06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 06 () 已知函数 f() = sin(ω + φ)(ω > 0, φ π ), = π 为 f() 的零点, = π 为 = f() 图象的 4 4 π 对称轴, 且 f() 在 8, 5π ã 单调, 则 ω 的最 值为 ( ) 6 A. B.

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1 06 07 年 5 06 () 06 () 6 06 () () 5 06 () ()

2 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 06 () 已知函数 f() = sin(ω + φ)(ω > 0, φ π ), = π 为 f() 的零点, = π 为 = f() 图象的 4 4 π 对称轴, 且 f() 在 8, 5π ã 单调, 则 ω 的最 值为 ( ) 6 A. B. 9 C. 7 D. 5 由题意知 k + ã T = π4 ( 4 π ), k Z, 4 解得 ω = π T = k +, k Z. ( 也可以由 π 4 ω + φ = mπ, π 4 ω + φ = nπ + π m, n Z, 两式相减得到 ω.) π 又因为 f() 在 8, 5π ã 单调, 所以 6 T = π ω = π 5π k + 6 π ã, k Z, 8 于是 k, 从 到小进 试探 : π 当 k = 5 时, f() 在 8, 5π ã π 不单调 ( 因为 6 8 < π 4 T < 5π 6 ); π 当 k = 4 时, f() 在 6, 5π ã 上单调, 符合题意, 所以 ω 的最 值为 某 科技企业 产产品 A 和产品 B 需要甲 两种新型材料. 产 件产品 A 需要甲材料.5kg, 材料 kg, 5 个 时 ; 产 件产品 B 需要甲材料 0.5kg, 材料 0.kg, 个 时. 产 件产品 A 的利润为 00 元, 产 件产品 B 的利润为 900 元. 该企业现有甲材料 50kg, 材料 90kg, 则在不超过 600 个 时的条件下, 产产品 A 产品 B 的利润之和的最 值为元. 设 产产品 A, B 的件数分别为, 时, 获得利润为 z 元. 则, 满 的约束条件为 , , , 其中, N, 目标函数 z = = 00(7 + ).

3 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 作出可 域, 可以得到当 = 60, = 00 时, z 有最 值 设圆 = 0 的圆 为 A, 直线 l 过点 B(, 0) 且与 轴不重合, l 交圆 A 于 C, D 两点, 过 B 作 AC 的平 线交 AD 于点 E. () 证明 : EA + EB 为定值, 并写出点 E 的轨迹 程 ; () 设点 E 的轨迹为曲线 C, 直线 l 交 C 于 M, N 两点, 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P, Q 两点, 求四边形 MP NQ 积的取值范围. 第 () 小题利用 何知识证明 EB = ED 即可 ; 第 () 小题是典型的面积问题, 计算两个弦长 MN 和 P Q 即可, 其中对焦点弦长的计算用到了 考数学压轴题的分析与解 中破解压轴题有效 0 招中的第 招, 与之类似的题有 04 年天津卷理科第 9 题. () 将圆的 程化为标准 程 ( + ) + = 6. A B E D C 由于 BE AC, 于是 EBD = ACD. 又 AC = AD, 于是 ACD = ADC, 因此 EBD = EDB, 从 EB = ED, 这样就得到了 EA + EB = EA + ED = AD 为定值 4. 根据椭圆的定义, 点 E 的轨迹 程为 4 + = ( 0).

4 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) () 设 MBA = θ ( θ (0, π) ), 则在 MAB 中应用余弦定理, 有 MA = MB + AB MB AB cos θ, 结合 MA + MB = 4 可解得 MB = cos θ. P M A B N Q 类似的, 可得从 此时直线 P Q 的 程为于是圆的弦长 NB = + cos θ, MN = MB + NB = cos θ = sin θ + cos θ, 4 cos θ. Ã Ç å P Q = 4 cos θ = 4 4 cos θ. cos θ + sin θ 于是可得四边形 MP NQ 的面积 S = MN P Q = 4 4 cos θ, 于是四边形 MP NQ 的面积的取值范围是 [, 8 ). 4 已知函数 f() = ( )e + a( ) 有两个零点. () 求 a 的取值范围 ; () 设, 是 f() 的两个零点, 证明 : + <. 第 () 小题是典型的零点个数问题, 可用分离变量法 ( 考数学压轴题的分析与解 中破解压轴题有效 0 招中的第 招, 与之类似的题有 04 年新课标 II 卷 科第 题 ); 第 () 小题是典型的偏移问题, 对称 化构造即可. 4

5 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) () 显然 = 不是函数 f() 的零点. 当 时, 程 f() = 0 等价于 a = ( ) e. 记右侧函数为 g(), 则 g() 的导函数 g () = e ( ), 因此函数 g() 在 (, ) 上单调递增, 在 (, + ) 上单调递减. 由于函数 g() 在 (, ) 上的取值范围是 (0, + ), 在 (, + ) 上的取值范围是 (, + ), 因此当 a > 0 时, 函数 f() 有两个零点, 所求取值范围是 (0, + ). () 根据第 () 小题的结果, 不妨设 < <, 则只需证明 <. 考虑到函数 g() 在 (, + ) 上单调递减, 于是只需要证明 g( ) > g( ), 也即 接下来证明 : 也即 g( ) > g( ). <, g() g( ) > 0, <, e ( ) e > 0. 设 h() = e ( ) e, 则其导函数 h () = (e e )( ), 第 () 题中如果需要刻意避开极限, 可以进 如下论证. 当 a 0 时, 由于在 (, ) 上, g() > 0, 因此在此区间上不存在 使得 在 (, + ) 上, 函数 g() ß单调递减, 不可能存在两个零点 ; 当 a > 0 时, 取 = min + a,, 则 g( ) > g() = a, ( ) a, g() = 0 < a, 结合 g() ß 在 (, + ) 上单调递减, 可以断定在区间 (, ) 上必然有 个零点 ; 另, 取 = ma a, 0, 则 取 = a, 则 g( ) ( ) a, g( ) < < = a, 结合 g() 在 (, ) 上单调递增, 可以断定在区间 (, ) 上必然有 个零点 ; 综上所述, a 的取值范围是 (0, + ). 5

6 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 当 < 时, 有 e e < 0, 于是在 (, ) 上, h() 单调递减. h() = 0, 于是在 (, ) 上, 有 h() > 0, 因此原命题得证 () 若函数 f() = sin + a sin 在 (, + ) 上单调递增, 则 a 的取值范围是 ( ) ï A. [, ] B., ò ï C., ò ï D., ò 函数 f() 的导函数 f () = cos + a cos = 4 cos + a cos + 5, 根据题意有 R, f () 0, 令 t = cos, 则上述命题即 t [, ], 4t at 5 0, 由于 次函数 g(t) = 4t at 5 的开 向上, 因此只需要 g( ) 0, g() 0 即可, 解得 a, 选 C. 6 6 某 科技企业 产产品 A 和产品 B 需要甲 两种新型材料. 产 件产品 A 需要甲材料.5kg, 材料 kg, 5 个 时 ; 产 件产品 B 需要甲材料 0.5kg, 材料 0.kg, 个 时. 产 件产品 A 的利润为 00 元, 产 件产品 B 的利润为 900 元. 该企业现有甲材料 50kg, 材料 90kg, 则在不超过 600 个 时的条件下, 产产品 A 产品 B 的利润之和的最 值为元 与理科第 6 题相同. 7 0 在直 坐标系 中, 直线 l : = t ( t 0 ) 交 轴于点 M, 交抛物线 C : = p ( p > 0 ) 于点 P, M 关于点 P 的对称点为 N, 连接 N 并延长交 C 于点 H. H () 求 N ; () 除 H 以外, 直线 MH 与 C 是否有其它公共点? 说明理由. 注意到 f() 中 次函数的部分关于 = 对称, 因此直接作差 f() f( ) 亦可. 6

7 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 第 () 小题是简单的计算题, 第 () 小题考查直线与抛物线的位置关系, 可以利用 考数学压轴题的分 析与解 中破解压轴题有效 0 招中的第 0 招轻松解决. 根据题意, 作出示意图. H M P N = t t ã t ã () 根据题意, 有 M(0, t), 于是 P p, t, 进 N p, t. 这就得到了直线 N 的 程为 = p t. 将直线 N 的 程与抛物线 C 的 程联, 可得 p(p t ) = 0, 从 H 点的横坐标为 t p. 这样就得到了 H N = t p t p =. () 由第 () 题的结果, 可得 H 点的坐标为 t ã p, t, 因此直线 MH 的斜率为 t t t = p p 0 t, 因此直线 MH 的 程 为 与抛物线 C 的 程联 可得 = p t + t, 即 p = 4t 4t, 4t + 4t = 0, 该 程的判别式 = 0, 因此除 H 外, 直线 MH 与 C 没有其它公共点. 8 已知函数 f() = ( )e + a( ). () 讨论 f() 的单调性 ; () 若 f() 有两个零点, 求 a 的取值范围. 第 () 小题是常规的考查利用导函数研究函数的单调性的问题 ; 第 () 小题与理科第 题第 () 小题相同. ã 事实上, 由圆锥曲线的切线 程, 可以马上得出 MH : t = p + t, 根据斜率 致得出结论. p 7

8 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) () 函数 f() 的导函数 f () = ( )(e + a), 因此可以得到讨论的分界点为 e, 0. 当 a < e 时, ln( a) >, 因此函数 f() 在 (, ) 上单调递增, 在 (, ln( a)) 上单调递 减, 在 (ln( a), + ) 上单调递增. 当 a = e 时, ln( a) =, 因此函数 f() 在 R 上单调递增. 当 e < a < 0 时, ln( a) <, 因此函数 f() 在 (, ln( a)) 上单调递增, 在 (ln( a), ) 上单调递减, 在 (, + ) 上单调递增. 当 a 0 时, e + a > 0, 因此函数 f() 在 (, ) 上单调递减, 在 (, + ) 上单调递增.() 参考理科第 题第 () 小题. 06 () 9 已知函数 f() ( R ) 满 f( ) = f(), 若函数 = + m (, ), (, ),, ( m, m ), 则 ( i + i ) = ( ) i= 与 = f() 图象的交点为 A. 0 B. m C. m D. 4m 根据题意, 函数 f() 和函数 = + 都关于点 (0, ) 对称, 不妨设 < < < m, 那么有 点 (, ) 与点 ( m, m ), 点 (, ) 与点 ( m, m ), 都关于点 (0, ) 对称, 即 + m = + m = = m + = 0, 且 从 倒序相加, 可得 + m = + m = = m + =, m ( i + i ) = m = m. i= 选 B. 0 6 若直线 = k + b 是曲线 = ln + 的切线, 也是曲线 = ln( + ) 的切线, 则 b =. 函数 = ln + 的导函数为 =, 函数 = ln(+) 的导函数为 = +. 设曲线 = ln + 和曲线 = ln( + ) 上的切点横坐标分别为 m, n, 则该直线 程可以写成 = ( m) + ln m +, m 8

9 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 也可以写成 整理后对比得 因此 b = ln. = ( n) + ln(n + ), n + m = n +, ln m + = ln(n + ) n n +, 解得 = + ln = ln + m =, n =, = ln( + ) 事实上, 由于这两条曲线是通过向量 (, ) 平移得到的, 因此可以判断出公切线的斜率为. 0 已知椭圆 E : t + = 的焦点在 轴上, A 是 E 的左顶点, 斜率为 k ( k > 0 ) 的直线交 E 于 A, M 两点, 点 N 在 E 上, MA NA. () 当 t = 4, AM = AN 时, 求 AMN 的 积 ; () 当 AM = AN 时, 求 k 的取值范围. 第 () 小题主要考查椭圆的对称性 ; 第 () 小题考查椭圆的弦长计算, 其中将椭圆的长轴长设置为变量增 加了问题的难度. 根据题意画出示意图如图. M A N () 当 AM = AN 时, MAN 是等腰直角三角形. 根据椭圆的对称性, 可知 k =, 又 t = 4 时,A 点 的坐标为 (, 0), 因此直线 AM 的 程为 =, 与椭圆 E 的 程联立, 可得 ã 7 = 0, 于是点 M 的纵坐标为 7, 进 可得 AMN 的面积 S = ã =

10 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) () 记 a = t, m = k ( m > 0 ), 则直线 AM 的 程为 = m a, 与椭圆 E 的 程联立可得 m a + ã m a = 0, 从 点 M 的纵坐标为 6ma m + a, 因此点 N 的纵坐标为 6a m 6ma = m + + m a, a 因此由 AM = AN 可得 + m 6ma m + a = + m 6ma + m a, 整理得 根据题意, 有 a >, 因此 a = (m m) m, (m m) m >, 解得 因此 k 的取值范围是 Ä ä,. < m <, () 讨论函数 f() = + e 的单调性, 并证明当 > 0 时, ( )e + + > 0 ; () 证明 : 当 a [0, ) 时, 函数 g() = e a a ( > 0 ) 有最 值. 设 g() 的最 值为 h(a), 求函数 h(a) 的值域. 第 () 小题是常规的利用导函数研究函数的单调性的问题 ; 第 () 小题考查利用导函数研究函数的最值, 其中故意使用关于 a 的函数 h(a) 误导解题者用 a 表示极值点, 增加了问题的难度. () 函数 f() 的定义域为 (, ) (, + ), 其导函数 f () = ( + ) e, 于是函数 f() 在 (, ) 和 (, + ) 上都单调递增. 当 > 0 时, 有 f() > f(0) =, 即 + e >, 即 ( )e + + > 0. () 函数 g() 的导函数为 g () = + ã + e + a, 0

11 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 令 φ() = + e + a, 则 φ(0) = a < 0, φ() = a 0, 结合第 () 小题结论, φ() 在 (0, ] 上有唯 零点 = m. 进 可得函数 g() 在 (0, m) 上单调递减, 在 (m, + ) 上单调递增, 因此 = m 也为函数 g() 的极小值点, 亦为最小值点. 因此当 a [0, ) 时, 函数 g() 有最小值 g(m). 由于 m m + em + a = 0, 也即 a = m m + em, 当 a [0, ) 时, 有 m (0, ]. 进 函数 g() 的最小值 令 r(m) = g(m) = em m + ( m (0, ] ), 则其导函数 e m m ã m + em (m + ) m = em m +, r (m) = m + (m + ) em > 0, 因此函数 r(m) 在 (0, ] 上单调递增, 从 函数 h(a) 的值域, 即函数 g() 的最小值的取值范围是 (r(0), r()], 也即, ò 4 e. 注 第 () 小题的结果可以有如下的直观解释. 考虑 g() = e a +, 当 a [0, ) 时, 有 e < g() e, 也即函数 g() 的图象在函数 h () = e 的图象和函数 h () = e 的图象之间运动, 如图. = h () = h () e 4 因此函数 g() 的最小值的取值范围是, 4 e ò () 已知函数 f() ( R ) 满 f() = f( ), 若函数 = 与 = f() 的图象的交点为 m (, ), (, ),, ( m, m ), 则 i = ( ) i= 涉及到图象连续变化, 以及函数 h () 在 = 0 处的右极限, 因此只作辅助理解之.

