为, 母线, 互相垂直, 与圆锥底面所成角为, 若的面积为, 则该圆锥的体积为. 答案 8π 解析分析: 作出示意图, 根据条件分别求出圆锥的母线, 高, 底面圆半径的长, 代入公式计算即可.

8 答案解析分析 : 利用两角差的正切公式展开, 解方程可得. 详解 :, 解方程得. 点睛 : 本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况, 属于简单题型, 解决此类问题的核心是要公式记忆准确, 特殊角的三角函数值运算准确. 16. 已知圆锥的顶点为, 母线, 互相垂直, 与圆锥底面所成角为, 若的面积为, 则该圆锥的体积为. 答案 8π 解析分析: 作出示意图, 根据条件分别求出圆锥的母线, 高, 底面圆半径的长, 代入公式计算即可. 详解 : 如下图所示, 又, 解得, 所以, 所以该圆锥的体积为. 点睛 : 此题为填空题的压轴题, 实际上并不难, 关键在于根据题意作出相应图形, 利用平面几何知识求解相应线段长, 代入圆锥体积公式即可. 三解答题 : 共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第为选考题考生根据要求作答 ( 一 ) 必考题 : 共 60 分

9 17. 记为等差数列的前项和, 已知,. (1) 求的通项公式 ; (2) 求, 并求的最小值. 答案解: (1) 设 {an} 的公差为 d, 由题意得 3a1+3d= 15. 由 a1= 7 得 d=2. 所以 {an} 的通项公式为 an=2n 9. (2) 由 (1) 得 Sn=n 2 8n=(n 4) 所以当 n=4 时,Sn 取得最小值, 最小值为 16. 解析分析:(1) 根据等差数列前 n 项和公式, 求出公差, 再代入等差数列通项公式得结果,(2) 根据等差数列前 n 项和公式得的二次函数关系式, 根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值. 详解 :(1) 设 {an} 的公差为 d, 由题意得 3a1+3d= 15. 由 a1= 7 得 d=2. 所以 {an} 的通项公式为 an=2n 9. (2) 由 (1) 得 Sn=n 2 8n=(n 4) 所以当 n=4 时,Sn 取得最小值, 最小值为 16. 点睛 : 数列是特殊的函数, 研究数列最值问题, 可利用函数性质, 但要注意其定义域为正整数集这一限制条件. 18. 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 ( 单位 : 亿元 ) 的折线图. 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额, 建立了与时间变量的两个线性回归模型. 根据 2000

10 年至 2016 年的数据 ( 时间变量的值依次为 ) 建立模型 1: ; 根据 2010 年至 2016 年的数据 ( 时间变量的值依次为 ) 建立模型 2:. (1) 分别利用这两个模型, 求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值 ; (2) 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠? 并说明理由. 答案解: (1) 利用模型 1, 该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 = =226.1( 亿元 ). 利用模型 2, 该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 = =256.5( 亿元 ). (2) 利用模型 2 得到的预测值更可靠. 理由如下 : (i) 从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y= t 上下, 这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型 1 不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近, 这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势, 利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 = t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势, 因此利用模型 2 得到的预测值更可靠. (ii) 从计算结果看, 相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元, 由模型 1 得到的预测值亿元的增幅明显偏低, 而利用模型 2 得到的预测值的增幅比较合理, 说明利用模型 2 得到的预测值更可靠. 以上给出了 2 种理由, 考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 解析分析:(1) 两个回归直线方程中无参数, 所以分别求自变量为 2018 时所对应的函数值, 就得结果, (2) 根据折线图知 2000 到 2009, 与 2010 到 2016 是两个有明显区别的直线, 且 2010 到 2016 的增幅明显高于 2000 到 2009, 也高于模型 1 的增幅, 因此所以用模型 2 更能较好得到 2018 的预测. 详解 :(1) 利用模型 1, 该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 = =226.1( 亿元 ). 利用模型 2, 该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 = =256.5( 亿元 ). (2) 利用模型 2 得到的预测值更可靠. 理由如下 :

