. 共线向量定理向量 a(a 0) 与 b 共线, 当且仅当有唯一的一个实数 λ, 使得 b a. 注限定 a 0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性. 凤中数学静雅斋 :

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太玮米
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考点 18 平面向量的概念及其线性运算 1. 平面向量的实际背景及基本概念 (1) 了解向量的实际背景. () 理解平面向量的概念, 理解两个向量相等的含义. (3) 理解向量的几何表示.. 向量的线性运算 (1) 掌握向量加法减法的运算, 并理解其几何意义. () 掌握向量数乘的运算及其几何意义, 理解两个向量共线的含义. (3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义.

1 考点 18 平面向量的概念及其线性运算 1. 平面向量的实际背景及基本概念 (1) 了解向量的实际背景. () 理解平面向量的概念, 理解两个向量相等的含义. (3) 理解向量的几何表示.. 向量的线性运算 (1) 掌握向量加法减法的运算, 并理解其几何意义. () 掌握向量数乘的运算及其几何意义, 理解两个向量共线的含义. (3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 一平面向量的相关概念名称定义表示方法注意事项向量既有大小又有方向的量叫做向量 ; 向量的大小叫做向量的长度 ( 或模 ) 向量 AB 或 a ; 模 AB 或 a 平面向量是自由向量零向量长度等于 0 的向量, 方向是任意的记作 0 零向量方向是任意的单位向量长度等于 1 个单位的向量常用 e 表示非零向量 a 的单位向量是 a a 平行向量方向相同或相反的非零向量 a 与 b 共线可记共线向量平行向量又叫共线向量为 a 相等向量长度相等且方向相同的向量 a b b 0 与任一向量平行或共线两向量只有相等或不等, 不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量 a b 0 的相反向量为 0 二向量的线性运算 1. 向量的加法减法数乘运算及其几何意义运算律凤中数学静雅斋 : 1

2 . 共线向量定理向量 a(a 0) 与 b 共线, 当且仅当有唯一的一个实数 λ, 使得 b a. 注限定 a 0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性. 凤中数学静雅斋 :

3 考向一平面向量的基本概念解决向量的概念问题应关注以下六点 : (1) 正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. () 相等向量具有传递性, 非零向量的平行也具有传递性. (3) 共线向量即平行向量, 它们均与起点无关. (4) 相等向量不仅模相等, 而且方向要相同, 所以相等向量一定是平行向量, 而平行向量未必是相等向量. (5) 向量可以平移, 平移后的向量与原向量是相等向量. 解题时, 不要把它与函数图象移动混为一谈. (6) 非零向量 a 与 a a a 的关系 : 是 a 方向上的单位向量. a (7) 向量与数量不同, 数量可以比较大小, 向量则不能, 但向量的模是非负实数, 故可以比较大小. 典例 1 设 a 0 为单位向量, 给出下列命题 : 1 若 a 为平面内的某个向量, 则 a= a a 0 ; 若 a 与 a 0 平行, 则 a= a a 0 ; 3 若 a 与 a 0 平行且 a =1, 则 a=a 0. 上述命题中, 假命题的个数是 A.0 B.1 C. D.3 答案 D 综上所述, 假命题的个数是 3. 故选 D. 凤中数学静雅斋 : 3

4 1. 设 ab, 都是非零向量, 下列四个条件, 使 a a b b 成立的充要条件是 A. a b B. a b C. a b 且 a b D. a b 且方向相同考向二向量的线性运算平面向量线性运算问题的求解策略 : (1) 进行向量运算时, 要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中, 充分利用相等向量相反向量, 三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质, 把未知向量用已知向量表示出来. () 向量的线性运算类似于代数多项式的运算, 实数运算中的去括号移项合并同类项提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用. 学. 科 * 网 (3) 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧 :1 观察各向量的位置 ; 寻找相应的三角形或多边形 ; 3 运用法则找关系 ;4 化简结果. 典例如图, 在直角梯形中,, 为边上一点,, 为的中点, 则 A. B. C. D. 答案 D 凤中数学静雅斋 : 4

5 名师点睛高考对向量加法减法运算的考查, 重在对加法法则减法法则的理解, 要特别注意首尾顺次相接的若干向量的和为 0 的情况. 一般将向量放在具体的几何图形中, 常见的有三角形四边形 ( 平行四边形矩形菱形梯形 ) 正六边形等. 在解决这类问题时, 要注意向量加法减法和共线 ( 相等 ) 向量的应用. 当运用三角形加法法则时, 要注意两个向量首尾顺次相接, 当两个向量共起点时, 可以考虑用减法.. 已知 ABC 的外心满足, 则 A. B. C. D. 典例 3 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB AD AO, 则. 答案解析由平行四边形法则, 得 AB AD AC AO, 故 λ=. 凤中数学静雅斋 : 5

