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寅厄高
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1 东北三省三校 05 年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第 Ⅰ 卷 ( 选择题 ) 和第 Ⅱ 卷 ( 非选择题 ) 两部分, 共 50 分, 考试时间 0 分钟考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回注意事项 :. 答题前, 考生务必先将自己的姓名准考证号码填写清楚, 将条形码准确粘贴在条形码区域内. 选择题必须使用 B 铅笔填涂 ; 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整笔迹清楚. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效 ; 在草稿纸试题卷上答题无效 4. 作图可先使用铅笔画出, 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑 5. 保持卡面清洁, 不要折叠, 不要弄破弄皱, 不准使用涂改液修正带刮纸刀第 Ⅰ 卷 ( 选择题共 60 分 ) 一. 选择题 : 本大题共小题, 每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求.. 已知集合 A {0, b}, B { Z 0}, 若 A B, 则 b 等于 ( ) A. B. C. D. 或 i. 复数 ( ) i A.i B. i C.( i) D. i. ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c, 则 a b 是 cosa cosb 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2 4. 向量 a,b 满足 a, b,( a b) ( a b ), 则向量 a 与 b 的夹角为 ( ) A. 45 B. 60 C. 90 D 实数 m 是 ( ) 0,6 上的随机数, 则关于的方程 m 4 0有实根的概率为 A. 4 B. C. D. 6. 已知三棱锥的三视图, 则该三棱锥的体积是 ( ) A. 6 B. 6 C. 6 D. 6 正视图侧视图 7. 椭圆 y 两个焦点分别是 F, F, 点 P 是椭 4 圆上任意一点, 则 PF PF 的取值范围是 ( ) 俯视图 ( 第 6 题图 ) A.,4 B., C., D., 8. 半径为的球面上有四个点 A,B,C,D, 球心为点 O,AB 过点 O, CA CB, DA DB, DC, 则三棱锥 A BCD 的体积为 ( ) A. 6 B. 开始 C. D 已知数列 a n 满足 ln a ln a n 5 8 n ln a ln a n ( * n N ) a 0 =( ), 则 S 输入 t S 0 k S sin k k k A. e 6 B. 9 e C. e D. e 5 0. 执行如图所示的程序框图, 要使输出的 S 的值小于, 则输入的 t 值不能是下面的 ( ) k t 是输出 S 结束否 ( 第 0 题图 )

3 A.8 B.9 C.0 D.. 若函数 f ( ) m 6 围是 ( ) 在区间, 上为增函数, 则实数 m 的取值范 5 A., B., C., 5 D.,. 函数 f ( ) lg( ) sin 的零点个数为 ( ) A.9 B.0 C. D. 第 Ⅱ 卷 ( 非选择题共 90 分 ) 本卷包括必考题和选考题两部分. 第题 ~ 第题为必考题, 每个试题考生都必须做答, 第题 ~ 第 4 题为选考题, 考生根据要求做答. 二. 填空题 ( 本大题共 4 小题, 每小题 5 分.). 若等差数列 n a 中, 满足 a4 a6 a00 a0 8, 则 S 05 =. y 9 4. 若变量 y, 满足约束条件, 则 z y 的最小值为. 6 y 9 y 5. 已知双曲线 C: 6 4, 点 P 与双曲线 C 的焦点不重合. 若点 P 关于双曲线 C 的上下焦点的对称点分别为 A B, 点 Q 在双曲线 C 的上支上, 点 P 关于点 Q 的对称点为 P, 则 PA PB =. 6. 若函数 f( ) 满足 : (ⅰ) 函数 f( ) 的定义域是 R ; (ⅱ) 对任意, R 有 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ;(ⅲ) f (). 则下列命题中正确的是. ( 写出所有正确命题的序号 ) 函数 f( ) 是奇函数 ; 函数 f( ) 是偶函数 ; 对任意 n, n N, 若 n n, f ( n ) f ( n ) ;4 对任意 R, 有 f( ). 则三. 解答题 ( 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤 ) 7.( 本题满分分 )