11 (i) 从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y= t 上下, 这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型 1 不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近, 这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势, 利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 = t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势, 因此利用模型 2 得到的预测值更可靠. (ii) 从计算结果看, 相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元, 由模型 1 得到的预测值亿元的增幅明显偏低, 而利用模型 2 得到的预测值的增幅比较合理, 说明利用模型 2 得到的预测值更可靠. 以上给出了 2 种理由, 考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 点睛 : 若已知回归直线方程, 则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值 ; 若回归直线方程有待定参数, 则根据回归直线方程恒过点求参数. 19. 如图, 在三棱锥中,,, 为的中点. (1) 证明 : 平面 ; (2) 若点在棱上, 且, 求点到平面的距离. 答案解 : (1) 因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点, 所以 OP AC, 且 OP=. 连结 OB. 因为 AB=BC=, 所以 ABC 为等腰直角三角形, 且 OB AC,OB= =2. 由知,OP OB. 由 OP OB,OP AC 知 PO 平面 ABC.

12 (2) 作 CH OM, 垂足为 H. 又由 (1) 可得 OP CH, 所以 CH 平面 POM. 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离. 由题设可知 OC= =2,CM= =, ACB=45. 所以 OM=,CH= =. 所以点 C 到平面 POM 的距离为. 解析分析:(1) 连接, 欲证平面, 只需证明即可 ;(2) 过点作, 垂足为, 只需论证的长即为所求, 再利用平面几何知识求解即可. 详解 :(1) 因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点, 所以 OP AC, 且 OP=. 连结 OB. 因为 AB=BC=, 所以 ABC 为等腰直角三角形, 且 OB AC,OB= =2. 由知,OP OB. 由 OP OB,OP AC 知 PO 平面 ABC. (2) 作 CH OM, 垂足为 H. 又由 (1) 可得 OP CH, 所以 CH 平面 POM. 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离.

13 由题设可知 OC= =2,CM= =, ACB=45. 所以 OM=,CH= =. 所以点 C 到平面 POM 的距离为. 点睛 : 立体几何解答题在高考中难度低于解析几何, 属于易得分题, 第一问多以线面的证明为主, 解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明 ; 本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解, 也可利用等体积法解决. 20. 设抛物线的焦点为, 过且斜率为的直线与交于, 两点,. (1) 求的方程 ; (2) 求过点, 且与的准线相切的圆的方程. 答案解: (1) 由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x 1)(k>0). 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由得., 故. 所以. 由题设知, 解得 k= 1( 舍去 ),k=1. 因此 l 的方程为 y=x 1. (2) 由 (1) 得 AB 的中点坐标为 (3,2), 所以 AB 的垂直平分线方程为, 即. 设所求圆的圆心坐标为 (x0,y0), 则解得或因此所求圆的方程为或.

14 详解 :(1) 由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x 1)(k>0). 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由得., 故. 所以. 由题设知, 解得 k= 1( 舍去 ),k=1. 因此 l 的方程为 y=x 1. (2) 由 (1) 得 AB 的中点坐标为 (3,2), 所以 AB 的垂直平分线方程为, 即. 设所求圆的圆心坐标为 (x0,y0), 则解得或因此所求圆的方程为或. 点睛 : 确定圆的方程方法 (1) 直接法 : 根据圆的几何性质, 直接求出圆心坐标和半径, 进而写出方程. (2) 待定系数法 1 若已知条件与圆心和半径有关, 则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组, 从而求出的值 ; 2 若已知条件没有明确给出圆心或半径, 则选择圆的一般方程, 依据已知条件列出关于 D E F 的方程组, 进而求出 D E F 的值.

15 21. 已知函数. (1) 若, 求的单调区间 ; (2) 证明 : 只有一个零点. 答案解: (1) 当 a=3 时,f(x)=,f (x)=. 令 f (x)=0 解得 x= 或 x=. 当 x (, ) (,+ ) 时,f (x)>0; 当 x (, ) 时,f (x)<0. 故 f(x) 在 (, ),(,+ ) 单调递增, 在 (, ) 单调递减. (2) 由于, 所以等价于. 设 =, 则 g (x)= 0, 仅当 x=0 时 g (x)=0, 所以 g(x) 在 (,+ ) 单调递增. 故 g(x) 至多有一个零点, 从而 f(x) 至多有一个零点. 又 f(3a 1)=,f(3a+1)=, 故 f(x) 有一个零点. 综上,f(x) 只有一个零点. 解析分析:(1) 将代入, 求导得, 令求得增区间, 令求得减区间 ;(2) 令, 即, 则将问题转化为函数只有一个零点问题, 研究函数单调性可得. 详解 :(1) 当 a=3 时,f(x)=,f (x)=. 令 f (x)=0 解得 x= 或 x=. 当 x (, ) (,+ ) 时,f (x)>0; 当 x (, ) 时,f (x)<0. 故 f(x) 在 (, ),(,+ ) 单调递增, 在 (, ) 单调递减. (2) 由于, 所以等价于.

