解法二 : 在 ABC 中, 因为 BD AD, 设 AD 在 BCD 中, 因为 CD 所以 BC 4 5 BC, CD 5, BD,, 则 BD BC 4 5 所以 cos CBD 分 BD 在 ABC 中, 因为 AB, BC 4 5, AC 5, AB BC AC 由余弦定理得 cos CB

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戈通
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1 绝密启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 理科数学试题答案及评分参考评分说明 : 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 ; 如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数选择题不给中间分一选择题 ()D ()D ()C (4)B (5)C (6)A (7)A (8)A (9)D ()B ()A ()B 二填空题 () 4 (4) 5 (5) 4 (6) 三解答题 (7)(Ⅰ) 解法一 : 在 ABC 中, 因为 BD AD, 设 AD 在 BCD 中, 因为 CD CD 所以 coscdb BD 在 ACD 中, 因为 AD BC, CD 5, BD, 理科数学试题答案第页 ( 共 7 页 ), 则 BD 5 分, CD 5, AC 5, AD CD AC 5 (5 ) 由余弦定理得 cosadc ADCD 5 因为 CDB ADC, 所以 cos ADC cos CDB, 即 4 分 5 (5 ) 5 5 分 5 解得 5 所以 AD 的长为 5 6 分

2 解法二 : 在 ABC 中, 因为 BD AD, 设 AD 在 BCD 中, 因为 CD 所以 BC 4 5 BC, CD 5, BD,, 则 BD BC 4 5 所以 cos CBD 分 BD 在 ABC 中, 因为 AB, BC 4 5, AC 5, AB BC AC 由余弦定理得 cos CBA 4 分 ABBC 所以分解得 5 所以 AD 的长为 5 6 分 (Ⅱ) 解法一 : 由 (Ⅰ) 求得 AB 5, BC 分 BC 所以 cos CBD, 从而 sin CBD 分 BD 所以 S ABC AB BC sin CBA 分 4 解法二 : 由 (Ⅰ) 求得 AB 5, BC 分因为 AC 5, 所以 ABC 为等腰三角形 BC 因为 cos CBD, 所以 CBD 分 BD 5 所以 ABC 底边 AB 上的高 h BC 所以 S ABC AB h 分 4 理科数学试题答案第页 ( 共 7 页 )

3 解法三 : 因为 AD 的长为 5, CD 5 所以 cos CDB= =, 解得 CDB 8 分 BD 5 所以 S ADC ADCDsin 4 5 S BCD BD CDsin 分 75 所以 S ABC S ADC S BCD 分 4 (8) 解 :(Ⅰ) 设区间 75,85 内的频率为, 则区间 55,65, 65,75 内的频率分别为 4 和分依题意得 4 9 4, 分解得 5 所以区间 75,85 内的频率为 5 4 分 (Ⅱ) 从该企业生产的该种产品中随机抽取件, 相当于进行了次独立重复试验, 所以 X 服从二项分布 Bn, p, 其中 n 由 (Ⅰ) 得, 区间 45,75 内的频率为 +=6, 将频率视为概率得 p 6 5 分因为 X 的所有可能取值为,,,, 6 分且 PX ( ) C , PX ( ) C , PX ( ) C 6 4 4, PX ( ) C 所以 X 的分布列为 : X P 分所以 X 的数学期望为 EX 理科数学试题答案第页 ( 共 7 页 )

4 ( 或直接根据二项分布的均值公式得到 EX np 6 8 ) 分 (9)(Ⅰ) 证明 : 因为 AO 平面 ABCD, BD 平面 ABCD, 所以 AO BD 分因为 ABCD 是菱形, A D B C 所以 CO BD 分 D C 因为 AO CO O, O A B 所以 BD 平面 ACO 分因为 BD 平面 BBD D, 所以平面 BBD D 平面 ACO 4 分 (Ⅱ) 解法一 : 因为 AO 平面 ABCD,CO BD, 以 O 为原点,OB,OC, OA 方向为, y, z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 5 分因为 AB AA, BAD 6, 所以 OB OD, OA OC, OA AA OA 6 分则,, B, C,,,,, A,,, A, 所以 BB AA,,, OB OB+ BB,, 设平面 OBB 的法向量为因为,, OB,,, 7 分 z D n, y, z, OB, A B C, 所以 y z D y C O 令 y, A B 9 分得 n,, 同理可求得平面 OCB 的法向量为,, 分理科数学试题答案第 4 页 ( 共 7 页 )

