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卡西欧杯 0 年全国高中数学图形计算器应用能力测试试题参考答案及评分标准 ( 使用 CG0 图形计算器 ) 一填空题 ( 共小题, 每小题 7 分, 满分 84

提示 : 利用解方程 ( 组 ) 功能模块. 易得 :, y, z 4, 所以 yz 8. 非图形计算器环境 : 利用消元法纸笔运算求解方程组..A.

较为稳定. 非图形计算器环境 : 纸笔运算, 先计算平均值, 然后计算方差或标准差进行比较可得. 4. 5.05.

1 卡西欧杯 0 年全国高中数学图形计算器应用能力测试试题参考答案及评分标准 ( 使用 CG0 图形计算器 ) 一填空题 ( 共小题, 每小题 7 分, 满分 84 分 ). a b. 提示 : 利用计算矩阵功能模块, 进行运算. 非图形计算器环境 : 利用科学计算器求解, 比较大小.. 8. 提示 : 利用解方程 ( 组 ) 功能模块. 易得 :, y, z 4, 所以 yz 8. 非图形计算器环境 : 利用消元法纸笔运算求解方程组..A. 提示 : 利用统计功能模块, 分两列输入数据, 进行双变量或单变量统计, 比较灯泡寿命的平均值和标准差, 在平均值均为 000 的条件下, 标准差小的品牌 A 较为稳定. 非图形计算器环境 : 纸笔运算, 先计算平均值, 然后计算方差或标准差进行比较可得提示 : 利用图形功能模块, 先在设置界面中设置 Derivative 为 o, 然后在图形函数界面中输入函数的解析式, 作出函数 y cos( ) 的图象, 利用函数图形分析功能作切线, 同时显示导数值. 可知, 点 A 处的切线斜率约为 5.05.

2 非图形计算器环境 : 先对函数求导, y 6si( ), y 0 6si( ) 0 6si, 再利用科学计算器计算. 5. 0k.,, 提示 : 利用动态图功能模块, 分别作出函数 f( ) 的图象与 f ( ) k 的图 ( ),. 象, 观察分析, 当两个函数的图象有两个交点时, 0k. 非图形计算器环境 : 纸笔画图, 观察判断. 6.5., 提示 : 利用金融功能模块, 选择复利, 输入相应的已知条件进行计算. 非图形计算器环境 : 列出等额本息还款的计算公式, 利用科学计算器求解.

利用图形分析功能求出两个图象的交点, 观察图象可得 m 的取值范围为 (.67,.

3 7.(.67,.67). 4 提示 : 由均值不等式可得 a a 的最小值为 4, 故 m m 4, 亦即 m m 恒成立. 令 y m m, y, 作出这两个函数的图象, 利用图形分析功能求出两个图象的交点, 观察图象可得 m 的取值范围为 (.67,.67). 非图形计算器环境 : 数形结合, 纸笔画图求解. 8.,,, 4. 提示 : 利用动态图功能模块, 画出 f ( ) si a 和 g( ) log 的图象, 改变参数 a 的值, 观察图象变化情况, 如图 : 当 a,,,4 时符合题意. 非图形计算器环境 : 对实数 a 赋值, 运用函数图象, 观察推理判断提示 : 如图, 由已知可得 AB OA OB OC ta6 ta 40, 因此 OC AB ta 6 ta 40, OC AB 0 船速为 , 利用矩阵计算功能模块进行计算, 0.5 ta 6 ta 40 ta 6 ta 40 注意改成角度制模式, 可得船速 v 7.80 海里 / 小时. C 40 O B A 非图形计算器环境 : 利用科学计算器, 纸笔运算.

利用图形 9y4 分析功能可求出三角形区域的三个顶点分别为 (6,),(,8),( 5, ),

相切时, 圆的半径最小, 故 r 49 4 5 5 d ( ), 即 ( 4) ( y )

4 y9, 提示 : 利用图形模块功能, 作出不等式组 4 y, 表示的平面区域, 如图, 利用图形 9y4 分析功能可求出三角形区域的三个顶点分别为 (6,),(,8),( 5, ), 令 ( 4) ( y ) r, 以 (4,) 点为圆心做圆, 显然, 当圆与直线 9y 4 相切时, 圆的半径最小, 故 r d ( ), 即 ( 4) ( y ) 的最小值为 mi 非图形计算器环境 : 纸笔画图, 数形结合求解提示 : 利用递归数列功能模块, 输入首项和递推公式, 列出表格. 得 b, b, b 4, b 5 4,, 归纳猜想 : 当时, b. 事实上, 由已知 a 0, a a, 得所以 a, 所以 [ a ], 因此 b ( ). a. 由数学归纳法可证 a, 因为 b a [ ], 且由当时, b, ( 0) 0 所以前 0 项和为 S0 b b b 非图形计算器环境 : 纸笔运算, 归纳猜想 b, 利用数学归纳法证明, 利用等比数列求和公式求解. 4

