北京市朝阳区学年度高三年级第一学期期中统一考试

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炼堕连
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1 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试 ( 理工类 ) ( 考试时间 0 分钟满分 0 分 ) 08 本试卷分为选择题 ( 共 40 分 ) 和非选择题 ( 共 0 分 ) 两部分第一部分 ( 选择题共 40 分 ) 一选择题 : 本大题共 8 小题, 每小题分, 共 40 分在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项已知集合 A { log }, B, 则 A B= A(,] B(, + ) C (, ) D[, + ) 在 ABC 中, π AB =, AC =, C =, 则 B 6 A 4 B 4 或 C 4 执行如图所示的程序框图, 则输出的 S 值为 D 4 或 4 A0 B C 40 D 4 在极坐标系中, 直线 l : cos si 与圆 C : cos 的位置关系为 A 相交且过圆心 B 相交但不过圆心 C 相切 D 相离如图, 角, 均以 O 为始边, 终边与单位圆 O 分别交于点 β 终边 B y α 终边 A A, B, 则 OA OB = A si( ) B si( ) C cos( ) D cos( ) O, a, 6 已知函数 f( ), a, 则 a 0 是函数 f( ) 在 [0, ) 上单调递增的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

2 7 某校象棋社团组织中国象棋比赛采用单循环赛制, 即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场, 胜者得分, 负者得 0 分, 平局两人各得分若冠军获得者得分比其他人都多, 且获胜场次比其他人都少, 则本次比赛的参赛人数至少为 A4 B C6 D7 8 若三个非零且互不相等的实数,, 成等差数列且满足, 则称,, 成一个等差数列已知集合 M 00, 数列中, 等差数列的个数为 Z, 则由 M 中的三个元素组成的所有 A B0 C D00 第二部分 ( 非选择题共 0 分 ) 二填空题 : 本大题共 6 小题, 每小题分, 共 0 分把答案填在答题卡上 9 计算 ( i) = 0 双曲线 y ( 0) 的离心率是 ; 该双曲线的两条渐近线的夹角是若 ( ) 展开式的二项式系数之和为 8, 则, 其展开式中的含项的系数为 ( 用数字作答 ) 已知某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥底面和三个侧面中, 直角三角形个数是 y 0, 已知不等式组 y, 在平面直角坐标系 Oy 中所表示的平 y k( ) 正视图侧视图面区域为 D, D 的面积为 S, 则下面结论 : 当 k 0 时,D 为三角形 ; 当 k 0 时,D 为四边形 ; 当 k 时, S 4 ; 4 当 0 k 时, S 为定值其中正确的序号是 4 如图, 已知四面体 ABCD 的棱 AB // 平面, 且 AB, 其余的棱长均为四面体 ABCD 以 AB 所在的直线为轴旋转俯视图 D C A B 弧度, 且始终在水平放置的平面的上方如果将四面体 ABCD α

3 在平面内正投影面积看成关于的函数, 记为 S ( ), 则函数 S ( ) 的最小值为 ; S ( ) 的最小正周期为三解答题 : 本大题共 6 小题, 共 80 分解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程 ( 本小题满分分 ) 已知函数 f ( ) si (si cos ) a 的图象经过点 (,) (Ⅰ) 求 a 的值, 并求函数 f( ) 的单调递增区间 ;, ar (Ⅱ) 若当 [0, ] 时, 不等式 f ( ) m恒成立, 求实数 m 的取值范围 6( 本小题满分分 ) 某市旅游管理部门为提升该市 6 个旅游景点的服务质量, 对该市 6 个旅游景点的交通安全环保卫生管理五项指标进行评分每项评分最低分 0 分, 最高分 00 分每个景点总分为这五项得分之和根据考核评分结果, 绘制交通得分与安全得分散点图交通得分与景点总分散点图如下 : 请根据图中所提供的信息, 完成下列问题 : (Ⅰ) 若从交通得分前名的景点中任取个, 求其安全得分大于 90 分的概率 ; (Ⅱ) 若从景点总分排名前 6 名的景点中任取个, 记安全得分不大于 90 分的景点个数为, 求随机变量的分布列和数学期望 ; (Ⅲ) 记该市 6 个景点的交通平均得分为, 安全平均得分为, 写出和的大小关系? ( 只写出结果 ) 7( 本小题满分 4 分 ) 如图, 在四棱锥 P ABCD 中, 平面 PBC 平面 ABCD PBC 是等腰三角形, 且 PB PC ; 在梯形 ABCD 中, AB DC, AD DC, AB, AD 4, DC (Ⅰ) 求证 : AB // 面 PDC ;