5 6 所以 cos n, 分 4 因为二面角 B OB C 的平面角为钝角, 所以二面角 B OB C 的余弦值为 4 6 分解法二 : 由 (Ⅰ) 知平面 ACO 平面 BBD D, 连接 AC 与 BD 交于点 O, 连接 CO, OO, A D H K O B C AA 因为 CC, AA // CC, 所以 CAAC 为平行四边形 A 因为 O, O 分别是 AC, AC 的中点, D O B C OAO C 为平行四边形且 O C OA 所以因为平面 ACO 平面 BBD D OO, 过点 C 作 CH OO 于 H, 则 CH 平面 BB DD 过点 H 作 HK OB 于 K, 连接 CK, 则 CK OB 所以 CKH 是二面角 B OB C 的平面角的补角 6 分在 Rt OCO 中, CH O C OC 7 分 OO 在 OCB 中, 因为 AO AB, 所以因为 A B CD, A B // CD, OB OA A B 5 所以 B C A D AO OD 因为 B C OC OB, 所以 OCB 为直角三角形 8 分理科数学试题答案第 5 页 ( 共 7 页 )

6 CB OC 6 所以 CK 9 分 OB 5 5 所以 KH CK CH 分 5 KH 6 所以 cos CKH 分 CK 4 所以二面角 B OB C 的余弦值为 4 6 分 y ()(Ⅰ) 解法一 : 设椭圆 C 的方程为 ( a b ), a b 因为椭圆的左焦点为 F,, 所以 a b 4 分设椭圆的右焦点为 F,, 已知点由椭圆的定义知 BF BF a, B, 在椭圆 C 上, 所以 a 4 分所以 a, 从而 b 分 y 所以椭圆 C 的方程为分 y 解法二 : 设椭圆 C 的方程为 ( a b ), a b 因为椭圆的左焦点为 F 因为点,, 所以 a b 4 分 4 B, 在椭圆 C 上, 所以分 a b 由解得, a, b 分 y 所以椭圆 C 的方程为分 (Ⅱ) 解法一 : 因为椭圆 C 的左顶点为 A, 则点 A 的坐标为, 5 分 y 因为直线 y k ( k ) 与椭圆交于两点 E, F, 8 4 E, y ( 不妨设 F, y 设点 ), 则点理科数学试题答案第 6 页 ( 共 7 页 )

7 y k, 联立方程组 y 8 4 消去 y 得 8 k 所以 k, 则 y k k k 所以直线 AE 的方程为 y k 因为直线 AE, AF 分别与 y 轴交于点 M, N, 6 分令得 k k y, 即点 M, k k 7 分 k 同理可得点 N, k 所以 MN 8 分 k k k k k k 9 分设 MN 的中点为 P, 则点 P 的坐标为 P, 分 k 则以 MN 为直径的圆的方程为 y k k k, 即 y y 4 分 k 令 y, 得 4, 即或故以 MN 为直径的圆经过两定点 P,, P, 理科数学试题答案第 7 页 ( 共 7 页 ) 分解法二 : 因为椭圆 C 的左端点为 A, 则点 A 的坐标为, 5 分 y 因为直线 y k ( k ) 与椭圆交于两点 E, F, 8 4 设点 E(, y ), 则点 F(, y) y 所以直线 AE 的方程为 y 6 分

8 因为直线 AE 与 y 轴交于点 M, 令得 y y y, 即点 M, 7 分 y 同理可得点 N, 8 分所以 MN y y 6y 8 因为点 E(, y ) 在椭圆 C 上, 所以 y 8 4 所以 MN 8 y 9 分设 MN 的中点为 P, 则点 P 的坐标为 P, y 分则以 MN 为直径的圆的方程为 y y 6 y 即 y + y 4 分 y 令 y, 得 4, 即或故以 MN 为直径的圆经过两定点 P,, P, 理科数学试题答案第 8 页 ( 共 7 页 ) 分解法三 : 因为椭圆 C 的左顶点为 A, 则点 A 的坐标为, 5 分 y 因为直线 y k ( k ) 与椭圆交于两点 E, F, 8 4 设点 E cos,sin ( ), 则点 F cos, sin sin 所以直线 AE 的方程为 y 因为直线 AE 与 y 轴交于点 M, 令得 cos 6 分 sin y cos, sin 即点 M, cos 7 分