4 已知 ABC 的面积为, 且满足 0 AB AC 4, 设 AB 和 AC 的夹角为. (Ⅰ) 求的取值范围 ; (Ⅱ) 求函数 f ( ) sin ( ) cos 的值域. 4 8.( 本题满分分 ) 空气污染, 又称为大气污染, 是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中, 呈现出足够的浓度, 达到足够的时间, 并因此危害了人体的舒适健康和福利或环境的现象. 全世界也越来越关注环境保护问题. 当空气污染指数 ( 单位 : ) 为 0 ~ 50 时, 空气质量级别为一级, 空气质量状况属于 g/ m 优 ; 当空气污染指数为 50 ~00 时, 空气质量级别为二级, 空气质量状况属于良 ; 当空气污染指数为 00 ~50 时, 空气质量级别为三级, 空气质量状况属于轻度污染 ; 当空气污染指数为 50 ~ 00 时, 空气质量级别为四级, 空气质量状况属于中度污染 ; 当空气污染指数为 00 ~ 00 时, 空气质量级别为五级, 空气质量状况属于重度污染 ; 当空气污染指数为 00 以上时, 空气质量级别为六级, 空气质量状况属于严重污染.05 年月某日某省个监测点数据统计如下 : 空气污染指数 ( 单位 : g/ m ) 0,50 50,00 00,50 50,00 监测点个数 5 40 y 0 (Ⅰ) 根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 y, 的值, 并完成频率分布直方图 ; (Ⅱ) 若 A 市共有 5 个监测点, 其中有个监测点为轻度污染, 个监测点为良. 从中任意选取个监测点, 事件 A 其中至少有一个为良发生的概率是多少? 频率组距空气污染指数 ( g/ m )

5 9.( 本题满分分 ) 如图, 多面体 ABCDEF 中, 底面 ABCD 是菱形, BCD 60, 四边形 BDEF 是正方形, 且 E F DE 平面 ABCD. (Ⅰ) 求证 : CF // 平面 AED ; (Ⅱ) 若 AE, 求多面体 ABCDEF 的体积 V. A D B C 0.( 本题满分分 ) 在平面直角坐标系 Oy 中, 已知动圆过点 (,0), 且被 y 轴所截得的弦长为 4. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程 ; (Ⅱ) 过点 P (,) 分别作斜率为 k, k 的两条直线 l, l, 交 C 于 AB, 两点 ( 点 AB, 异于点 P ), 若 kk 0, 且直线 AB 与圆 C : ( ) y 相切, 求 PAB 的面积..( 本题满分分 ) 已知实数 a 为常数, 函数 f ( ) ln a. (Ⅰ) 若曲线 y f () 在处的切线过点 A ( 0, ), 求实数 a 值 ; (Ⅱ) 若函数 y f () 有两个极值点, ( ). 5

6 求证 : a 0 ; 求证 : f( ) 0, f ( ). 请从下面所给的,, 4 三题中任选一题做答, 并用 B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑, 按所涂题号进行评分 ; 不涂多涂均按所答第一题评分 ; 多答按所答第一题评分请考生在第,, 4 三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号. A.( 本题满分 0 分 ) 选修 4-: 几何证明选讲如图, 在 ABC 中, ABC 90, 以 AB 为直径的 O E M 圆 O 交 AC 于点 E, 点 D 是 BC 边的中点, 连接 OD B D C 交圆 O 于点 M. (Ⅰ) 求证 : DE 是圆 O 的切线 ; (Ⅱ) 求证 : DE BC DM AC DM AB..( 本题满分 0 分 ) 选修 4-4: 坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程是 cos, 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直线 l 的参数方程是 t m ( t 为参数 ). y t (Ⅰ) 求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程 ; (Ⅱ) 设点 P (m,0), 若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点, 且 PA PB, 求实数 m 的值. 4.( 本题满分 0 分 ) 选修 4-5: 不等式选讲设函数 f ( ). (Ⅰ) 解不等式 f ( ) 0 ; (Ⅱ) 若 0 R, 使得 f ( ) m 4m, 求实数 m 的取值范围. 0 6