4 (Ⅱ) 求二面角 APB C 的余弦值 ; P (Ⅲ) 在线段 AP 上是否存在点 H, 使得 BH 平面 ADP? 请说明理由 8( 本小题满分分 ) D C 已知函数 f ( ) a a ( ar ) A B (Ⅰ) 若曲线 y f ( ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y 0, 求 a 的值 ; (Ⅱ) 当 a 0 时, 讨论函数 f( ) 的零点个数 9 ( 本小题满分 4 分 ) 已知抛物线 C : y (Ⅰ) 写出抛物线 C 的准线方程, 并求抛物线 C 的焦点到准线的距离 ; (Ⅱ) 过点 (,0) 且斜率存在的直线 l 与抛物线 C 交于不同两点 AB,, 且点 B 关于轴的对称点为 D, 直线 AD 与轴交于点 M (ⅰ) 求点 M 的坐标 ; (ⅱ) 求 OAM 与 OAB 面积之和的最小值 0 ( 本小题满分分 ) 若无穷数列 { a } * 满足 : 存在 a (,, ) p aq p qn p q, 并且只要 ap aq, 就有 a ta ( i,,, ; t 为常数 ), 则称 { a } 具有性质 T pi qi (Ⅰ) 若 { a } 具有性质 T, 且 t, a 4, a, a 4, a, a 7 a 8 a 9 6, 求 a ; (Ⅱ) 若无穷数列 { a } 的前项和为 S, 且不同取值, 使得数列 { a } 具有性质 T ; (Ⅲ) 设 { b } 是一个无穷数列, 数列 { a } 中存在 ap aq S b( br ), 证明存在无穷多个 b 的 * ( p, qn, p q), 且 * a b cos a ( N ) 求证 : { b } 为常数列是对任意正整数 a,{ } a 都具有性质 T 的充分不必要条件 4

5 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案 ( 理工类 ) 08 一选择题 :( 本题满分 40 分 ) 题号答案 D D C B C A C B 二填空题 :( 本题满分 0 分 ) 题号答案 i π 4 4 π 三解答题 :( 本题满分 80 分 ) ( 本小题满分分 ) 解 :(Ⅰ) 根据题意得 si (si cos ) a 即 ( 0) a, 解得 a 又 f ( ) si (si cos ) si si cos si cos si( ) 4 由 k k k Z, 4 得 k k, 所以 k k, 所以函数 f( ) 的单调递增区间是 [ k, k k Z 8 8 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知 f ( ) si( ) 4 当 [0, ] 时, [, ], 分所以 si( ) 4 所以 f( )

6 当, 即 0 时, f( ) 取得最小值 4 4 因为不等式 f ( ) 所以 m m恒成立等价于 m f ( ), 最小值故实数 m 的取值范围是 (, ] 分 6( 本小题满分分 ) 解 :(Ⅰ) 由图可知, 交通得分前名的景点中安全得分大于 90 分的景点有个故从交通得分前名的景点中任取个, 其安全得分大于 90 分的概率为分 (Ⅱ) 由图可知, 景点总分前 6 名的景点中安全得分不大于 90 分的景点有个设从景点总分前 6 名的景点中任取个, 安全得分不大于 90 分的个数为, 则的取值为 0,, C4 4 所以 P( 0) ; C 0 6 CC P( ) ; 0 4 C6 CC 4 P( ) 0 4 C6 故的分布列为 0 P 所以 E 0 0 分 (Ⅲ) 分 6

7 7( 本小题满分 4 分 ) 证明 :(Ⅰ) 因为 AB DC, P 又因为 AB 平面 PDC, DC 平面 PDC, D C 所以 AB // 平面 PDC 分 (Ⅱ) 取 BC 中点 F, 在 PBC 中, 因为 PB PC, 所以 PF BC 又易知 AC AB, 所以 AF BC A B P z 又因为平面 PBC 平面 ABCD, 且平面 PBC 平面 ABCD= BC, 所以 PF 平面 ABCD 所以 PF AF 以 F 为原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 F yz A D C F B y 在梯形 ABCD 中, 因为 AB DC, AD DC, AD 4, DC, AB, 所以 BC, AF 又因为 PB, 所以 PF 于是有 P(0,0,), A(,0,0), B(0,,0), C(0,,0) 所以 FA (,0,0), AB (,,0), PB (0,, ) 因为 AF 平面 PBC, 所以 FA (,0,0) 是平面 PBC 的一个法向量设平面 PBA 的一个法向量为 m (, y, z), 则 m AB 0, m PB 0, y 0, 即 yz0 y, 所以 y z 令 y, 则 m (,, ) (, 0, 0) (,, ) 0 所以 cos FA, m 4 0 由图可知, 二面角 APB C 为锐角, 所以二面角 APB C 的余弦值分 (Ⅲ) 因为 AB, DC, 且 AB (,,0), 所以 CD AB 所以 AD AB BC CD AB BC 4 8 (,,0) (0,,0) (,,0) 7

8 设平面 ADP 的一个法向量为 (, y, z), 则 AD 0, AP 0, 4 8 y 0, 即 z 0 y, 所以 z 令, 则 (,, ) 假设线段 AP 上存在点 H, 使得 BH 平面 ADP, 且设 AH AP( [0,]) 所以 AH AP (,0,) (,0, ) 所以 BH BA AH (,,0) (,0, ) ( ( ),, ) 因为 BH 平面 ADP, 所以 BH// ( ) 所以显然不存在所以假设不成立, 故线段 AP 上不存在点 H, 使得 BH 平面 ADP 4 分 8( 本小题满分分 ) 解 : 由题意可知 f ( ) ( )( a) (Ⅰ) 因为曲线 y f ( ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y 0, 所以 f (0) 0, f (0) 由得 a 0 a 4 分 (Ⅱ) 当 a 0 时, 令 f ( ) ( )( a) 0 得或 l( a) 当 l( a), 即 a (,0) 时, 当变化时, f ( ), f( ) 的变化情况如下表 : (,l( a)) l( a) (l( a), ) (, ) f ( ) 0 0 f( ) 极大值极小值所以函数 f( ) 在 (l( a), ) 上单调递减, 在 (,l( a)) 和 (, ) 上单调递增又因为 f (l( a)) al ( a) 0, f (0) 0, 8