12 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) A. 0 B. m C. m D. 4m 与理科第 题类似, 函数 = f() 和 = 都关于直线 = 对称, 不妨设 < < < m, 则点 (, ) 与点 ( m, m ), 点 (, ) 与点 ( m, m ), 都关于直线 = 对称, 即 + m = + m = = m + =, 因此倒序相加可得 m i = m = m. i= 选 B. 4 6 有三张卡, 分别写有 和, 和, 和. 甲,, 丙三 各取 张卡, 甲看了 的卡 后说 : 我与 的卡 上相同的数字不是, 看了丙的卡 后说 : 我与丙的卡 上相同的数字不是, 丙说 : 我的卡 上的数字之和不是 5, 则甲的卡 上的数字是. 用 (, ), (, ), (, ) 来表示三张卡片. 根据甲的发 可知丙的卡片 定不是 (, ), 再根据丙的发 可知丙的卡片是 (, ). 此时由 的发 可知 的卡片是 (, ), 于是甲的卡片是 (, ), 因此甲的卡片上的数字是 和. 5 0 已知函数 f() = ( + ) ln a( ). () 当 a = 4 时, 求曲线 = f() 在 (, f()) 处的切线 程 ; () 若当 (, + ) 时, f() > 0, 求 a 的取值范围. 第 () 小题是常规的利用导函数求函数的切线 程问题 ; 第 () 小题是典型的包含对数的恒成立问题, 需 要用到 清君侧 的想法简化问题, 可以参考 考数学压轴题的分析与解 辽宁卷第 5 题. () 当 a = 4 时, f() = 0, 函数 f() 的导函数 f () = ln +, 因此 f () =, 从 所求的切线 程为 = ( ), 也即 = +. () 题中不等式即 记左侧函数为 g(), 则 g() = 0, 其导函数 分析端点可知分界点为. ln a + > 0, g () = + ( a) + ( + ),

13 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) a. 此时 g() > ln +, 记右侧函数为 h(), 则其导函数 h () = ( ) ( + ), 因此在 (, + ) 上 h() 单调递增, 又 h() = 0, 因此在 (, + ) 上, 有 h() > 0, 符合题意. a >. 此时在区间 Ä, a + a a ä 上有 g () < 0, 又 g() = 0, 因此在该区间内 g() < 0, 不符合题意. 综上所述, a 的取值范围是 (, ]. 6 已知 A 是椭圆 E : 4 + = 的左顶点, 斜率为 k ( k > 0 ) 的直线交 E 于 A, M 两点, 点 N 在 E 上, MA NA. () 当 AM = AN 时, 求 AMN 的 积 ; () 当 AM = AN 时, 证明 : < k <. 第 () 小题主要考查椭圆的对称性 ; 第 () 小题考查椭圆的弦长计算, 已知弦长的关系反向推算斜率 k 的范围为问题带来了新的变化. 根据题意画出示意图如图. M A N () 当 AM = AN 时, MAN 是等腰直角三角形. 根据椭圆的对称性, 可知 k =, A 点的坐标为 (, 0), 因此直线 AM 的 程为 =, 与椭圆 E 的 程联立, 可得 ã 7 = 0, 于是点 M 的纵坐标为 7, 进 可得 AMN 的面积 S = ã = () 记 m = k ( m > 0 ), 则直线 AM 的 程为 = m, 与椭圆 E 的 程联立可得 m 4 + ã m = 0,

14 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 从 点 M 的纵坐标为 m m + 4, 因此点 N 的纵坐标为 m m = m m, 因此由 AM = AN 可得 + m m m + 4 = + m m + 4m, 整理得 8m m + 6m 4 = 0. 设函数 f() = ( > 0 ), 则其导函数 f () = > 0, 因此函数 f() 单调递增. 考虑到 f ã = = > 0, 因此函数 f() 有唯 零点且该零点在区间 ã f = 4 < 0, ã, 上, 进 可得 < m <, 也即 < k < () 7 定义 规范 0 数列 {a n } 如下 : {a n } 共有 m 项, 其中 m 项为 0, m 项为, 且对任意 k m, a, a,, a k 中 0 的个数不少于 的个数. 若 m = 4, 则不同的 规范 0 数列 共有 ( ) A. 8 个 B. 6 个 C. 4 个 D. 个 由题意知, 数列的第 项 定为 0, 最后 项 定为, 只需要直接列举中间 6 项即可. 按照第, 项分类 : 第 项为, 第 项必为 0, 有 000, 000, 000, 000, 000 共 5 个 规范 0 数列 ; 4

15 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 第 项为 0, 第 项也为 0, 有 000, 000, 000, 000 共 4 个 规范 0 数列 ; 第 项为 0, 第 项为, 有 000, 000, 000, 000, 000 共 5 个 规范 0 数列. 所以 规范 0 数列 共有 = 4 个. 注事实上, 本题中的 规范 0 数列 的个数就是卡特兰数 C m = m + Cm m, 取 m = 4, 可得 C 4 = 5 C4 8 = 4. 卡特兰 (Catalan) 数来源于卡特兰解决凸 n + 边形的剖分时得到的数列 C n, 在数学竞赛 信息学竞赛 组合数学 计算机编程等 面都会有其不同侧面的介绍. 卡特兰问题的解决过程应用了 量的映射 法, 堪称计数的映射 法的典范. 典型的卡特兰数问题有进出栈问题, 购票找零问题, 圆内连弦问题, 括号表达式问题等等, 详见 已知直线 l : m + + m = 0 与圆 + = 交于 A, B 两点, 过 A, B 分别作 l 的垂线与 轴交于 C, D 两点, 若 AB =, 则 CD =. 由题意作图如下 : B A M E C D 由 AB = 知, 圆 到直线 l 的距离 M = ã AB =, 于是有 m m + =, 解得 m =. 从 直线 l 的倾斜角 BED = 0, 故 CD = AB cos 0 = 4. 5

16 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 9 0 已知抛物线 C : = 的焦点为 F, 平 于 轴的两条直线 l, l 的准线于 P, Q 两点. () 若 F 在线段 AB 上, R 是 P Q 的中点, 证明 : AR F Q ; () 若 P QF 的 积是 ABF 的 积的两倍, 求 AB 中点的轨迹 程. 分别交 C 于 A, B 两点, 交 C 第 () 小题可以通过抛物线的光学性质直接证明, 参考 考数学压轴题的分析与解 破解压轴题的有效 0 招中的第 6 招 抛物线的性质 ; 第 () 小题涉及到坐标系中三角形的面积计算, 合理选择参数即可. () 连接 P F, RF, 如图. P A R Q B F 由抛物线的光学性质知 AP = AF, BQ = BF, 从 有 AF P + QF B = (π P AF ) + (π QBF ) = π, 所以 P F F Q, 又 RF = P Q = P R = QR, 从 可得 P AR 与 F AR 全等, 所以 P F AR, 从 有 AR F Q. () 设点 A(a, a), B(b, b), 则 P ã, a, Q ã, b, 且 AB 的中点 M(a + b, a + b). P A F M Q B 由 P QF 的面积是 ABF 的面积的两倍可得 ï a b ãò = a ã b b ã a, 化简得 4ab + =, 解得 ab = ( 舍去 ab = 0 ). 进 消参可得 M 的轨迹 程为 =. 0 设函数 f() = a cos + (a )(cos + ), 其中 a > 0, 记 f() 的最 值为 A. 6

17 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) () 求 f () ; () 求 A ; () 证明 : f () A. 第 () 小题考查基本的导数运算 ; 第 () 小题考查对含参 次函数的讨论 ; 第 () 小题是第 ()() 小题的简单综合, 适当放缩不难解决. () 函数 f() 的导函数 f () = a sin + ( a) sin. () 由 倍角公式, 整理得 令 t = cos ( t [, ] ), 有 f() = a cos + (a ) cos, g(t) = at + (a )t, t [, ], 则函数 f() 的最 值 A 即函数 g(t) 的最 值. 按 次函数 g(t) 的对称轴 t = a 4a 内展开讨论. 当 当 a 4a a 4a [, ] 即 a [, ] 即 a ï ã 5, + 时, 函数 g(t) 的最 值为 ß ma g( ), g() ã, a g. 4a 0, ã 5 时, 函数 g(t) 的最 值为 是否在区间 [, ] ma { g( ), g() }. 事实上, 有 g( ) = a, g() ã = a, a g = a + a ã 4a g() g( ) ã a g 4a a 注意到当 a = 5 和 a = 时三者的取值, 结合作差比较 小, 可得 a, a 0, ã, 5 A = a + a ã ï ò 8 + 6, a 5,, a, a (, + ). 7

18 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) () 由第 () 小题知 当 a 当 a 0, ã 5 ï ò 5, 时, 有 f () = a sin + ( a) sin. f () a + a = + a 4 6a = A. 时, 有 f () + a, A = a + a ã 4 + 6, 由分析法, 可得 f () A (a + )(a ) 0, 这显然成立. 当 a (, + ) 时, 有 f () a + a = a 6a 4 = A. 综上知, f () A () 已知 为坐标原点, F 是椭圆 C : a + b = (a > b > 0) 的左焦点, A, B 分别为 C 的左, 右顶点, P 为 C 上 点, 且 P F 轴. 过点 A 的直线 l 与线段 P F 交于点 M, 与 轴交于点 E. 若直线 BM 经过 E 的中点, 则 C 的离 率为 ( ) A. B. C. D. 4 记 E 的中点为 N, 如图. P E M N A F B 因为 MF E, 所以有 又因为 E = N, 所以有 N MF = a a + c, MF E = a c a. = a a + c a c a, 解得 e = c a =. 8

19 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 6 已知 f() 为偶函数, 当 0 时, f() = e, 则曲线 = f() 在点 (, ) 处的切线 程 是. 当 0 时, f () = e, 由 f() 为偶函数知 f () = f ( ) =. 从 所求切线 程为 =. 注对于有奇偶性的可导函数, 偶函数的导函数是奇函数, 奇函数的导函数是偶函数. 0 已知抛物线 C : = 的焦点为 F, 平 于 轴的两条直线 l, l 的准线于 P, Q 两点. () 若 F 在线段 AB 上, R 是 P Q 的中点, 证明 : AR F Q ; () 若 P QF 的 积是 ABF 的 积的两倍, 求 AB 中点的轨迹 程. 分别交 C 于 A, B 两点, 交 C 同理科第 0 题. 4 设函数 f() = ln +. () 讨论 f() 的单调性 ; () 证明 : 当 (, + ) 时, < ln < ; () 设 c >, 证明 : 当 (0, ) 时, + (c ) > c. 第 () 小题是简单的利用导函数研究函数的单调性问题 ; 第 () 小题是第 () 小题的直接推论, 同时也是 对第 () 小题的提示, 适当进 换元即得 ; 第 () 小题中通过观察端点 = 0, 时不等式两边相等, 可以拟定 作差研究函数的单调性的策略. () 根据题意, 函数 f() 的导函数 f () = =, > 0, 所以 f() 在 (0, ) 上单调递增, 在 (, + ) 上单调递减. () 欲证不等式即 < ln <, >. 事实上, 由第 () 小题知, f() 的最 值为 f() = 0, 所以 ln + 0, 即 ln, 9