7 一选择题东北三省三校 05 年三校第一次联合模拟考试文科数学试题参考答案 D A C C B B C A C A D D 二. 填空题三. 解答题 7.( 本小题满分分 ) 解 :(Ⅰ) 设 ABC 中角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 则由已知 : bc sin, 0 bc cos 4, 4 分可得 tan, 所以 : [, ). 6 分 4 (Ⅱ) f ( ) sin π cos cos cos 4 π π ( sin ) cos sin cos sin. 8 分 π [, ), [, ), sin π π 即当时, f ( ) ma ; 当时, f ( ) min. 4 所以 : 函数 f ( ) 的值域是 [,] 分 8.( 本小题满分分 ) 5 解 :(Ⅰ) y 0 00 y 5 分

8 频率组距空气污染指数 ( g/ m ) 5 分 (Ⅱ) 设 A 市空气质量状况属于轻度污染个监测点为,,, 空气质量状况属于良的个监测点为 4,5, 从中任取个的基本事件分别为 (,),(,),(,4),(,5),(,),(,4),(,5),(,4),(,5),(4,5) 共 0 种, 8 分其中事件 A 其中至少有一个为良包含的基本事件为 (,4),(,5),(,4),(,5),(,4),(,5),(4,5) 共 7 种, 0 分所以事件 7 P ( A). 0 A 其中至少有一个为良发生的概率是分 9.( 本小题满分分 ) (Ⅰ) 证明 : ABCD 是菱形, BC // AD. 又 BC 平面 ADE, AD 平面 ADE, BC // 平面 ADE. 又 BDEF 是正方形, BF // DE. 分 E F BF 平面 ADE, DE 平面 ADE, BF // 平面 ADE. 4 分 BC 平面 BCF, BF 平面 BCF, BC BF B, 平面 BCF // 平面 AED. A D B C 由于 CF 平面 BCF, 知 CF // 平面 AED. 6 分 8

9 (Ⅱ) 解 : 连接 AC, 记 AC BD O. ABCD 是菱形, AC BD, 且 AO BO. 由 DE 平面 ABCD, AC 平面 ABCD, DE AC. DE 平面 BDEF, BD 平面 BDEF, DE BD D, AC 平面 BDEF 于 O, 即 AO 为四棱锥 A 高. BDEF 的 9 分由 ABCD 是菱形, BCD 60, 则 ABD 为等边三角形, 由 AE, 则 AD DE, AO, SBDEF, VBDEF SBDEF AO, 6 0.( 本小题满分分 ) V V BDEF. 分解 : ( Ⅰ ) 设动圆圆心坐标为 ( y, ), 半径为 r, 由题可知 ( ) y r r y 4; 动圆圆心的轨迹方程为 y 4 4 分 (Ⅱ) 设直线 l 斜率为 k, 则 l: y k( ); l: y k( ). 点 P(,) 在抛物线 y y 4 y k( ) 4上 ky y k 设 A(, y), B(, y ), 恒成立, 即 0, 84k 4 k yy P, yp, y, k k 代入直线方程可得 k 有 k ( k ) k 6 分同理可得 9

10 ( k) 4, y k 7 分 k k k AB 4 k 4 k y y k k ( k ) ( k ) 不妨设 lab : y b. k b 因为直线 AB 与圆 C 相切, 所以, 解得 b 或, 当 b 时, 直线 AB 过点 P, 舍 y 当 b 时, 由 6 0 y 4 ;, AB 8 9 分 P 到直线 AB 的距离为 d, PAB 的面积为 4. 分.( 本小题满分分 ) (Ⅰ) 解 : 由已知 : f / ( ) ln a ( 0), 切点 P(, a ) 分切线方程 : y a (a )( ), 把 (0, ) 代入得 : a 分 (Ⅱ) 证明 : 依题意 : f / ( ) 0 有两个不等实根, ( ) 设 g( ) ln a 则 : g ( ) a ( 0) ( ⅰ) 当 a 0 时 : / g / ( ) 0, 所以 g ( ) 是增函数, 不符合题意 ; (ⅱ) 当 a 0 时 : 由 g / ( ) 0 得 : 0 a 列表如下 : (0, ) a a (, ) a g / ( ) 0 5 分 0

