变式题源 (05 全国卷 Ⅰ 文 ) 已知复数 z 满足 (z-)i=+i, 则 z= (A)--i (B)-+i (C)-i (D)+i () 设等差数列的前项和为 S. 若, S 5 S 9, 则 50 (A) 99 (B)0 (C) 500 (D) 9 5 命题意图本小题主要考查等差数列

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阚马
5 years ago
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1 泉州市 08 届普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题参考答案及评分细则评分说明 :. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可在评卷组内讨论后根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.. 对计算题, 当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时, 不要影响后续部分的判分 ; 当考生的解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时, 后继部分的解答不再给分.. 解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数.. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分. 一选择题 : 本大题考查基础知识和基本运算. 每小题 5 分, 满分 60 分. ()D ()A ()A ()B (5)C (6)A (7)C (8)D (9)A (0)C ()C ()D () 已知集合 A 0, B 0, 则 A B (A) (B) (C) (D) 命题意图本小题主要考查解不等式交集等基础知识, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想. 试题简析因为 A { }, B { }, 所以 A B { }, 故选 D. 错选原因错选 A: 误求成 A B; 错选 B: 集合 B 解错, 解成 B 或集合 A 解错, 解成 A { }. 变式题源 (05 全国卷 I 理 ) 已知集合 A, B ; 错选 C:, 则 (A) A B { 0} (B)A B R (C) A B { } (D)A B () 已知 z 为复数 z 的共轭复数, i z i, 则 z (A) i (B) i (C) i (D) i 命题意图本小题主要考查复数的运算共轭复数等基础知识, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想. i i( i) 试题简析因为 z i, 所以 z i, 故选 (A). i ( i)( i) 错选原因错选 B: 求出 z i, 忘了求 z ; 错选 C: 错解 z i; 错选 D: 错解 z i. 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第页 ( 共页 )

2 变式题源 (05 全国卷 Ⅰ 文 ) 已知复数 z 满足 (z-)i=+i, 则 z= (A)--i (B)-+i (C)-i (D)+i () 设等差数列的前项和为 S. 若, S 5 S 9, 则 50 (A) 99 (B)0 (C) 500 (D) 9 5 命题意图本小题主要考查等差数列等基础知识, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想. 试题简析依题意得, d, 5 S 5 S 9, 所以 d 99, 故选 A. 错选原因错选 A: S 的公式记忆错误, 导致计算错误 ; 错选 B: S 的公式记忆错误, 导致计算错误 ; 错选 D: 误认为 S5 S. 变式题源 (07 全国卷 Ⅰ 理 ) 记 S 为等差数列的前项和. 若 5, S 6 8, 则的公差为 (A) (B) (C) (D)8 y () 已知点 (,) 在双曲线 E : ( 0, b 0) 的渐近线上, 则 E 的离心率等于 b (A) (B) 5 (C) 5 (D) 5 或 5 命题意图本小题主要考查双曲线的渐近线离心率等基础知识, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想函数与方程思想. b 试题简析由题意得, 点 (,) 在直线 y 上, 则 b, b 5 所以 e, 故选 B. 错选原因错选 A: 误认为 c b 导致错误 ; 错选 C: 误认为双曲线的焦点在 y 轴上. 错选 D: 未判断双曲线的焦点位置. 变式题源 (0 全国卷 Ⅰ 理 ) 已知双曲线 C: y b = (>0,b>0) 的离心率为 5, 则 C 的渐近线方程为 (A)y= (B)y= (C)y= (D) y, (5) 已知实数 y, 满足 y 0, y 0, 则 z y 的最大值为市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第页 ( 共页 )

3 (A)- (B) (C) (D) 命题意图本小题主要考查线性规划等基础知识, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想数形结合思想函数与方程思想, 检测直观想象数学运算 y 素养等. 试题简析由已知条件, 可行域如右图阴影部分. 其中阴影区域三角形的 5 三个顶点分别为 (,0),(,),(, ), 把三个点分别代入 z y 检验得 : 当, y 0时, z 取得最大值, 故选 C. 错选原因错选 A: 误把 z 的最大值当成 z y 的最大值 ; 错选 B: 误把 z 的最小值当成 z y 的最大值 ; 错选 C: 误把 z 的最小值当成 z y 的最大值. O y, 变式题源 (07 全国卷 Ⅰ 理 ) 设,y 满足约束条件 y, y 0, 为. 则 z y 的最小值 (6) 如图, 网格纸上小正方形的边长为, 粗线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为 (A) 6 π (C) 7 π (B) π (D) 5 π 6 命题意图本小题主要考查三视图空间几何体的体积等基础知识, 考查空间想像能力运算求解能力与创新意识, 考查化归与转化思想数形结合思想, 检测数学抽象直观想象素养等. 试题简析该几何体可以看成 : 在一个半球上叠加一个挖掉一个相同的圆锥, 然后圆锥, 所以该几何体的体积和半球的体积相等, 因此 V 错选原因错选 B: 把该几何体可以看成 : 在一个半球上叠加一个且未挖掉一个相同的个圆锥, 且未挖掉一个相同的 6 r, 故选 A. 圆锥, 圆锥. 错选 C: 把该几何体可以看成 : 在一个半球上叠加一圆锥. 错选 D: 圆锥的公式记忆错误. 变式题源 (06 全国卷 Ⅰ 理 6) 如图, 某几何体的三视图是三个半径相等的市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第页 ( 共页 )