20 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 等号当且仅当 = 时取得, 这样就得到了右侧不等式. 当 > 时, 有 0 < <, 此时有 ln <, 即 ln >, 这样就得到了左侧不等式. 因此原不等式得证. () 设 g() = c (c ), [0, ], 则所证不等式即 (0, ), g() < 0. 函数 g() 的导函数 因为 c >, 所以 ln c > 0, 由第 () 小题知 g () = c ln c (c ) = ln c < c ln c < c, c c ln c 从 g (0) < 0 且 g () > 0, 结合 g () 是单调递增函数, 于是 g () 在区间 (0, ) 上有唯 零点, 进 可得函数 g() 在区间 (0, ) 上先单调递减, 再单调递增, 又 g(0) = g() = 0, 从 可得在区间 (0, ) 上, g() < 0, 原命题得证. ã 如图, 在平 直 坐标系 中, 为正 边形 A A A 8 的中, A (, 0). 任取不同的两点 A i, A j, 点 P 满 P #» + A #» i + A #» j = #» 0, 则点 P 落在第 象限的概率是. A 4 A A A 5 A A 6 A 7 A 8 任取不同的两点 A i, A j 的情况有 C 8 = 8 种, 其中能使得点 P 落在第 象限的情况, 也即使得 #» A i + A #» j 在第三象限的情况. 易知 i, j 只能在 4, 5, 6, 7, 8 中选, 包括如下 5 种 : (A 4, A 7 ), (A 5, A 6 ), (A 5, A 7 ), (A 5, A 8 ), (A 6, A 7 ), 所以点 P 落在第 象限的概率是 已知 穷等 数列 {a n } 的公 为 q, 前 n 项和为 S n, 且 S (n N ) 恒成 的是 ( ) A. a > 0, 0.6 < q < 0.7 B. a < 0, 0.7 < q < 0.6 lim S n = S. 下列条件中, 使得 S n < n 0

21 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) C. a > 0, 0.7 < q < 0.8 D. a < 0, 0.8 < q < 0.7 由题意, < q < 且 q 0, S = a q, 若 S n < S (n N ) 恒成立, 则 a ( q n ) < a (n N ) 恒成立, 其中 a 0. a > 0. 此时 ( q n ) < (n N ) 恒成立, 在上式两边同时令 n, 由数列极限的保序性, 我们有, 盾. a < 0. 此时 ( q n ) > (n N ) 恒成立, 即 q n < (n N ) 恒成立, 这又等价于 综上所述, a < 0, 且此时公比 q 的取值范围是 q <, 且 q <. Ç å, 0 0, ã, 所以选 B. 7 8 设 f(), g(), h() 是定义域为 R 的三个函数, 对于命题 : () 若 f() + g(), f() + h(), g() + h() 均为增函数, 则 f(), g(), h() 中 少有 个为增函数 ; () 若 f() + g(), f() + h(), g() + h() 均是以 T 为周期的函数, 则 f(), g(), h() 均是以 T 为周期的函数, 下列判断正确的是 ( ) A. () 和 () 均为真命题 B. () 和 () 均为假命题 C. () 为真命题,() 为假命题 D. () 为假命题,() 为真命题 () 为假命题, 我们可以如下构造反例. 将定义域 R 分为三段, 函数 f() 在第 段上是 平的射线, 函数 g() 在第 段上是 平的线段, 函数 h() 在第三段上是 平的射线, 在其余的部分, 三个函数均为斜率为 的线段或射线. 那么在每 段上, f() + g(), g() + h(), h() + f() 均为斜率为 或 的线段或射线, 如图. f() g() h() 若要构造严格单调的反例, 可以将 平的线段或射线改为斜率为 的线段或射线, 斜率为 的线段或射线改为斜率为 的线段 或射线.

22 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) () 为真命题. 令 则 F () = f() + g(), G() = f() + h(), H() = g() + h(), f() = F () + G() H() 是以 T 为周期的函数, 同理 g(), h() 也是以 T 为周期的函数. 综上所述, 选 D. 8 双曲线 b = (b > 0) 的左 右焦点分别为 F, F, 直线 l 过 F 且与双曲线交于 A, B 两点. π () 若 l 的倾斜 为, F AB 是等边三 形, 求双曲线的渐近线 程 ; () 设 b = Ä #», 若 l 的斜率存在, 且 F A + F #» B ä AB #» = 0, 求 l 的斜率. 第 () 小题考察双曲线的对称性 ; 第 () 小题利用向量描述了 个弦的中点问题, 用 考数学压轴题的 分析与解 中破解压轴题的有效 0 招中的第 7 招 有 次曲线的 垂径定理 即可轻松解决. () 根据题意, 通径 AB = b 与焦距 F F = c 的比为 : b, 即 c =, 从 解得 b =, 进 双曲线的渐近线 程为 = ±. A F F B () 此时双曲线 程为 =, F (, 0), F (, 0). 如图, 由题意, A, B 两点分别位于双曲线的两支上, 且 AF = BF, 设线段 AB 的中点为 M. 该双曲线的左准线为 l : =, 由于 A, B 两点分别位于左准线 l 的左右两边, 且到 l 的距 离相等, 故点 M 落在 l 上. F A F 设点 M 坐标为, m ã, 则 B M #» F M F #» ã M =, m 5 ã, m = m 5 4 = 0, 5 5 解得 m = ±, 所以直线 l 的斜率为 ± 5. 设 M(n, m), A(, ), B(, ), 直线 l 的斜率为 k. 将 A, B 两点满 的双曲线 程相减整 m 理 ( 即双曲线的 垂径定理 ) 可得 n k =.

23 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) F A F B M 因此有 m n k =, m n + k =, m n = k, 解得 n =, 从 m = 5 5 k = 5k, 进 k = ± 5, 所以直线 l 的斜率为 ± 5. 9 若 穷数列 {a n } 满 : 只要 a p = a q (p, q N ), 必有 a p+ = a q+, 则称 {a n } 具有性质 P. () 若 {a n } 具有性质 P, 且 a =, a =, a 4 =, a 5 =, a 6 + a 7 + a 8 =, 求 a ; () 若 穷数列 {b n } 是等差数列, 穷数列 {c n } 是公 为正数的等 数列, b = c 5 =, b 5 = c = 8, a n = b n + c n, 判断 {a n } 是否具有性质 P, 并说明理由 ; () 设 {b n } 是 穷数列, 已知 a n+ = b n + sin a n (n N ), 求证 : 对任意 a, {a n } 都具有性质 P 的充要条 件为 {b n } 是常数列. 第 () 小题考查解题者对性质 P 的理解 ; 第 () 小题给出了两个基本数列, 利用性质 P 的定义不难做 出判断 ; 第 () 小题难点在于必要性的证明, 通过选择合适的初值构造常数列 ( 从第 项起 ) 即可得出 {b n } 是 常数列. () 因为 a = a 5 =, 所以 a = a 6, a 4 = a 7 =, a 5 = a 8 =, 因此 a 6 = a 7 a 8 = 6, 故 a = 6. () 由于 b n = 0n 9, c n = n 5, 故 a n = b n + c n = 0n 9 + n 5. 因为 a = a 5 = 8, 但是 a = + 7 = 48 a 6 = 0 + = 04, 所以 {a n } 不具有性质 P. () 先证明充分性. 若 {b n } 是常数列, 不妨设 b n = c, 则 a n+ = c + sin a n. 此时只要 a p = a q (p, q N ), 必有 a p+ = c + sin a p = c + sin a q = a q+,

24 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 故对任意 a, {a n } 都具有性质 P. 再证明必要性. 考察连续函数 f() = b sin, 其中 b 为任意实数. 因为 f (b ) = sin (b ) < 0, f (b + ) = sin (b + ) > 0, 所以存在 t (b, b + ), 使得 f(t) = t b sin t = 0. 若对任意 a, {a n } 都具有性质 P, 取 a = t, 此时 a = b + sin a = b + sin t = t = a, 进 所以对任意 n N, 均有 a = a, a = a 4,, a n = a n+,, b n+ = a n+ sin a n+ = a n+ sin a n = b n, 即 {b n } 是常数列. 综上所述, 对任意 a, {a n } 都具有性质 P 的充要条件为 {b n } 是常数列 穷数列 {a n } 由 k 个不同的数组成, S n 为 {a n } 的前 n 项和. 若对任意的 n N, S n {, }, 则 k 的最 值为. 与理科第 题类似. 由于 S n, S n+ {, }, 于是 a n+ {, 0, }, 也即从第 项起数列 {a n } 的不同取值不超过 个, 进 数列 {a n } 中的项的所有不同取值 k 4. 事实上, 取数列 此时 k = 4, 因此 k 的最 值为 4. {a n } :,, 0,,, 0,,, 0, }{{}}{{}}{{},, 7 设 a R, b [0, π). 若对任意实数 都有 sin (a, b) 的对数是 ( ) ( π ) = sin(a + b), 则满 条件的有序实数对 A. B. C. D. 4 与理科第 题类似. 考虑到函数的周期, 可得 a = ± ; 再考虑函数的初相, 可得当 a = 和当 a = 时, 都有唯 的实数 b 符合题意, 选 B. 8 设 f(), g(), h() 是定义域为 R 的三个函数, 对于命题 : 4

25 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) () 若 f() + g(), f() + h(), g() + h() 均为增函数, 则 f(), g(), h() 中 少有 个为增函数 ; () 若 f() + g(), f() + h(), g() + h() 均是以 T 为周期的函数, 则 f(), g(), h() 均是以 T 为周期的函 数, 下列判断正确的是 ( ) A. () 和 () 均为真命题 B. () 和 () 均为假命题 C. () 为真命题,() 为假命题 D. () 为假命题,() 为真命题 D. 与理科第 8 题相同. 双曲线 b = (b > 0) 的左 右焦点分别为 F, F, 直线 l 过 F 且与双曲线交于 A, B 两点. π () 若 l 的倾斜 为, F AB 是等边三 形, 求双曲线的渐近线 程 ; () 设 b =, 若 l 的斜率存在, 且 AB = 4, 求 l 的斜率. 第 () 小题考察双曲线的对称性 ; 第 () 小题是 个典型的焦点弦长问题, 用 考数学压轴题的分析与 解 中破解压轴题的有效 0 招中的第 5 招 焦半径公式 即可轻松解决. () 与理科第 题第 () 小题相同 ; () 当 b = 时, 双曲线的 程为 =, 其焦距 F F = 4. 设 P 为双曲线右支上 点, 则 P F = P F +, 在 P F F 中应用余弦定理有 P F = F F + P F P F F F cos P F F, 代 数据整理得 P F = cos P F F +. 类似地, 当 P 为双曲线左支上 点时, 有 P F = cos P F F. F A F B 因此设直线 AB 的倾斜角为 θ, 则 AB = cos θ + + cos θ + = 6 4 cos θ = 4, 5 5 整理得 cos θ = ± 8, 因此直线 l 的斜率为 tan θ = ± 5. 5

26 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 4 已知 a R, 函数 f() = log + a ã. () 当 a =, 解不等式 f() > ; () 若关于 的 程 f() + ï log ( ò ) = 0 的解集中恰有 个元素, 求 a 的值 ; () 设 a > 0, 若对任意 t,, 函数 f() 在区间 [t, t + ] 上的最 值与最 值的差不超过, 求 a 的取值范围. 第 () 小题是基本的解函数不等式 ; 第 () 小题将对数 程转化为多项式 程后, 对 次项系数 a 适当 讨论即可 ; 第 () 小题是 个典型的含参不等式恒成立问题, 用 考数学压轴题的分析与解 中破解压轴题 的有效 0 招中的第 招 分离变量法 即可轻松解决. 与理科第 题类似. () 当 a = 时, 原不等式等价于 + >, 其解集为 (0, ). () 根据题意, 有 a + = 0, + a > 0, 有唯 解. > 0, a = 0. 此时 =, 符合题意. a 0. 此时必然有 程 a + = 0 的判别式 = + 4a = 0, 解得 a = 4, 此时 =, 符合题意. 综上, a 的值为 0 或 4. () 当 a > 0 时, 函数 f() 在 (0, + ) 上单调递减, 于是问题等价于 也即 当 t = 时显然成立, 当 t t ï ò,, f(t) f(t + ), t ï ã,, 也即 t ï ò,, a t t + t. 0, ò 时, 有 等号当 t = t t + t = t ( t) ( t) + = ( t) + t, 时取得. 因此 a 的取值范围是 ï ã, +. 6

27 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 袋中装有偶数个球, 其中红球 球各占 半. 甲 丙是三个空盒. 每次从袋中任意取出两个球, 将其中 个球放 甲盒, 如果这个球是红球, 就将另 个球放 盒, 否则就放 丙盒. 重复上述过程, 直到袋中所有球都被放 盒中, 则 ( ) A. 盒中 球不多于丙盒中 球 B. 盒中红球与丙盒中 球 样多 C. 盒中红球不多于丙盒中红球 D. 盒中 球与丙盒中红球 样多 每次操作只有可能发 下列 4 种情形中的 种 :. 甲盒中放 红球, 盒中放 球 ;. 甲盒中放 球, 丙盒中放 红球 ;. 甲盒中放 红球, 盒中放 红球 ; 4. 甲盒中放 球, 丙盒中放 球. 由于袋中的红球和 球 样多, 因此情形 和情形 4 出现的次数必然 样多, 于是可得 盒中红球与丙盒中 球 样多, 选 B. 只发 情形 即为选项 A,D 的反例, 只发 情形, 4 即为选项 C 的反例. 因此正确的答案是 B. 6, a, 4 设函数 f() =, > a. () 若 a = 0, 则 f() 的最 值为 ; () 若 f() 最 值, 则实数 a 的取值范围是. 利用函数图象解决问题. 令 g() =, R, 则 g () = ( + ) ( ), 故 g() 在 = 处取得极 值 g( ) =, 在 = 处取得极小值 g() =. 令 h() =, R, 则 h() 的图象经过点 (, ), (, ). 函数 g() 与 h() 的图象如下图所示. = = 从中即可得出此题的结果为 () ;() (, ). 7