5 提示 : 利用程序功能模块, 编写程序, 运行得到结果. 5 非图形计算器环境 : bk, 逐一相加求解项二解答题 ( 共 4 小题, 满分 66 分 ).( 本小题满分 5 分 ) 解 :(Ⅰ) 利用统计模块功能, 输入数据, 画出散点图, 由计算功能可得回归直线方程为 y 分 (Ⅱ) 把函数表达式复制到图形中, 利用图形模块, 画出回归直线方程, 并利用其求 y 值功能, 计算出当水深.95 时, 流速 y. m/s. 0 分 (Ⅲ) 在 (Ⅱ) 的基础上, 利用其求值功能, 计算出当流速 y.85 时, 水深.58, 当流速 y.05 时, 水深.85. 因为 y 在定义域内是增函数, 所以要控制流速 y [.85,.05], 水深应该满足 [.58,.85]. 5 分非图形计算器环境 : 利用最小二乘法求回归直线的方程. 5

4.( 本小题满分 5 分 ) (Ⅰ) 证明 : 对于定义域内的任意实数, f ( π) f ( ) [( π)

( ) cos 为准周期函数 : π π f ( π) f ( ) [ cos ( π)] ( cos ), π

6 4.( 本小题满分 5 分 ) (Ⅰ) 证明 : 对于定义域内的任意实数, f ( π) f ( ) [( π) si( π)] ( si ) 4π, 4π 为非零常数, 函数 f ( ) si 是准周期函数,T=π 是它的一个准周期, 相应的 M=4π. 5 分 (Ⅱ) 解 : 分别画出给出的这五个函数的图象, 由图象呈现的规律特点, 易判断 f ( ) si 为周期函数, 不是准周期函数.4 这三个函数的图象没有准周期函数图象的规律性, 所以不是准周期函数, 可直观感知函数 5 f ( ) cos 为准周期函数. f ( ) si f ( ) si f ( ) si 4 f ( ) l 5 f ( ) cos 证明函数 5 f ( ) cos 为准周期函数 : π π f ( π) f ( ) [ cos ( π)] ( cos ), π 为非零常数, 函数 5 f ( ) cos 为准周期函数. 0 分它的一个准周期 T=π, 相应的 M= π. 由图象可知 : 极大值点为 0. kπ, k Z; 极小值点为.44 kπ, k Z. 单调递增区间为 [.70 kπ,0. kπ] ( k Z), 单调递减区间为 [0. kπ,.44 kπ] ( k Z). 5 分非图形计算器环境 : 纸笔画图, 数形结合求解. 6

5.( 本小题满分 8 分 ) f kf kf k k ; 4 解 :(Ⅰ) 由题意, (.5) (.5 ) (0.5) 0.5 0.5 f (.75) f ( 0.75) f (0.75) 0.75 0.75 5. 4 分 k k 6k (Ⅱ) 因为 f ( ) kf ( ), 所以 f ( ) kf ( ), f ( ) f ( ).

7 5.( 本小题满分 8 分 ) f kf kf k k ; 4 解 :(Ⅰ) 由题意, (.5) (.5 ) (0.5) f (.75) f ( 0.75) f (0.75) 分 k k 6k (Ⅱ) 因为 f ( ) kf ( ), 所以 f ( ) kf ( ), f ( ) f ( ). k 当 0时, 0, 所以 f ( ) kf ( ) k k k( ). 当时, 4, k k, f 4 f f f k f k k k ( 6 8). 所以于是, f k ( 6 8),, k( ), 0. 8 分利用图形计算器的动态图功能模块绘制分段函数 f( ) 的图象 : 因为 k 0, k 0, 通过分析, 可得 : f k k 在区间, f ( ) k k 上是增函数 ; 在区间, 上是增函数, 在,0 综合以上, 因为函数 f( ) 在, 上是连续的, 故其在上是减函数,, 上为增函数, 在,0 上是减函数. 分 k ( 6 8),, (Ⅲ) 利用图形计算器画出分段函数 f k( ), 0, 的图象, 并改变参数 k 的 ( ), 0 值进行观察分析. 7

8 由函数 f( ) 在,0 上的单调性可知, f( ) 在处取得最小值 f( ) k, 在处取得最大值 f( ) k. 由函数 f( ) 在 0, 上的单调性可知, f( ) 在处取得最小值 f (), 在 0 和处取得最大值 f(0) f() 0. 所以 : () 当 k 时, f( ) 在处取得最小值 f( ) k, 在处取得最大值 f( ) k. () 当 k 时, f( ) 在和处取得最小值, 在处取得最大值 f ( ). () 当 k 0时, f( ) 在处取得最小值 f (), 在处取得最大值 f( ) k. 6.( 本小题满分 8 分 ) 8 分解 :(Ⅰ) 作出 l f( ) 的图象, 得 f( ) 在 (0,.7) 递增, (.7, ) 递减, f( ) ma 分 (Ⅱ) a b. 当时, a l l l 0.7, 5 b 6.7, a b. 6 当时, l l l 9 a.46, b , a b l l 分别作出 f( ) 和 g ( ) 的图象, 可得.. 6 分所以 a l k l l l 4 l f ( k) k 4 k k l 由, 得 l. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 分所以 l, 4 l 4,, l. 8

9 所以 4 5 l l l l l( ) l l 作出 y l 与 y 图象. 6 可知当时, l 5, 6 所以当时, l 5 5, 即, 所以 a ( ) ( ) ( ) b. 6 即当时, a b. 由式可得 a b. 8 分非图形计算器环境 : 利用导数或利用不等式放缩求解. 9

一根据所给图表，回答下列问题。

一根据所给图表，回答下列问题。 09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷数学专业知识一选择题 ( 本大题共题每题分共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时因为 z i R 而 z i R 知故 p