16 设 =, 则 g (x)= 0, 仅当 x=0 时 g (x)=0, 所以 g(x) 在 (,+ ) 单调递增. 故 g(x) 至多有一个零点, 从而 f(x) 至多有一个零点. 又 f(3a 1)=,f(3a+1)=, 故 f(x) 有一个零点. 综上,f(x) 只有一个零点. 点睛 :(1) 用导数求函数单调区间的步骤如下 :1 确定函数的定义域 ;2 求导数 ;3 由 ( 或 ) 解出相应的的取值范围, 当时, 在相应区间上是增函数 ; 当时, 在相应区间上是减增函数. (2) 本题第二问重在考查零点存在性问题, 解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点, 可先证明其单调, 再结合零点存在性定理进行论证. ( 二 ) 选考题 : 共 10 分请考生在第题中任选一题作答如果多做, 则按所做的第一题计分 22. [ 选修 4-4: 坐标系与参数方程 ] 在直角坐标系中, 曲线的参数方程为 ( 为参数 ), 直线的参数方程为 ( 为参数 ). (1) 求和的直角坐标方程 ; (2) 若曲线截直线所得线段的中点坐标为, 求的斜率. 答案解: (1) 曲线的直角坐标方程为. 当时, 的直角坐标方程为, 当时, 的直角坐标方程为. (2) 将的参数方程代入的直角坐标方程, 整理得关于的方程.1 因为曲线截直线所得线段的中点在内, 所以 1 有两个解, 设为,, 则. 又由 1 得, 故, 于是直线的斜率. 解析分析:(1) 根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程, 根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程, 此时要注意分与两种情况.(2) 将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程, 根据参数几何意义得之间关系, 求得, 即得的斜率.

17 详解 :(1) 曲线的直角坐标方程为. 当时, 的直角坐标方程为, 当时, 的直角坐标方程为. (2) 将的参数方程代入的直角坐标方程, 整理得关于的方程.1 因为曲线截直线所得线段的中点在内, 所以 1 有两个解, 设为,, 则. 又由 1 得, 故, 于是直线的斜率. 点睛 : 直线的参数方程的标准形式的应用过点 M 0 (x 0,y 0 ), 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程是.(t 是参数,t 可正可负可为 0) 若 M 1,M 2 是 l 上的两点, 其对应参数分别为 t 1,t 2, 则 (1)M 1,M 2 两点的坐标分别是 (x 0 +t 1 cos α,y 0 +t 1 sin α),(x 0 +t 2 cos α,y 0 +t 2 sin α). (2) M 1 M 2 = t 1 -t 2. (3) 若线段 M 1 M 2 的中点 M 所对应的参数为 t, 则 t=, 中点 M 到定点 M 0 的距离 MM 0 = t =. (4) 若 M 0 为线段 M 1 M 2 的中点, 则 t 1 +t 2 = [ 选修 4-5: 不等式选讲 ] 设函数. (1) 当时, 求不等式的解集 ; (2) 若, 求的取值范围. 答案解: (1) 当时, 可得的解集为. (2) 等价于. 而, 且当时等号成立. 故等价于. 由可得或, 所以的取值范围是. 解析分析:(1) 先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组, 分别求解, 最后求并集,(2) 先化简不等式为, 再根据绝对值三角不等式得最小值, 最后解不等式得的

18 取值范围. 详解 :(1) 当时, 可得的解集为. (2) 等价于. 而, 且当时等号成立. 故等价于. 由可得或, 所以的取值范围是. 点睛 : 含绝对值不等式的解法有两个基本方法, 一是运用零点分区间讨论, 二是利用绝对值的几何意义求解. 法一是运用分类讨论思想, 法二是运用数形结合思想, 将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇渗透, 解题时强化函数数形结合与转化化归思想方法的灵活应用, 这是命题的新动向.

2018年普通高等学校招生全国统一考试

2018年普通高等学校招生全国统一考试绝密启用前注意事项 : 2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上 2. 作答时, 将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效 3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回一选择题 : 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1. A. B. C.