28 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 7 8 设函数 f() = e a + b, 曲线 = f() 在点 (, f()) 处的切线 程为 = (e ) + 4. () 求 a, b 的值 ; () 求 f() 的单调区间. 第 () 小题是典型的利用导函数求函数的切线 程的问题 ; 第 () 小题是简单的利用导函数研究函数的单 调性的问题. () 函数 f() 的导函数 f () = e a ( ) + b, 因此根据题意有 f() = (e ) + 4, f () = e, 解得 a =, b = e. () 由 () 可知, f() = e + e, f () = e [ ( )e + ]. 考察函数 g() = e +, R, 由于 故 g() 的最小值为 g () = e ( + ), g( ) = e > 0, 由此可知 f () > 0. 所以 f() 在 R 上单调递增. 8 9 已知椭圆 C : a + b = (a > b > 0) 的离 率为. () 求椭圆 C 的 程 ;, A(a, 0), B(0, b), (0, 0), AB 的 积为 () 设 P 是椭圆 C 上 点, 直线 P A 与 轴交于点 M, 直线 P B 与 轴交于点 N. 求证 : AN BM 为定值. 第 () 小题考查椭圆的 程与基本量 ; 第 () 小题考查基本的利用代数 法研究 何的能. 根据题意画出示意图如图. B P N M A () 根据椭圆 C 的离 率为 此椭圆 C 的 程为 可得 a = 4b, 又 AB 的面积 4 + =. ab =, 于是可得 a =,b =, 因 8

29 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) ã ã sin θ cos θ () 设 P 点坐标为 ( cos θ, sin θ), 可求得 M 点坐标为 0,,N 点坐标为 cos θ sin θ, 0, 故 ã ã AN BM = cos θ sin θ sin θ cos θ (sin θ + cos θ ) = ( sin θ) ( cos θ) = 4 为定值, 因此原命题得证. =, 在仿射变换 = 为 A, B, P, M, N, 连接 A B, 如图. P N B M 下椭圆 C 变为圆 C : + = 4. 设 A, B, P, M, N 的对应点分别 A P N B M A 由 B A N = A B M = 45, 且 A B N = 45 + B N = P + B N = A M B, 可得 A B N 与 B M A 相似, 于是 A N B A = A B B M, 即 A N B M = A B = 8, 因此 AN BM = 8, 即 AN BM = 4 为定值, 因此原命题得证. 9 0 设数列 A : a, a,, a N (N ). 如果对 于 n ( n N) 的每个正整数 k 都有 a k < a n, 则称 n 是数列 A 的 个 G 时刻. 记 G(A) 是数列 A 的所有 G 时刻 组成的集合. () 对数列 A :,,,,, 写出 G(A) 的所有元素 ; () 证明 : 若数列 A 中存在 a n 使得 a n > a, 则 G(A) ; () 证明 : 若数列 A 满 a n a n (n =,,, N), 则 G(A) 的元素个数不 于 a N a. 第 () 小题是为了让解题者熟悉 G 时刻 所作的铺垫 ; 第 () 小题提示解题者将具体的 G 时刻 设出, 然后利用其定义解决问题, 考查了最值原理. 第 () 小题中结论的形式 a N a 提示我们去寻找类似于 裂项 的结构. () G(A) = {, 5}. () 若数列 A 中存在 a n 使得 a n > a, 不妨假设 a k ( k N) 是 a, a,, a N 中第 个 于 a 的 同时, 我们也得到了对 般的椭圆 a + b = ( a > b > 0 ) 的结论 : AN BM = ab. 9

30 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 数, 则对小于 k 的每个正整数 i 都有 a i a < a k, 所以 k G(A), 故 G(A). () (i) 若 G(A) =, 则由第 () 题可知, a N a, 此时结论成立. (ii) 若 G(A), 设 G(A) = {i, i,, i k }, 其中 i j {,,, N}, j =,,, k. 不妨设 i < i < < i k. 由题意, a i > a a i, 所以 a i a a i a i, 同理, a i > a i a i, 所以 a i a i a i a i, 以此类推, 我们有 a i a a i a i, a i a i a i a i,, a ik a ik a ik a ik. 将以上各式叠加, 我们得到 a N a a ik a k, 故此时结论也成立. 综合 (i)(ii) 可知, 若数列 A 满 a n a n (n =,,, N), 则 G(A) 的元素个数不小于 a N a 某学校运动会的 定跳远和 0 秒跳绳两个单项 赛分成预赛和决赛两个阶段. 下表为 0 名学 的预赛 成绩, 其中有三个数据模糊. 学 序号 定跳远 ( 单位 : ) 秒跳绳 ( 单位 : 次 ) 6 a a b 65 在这 0 名学 中, 进 定跳远决赛的有 8, 同时进 定跳远决赛和 0 秒跳绳决赛的有 6, 则 ( ) A. 号学 进 0 秒跳绳决赛 B. 5 号学 进 0 秒跳绳决赛 C. 8 号学 进 0 秒跳绳决赛 D. 9 号学 进 0 秒跳绳决赛 进 立定跳远决赛的 8 是 号到 8 号, 他们的 0 秒跳绳成绩记为 (, 75), (6, 7), (7, 70), (, 6), (5, 6), (4, 60), 以及 (, a), (8, a ). 注意到 0 秒跳绳的成绩中有两名学 并列, 因此进 决赛的成绩线必然在 6 次以下 0

31 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) ( 否则 多只有 5 进 决赛 ), 因此可以确定 5 号学 必然进 了 0 秒跳绳决赛, 选 B. 4 4 某 店统计了连续三天售出商品的种类情况 : 第 天售出 9 种商品, 第 天售出 种商品, 第三天售出 8 种商品 ; 前两天都售出的商品有 种, 后两天都售出的商品有 4 种, 则该 店 () 第 天售出但第 天未售出的商品有种 ; () 这三天售出的商品最少有种. 如图, 区域 I, II, III 表示只在第 三天售出的商品 ; 区域 IV, V, V I 表示只在第 天, 第 三天, 第 三天售出的商品 ; 区域 V II 表示三天都售出的商品. 它们的数量分别为 i ( i =,,, 7 ). I IV V II V I II V III () 根据题意, 有 = 9, =, 因此 + 6 = 9 = 6. () 根据容斥原理, 这三天售出的商品总数为 ( ) + 7 = 4 6, = 4, 因此 = 4, 因此这三天售出的商品总数最少有 9 种. 种符合题意的填法是 (,,, 4, 5, 6, 7 ) = (, 9, 0, 0,, 4, ). 4 9 已知椭圆 C : a + b = 过 A(, 0), B(0, ) 两点. () 求椭圆 C 的 程及离 率 ; () 设 P 为第三象限内 点且在椭圆 C 上, 直线 P A 与 轴交于点 M, 直线 P B 与 轴交于点 N, 求证 : 四边形 ABNM 的 积为定值. 第 () 小题考查椭圆的 程与基本量 ; 第 () 小题与理科的第 () 小题基本 致, 参见理科第 9 题的第 () 小题. () 根据题意, 有 a =, b =, 于是椭圆的 程为 4 + =, 其离 率 e =. () 四边形 ABNM 的面积 S = AN BM. 以下参见理科第 9 题的第 () 小题, 定值为.

32 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) B P N M A 4 0 设函数 f() = + a + b + c. () 求曲线 = f() 在点 (0, f(0)) 处的切线 程 ; () 设 a = b = 4, 若函数 f() 有三个不同零点, 求 c 的取值范围 ; () 求证 : a b > 0 是 f() 有三个不同零点的必要 不充分条件. 第 () 小题是基本的利用导函数求曲线的切线 程的问题 ; 第 () 小题是利用导函数研究函数的零点的问 题, 可以分离变量以简化问题 ; 第 () 小题是在第 () 小题的基础上进 的 点点延伸. () 函数 f() 的导函数 f () = + a + b, 于是 f(0) = c, f (0) = b, 因此曲线 = f() 在点 (0, f(0)) 处的切线 程为 = b + c. () 函数 f() 的零点即 程 = c 的实数根, 令 g() = , 则其导函数 g () = = ( + )( + ), 于是函数 g() 在 (, ) 上单调递增, 在, ã 上单调递减, 在 值为 g( ) = 0, 极小值为 g ã = 7. 依题意, 函数 = g() 与 = c 有三个不同的公共点, 因此, + ã 上单调递增, 其极 因此 c 的取值范围是 () 分两步证明. 0, ã. 7 7 < c < 0, 解得 0 < c < 7, 若连续函数 f() 有三个不同零点, 那么 f() 的单调性必然变化 少 次, 因此其导函数必然有 个不同的零点, 从 f () 的判别式 = 4(a b) > 0, 从 a b > 0. 取 a = 0, b =, c =, 则函数 f() = +, 其导函数 f () = ( + )( ), 于是其极 值为 f( ) = 5, 其极小值为 f() =, 此时函数 f() 只有 个零点.

33 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 综上所述, a b > 0 是 f() 有三个不同零点的必要 不充分条件 在平 内, 定点 A, B, C, D 满 DA #» = DB #» = DC #», DA #» DB #» = DB #» DC #» = DC #» DA #» =, 动点 P, M 满 AP #» #» =, P M = MC #», 则 BM #» 的最 值是 ( ) A. 4 4 B C D 如图. 根据已知, 有 ADB = BDC = CDA, 因此 DAB, DBC, DCA 全等, 进 可得 ABC 为正三角形, 进 步计算可得 DA = DB = DC =. A P D N M B C 根据题意, P 在以 A 为圆 为半径的圆上运动, 因此 CP 的中点 M 在以 N 为圆, 上运动, 其中 N 点为边 AC 的中点. 因此 BM #» 的最 值为 为半径的圆 BN + = ã DB + ã = 49 4, 选 B. 45 ã 5 在平 直 坐标系中, 当 P (, ) 不是原点时, 定义 P 的 伴随点 为 P +, + ; 当 P 是原点时, 定义 P 的 伴随点 为它. 平 曲线 C 上所有点的 伴随点 所构成的曲线 C 定义为曲线 C 的 伴 随曲线, 现有下列命题 : () 若点 A 的 伴随点 是点 A, 则点 A 的 伴随点 是点 A ; () 单位圆的 伴随曲线 是它 ; () 若曲线 C 关于 轴对称, 则其 伴随曲线 C 关于 轴对称 ; (4) 条直线的 伴随曲线 是 条直线. 其中的真命题是 ( 写出所有真命题的序号 ). 观察伴随点的坐标形式, 考虑利用极坐标理解 伴随点. 设 P (ρ cos θ, ρ sin θ), 其中 ρ > 0, 则其伴随 点 P 为 ρ sin θ, ã ρ cos θ, 即 (θ ρ cos π ), ( ρ sin θ π )ã π. 可以理解为将 P 绕 顺时针旋转 得到点 Q, 然后在射线 Q 上取 P 使得 P = ρ ( 可以看成关于单位圆反演 ), 如图.