6 3. 在 ABC 数 m 的值为中,N 是 AC 边上一点, 且 AN 1 NC,P 是 BN 上的一点, 若 AP mab AC, 则实 9 A. 1 9 B. 1 3 C.1 D.3 考向三共线向量定理的应用共线向量定理的主要应用 : (1) 证明向量共线 : 对于非零向量 a,b, 若存在实数 λ, 使 a=λb, 则 a 与 b 共线. () 证明三点共线 : 若存在实数 λ, 使 AB AC, 则 A,B,C 三点共线. 注证明三点共线时, 需说明共线的两向量有公共点. (3) 求参数的值 : 利用共线向量定理及向量相等的条件列方程 ( 组 ) 求参数的值. 典例 4 已知两个非零向量 a 与 b 不共线. (1) 若 =a+b, =a+8b, =3(a b), 求证 :A,B,D 三点共线 ; () 试确定实数 k, 使 ka+b 和 a+kb 共线. 答案 (1) 证明见解析 ;( )k=1 或 1. 又它们有公共点 B, 凤中数学静雅斋 : 6

7 名师点睛利用向量证明三点共线时, 一般是把问题转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线. 对于第 () 问, 解决此类问题的关键在于利用向量共线的条件得出 ka+b=λ(a+kb), 再利用对应系数相等这一条件, 列出方程组, 解出参数. 4. 已知向量,,, 若三点共线, 则实数 k 的值等于 A.10 B.-10 C. D.- 1. 下列命题正确的是 A. a b a b B. a b a b C. a b a b D. a 0 a 0. 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则 OA OB OC OD 等于 A. OM B. OM C. 3OM D. 4OM 3. 如图, 已知是圆的直径, 点是半圆弧的两个三等分点,,, 凤中数学静雅斋 : 7

8 A. B. C. D. 4. 已知正方形 ABCD 的边长为 1, =, =, =, 则等于 A.0 B. C. D.3 5. 已知向量 e1, e 是两个不共线的向量, 若 a e1 e, 与 b e1 e 共线, 则的值为 A. 1 B. C. 1 D. 6. 在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F, 若, 则 = 学科 * 网 A. B. C. D. 7. 设向量 a =, x 1, b = x 14,, 则 x 3 是 a b 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若 P 为 ABC 所在平面内的一点, 且满足, 则点 P 的位置为 A.P 在 ABC 的内部 B.P 在 ABC 的外部 C.P 在 AB 边所在的直线上 D.P 在 AC 边所在的直线上 9. 在 ABC 中,D 在 AB 上,AD:DB=1:,E 为 AC 中点,CD BE 交于点 P 连接 AP. 设凤中数学静雅斋 : 8

, 则的值分别为 A. B. C. D. 10. 设 O 在 ABC 的内部,D 为 AB 的中点, 且 OA OB OC 0, 则 ABC 的面积与 AOC 的面积的比值为 A.3 B.4 C.5 D.6 11. 已知向量不平行, =a, =b, =c, =d, =e, 设 t R,3a=c,b=d,e=t(a+b), 若 C,D,E 三点在一条直线上时, 则 t 的值为. 1. 设 D,E 分别是 ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.

9 , 则的值分别为 A. B. C. D. 10. 设 O 在 ABC 的内部,D 为 AB 的中点, 且 OA OB OC 0, 则 ABC 的面积与 AOC 的面积的比值为 A.3 B.4 C.5 D 已知向量不平行, =a, =b, =c, =d, =e, 设 t R,3a=c,b=d,e=t(a+b), 若 C,D,E 三点在一条直线上时, 则 t 的值为. 1. 设 D,E 分别是 ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC. 若 =λ 1 +λ (λ 1,λ 为实数 ), 则 λ 1 +λ 的值为. 13. 已知向量 a, b, c 中任意两个都不共线, 且 a b 与 c 共线, b c 与 a 共线, 则向量 a b c =. 14. 若是所在平面内一点, 且满足, 则的形状为. 15. 如图, 在 ABC 中,M 为 BC 上不同于 B,C 的任意一点, 点 N 满足 AN NM. 若 AN xab y AC, 则 x 9y 的最小值为. 1.(015 年高考新课标 Ⅰ 卷 ) 设 D 为 ABC 所在平面内一点, BC 3CD, 则 A. AD AB AC B. AD AB AC C. AD AB AC D. AD AB AC (015 年高考北京卷 ) 在 ABC 中, 点 M,N 满足 =,. 若 =x +y, 则 x= ; 凤中数学静雅斋 : 9