11 g ( ) 极大值 g () ma = g( ) ln( ) 0 a a, 得 : a 0 8 分 ( 注 : 以下证明为补充证明此问的充要性, 可使其证明更严谨, 以此作为参考, 学生证明步骤写出上述即可 ) 方法一 : 当 0 且 0 时 ln, a, 当 0 且 0 g () g() 在 (0, ) 上必有一个零点. a 当时, 设 h( ) ln, h a ( ) / 0,4 4 4, / h ( ) h () 极大值 4 时, h ( ) h(4) ln 4 0即 ln 4 时, g ( ) ln a a 设 t, a at t 由 a 0, 时, at t 0 g ( ) 0 g() 在 (, ) 上有一个零点 a 综上, 函数 y f () 有两个极值点时 a 0, 得证. 方法二 f ( ) ln a 有两个极值点, 即 f / ( ) ln a ( 0) 有两个零点, ln 即 a 有两不同实根. ln 设 h( ), ln h / ( ), / / 当 h ( ) 0时, 0 ; 当 h ( ) 0 时, 0,, 时

12 / h ( ) h () 极大值当时 h () 有极大值也是最大值为 f ( ) a, h( ) 0, 故 () e h 在, 0 有一个零点 ln ln 当时, ln 0 0 且 0 lim lim 时 0 h ( ) h() a 0, a 0 综上函数 y f () 有两个极值点时 a 0, 得证. a 证明 : 由知 : / f ( ), f ( ) 变化如下 : (0, (, (, f / ( ) f( ) 极极小大值值由表可知 : f( ) 在 [, ] 上为增函数, 又所以 : f f / () g() a 0, 故即 f( ) 0, ( ) f () a 0, f ( ) f () a 0 分 f ( ). 分

13 . 选修 4-: 几何证明选讲证明 :(Ⅰ) 连结 OE. 点 D 是 BC 的中点, 点 O 是 AB 的中点, F A O E OD // AC, A BOD, AEO EOD. M OA OE, A AEO, BOD EOD. B D C 分在 EOD 和 BOD 中, OE OB, EOD BOD, OD OD, EOD BOD, 4 分 OED OBD 90, 即 OE ED. E 是圆 O 上一点, DE 是圆 O 的切线. (Ⅱ) 延长 DO 交圆 O 于点 F. 5 分 EOD BOD, DE DB. 点 D 是 BC 的中点, BC DB. DE, DB 是圆 O 的切线, DE DB. DE BC DEDB DE. 7 分 AC OD, AB OF, DM AC DM AB DM ( AC AB) DM (OD OF) DM DF. DE 是圆 O 的切线,DF 是圆 O 的割线, DE DM DF, DE BC DM AC DM AB 0 分. 选修 4-4: 坐标系与参数方程解 :(Ⅰ) 由 cos, 得 : cos, y, 即 ( ) y, 曲线 C 的直角坐标方程为 ( ) y. 分 t m 由, 得 y m, 即 y m 0, y t

14 直线 l 的普通方程为 y m 0. 5 分 t m (Ⅱ) 将代入 ( ) y, 得 : t m y t t, 整理得 : t ( m ) t m m 0, 由 0, 即 ( m ) 4( m m) 0, 解得 : m. 设 t, t 是上述方程的两实根, 则 t t ( m ), tt m m, 7 分又直线 l 过点 P (m,0), 由上式及 t 的几何意义得 PA PB t t m m, 解得 : m 或 m, 都符合 m, 因此实数 m 的值为或或选修 4-5: 不等式选讲解 :(Ⅰ) 当时, f ( ), f ( ) 0, 即 0, 解得, 又, ; 当时, f ( ), f ( ) 0, 即 0, 解得, 又, ; 当时, f ( ), f ( ) 0, 即 0, 解得, 又,. 综上, 不等式 f ( ) 0 的解集为分分, (, ). 5 分 4

15 , 5 (Ⅱ) f ( ),, f ( ) min f., 0 R, 使得 f ( ) m 4m, 0 5 m m f ( ), 4 min 整理得 : 4 5 m 8m 5 0, 解得 : m, 因此 m 的取值范围是 7 分 5,. 0 分 5

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于