34 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) P P Q 对命题 (), 取单位圆上的 点 A, 那么它的 伴随点 A 的 伴随点 相当于将 A 顺时针旋转 π 得到的点, 与 点 A 关于原点对称, 命题错误 ; 对命题 (), 根据对 伴随点 的 何解释, 命题正确 ; 对命题 (), 若曲线 C 关于 轴对称, 那么曲线 C 顺时针旋转 π 后得到的曲线 D 必然关于 轴对称, 此时将曲线 D 关于单位圆反演得到的曲线必然也关于 轴对称, 命题正确 ; 对命题 (4), 任取与单位圆相离的直线, 则其 伴随曲线 必然在单位圆内部, 不可能是 条直线, 命题错误. 综上所述, 真命题是 ()() 已知椭圆 E : a + b = ( a > b > 0 ) 的两个焦点与短轴的 个端点是直 三 形的三个顶点. 直线 l : = + 与椭圆 E 有且只有 个公共点 T. () 求椭圆 E 的 程及点 T 的坐标 ; () 设 是坐标原点, 直线 l 平 于 T, 与椭圆 E 交于不同的两点 A, B, 且与直线 l 交于点 P. 证明 : 存在常数 λ, 使得 P T = λ P A P B, 并求 λ 的值. 第 () 小题综合考查椭圆的基本量与 程以及直线与圆锥曲线的位置关系 ; 第 () 小题是圆幂定理在仿射变换下的结果, 利用参数 程也可以很快计算出结果. () 根据勾股定理, 可得 a + a = (c), 其中 c 为椭圆的半焦距. 又由直线 l 与椭圆联立的等效判 别式可得 a + b ( ) = 0, 于是可得 程组 a = c, a + b = 9, 解得 a = 6, b =, a = b + c, c =, 于是椭圆 E 的 程为 6 + =, 进 不难求出 T (, ). () 注意到问题的结论类似于圆幂定理, 因此考虑用仿射变换. 作仿射变换 =, = 则椭圆 E 变为圆 E : + = 6, 事实上, 根据反演变换的性质, 任何不通过原点的直线的 伴随曲线 必然是除去原点的圆. 直线 A + B + C = 0 与椭圆 a + b = 联 后的判别式与等效判别式 0 = a A + b B C 同号, 这很容易利 联 程证明. 4

35 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 此时设 P, A, B, T 的对应点分别是 P, A, B, T. B P T A P T A B 由仿射变换前后的弦长对应关系, 可得 P T P T = + ( ) + ( ) =, 两式相比, 可得 根据圆幂定理, 有 P A P B P A P B ã + = ã = 6 5, + P T P A P B P A P B P T = 4 5, P T = P A P B, 因此原命题得证, 且 λ = 4 5. 设 P 点坐标为 (p, p), 由题意, 可设直线 l 的参数 程为 = p + t, = p + t, 其中 t 为参数. 将其与椭圆 程联立, 得 t + 4t + p 4p + 4 = 0. 设 A, B 两点对应的参数分别为 t, t, 则 > 0, t + t =, t t = (p ). 因为 P T = (p ), P A P B = 5 t 5 t = 5(p ), 所以存在常数 λ = 4 5, 使得 P T = λ P A P B. 5

36 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 47 设函数 f() = a a ln, 其中 a R. () 讨论 f() 的单调性 ; () 确定 a 的所有可能取值, 使得 f() > e 在区间 (, + ) 内恒成.( e =.78 为 然对数的底数 ) 第 () 小题考查利用导函数研究函数的单调性 ; 第 () 小题可以利用端点分析得到分界点, 然后适当放缩 进 论证即可. () 函数 f() 的定义域为 (0, + ), 其导函数 f () = a, > 0, 于是当 a 0 时, 函数 f() 在 (0, + ) 上单调递减 ; 当 a > 0 时, 函数 f() 在 Ç å 在 a, + 上单调递增. () 题中不等式即 a( ) ln + e > 0, Ç 0, å a 上单调递减, 记左侧为函数 g(), 其导函数为 g () = a + e. 注意到 g() = 0, 于是可以分析端点 = 处的导函数值 g () = a, 得到分界点 a =. 在以下讨论 中, 默认 的范围是 (, + ). a. 此时有 记右侧为函数 h(), 则其导函数 g() ( ) ln + e, h () = + e. 我们熟知 ln <, 从 < ln, 即 e <, 因此 h () > + = ( )( + ) > 0, 于是函数 h() 单调递增, h() = 0, 因此 g() h() > 0, 符合题意. a <. 此时有 ã g() < a( ) + + ï ò = ( ) a. ( + ) 6

37 P P 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 若 a 0, 则 g() < 0, 显然不符合题意 ; 若 0 < a <, 则当 Ç, Ç åå a 时, 有 g() < 0, 不符合题意. 综上所述, 实数 a 的取值范围是 ï ã, ln, 0 < <, 0 设直线 l, l 分别是函数 f() = 图象上点 P, P 处的切线, l 与 l 垂直相交 ln, > 于点 P, 且 l, l 分别与 轴相交于点 A, B, 则 P AB 的 积的取值范围是 ( ) A. (0, ) B. (0, ) C. (0, + ) D. (, + ) 由于 ( ln ) = < 0, (ln ) = > 0, 于是若两条切线互相垂直, 则切点必然分别位于图象在 (0, ) 和 (, + ) 的部分, 如图. A B P 设 P (t, ln t) ( 0 < t < ), 则不难计算得 P t, ln t ã, 两条切线分别为 l : = t + ln t, l : = t ln t, 进 可得 P AB 的面积 S = P AB = t + t, 其取值范围是 (0, ), 选 A. 49 ã 5 在平 直 坐标系中, 当 P (, ) 不是原点时, 定义 P 的 伴随点 为 P +, + ; 当 P 是原点时, 定义 P 的 伴随点 为它. 现有下列命题 : () 若点 A 的 伴随点 是点 A, 则点 A 的 伴随点 是点 A ; () 单位圆上的点的 伴随点 仍在单位圆上 ; () 若两点关于 轴对称, 则它们的 伴随点 关于 轴对称 ; (4) 若三点在同 条直线上, 则它们的 伴随点 定共线. 其中的真命题是 ( 写出所有真命题的序号 ). 点 P 观察伴随点的坐标形式, 考虑利用极坐标理解 伴随点. 设 P (ρ cos θ, ρ sin θ), 其中 ρ > 0, 则其伴随 为 ρ sin θ, ã ρ cos θ, 即 (θ ρ cos π ), ( ρ sin θ π )ã π. 可以理解为将 P 绕 顺时针旋转 7

38 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 得到点 Q, 然后在射线 Q 上取 P 使得 P = ρ ( 可以看成关于单位圆反演 ), 如图. P P Q 对命题 (), 取单位圆上的 点 A, 那么它的 伴随点 A 点 A 关于原点对称, 命题错误 ; 的 伴随点 相当于将 A 顺时针旋转 π 得到的点, 与 对命题 (), 根据对 伴随点 的 何解释, 命题正确 ; 对命题 (), 若两个点关于 轴对称, 那么两个点顺时针旋转 π 后得到的点必然关于 轴对称, 此时将旋 转后得到的两个点关于单位圆反演得到的两个点必然也关于 轴对称, 命题正确 ; 对命题 (4), 取与单位圆相切的直线 =, 则易知切点 A(, 0) 的 伴随点 是点 A (0, ). 考虑直线上的 点 B(, ) 和 C(, ), 它们的 伴随点 B 和 C 分别位于第三, 四象限, 且均在单位圆内部, 显然此时 A, B, C 不共线, 命题错误. 综上所述, 真命题是 ()() 已知椭圆 E : a + b = ( a > b > 0 ) 的 个焦点与短轴的两个端点是正三 形的三个顶点, 点 ã, P 在椭圆 E 上. () 求椭圆 E 的 程 ; () 设不过原点 且斜率为的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A, B, 线段 AB 的中点为 M, 直线 M 与椭圆 E 交于 C, D, 证明 : MA MB = MC MD. 第 () 小题考查椭圆的基本量与 程 ; 第 () 小题是圆幂定理在仿射变换下的结果, 因此可以考虑用仿射 变换解决, 同时利用参数 程计算也不难. 需要注意的是这里出现了弦中点的问题, 因此可以利用椭圆的 垂径 定理 ( 参考 考数学压轴题的分析与解 破解压轴题的有效 0 招中的第 7 招 有 次曲线的 垂径定理 ). ã, () 根据题意, 有 a = b, 结合点 P 在椭圆 E 上, 可得椭圆 E 的 程为 4 + =. () 设 A(, ), B(, ), 将两个点满 的椭圆 程相减整理可得 ( 即椭圆的 垂径定理 ) 直线 M 和直 线 AB 的斜率之积为 4, 从 直线 CD 的斜率为. 注意到结论的形式类似于圆幂定理, 因此考虑用仿射变换. 作仿射变换 =, =, 则 椭圆 E 变为圆 E : + = 4. 设 A, B, C, D 变化后的对应点分别是 A, B, C, D, 如图. D B M C A D A M C B 事实上, 根据反演变换的性质, 任何不通过原点的直线的 伴随曲线 必然是除去原点的圆. 8

39 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 根据仿射变换前后弦长的对应关系, 我们有 M A MA M C MC = M B MB = M D MD = = ã + 4 ã, ã + ã, 于是可得 根据圆幂定理, 有 M A MA = M B MB = M C MC = M D MD, M A M B = M C M D, 由此即得原命题成立. 由 CD : =, 于是可设 M( m, m), 进 分别以 (, ) 和 (, ) 为直线 AB 和 CD 的 向向量, 可设 = m + t, = m + t, AB : 且 CD : = m + t, = m t. 设点 A, B 对应的参数分别为 t, t, 点 C, D 对应的参数分别为 t, t 4, 分别将直线 AB, CD 的 程与椭圆 程联立, 可得 t, t 是 程 t + m = 0 的两根, t, t 4 是 程 t 4mt + m = 0 的两根. 因此 MA MB MC MD = + t»» + t + ( ) t + ( ) t 4 = 0, 因此原命题得证. 5 设函数 f() = a a ln, g() = e e, 其中 a R, e =.78 为 然对数的底数. () 讨论 f() 的单调性 ; () 证明 : 当 > 时, g() > 0 ; () 确定 a 的所有可能取值, 使得 f() > g() 在区间 (, + ) 内恒成. 与理科第 题基本相同, 参见理科第 题的分析. 增设了 问分散了最后 问论证 a < 意的压. 时不符合题 9

40 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) () 即理科第 题的第 () 小题. () 欲证明的不等式即 e > e, >. 令 h() = e, 则其导函数 h () = e ( ), 于是当 > 时, h() 单调递增, 因此在区间 (, + ) 上有 h() > h() = e, 原命题得证. () 理科第 题的第 () 小题. 得到分界点, 以及证明 a 与 相同. a <. (i) a 0 时, 根据第 () 小题结论, 函数 f() 在 (, + ) 上单调递减, 因此当 > 时,f() < f() = 0, 根据第 () 小题, g() > 0, 不符合题意 ; (ii) 0 < a < Ç å 时, 根据第 () 小题结论, 函数 f() 在, a f() < f() = 0, 根据第 () ï 小题结论 ã, g() > 0, 不符合题意. 综上所述, a 的取值范围是, +. 上单调递减, 因此当 > 时, (4a ) + a, < 0, 8 已知函数 f() = ( a > 0, 且 a ) 在 R 上单调递减, 且关于 的 log a ( + ) +, 0 程 f() = 恰好有两个不相等的实数解, 则 a 的取值范围是 ( ) A. 0, ò ï B., ò ï C. 4, ò ß 4 D. ï, ã ß 4 因为 f() 在 R 上单调递减, 所以 4a 0, 0 < a <, [ + (4a ) + a ] =0 [log a ( + ) + ] =0, 解得 a 4. 接下来思考函数 = f() 的图象与直线 = ( ) 以及 = ( ) 的公共点个数, 如图. 40

41 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 当 a = 时, 符合题意. 当 a 变 时, 设函数 h() = log a ( + ) + ( 0 ), 则 h(0) =, h() = log a + < 0, 因此在区间 [0, ] 上题中 程有且只有 个实数解. 这样问题就转化为了 程 + (4a ) + a = 在区间 (, 0) 上只有 个实数解. 设 g() = + (4a ) + a, 则 g(0) = a, 因此得到分界点. a <. 此时 g(0) < 0, g() 的图象开 向上, 因此 程在区间 (, 0) 上有且只有 个实数解, 符合题意. a =. 此时 g(0) = 0, g() 的对称轴 = a 满 a < 0, 进 步其判别式 = 4(4a )(a ) > 0, 于是 程在区间 (, 0) 上有且只有 个实数解, 符合题意. < a 4. 此时 g(0) > 0, g() 的对称轴 = a 满 a < 0, 进 步可得其判别式 = 4(4a )(a ) = 0, 即 a = 4 时符合题意. 综上所述, a 的取值范围是 ï, ò ß. 4 5 = pt, 4 设抛物线 ( t 为参数, p > 0 ) 的焦点为 F, 准线为 l. 过抛物线上 点 A 作 l 的垂线, = pt ã 7 垂 为 B. 设 C p, 0, AF 与 BC 相交于点 E. 若 CF = AF, 且 ACE 的 积为, 则 p 的值为. 如图. 由题意可知, 抛物线的普通 程为 = p(p > 0),F 点坐标为 ( p, 0 ), 准线 l 的 程为 = p, B F A E C 4

42 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 设 A 点坐标为 (, ), 不妨设 > 0. 由于 CF = AF, 故 ( + p ) = p, 解得 = p, Ä ä 进 步可求得 A 点坐标为 p, p. AB 因为 ABE 与 F CE 相似, 且 F C =, 所以 解得 p = S ACF = S ACE = 9, 即 p p = 9, 9 设椭圆 a + = ( a > ) 的右焦点为 F, 右顶点为 A. 已知点, e 为椭圆的离 率. () 求椭圆的 程 ; F + A = e F A, 其中 为原 () 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B ( B 不在 轴上 ), 垂直于 l 的直线与 l 交于点 M, 与 轴交于 点 H, 若 BF HF, 且 MA MA, 求直线 l 的斜率的取值范围. 第 () 小题考查椭圆的 程与基本量 ; 第 () 小题注意到并不需要联立直线与椭圆 程, 因此直接以 B 点坐标为参数展开计算即可. () 由 F + A = e F A 可知 c c + a = a a c, 解得 a =. 故椭圆 程为 4 + Ä =. ä () 如图, 设 B 点坐标为 cos θ, sin θ, 其中 sin θ 0, H 点坐标为 (0, h). B M H F A 因为 BF HF, 故 #» F B F # H» = 0, 解得 h = cos θ sin θ. 4