9 sin 同理可得点 N, cos 8 分所以 MN sin sin 4 cos cos 9 分 sin cos 设 MN 的中点为 P, 则点 P 的坐标为 P, sin cos 则以 MN 为直径的圆的方程为 y sin 分 4 sin, 4cos 即 y 4 sin y 分令 y, 得 4, 即或故以 MN 为直径的圆经过两定点 P,, P, 分 + ()(Ⅰ) 解 : 因为 f ( ) e, + 所以 f ( ) e 分因为曲线 y f 在点 f, 处的切线斜率为, 所以 f e, 解得分 (Ⅱ) 证法一 : 因为 f ( ) e +, g + 所以 f g( ) 等价于当 ln, e ln + 时, + 要证 e ln e ln e ln, 只需证明 e ln( ) 4 分以下给出三种思路证明 e ln( ) 思路 : 设 h e ln, 则 h e 设 p e, 则 p e 理科数学试题答案第 9 页 ( 共 7 页 )

10 所以函数在 +, 上单调递增 6 分 p h e 因为 h e 所以函数因为 h, h e, h e 在 +, 上有唯一零点, 且,, 所以 e +, 即 ln 当, 时, h ; 当, 时, h 所以当时, h 取得最小值 h 理科数学试题答案第页 ( 共 7 页 ) 8 分 9 分, 所以 h h = e ln 综上可知, 当思路 : 先证明 e 时, f g( ) + 设 h e, 则 h 时, h 因为当分分 R 5 分 e, 当, 时, h 所以当时, 函数 h 单调递减, 当时, 函数 h 单调递增所以 h h 所以 e ( 当且仅当时取等号 ) 7 分所以要证明 e ln( ), 只需证明 ln( ) 8 分下面证明 ln 设 p ln, 则 p 时, p 当, 当, 时, p

11 所以当时, 函数 p 单调递减, 当时, 函数 p 单调递增所以 p p 所以 ln ( 当且仅当时取等号 ) 分由于取等号的条件不同, 所以 e ln( ) 综上可知, 当时, f g( ) ( 若考生先放缩 ln, 或 e ln 思路 : 先证明 e ln( ) t 令 t, 转化为证明 e ln t 分 t 因为曲线 y e t 与曲线 y ln t关于直线 y t对称, 设直线线 y 理科数学试题答案第页 ( 共 7 页 ) 同时放缩, 请参考此思路给分!) 5 分与曲线 y e t y ln t分别交于点 A B, 点 A B 到直 t的距离分别为 d d, 则 AB d d 其中 d e, d ln 设 h e, 则 h 因为 h e, 所以 e 所以 h 在, 上单调递增, 则 h h 所以 d e 设 p ln, 则 p 因为当所以当当时, 时, 函数时, 函数 p ; 当时, p, p ln 单调递减 ; p ln 单调递增

12 所以 p p 所以 d ln 所以 AB d d 综上可知, 当证法二 : 因为 f ( ) e 时, f g( ) 分 +, g ln, + 所以 f g( ) 等价于 + 以下给出两种思路证明 e ln 4 分 e ln + + 思路 : 设 h e ln, 则 h e + 设 p e, 则 p 所以函数 ( ) 因为, + p h e + e 在 -, + 上单调递增 6 分 e e e e e, h e e + e 所以 h h e 在 -, + 上有唯一零点 + 所以函数, 所以 e + 因为 h, 即 ln 当, 时, h ; 当, 时, h 所以当时, h 取得最小值 h 所以 + h h, 且 e, 8 分 9 分分 e ln 理科数学试题答案第页 ( 共 7 页 )