9 所以函数 f( ) 有一个零点当 l( a), 即 a 时, 当变化时, f ( ), f( ) 的变化情况如下表 : (, ) (, ) f ( ) 0 f( ) 所以函数 f( ) 在 (,+ ) 上单调递增 f( ) a 又因为 f (0) 0, 所以函数 f( ) 有一个零点当 l( a) 0, 即 a (, ) 时, 当变化时, f ( ), f( ) 的变化情况如下表 : (, ) (,l( a)) l( a) (l( a), ) f ( ) 0 0 f( ) 极大值极小值所以函数 f( ) 在 (,l( a)) 上单调递减, 在 (, ) 和 (l( a), ) 上单调递增又因为 f ( ) +4a 4a 0, f( ) a, f (l( a)) al ( a) 0, f (0) 0, 所以当 a (, ) 时, 此时 f( ) a 0, 函数 f( ) 有一个零点 ; 当 a 时, 此时 f ( ) 0, 函数 f( ) 有两个零点 ; 当 a (, ) 时, 此时 f( ) a 0, 函数 f( ) 有三个零点 4 当 l( a) 0, 即 a 时, 显然函数 f( ) 有两个零点综上所述,() 当 a (,0) 时, 函数 f( ) 有一个零点 ; () 当 a {, } 时, 函数 f( ) 有两个零点 ; 9

10 () 当 a (, ) 时, 函数 f( ) 有三个零点分另外的解法提示 : f( ) ( a a, ) 易知 f(0) 0 即可考虑 g( ) a 的零点 a 9( 本小题满分 4 分 ) 解 :(Ⅰ) 由题意可知, 抛物线的准线方程为抛物线 C 的焦点到准线的距离为 4 分 (Ⅱ) 由已知设直线 l : y k( ), 显然 k 0 ; A(, y ), B(, y ), y, 由得 ky y 4k 0 y k( ), y y, yy 4 k 所以 (ⅰ) 因为点 BD, 关于轴对称, 所以 D(, y) y y 所以直线 AD 的方程为 y y ( ) 令 y 0, 得 ( y y ) y ( ) y y y y y y y y y y yy ( y y ) 所以 M (,0) 0 分 (ⅱ) 记 OAM 与 OAB 面积分别为 S OAM, S OAB, 设 P (,0) S + S OM y OP ( y y ) 则 OAM OAB y y y y y y 4 当且仅当 y y, 即 y, y 时, OAM 与 OAB 面积之和的最小值是 4 4 分 0 ( 本小题满分分 ) 解 :(Ⅰ) 因为 { a } 具有性质 T, 且 t, a a, 0

11 所以 a6 a, a7 a4, a8 a, a9 a6 9 a, 由 a7 a8 a9 6, 得 9a 6, 所以 a, 经检验符合题意分 (Ⅱ) 证明 : 因为无穷数列 { a } 的前和为 S, 且所以 a b, 当时, p 取 b ( pn, 且 p, p 为常数 ), S b, a 若存在 ap aq p q, 则 q 则 a p p a, 对 t p pi p, 有 a a ta ( i,,, ), pi i i 所以 { a } 具有性质 T, 且 b 的不同取值有无穷多个 8 分 (Ⅲ) 证明 : 当 { b } 为常数列时, 有 b * m( 常数 ), a mcos a( N ), 对任意的正整数 a, 因为存在 ap aq, 则由 mcos ap mcos aq, 必有 ap aq, 进而有 a a ( i,,, ), 这时 t, a ta ( i,,, ), pi qi 所以 { a } 都具有性质 T 所以, { b } 为常数列是对任意正整数 a,{ } a 都具有性质 T 的充分条件取 b pi, k, ( kn ), 对任意正整数 a, 由 a b cos a (, N ) 0, k, 得, a b cos a cos a, 因为 a 为正整数, 所以 a 0, 且 a a a b cos a 0, a 4 b cos a,, 即, 当时, a 0, k, ( kn ), k, 对任意 pq,, 则 pq, 同为奇数或同为偶数 qi 若 pq, 同为偶数, 则 a a ( i,,, ) 成立 ; pi qi 若 pq, 同为奇数, 则 a a ( i,,, ) 成立 pi qi 所以对于任意 pq, 满足 ap aq, 则取 t, a a 故 { a } 具有性质 T, 但 { b } 不为常数列, 所以 { b } 为常数列是对任意正整数 a,{ } a 都具有性质 T 的不必要条件 pi qi 证毕分

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于

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