43 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 因为 M 点在直线 l 上, 所以可以设 M 点坐标为 Ç å (m ) sin θ m,. 由题意, HM AB, 所以 cos θ #» HM AB #» Ç (m ) sin θ = m, cos θ = = 0, cos θ 7 ã m cos θ cos θ å Ä cos θ, sin θ ä sin θ 故 m = 8 + cos θ 7 cos θ. 因为 MA MA, 所以 m, 解得 cos θ. 令 α = θ, 由于 cos θ = tan α + tan α, 故 tan α ; 由于 sin θ = tan α + tan α 0, 故 tan α 0. 所以 tan α < 0 或 0 < tan α. 设直线 l 的斜率为 k, 则 k = sin θ cos θ = tan α + tan α tan ã = α + tan α tan α, 因为 tan α < 0 或 0 < tan α 6 6, 所以 k 或 k Ç ô 4 ñ å 综上所述, 直线 l 的斜率 k 的取值范围是, 4 4, 设函数 f() = ( ) a b, R, 其中 a, b R. () 求 f() 的单调区间 ; () 若 f() 存在极值点 0, 且 f( ) = f( 0 ), 其中 0, 求证 : + 0 = ; () 设 a > 0, 函数 g() = f(), 求证 : g() 在区间 [0, ] 上的最 值不 于 4. 第 () 小题考查利用导函数研究函数的单调性 ; 第 () 小题考查利用导函数研究函数的极值点. 第 () 小 题在第 () 小题的基础上可以画出极端情形 : = 4 = 4 4

44 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 在此基础上利用函数 f() 在 = 0,,, 处的函数值结合反证法证明结论即可. () 函数 f() 的导函数 f () = ( ) a. a 0. 此时恒有 f () 0, 于是函数 f() 的单调递增区间为 (, + ), 没有单调递减区间. a > 0. Ç å Ç å a a 此时函数 f () 有两个零点, 函数 f() 的单调递增区间是, + 和 +, +, 单调 Ç å a a 递减区间是 +, +. () 因为 0 是 f() 的极值点, 故由第 () 问可知, a > 0, 且 f ( 0 ) = 0, 即 a = ( 0 ) > 0. 由题意可知, 关于 的 程 f() = f ( 0 ) 有且只有两个不同的实根 0,. 因为 f ( 0 ) = ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) b = ( 0 ) ( 0 ) b = ( 0 ) 0 ( 0 ) b = ( 0 ) a 0 b = f ( 0 ), 且 0 0 ( 否则由 0 = 可推出 a = 0, 盾 ), 故 0 =, 即 + 0 =. () 用反证法. 假设 g() 在区间 [0, ] 上的最 值小于 考虑 4. f(0) = b, f() = a b, ã f = 8 a b, ã f = 8 a b, 我们有 所以 但是 ã f f ã f a = f() f(0), a ã 4 = f f ã f + f() f(0) f ã, ã + f() f(0) =, ã + f ã + f () + f (0) <, 盾. 44

45 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 所以 g() 在区间 [0, ] 上的最 值不小于 已知函数 f() = sin ω + sin ω (ω > 0), R. 若 f() 在区间 (π, π) 内没有零点, 则 ω 的取值范围是 ( ) A. 0, 8 ò B. 函数 f() 可以化简为 f() = π 周期 ω 讨论如下. 0, ò ï ã 5 4 8, (ω sin π ) 4 C. 0, 5 ò 8 D. 0, ò ï 8 4, 5 ò 8. 根据题意可知 f(π) f(π) 0, 且函数 f() 的半不小于区间 (π, π) 的长度 π. 在得到 0 < ω 后, 可得在区间 (π, π) 上 ω π 4 π 4, 7π 4 ã, f(π) = 0 或 f(π) = 0. 此时 ωπ π 4 = k π 或 ωπ π 4 = k π, 其中 k, k Z. 考虑到 ω (0, ], 于是解得 ω = 8, 4, 5 8. f(π) > 0 且 f(π) > 0. 此时 0 < ωπ π 4 < π, 0 < ωπ π 4 < π, 解得 4 < ω < 5 8. f(π) < 0 且 f(π) < 0. 此时 π 4 < ωπ π 4 < 0 或 π < ωπ π 4 < 7π 4, π 4 < ωπ π 4 < 0 或 π < ωπ π 4 < 7π 4, 解得 0 < ω < 8. 综上所述, ω 的取值范围是 0, ò ï 8 4, 5 ò, 选 D. 8 注考虑将函数 = (ω sin π ) 的图象进 拉伸, 使其在 (π, π) 内没有零点, 考虑 = π 4 4 最终的位置与区间 (π, π) 的关系亦可. 和 = 5π (4a ) + a, < 0, 4 已知函数 f() = ( a > 0, 且 a ) 在 R 上单调递减, 且关于 的 log a ( + ) +, 0 程 f() = 恰有两个不相等的实数解, 则 a 的取值范围是. 45

46 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 因为 f() 在 R 上单调递减, 所以 4a 0, 0 < a <, [ + (4a ) + a ] =0 [log a ( + ) + ] =0, 解得 a 4. 接下来思考函数 = f() 的图象与直线 = ( 6 ) 以及 = ( 6 ) 的公共点个数, 如图. 6 当 a = 时, 符合题意. 当 a 变 时, 设函数 h() = log a ( + ) + ( 0 ), 则 h(0) =, h() = log a + < 0, 因此在区间 [0, 6] 上题中 程有且只有 个实数解. 这样问题就转化为了 程 + (4a ) + a = 在区间 (, 0) 上只有 个实数解. 设 g() = + 4 a ã + a, 则 g(0) = a, 因此得到分界 点. a <. 此时 g(0) < 0, g() 的图象开 向上, 因此 程在区间 (, 0) 上有且只有 个实数解, 符合题意. a =. 此时 g(0) = 0, g() 的对称轴为 = 0, 于是 程在区间 (, 0) 上没有实数解, 不符合题意. < a 4. 此时 g(0) > 0, g() 的对称轴 = a ã 满 a ã < 0, 进 步可得其判别式 = 6 a a ã ã < 0, 于是 程在区间 (, 0) 上没有实数解 ï, 不符合题意. 综上所述, a 的取值范围是, ã 设椭圆 a + = (a > ) 的右焦点为 F, 右顶点为 A, 已知原点, e 为椭圆的离 率. () 求椭圆的 程 ; F + A = e F A, 其中 为 46

47 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) () 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B ( B 不在 轴上 ), 垂直于 l 的直线与 l 交于点 M, 与 轴交于 点 H. 若 BF HF, 且 MA = MA, 求直线 l 的斜率. 与理科第 9 题基本相同, 参考对理科第 9 小题的分析. 第 () 小题由求范围变成了求值, 降低了问题 的难度. () 由 F + A = e F A 可知 c c + a = a a c, 解得 a =. 故椭圆 程为 4 + Ä =. ä () 如图, 设 B 点坐标为 cos θ, sin θ, 其中 sin θ 0, H 点坐标为 (0, h). B M H F A 因为 BF HF, 故 #» F B F # H» = 0, 解得 h = cos θ sin θ. 因为 M 点在直线 l 上, 所以可以设 M 点坐标为 Ç å (m ) sin θ m,. 由题意, HM AB, 所以 cos θ #» HM AB #» Ç (m ) sin θ = m, cos θ = = 0, cos θ 7 ã m cos θ cos θ å Ä cos θ, sin θ ä sin θ 故 m = 8 + cos θ 7 cos θ, 因为 MA = MA, 所以 m =, 解得 cos θ = Ç å 6. 从 M, ±, 所以 4 6 直线 l 的斜率为 ± 设函数 f() = a b, R, 其中 a, b R. () 求 f() 的单调区间 ; () 若 f() 存在极值点 0, 且 f( ) = f( 0 ), 其中 0, 求证 : + 0 = 0 ; () 设 a > 0, 函数 g() = f(), 求证 : g() 在区间 [, ] 上的最 值不 于 4. 47

48 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 与理科第 0 题基本相同, 参考对理科第 0 题的分析. 只是理科第 0 题对函数图象作了平移, 增加了思 考的难度. () 函数 f() 的导函数 f () = a. a 0. 此时恒有 f () 0, 于是函数 f() 的单调递增区间为 (, + ), 没有单调递减区间. a > 0. Ç å Ç å Ç å a a a a 此时函数 f() 的单调递增区间是, 和, +, 单调递减区间是,. () 因为 0 是 f() 的极值点, 故由第 () 问可知, a > 0, 且 f ( 0 ) = 0, 即 a = 0 > 0. 由题意可知, 关于 的 程 f() = f ( 0 ) 有且只有两个不同的实根 0,. 因为 f ( 0 ) = ( 0 ) 0 ( 0 ) b = 0 b = 0 a 0 b = f ( 0 ), 且 0 0 ( 否则由 0 = 0 可推出 a = 0, 盾 ), 故 0 =, 即 + 0 = 0. () 用反证法. 假设 g() 在区间 [0, ] 上的最 值小于 考虑 4. f( ) = + a b, f() = a b, f ã = 8 + a b, ã f = 8 a b, 我们有 所以 但是 f ã f ã f a = f() f( ), a 4 = f ã f ã f ã, ã + f() f( ) =, + f() f( ) f + ã f ã + f () + f ( ) <, 盾. 所以 g() 在区间 [, ] 上的最 值不小于

49 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 60 0 若函数 = f() 的图象上存在两点, 使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直, 则称 = f() 具有 T 性质. 下列函数中具有 T 性质的是 ( ) A. = sin B. = ln C. = e D. = 根据题意, 函数 = f() ( 导函数为连续函数 ) 具有 T 性质, 那么必然出现以下两种情形之 : () 函数 f () 的值域包含 个形如 [m, n] 的区间, 其中 m < 0 < n 且 mn ; () 导函数的值域包含 0 且函数存在垂直于 轴的切线. 对于选项 A, 导函数为 = cos, 其值域为 [, ], 具有 T 性质, 因此选项 A 正确 ; 对于选项 B, 导函数为 =, 其值域为 (0, + ), 不具有 T 性质 ; 对于选项 C, 导函数为 = e, 其值域为 (0, + ), 不具有 T 性质 ; 对于选项 D, 导函数为 =, 其值域为 [0, + ), 但不存在垂直于 轴的切线, 不具有 T 性质. 6, m, 5 已知函数 f() = m + 4m, > m, 有三个不同的根, 则 m 的取值范围是. 其中 m > 0, 存在实数 b, 使得关于 的 程 f() = b 注意到函数 = m + 4m ( > m ) 是在 (m, + ) 上的单调递增函数, 因此若存在实数 b, 使 得关于 的 程 f() = b 有三个不同的根, 那么必然有 ( ) =m > ( m + 4m) =m, 解得 m >, 因此 m 的取值范围是 (, + ). m m + 4m m 实际上, m > 0 是多余的条件. 因为当 m 0 时, 组成 f() 的两段函数均为单调函数, 因此关于 的 程 f() = b 的实根最多只有 个, 不符合题意. 6 0 已知 f() = a( ln ) +, a R. () 讨论 f() 的单调性 ; () 当 a = 时, 证明 : f() > f () + 对于任意的 [, ] 成. 第 () 小题考查利用导函数研究函数的单调性, 对分类讨论有较 要求 ; 第 () 小题的函数不等式利用 ln 的常见放缩即可轻松解决. 49

50 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) () 根据题意, f() 的导函数 f () = (a )( ), 易得讨论的分界点为 0,. a 0. 此时函数 f() 在 (0, ) 上单调递增, 在 (, + ) 上单调递减. 0 < a <. 此时函数 f() 在 (0, ) 上单调递增, 在 Ç, å a 上单调递减, 在 Ç å a, + 上单调递增. a =. 此时函数 f() 在 (0, + ) 上单调递增. a >. 此时函数 f() 在 () 题中不等式即 Ç 0, å a 上单调递增, 在 Ç å a, ln + ( )( ) > 0, 上单调递减, 在 (, + ) 上单调递增. 我们熟知在区间 [, ] 上有 ln, 于是 ln + ( )( ) ( )( ) = ( )( ), 等号当且仅当 = 时取得. 在区间 [, ] 上, 显然有 ( )( ) 0, 等号当且仅当 = 时取得. 因此等号 法同时取得, 题中不等式得证. 6 平 直 坐标系 中, 椭圆 C : a + b = ( a > b > 0 ) 的离 率是焦点 F 是 C 的 个顶点., 抛物线 E : = 的 () 求椭圆 C 的 程 ; () 设 P 是 E 上的动点, 且位于第 象限,E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A, B, 线段 AB 的 中点为 D, 直线 D 与过 P 且垂直于 轴的直线交于点 M. (i) 求证 : 点 M 在定直线上 ; (ii) 直线 l 与 轴交于点 G, 记 P F G 的 积为 S, P DM 的 积为 S, 求 值时点 P 的坐标. S S 的最 值及取得最 50