10 y=. 3.(015 年高考新课标 Ⅱ 卷 ) 设向量 a, b 不平行, 向量 a b 与 a b 平行, 则实数. 变式拓展 1. 答案 D 解析 a a 表示与 a 方向相同的单位向量, b b 表示与 b 方向相同的单位向量, 因此 a a b b 成立的充要条件是 a 与 b 同向即可, 故选 D.. 答案 A 3. 答案 B 1 解析如图, 因为 AN NC, 所以 AP mab AC 9 1 B,P,N 三点共线, 所以 m 1, 则 m. 3 3 mab 3AN mab AN, 又答案 C 解析因为 A B D 三点共线, 所以, 所以, 所以,, 应选 C. 凤中数学静雅斋 : 10

11 考点冲关 1. 答案 D. 答案 D 解析因为 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 所以由向量加法的平行四边形法则得 OA OC OM, OB OD OM, 所以 OA OB OC OD 4OM. 选 D. 3. 答案 D 解析连接, 由点是半圆弧的三等分点, 得, 且和均为边长等于圆的半径的等边三角形, 所以四边形为菱形, 所以, 所以, 故选 D. 4. 答案 B 解析由题意知 : 故选 B. 5. 答案 A 解析向量共线, 则存在实数满足 : 本题选择 A. 6. 答案 C 1 e1 e e1 e, 据此可得 :, 解得. 1 凤中数学静雅斋 : 11

12 7. 答案 A 解析充分性 : 当 3 x 时,,, 4,4 必要性 :, x 1, x 1,4 故为充分不必要条件. 8. 答案 D a b 且 a b, a 1 a b, 4 x 1 x 1 b, a b 成立, 充分性成立 ;, 解得 x 3, 必要性不成立, 解析由得,, P 在 AC 边所在的直线上. 故选 D. 学. 科 & 网 9. 答案 C 解析因为为 AC 中点, 所以,. 因为 D P C 三点共线, 所以存在实数, 使得所以 =. 因为 E P B 三点共线, 同理存在实数, 使得 =, 所以, 解得. 所以 =, 而, 所以. 选 C. 10. 答案 B 1 解析 D 为 AB 的中点, 则 OD ( OA OB ), 又 OA OB OC 0, OD OC, O 为 CD 的中点, 凤中数学静雅斋 : 1

13 1 1 S ABC 又 D 为 AB 中点, S AOC S ADC S, 则 ABC 4. 4 S AOC 11. 答案易错分析本题可以根据向量共线满足的条件列出等式解决, 但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时, 容易忽视平面向量基本定理的使用条件, 出现漏解, 漏掉了当 a,b 共线时,t 可为任意实数这个解. 考生应该注意向量共线与直线共线的区别, 向量共线是指向量所在的直线平行或者重合, 而直线共线是指它们重合. 1. 答案解析由题意得 = + = + = + ( + )= +, 所以 λ 1 =,λ =, 即 λ 1 +λ =. 13. 答案解析因为 a b 与 c 共线, b c 与 a 共线, 所以 a b=mc, b c =na ; 可得 a c = mc na, 整理得 ; 因为 ac, 不共线, 所以, 解得, 所以 a b c, 移项可得 a b c = 答案直角三角形解析,,,, 即,,, 由此可得以为邻边的平行四凤中数学静雅斋 : 13

14 边形为矩形,, 得 ABC 的形状是直角三角形, 故答案为直角三角形. 15. 答案 5 直通高考 1. 答案 A 1 1 解析由题知 AD AC CD AC BC AC ( AC AB ) 1 AB 4 AC, 故选 A 答案解析由题中条件得 ( )= =x +y, 所以 x=,y=. 3. 答案 1 k, 解析因为向量 a b 与 a b 平行, 所以 a b k( a b ), 则 1 k, 所以 1. 凤中数学静雅斋 : 14

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于

. 共线向量定理 向量 a(a 0) 与 b 共线, 当且仅当有唯一的一个实数 λ, 使得 b a. 注 限定 a 0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性. 凤中数学静雅斋 :

. 共线向量定理向量 a(a 0) 与 b 共线, 当且仅当有唯一的一个实数 λ, 使得 b a. 注限定 a 0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性. 凤中数学静雅斋 :