13 综上可知, 当时, f g( ) 分思路 : 先证明 e ( R ), 且 ln( ) ( ) 5 分设 F( ) e, 则 F( ) e 因为当时, F( ) ; 当时, F( ), 所以 F( ) 在 (,) 上单调递减, 在 (, ) 上单调递增所以当时, F( ) 取得最小值 F() 所以 F( ) F(), 即 e ( R ) 7 分所以 ln( ) ( 当且仅当时取等号 ) 8 分 + 再证明 e ln 由 e ( R ), 得 e ( 当且仅当时取等号 ) 9 分因为,, 且 e 与 ln( ) 不同时取等号, + 所以 e ln e e ln e ( ) (e )( ) 综上可知, 当时, f g( ) 分 ()(Ⅰ) 证明 : 因为 AD 是 O 的切线, 所以 DAC B ( 弦切角定理 ) 分因为 DE CA, E A F O B 所以 DAC EDA 分所以 EDA B 因为 AED DEB ( 公共角 ), D C 所以 AED DEB 分理科数学试题答案第页 ( 共 7 页 )

14 DE 所以 BE AE DE 即 DE AE BE 4 分 (Ⅱ) 解 : 因为 EF 是 O 的切线, EAB 是 O 的割线, 所以 EF EA EB ( 切割线定理 ) 5 分因为 EF 4, EA, 所以 EB 8, AB EB EA 6 7 分由 (Ⅰ) 知 DE AE BE, 所以 DE 4 8 分因为 DE CA, 所以 BAC BED 9 分 BA AC 所以 BE ED BAED 64 所以 AC 分 BE 8 ()(Ⅰ) 解 : 由 sin,,, 可得 sin 分因为 y, sin y, 分所以曲线 C 的普通方程为 y y ( 或 y ) 4 分 t, (Ⅱ) 解法一 : 因为直线的参数方程为 ( t 为参数, t R ), y t 消去 t 得直线 l 的普通方程为 y 5 5 分因为曲线 C : y 是以 G, 设点, 为圆心, 为半径的圆, D y, 且点 D 到直线 l : y 5的距离最短, 所以曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l : y 5平行即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于 y, 因为 y, 即 7 分理科数学试题答案第 4 页 ( 共 7 页 )

15 解得或所以点 D 的坐标为, 或, 9 分由于点 D 到直线 y 5的距离最短, 所以点 D 的坐标为, 分 t, 解法二 : 因为直线 l 的参数方程为 (t 为参数, t R ), y t 消去 t 得直线 l 的普通方程为 y 5 5 分因为曲线 C y 是以 G, 为圆心, 为半径的圆,, 因为点 D 在曲线 C 上, 所以可设点 D cos, sin 7 分所以点 D 到直线 l 的距离为 d cossin 4 因为, 此时 D sin 8 分, 所以当时, d in 9 分 6,, 所以点 D 的坐标为理科数学试题答案第 5 页 ( 共 7 页 ), 分 (4)(Ⅰ) 解 : 当 a 时, f 等价于分当时, 不等式化为, 无解 ; 当时, 不等式化为, 解得 ; 4 当时, 不等式化为, 解得分综上所述, 不等式 f 的解集为, 4 4 分

16 (Ⅱ) 因为不等式以下给出两种思路求 f b 的解集为空集, 所以 b f a f 的最大值思路 : 因为 f a a a 当 a 时, f a a 当 a a < 5 分, a a 时, f a a a a - a + a - - a = a + - a 当 a 时, f a a a a a 所以 f a a 7 分思路 : 因为 f a a a a a a a a, 当且仅当 a 时取等号 a 所以 f a a 7 分因为对任意 a,, 不等式所以 b a a a f b 的解集为空集, 以下给出三种思路求 g a a a 的最大值思路 : 令 g a a a, 8 分所以 g a a a a a 当且仅当 a a, 即 a 时等号成立所以 g a a 理科数学试题答案第 6 页 ( 共 7 页 )

17 所以 b 的取值范围为思路 : 令 g a a a, +, 分因为 a, 所以可设 a cos, 则 ga a a cos sin sin, 4 当且仅当时等号成立 4 所以 b 的取值范围为 +, 分思路 : 令 g a a a, ìï 因为 a ï = a,, 设 í 则 ï ïî y= - a, 问题转化为在求 z = + y 的最大值 + y = (, y ) + y = (, y ) 的条件下, 利用数形结合的方法容易求得 z 的最大值为, 此时 = y= 所以 b 的取值范围为 +, 分 y O 理科数学试题答案第 7 页 ( 共 7 页 )

2009年课标甲乙

2009年课标甲乙绝密启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 文科数学试题答案及评分参考评分说明 :. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半