51 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 第 () 小题考查椭圆与抛物线的基本量和 程 ; 第 () 小题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及面积问 题, 其中切线问题可以用 考数学压轴题的分析与解 破解压轴题的有效 0 招中的第 0 招 圆锥曲线的切线 程 解决, 涉及的弦中点问题, 则可以用可以用 考数学压轴题的分析与解 破解压轴题的有效 0 招中 的第 7 招 有 次曲线的 垂径定理 轻松化解. () 根据题意, 有 F 点的坐标为 0, ã, 于是 b =. 又根据离 率为 a = 4b =, 可得 于是椭圆 C 的 程为 + 4 =. () 画出示意图如下. B F D G P M A (i) 设 P (t, t ) ( t > 0 ), 则切线 l 的 程为 = t t. 设点 A(, ), B(, ), 将两点满 的椭圆 程相减整理得 ( 即椭圆的 垂径定理 ) 直线 M 的斜率与直线 AB 的斜率满 从 可得 k M = 8t, 于是不难计算得 M 的坐标为 (ii) 由 DP M 与 DG 相似可得 k AB k M = b a, t, ã, 因此点 M 在定直线 = 4 4 上. S = P M P M + G P M d(, P M), 因此 S S = t + ã t t t + ã t t + 4 = (8t + )(6t + ) (8t + ) ï (8t + ) + (6t ò + ) (8t + ) = 9 4, 等号当 8t + = 6t +, 即 t = 时取得. 因此所求的最 值为 9 4, 此时点 P 的坐标为 Ç, å 若函数 = f() 的图象上存在两点, 使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直, 则称 = f() 具有 T 性质. 下列函数中具有 T 性质的是 ( ) 5

52 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) A. = sin B. = ln C. = e D. = 与理科第 0 题相同. 65, m, 5 已知函数 f() = m + 4m, > m, 有三个不同的根, 则 m 的取值范围是. 其中 m > 0, 存在实数 b, 使得关于 的 程 f() = b 与理科第 5 题相同 设 f() = ln a + (a ), a R. () 令 g() = f (), 求 g() 的单调区间 ; () 已知 f() 在 = 处取得极 值, 求实数 a 的取值范围. 第 () 小题考查利用导函数研究函数的单调性 ; 第 () 小题可以通过端点分析得到分界点 a 时的论证, 但有第 () 小题的铺垫, 亦不难解决., 难点在于 () 根据题意, 函数 f() 的导函数 g() = f () = ln a( ), > 0, 函数 g() 的导函数 g () = a, > 0. a 0. 此时在 (0, + ) 上, g () > 0, 于是 g() 的单调递增区间是 (0, + ). a > 0. 此时函数 g() 的单调递增区间是 0, ã ã, 单调递减区间是 a a, +. () 考虑到 f () = 0, 于是当 f() 在 = 处取得极 值时, 必然在 = 的左邻域内单调递增, 在 = 的右邻域内单调递减. 注意到 f () = g () = a, 因此得到分界点. a >. ã ã 此时函数 f () 在 a, + 上单调递减, f () = 0, 于是在区间 a, (, + ) 上有 f () < 0, 因此函数 f() 在 = 处取得极 值, 符合题意. 上有 f () > 0, 在区间 a. (i) 若 a 0, 则函数 f () 在 (0, + ) 上单调递增, f () = 0, 此时在区间 (0, ) 上有 f () < 0, 因 此函数 f() 在 = 处不能取得极 值, 不符合题意. (ii) 若 0 < a <, 则函数 f () 在 0, ã 上单调递增, a a > 且 f () = 0, 此时在区间上有 f () > 0, 因此函数 f() 在 = 处不能取得极 值, 不符合题意., ã a 5

53 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) (iii) 若 a =, 则函数 f () 在 (0, ) 上单调递增, 在 (, + ) 上单调递减, 于是 f () 0, 不符合题意. ã 综上所述, a 的取值范围为, 已知椭圆 C : a + b = ( a > b > 0 ) 的长轴长为 4, 焦距为. () 求椭圆 C 的 程 ; () 过动点 M(0, m) ( m > 0 ) 的直线交 轴于点 N, 交 C 于点 A, P ( P 在第 象限 ), 且 M 是线段 P N 的 中点. 过点 P 作 轴的垂线交 C 于另 点 Q, 延长 QM 交 C 于点 B. (i) 设直线 P M, QM 的斜率分别为 k, k, 证明 : k k (ii) 求直线 AB 的斜率的最 值. 为定值 ; 第 () 小题是简单的椭圆的基本量与 程问题 ; 第 () 小题利用 (i) 指出了两条相交于 M 的直线的相关 关系, 借助这 相关关系可以 便的计算直线 AB 的斜率, 其中理顺直线的截距 m 与斜率 k 之间的关系是 解决问题的另 关键. () 如图. () 根据题意, 有 a = 4, c =, 因此 b =, 于是椭圆 C 的 程为 B M P 4 + =. A N Q (i) 根据题意, 设 P (p, m) ( 0 < m < ), 则 Q(p, m), 于是直线 QM, P M 的斜率之比为 k k = m m m m =. (ii) 由于直线 P A 的斜率 k = m p = Ã m =, 4 8m 4 m 8 其中 0 < m <. 因此 k 的取值范围是 (0, + ). 将直线 = K + m 与椭圆的 程联立, 整理得 (K + ) + 4Km + m 4 = 0, 设 A(, ), B(, ), 直线 P A : = k + m, 直线 QB : = k + m, 分别令 K = k 和 K = k 即可得 p = m 4 k +, p = m 4 8k +, 5

54 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 进 直线 AB 的斜率 k AB = = (k + m) ( k + m) k m 4 = k p + k p p p = 4 = 6k + ã 6 k, k + + k m 4 8k + m 4 k + m 4 8k + 等号当且仅当 k = 6 6 时取得. 因此直线 AB 的斜率的最小值为 如图, 在 ABC 中,D 是 BC 的中点,E, F 是 AD 上的两个三等分点, BA #» CA #» = 4, BF #» CF #» =, #» 则 BE CE #» 的值是. A F E B D C 我们熟知极化恒等式 数量积转化为好计算的线段长度. 本题中有 ï #» #» ( a b = #»a #» ) ò + b #» BA CA #» = AB #» AC #» = AD BD, ï ( #»a #» ) ò b. 利用它可以将不好计算的 #» BF CF #» = F # B» F # C» = F D BD = 9 AD BD, 于是不难计算得 AD = 45 8, BD = 8, 进 #» BE CE #» = EB #» EC #» = ED BD = 4 9 AD BD = = 7 8. 设 #» AB = #» a, AC #» = #» b, 根据题意有 #» BA CA #» = #» a #» b = 4, #» BF #» ã ã #» CF = b #» a #» #» a b =, #» BE CE #» ã ã #» 5 = b #» a #» 5 #» a b,

55 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 整理得 于是 #» #» a b = 4, ( #» a + #» b ) + 5 #» a #» b = 9, #» BE CE #» = 5( #» a + #» b ) + 6 #» a #» b, 6 #» BE CE #» = 5 7 ( 9) + 4 = 在锐 三 形 ABC 中, 若 sin A = sin B sin C, 则 tan A tan B tan C 的最 值是. 注意到题中条件两边的次数不齐, 考虑将 sin A 改写为 sin(b + C), 于是有 sin B cos C + cos B sin C = sin B sin C, 朝结论靠拢, 有 tan B + tan C = tan B tan C. 我们熟知在锐角 ABC 中有 tan A tan B tan C = tan A + tan B + tan C, 于是 从 tan A tan B tan C = tan A + tan B tan C tan A tan B tan C, tan A tan B tan C 8, 等号当 tan A = tan B tan C 时取得. 经验证, 当 tan A = 4, tan B = +, tan C = 时可以取 得等号, 因此 tan A tan B tan C 的最小值是 8. 注 在非直角 ABC 中, tan A = tan(b + C) = tan B + tan C tan B tan C, 整理即得 tan A tan B tan C = tan A + tan B + tan C, 这个三角恒等式曾多次在各个 校的自主招 试题中出现 如图, 在平 直 坐标系 中, 已知以 M 为圆 的圆 M : = 0 及其上 点 A(, 4). 55

56 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) M A () 设圆 N 与 轴相切, 与圆 M 外切, 且圆 N 在直线 = 6 上, 求圆 N 的标准 程 ; () 设平 于 A 的直线 l 与圆 M 相交于 B, C 两点, 且 BC = A, 求直线 l 的 程 ; #» () 设 T (t, 0) 满 : 存在圆 M 上的两点 P 和 Q, 使得 T A + T # P» = T # Q», 求实数 t 的取值范围. 第 () 小题考查直线与圆以及圆与圆的相切 ; 第 () 小题考查直线与圆的位置关系中的弦长问题 ; 第 () 小题考查利用轨迹研究动态问题的数学思维. () 将圆 M 的 程整理为标准 程 :( 6) +( 7) = 5. 由于圆 M 与圆 N 的圆 连线与 轴 垂直, 于是圆 N 与 轴和圆 M 的切点分别是 (6, 0) 和 (6, ), 进 其标准 程为 ( 6) + ( ) =. () 由题意, BC = A = 5, 于是圆 M 到直线 l 的距离为 ã 5 BC = 5, 又直线 l 的斜率为, 设其 程为 + m = 0, 则有 m + = 5, 解得 m = 5 或 m = 5, 因此直线 l 的 程是 + 5 = 0 或 5 = 0. () 由题意, AT #» = T # P» T # Q» = QP #» #». Q, P 可以在圆 M 上任取, 因此 QP 可以表示任何长度不超过圆 M 的直径的向量. M AA T 于是问题等价于点 T (t, 0) 在圆 A : ( ) + ( 4) = 00 的圆内部 ( 包含边界 ), 即 (t ) + (0 4) 00, 解得 t +, 因此实数 t 的取值范围是 î, + ó. 7 9 已知函数 f() = a + b ( a > 0, b > 0, a, b ). () 设 a =, b =. (i) 求 程 f() = 的根 ; (ii) 若对于任意 R, 不等式 f() mf() 6 恒成, 求实数 m 的最 值 ; 56

57 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) () 若 0 < a <, b >, 函数 g() = f() 有且只有 个零点, 求 ab 的值. 第 () 小题考查简单的包含指数函数的 程的求解以及含参不等式恒成立的处理办法 ( 参见 考数学压 轴题的分析与解 破解压轴题的有效 0 招中的第 招 分离变量法 ); 第 () 小题注意到 g(0) = 0, 因此 = 0 同时是函数 g() 和函数 g () 的零点, 难点在于严格地论述. ()(i) 程 f() = 即 + =, 也即 ( ) = 0, 因此它的根是 = 0. (ii) 原命题即 R, + m + ã 6, 也即 m ã + = = + ã 对 切实数 均成立. 由第 () 小题, 当 = 0 时, + =, 此时右侧函数取得最小值为 4. 因此实数 m 的最 值是 4. () 函数 g() 的导函数 g () = ln a a + ln b b = a ï ã b ln b ln ò, a a 令 h() = ã b ln b ln a a, 则 h() 单调递增, 且有唯 零点 0, 其中 0 满 ln a a 0 + ln b b 0 = 0, 进 函数 g() 在 = 0 处取得极小值, 亦为最小值 g( 0 ). 由于 g(0) = f(0) = 0, 进 如下讨论 此时必然有 g( 0 ) < 0, 取 = min{log a, 0 }, = ma{log b, 0 +}, 则显然有 g( ) > 0,g( ) > 0 且 < 0 <, 此时函数 g() 在区间 (, 0 ) 和区间 ( 0, ) 内都存在零点, 不符合题意. 0 = 0. 此时函数 g() 在 (, 0) 上单调递减, 在 (0, + ) 上单调递增, g(0) = 0, 因此函数 g() 有唯 零点, 符合题意. 综上所述, 0 = 0, 进 可得 ln a + ln b = 0, 从 ab =. 7 0 记 U = {,,, 00}. 对数列 {a n } ( n N ) 和 U 的 集 T, 若 T =, 定义 S T = 0 ; 若 T = {t, t,, t k }, 定义 S T = a t + a t + + a tk. 例如 : T = {,, 66} 时, S T = a + a + a 66. 现设 {a n } ( n N ) 是公 为 的等 数列, 且当 T = {, 4} 时, S T = 0. () 求数列 {a n } 的通项公式 ; () 对任意正整数 k ( k 00 ), 若 T {,,, k}, 求证 : S T < a k+ ; () 设 C U, D U, S C S D, 求证 : S C + S C D S D. 57

58 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 第 () 小题考查基本数列的通项 ; 第 () 小题考查基本数列的前 n 项和 ; 第 () 小题可以从第 () 小题 的证明过程中得到思路, 只要将集合作简单分划即可. () 根据题意有 a + 7a = 0, 从 a =, 因此所求通项公式为 a n = n ( n N ); () 根据题意, 有 k S T a i = (k ) < k = a k+, i= 因此命题得证. () 设集合 A = { C, / D}, 集合 B = { D, / C}, 则 S C = S A + S C D, S D = S B + S C D, 因此条件即 S A S B, S C + S C D S D = S A S B. 当 B = 时命题显然成立, 接下来考虑 B 的情形. 设此时集合 A 中的最 元素为 p, 集合 B 中的 最 元素为 q, 则由于 A 和 B 没有公共元素, 因此 p q. p < q. 此时由第 () 小题结论, 有 S B a q > a + a + + a q S A, 盾. p > q. 此时与第 () 小题的论证过程类似, 有 S A a p = p > (p ) (q ) S B, 因此有 S C + S C D S D > 0, 命题得证. 综上所述, 原命题得证. 7 如图, 在平 直 坐标系 中, 已知直线 l : = 0, 抛物线 C : = p ( p > 0 ). l : = 0 C : = p () 若直线 l 过抛物线 C 的焦点, 求抛物线 C 的 程 ; () 已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q. 58

59 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) (i) 求证 : 线段 P Q 的中点坐标为 ( p, p) ; (ii) 求 p 的取值范围. 第 () 小题考查抛物线的基本量与 程 ; 第 () 小题是典型的弦中点问题, 考虑用点差法解决. () 直线 l 的横截距为 (, 0), 于是 p = 4, 从 抛物线 C 的 程为 = 8. ()(i) 设 P (pa, pa), Q(pb, pb), 则 P Q 的斜率 a + b =, 从 a + b =, 因此线段 P Q 的中点 M 的纵坐标 p(a + b) = p, 进 由中点在直线 l 上可得其坐标为 ( p, p). (ii) 由 (i), 可得 因此题意即圆 + = p p p(a + b ) = p, a + b + = 0, ( p > 0 ) 和直线 + + = 0 有两个公共点. 进 可得 < p p, 解得 p 的取值范围是 0, 4 ã. 74 () 求 7C 6 4C 4 7 的值 ; () 设 m, n N, n m, 求证 : (m + )C m m + (m + )C m m+ + (m + )C m m+ + + nc m n + (n + )C m n = (m + )C m+ n+. 第 () 小题考查组合数的计算, 同时也提示了解决第 () 小题时用到的 个恒等式 ; 第 () 小题利用第 () 小题中的恒等式即可解决. 此外考虑到欲证明结论是 个有关正整数的等式, 因此必然可以用数学归纳法证 明. () 7C 6 = 7 0 = 40, 4C 4 7 = 4 5 = 40, 于是 7C 6 4C 4 7 = 0. () 在第 () 小题的提示下, 我们可以证明 (k + )C m k = (m + )Cm+ k+, 于是 (Cm+ LHS = (m + ) + Cm+ m+ + + ) Cm+ n+, 又由于 C k n = C k n + C k n, 于是 C m+ n+ = Cm+ n+ + Cm+ n+ = Cm+ n + C m+ n + C m+ n+ = = Cm+ + Cm+ m+ + + Cm+ n+, 这样就证明了题中的等式. 59

60 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 已知实数 a, b, c.( ) A. 若 a + b + c + a + b + c, 则 a + b + c < 00 B. 若 a + b + c + a + b c, 则 a + b + c < 00 C. 若 a + b + c + a + b c, 则 a + b + c < 00 D. 若 a + b + c + a + b c, 则 a + b + c < 00 从分析变量 a, b, c 的界. 选项 A, 取 a = b, c = (a + a), 则 a + b + c + a + b + c = 0, 此时由于 a 可以任取, 因此 c 界, 显然 法得到 a + b + c < 00, 如取 a = 0 即可推出 盾 ; 选项 B, 取 c = 0, b = a, 则 a + b + c + a + b c = 0, 此时 b 界, 如取 a = 0 即可推出 盾 ; 选项 C, 与选项 B 类似, 取 c = 0, b = a, 则 a + b + c + a + b c = 0, 此时 b 界, 如取 a = 0 即可推出 盾 ; 此可得正确的答案是 D. 下面证明选项 D 的正确性. 首先根据绝对值不等式, 有 a + b + c + a + b c a + a + b + b, a + a, b + b 4, 因此可得 4 a + a, b + b 5 4, 即 6 a, b + 6. 为了便于计算, 取 a, b [, ], 进 由绝对值不等式, 有 a + b + c + a + b c a a + b b + c, a a, b b ï 4 ò, 6 [ 6, 6], 于是 c, 从 c [ 7, 7], 此时必然有 a + b + c < 00, 命题得证. 60

61 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 76 5 已知向量 #» #» a, b, #» a =, #» b =, 若对任意单位向量 的最 值是. #» e, 均有 #» a #» e + #» b #» e 6, 则 #» a #» b 由绝对值不等式, 有 6 #» a #» e + #» b #» e #» a #» e + #» b #» e = ( #» a + #» b ) #» e, 于是对任意单位向量 #» e, 均有 ( #» a + #» b ) #» e 6, #» a + #» b = #» a + #» b + #» a #» b =»5 + #» a #» b, 因此 ( #» a + #» b ) #» e 的最 值» 5 + #» a #» b 6, 从 #» a #» b. 下面证明 #» #» a b 可以取得. () 若 #» a #» e + #» b #» e = #» a #» #» e + b #» e, 则显然符合题意 ; () 若 #» a #» e + #» b #» e = #» a #» #» e b #» e, 此时 #» a #» b = #» a + #» b #» a #» b =, 于是 #» a #» e + #» b #» e = #» a #» e #» b #» e < 6, 符合题意. 综上所述, #» a #» b 的最 值为. 77 p, p q, 8 已知 a, 函数 F () = min{, a + 4a }, 其中 min{p, q} = q, p > q. () 求使得等式 F () = a + 4a 成 的 的取值范围 ; ()(i) 求 F () 的最 值 m(a) ; (ii) 求 F () 在 [0, 6] 上的最 值 M(a). 此题是经典的含参 次函数的讨论问题, 注意分析区间端点展开讨论即可. () 根据题意, 有 a + 4a.. 此时不等式等价于 (a + ) + 4a 0, 即 ( )( a) 0, 解得 a. <. 此时不等式等价于 + ( a) + 4a 4 0, 6

62 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 考虑到左侧函数的对称轴为 = a, 又该函数在 = 处的函数值为 a > 0, 此时 解. 综上所述, 的取值范围是 [, a]. ()(i) 根据第 () 小题的结论, 我们有 a + 4a, [, a], F () =, (, ) (a, + ), 该函数在第 段上的最小值 m (a) = a + 4a ( a ), 在第 段上的最小值 m = 0. 由于函数 m (a) 在 a [, + ) 上的零点为 a = +, 于是 0, a î, + ó, m(a) = a + 4a, a ( +, + ). (ii) 由于 = a + 4a 的对称轴为 = a, 于是在 [, 6] 上, 函数 = a + 4a 或者递减, 或者先递减再递增, 因此最 值必然在区间端点处取得, 从 F () 在 [, 6] 上的最 值 4 8a, a [, 4], M (a) = ma{, 4 8a} =, a (4, + ). 函数 F () 在 [0, ) 上的最 值是, 于是 4 8a, a [, 4], M(a) =, a (4, + ) 如图, 设椭圆 C : a + = (a > ). A () 求直线 = k + 被椭圆截得的弦长 ( a, k 表 ); () 若任意以点 A(0, ) 为圆 的圆与椭圆 多有三个公共点 a, 求椭圆的离 率的取值范围. a 此处表述 妥, 应将 多有三个公共点 改为 的公共点不超过三个. 第 () 小题是基础的弦长问题, 联立即可 ; 第 () 小题需要构造函数, 将圆与椭圆的公共点与函数的零点 对应起来. 6

63 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) () 联立直线与椭圆的 程, 可得 ( + a k ) + a k = 0, 从 所求的弦长为 a k + k + a k = a k + k + a k. () 如图, 设 M(, ) 是椭圆上 点, 连接 MA. A M 由于 考虑函数 MA = + ( ) = a ( ) + ( ) = ( a ) + a +. t = ( a ) + a +, 的图象与直线 t = r 的公共点, 其中 a >, r 为圆的半径. 当公共点对应的 = ± 时, 个公共点对应圆与椭圆的 个公共点 ; 当公共点对应的 (, ) 时, 个公共点对应圆与椭圆的两个公共点. 根据题意, 可得函数 t = ( a ) + a +, 为单调函数, 否则必然存在直线 t = r 轴为 = a, a >, 因此 与之有两个公共点, 且其对应的 均在区间 (, ). 考虑到其对称 进 可得椭圆的离 率 e 的取值范围是 a, 解得 < a, Ç ô 0, 设数列 {a n } 满 a n a n+, n N. () 求证 : a n ã n ( a ) (n N ) ; n () 若 a n, n N, 证明 : a n, n N. 第 () 小题是对数列 {a n } 的 个上下界估计, 利用好递推结构不难证明 ; 第 () 小题可以考虑用反证 法, 若 a n >, 那么第 () 小题结论给出的界和条件给出的界有冲突, 从 推出 盾. () 根据已知, 有 a n+ n+ a n n, n =,, n 6

64 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 累加, 有 a n n a n a n + n n a n a + + n a n + n + + = n, 由绝对值不等式可得 再由绝对值不等式可得 a n n a n, a a n n n, 即 a n n ( a ) +, 这样就证明了 a n n ( a ) (n N ). () 在 () 的基础上, 不难证明对任意 n, m N, 有 a n+m m ( a n ), 只需要取 n, n +,, n + m 的情形累加即得. 结合已知条件, 有 ã n+m m ( a n ), 即 ã m 4 ã n ( a n ). 若 a n >, 那么对任何正整数 n, 右侧为确定的正数, 记为 f(n), 此时取 m = î log 4 f(n)ó +, 则有 盾. 因此原命题得证. 注 ã m < f(n) = 4 ã n ( a n ), 从数列的界的角度看, 第 () 小题给出了数列 { a n } 的 个等比下界, 第 () 小题给出了数列 { a n } 的 个等比上界. 若 a n >, 那么将由于下界增长速度超过上界增长速度 导致 盾 如图, 点列 {A n }, {B n } 分别在某锐 的两边上, 且 A n A n+ = A n+ A n+, A n A n+, n N, B n B n+ = B n+ B n+, B n B n+, n N, 其中 P Q 表 P 与 Q 不重合. 若 d n = A n B n, S n 为 A n B n B n+ 的 积, 则 ( ) 64

65 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) A A A A n+ A n S S S n B B B B n B n+ A. {S n } 是等差数列 B. {Sn} 是等差数列 C. {d n } 是等差数列 D. {d n} 是等差数列 由于 A n B n B n+ ( n =, ) 的底 B B = B B =, 顶点 A, A, 共线, 因此这些 底边上的 成等差数列, 进 {S n } 构成等差数列, 选 A. 对于选项 B, 由于 {S n } 是等差数列, 于是 {Sn} 只有当 {S n } 是常数列时才为等差数列, 此时直线 A A 与 B B 平, 与已知不符, 因此选项 B 错误 ; 对于选项 C,D, 过 A 作 B B 的垂线, 取垂 为 B, 在 B 的左侧取 点为 B, 则 A B > A B, 因此在 A 右侧必然可以找到 点 A, 使得 A B = A B, 此时数列 {d n } 和 {d n} 必然均不是等差数 列, 因此选项 C,D 错误. A A B B 8 4 如图, 已知平 四边形 ABCD, AB = BC =, CD =, AD = 5, ADC = 90. 沿直线 AC 将 ACD 翻折成 ACD, 直线 AC 与 BD 所成 的余弦的最 值是. D D C A B 过 D 作 DH 垂直 AC 于 H, 如图. 点 D 在以 H 为圆, DH 为半径的圆上运动, 且 圆面 ( 记为 α ) 与 AC 垂直. A G B D H C E 65

66 06 年 考数学压轴题的分析与解 ( 兰琦著 ) 在 D 点运动的过程中, 直线 AC 与 BD 所成角为直线 BD 与圆面 α 所成角的余角, 因此问题等价于求 直线 BD 与圆面 α 所成角的正弦值的最 值. 设 E 为 B 在圆面 α 上的投影, 经计算得 AC = 6, 进 D H = DH = , EH =, EB =, 因此直线 BD 与圆面 α 所成角的正切值的最 值为 EB EH D H =, 5 6 于是其正弦值的最 值是 6, 即直线 AC 与 BD 所成角的余弦的最 值. 如法 图, 设直线 AC 与 BD 所成角为 θ, 则 cos θ = BD #» HG #» BD HG = ( BG #» + GH #» + HD #» ) HG #» BD HG = GH BD GH = GH BD, BD =» ( BG #» + GH #» + HD #» ) ( BG #» + GH #» + HD #»» ) = BG + GH + HD + BG #» HD #», 于是 BD 的最小值为 BG + GH + HD BG HD. 进 步可以计算得所求的最 值为 已知平 向量 最 值是. #» a, #» b, #» a =, #» b =, #» a #» b =. 若 #» e 为平 单位向量, 则 #» a #» e + #» b #» e 的 当 #» a #» e 与 #» b #» e 同号 ( 认为 0 与任何数同号 ) 时, 有 #» a #» e + #» b #» e = #» a #» e + #» b #» e #» a + #» b #» e = #» a + #» b + #» a #» b = 7. 取 当 #» e 为与 #» #» a + b 同向的单位向量可以使得上述不等式取得等号. #» a #» #» e 与 b #» e 异号时, 有 #» a #» e + #» b #» e = #» a #» e #» b #» e #» a #» b #» e = #» a + #» b #» a #» b =. 综上所述, 所求代数式的最 值为 如图, 设抛物线 = p ( p > 0 ) 的焦点为 F, 抛物线上的点 A 到 轴的距离等于 AF. 66