4 8 圆及每个圆中两条相互垂直的半径. 若该几何体的体积是, 则它的表面积是 (A) 7 (B) 8 (C) 0 (D) 8 (7) 九章算术中的两鼠穿墙问题为今有垣厚五尺, 两鼠对穿, 大鼠日一尺, 小鼠也日一尺, 大鼠日自倍, 小鼠日自半, 问何日相逢? 可用如图所示的程序框图解决此类问题. 现执行该程序框图, 输入的 d 的值为, 则输出的 i 的值为 (A) (B)5 (C)6 (D)7 命题意图本小题主要考查程序框图, 数列求和等基础知识, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想分类与整合思想, 考查数学抽象和数学运算素养等. 开始输入 d i 0, S 0,, y 试题简析解法一 : i 0, S 0,, y 开始执行, 然后 i, S,, y i 5, S ( 8 6) ( ),, y, 8 6 再执行一行, 然后输出 i 6. 解法二 : 本题要解决的问题是数列求和的问题,,,, ( ), 解得的最小值为 6. S d 否输出 i 结束 y y S S y i i 是错选原因错选 A : 可能把误当成来算 ; 错选 B : 当执行到 i 5 时, S, 学生估值失误, 误以为会达到或按四舍五入得到. 错选 D: 可能先执行了 8 6 ii 后才输出. 变式题源 (05 年全国卷 Ⅱ 理 8) 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的更相减损术. 执行该程序框图, 若输入,b 分别为,8, 则输出的 = (A)0 (B) (C) (D) (8) 下列函数中, 图象关于原点对称且单调递增的是 (A) f si (B) f l l (C) f e e (D) f e e 命题意图本小题主要考查函数的图象与奇偶性单调性定义域等基础知识, 考查运算求解能力, 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第页 ( 共页 )

5 考查函数与方程思想数形结合思想特殊与一般思想, 检测逻辑推理数学抽象直观想象和数学运算素养等. 试题简析 A 选项 : f ( ) cos 0, 不符合图象上升这个条件 ;B 选项 : 定义域不关于原点对称 ;C 选项函数图象先减后增, 在 0 时函数取得最小值 ;D 选项中, 用定义判断函数为奇函数后, 将函数式变形为 f e, 直观判断随增大, 函数值也增大, 故选 D. 错选原因错选 A C: 仅考察图象关于原点对称这个条件 ; 错选 B: 有的学生可能会通过各种方法判断函数的单调性, 却忽略了定义域不关于原点对称. 变式题源 (0 年全国卷 Ⅱ 理 ) 下列函数中, 既是偶函数又在 (0, +) 单调递增的函数是 ( ) (A) y (B) y (C) y (D) y.5 (9) 已知 0.5, b log 65, c log5 6, 则 (A) b c (B)c b (C) b c (D) c b 命题意图本小题主要考查指数函数对数函数比较大小方法等基础知识, 考查学生的推理论证能力运算求解能力, 考查化归与转化思想函数与方程思想, 检测逻辑推理数学运算素养..5.5 试题简析 log 5 log 5 log 错选原因错选 B: 对数函数的换底公式不熟悉导致 ; 错选 D: 对数函数的换底公式不熟悉导致 ; 错选 C: 指数的运算不过关导致. 变式题源 (0 年全国卷 Ⅱ 理 8) 设 log 6, b log5 0, c log7, 则 (A) c b (B) b c (C) c b (D) b c (0) 已知 P (, ) 是函数 f ( ) Asi( )( 0) 图象的一个最高点, BC, 是与 P 相邻的两个最低 7 点. 若 cos BPC, 则 f( ) 的图象对称中心可以是 5 (A)0,0 (B),0 (C),0 (D),0 命题意图本小题考查三角函数的图象和性质解三角形二倍角公式等基础知识, 考查抽象概括能力运算求解能力, 考查数形结合思想化归与转化思想以及函数与方程思想, 考查数学抽象直观想象和数学运算素养等. 试题简析如图, 取 BC 的中点 D, 连结 PD, 则 PD, 设 BD 由余弦定理可得, ( ) ( 6) ( 6) ( 6) cos 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第 5 页 ( 共页 ), 则 PB PC 6, BPC, 解得, 5 7 B(, ), C(, ), BP, CP 的中点都是 f( ) 图象的对称中心. 故选 C.

P B D C 错选原因错选 A: 平时缺乏训练, 只记得正弦函数的对称中心是 (0,0) ; 错选 B: 误把最高点的当成了周期 ; 错选 D: 这类同学可以求出函数的周期是 6, 但没注意到函数并未过原点. 变式题源 (05 年全国卷 I 理 8) 函数 f( ) =cos( ) 的部分图象如图所示, 则 f( ) 的单调递减区间为 (A)( k, k ), k Z 错误!

6 P B D C 错选原因错选 A: 平时缺乏训练, 只记得正弦函数的对称中心是 (0,0) ; 错选 B: 误把最高点的当成了周期 ; 错选 D: 这类同学可以求出函数的周期是 6, 但没注意到函数并未过原点. 变式题源 (05 年全国卷 I 理 8) 函数 f( ) =cos( ) 的部分图象如图所示, 则 f( ) 的单调递减区间为 (A)( k, k ), k Z 错误! 未找到引用源 (B)( k, k ), k Z 错误! 未找到引用源 (C) ( k, k ), k Z (D) ( k, k ), k Z () 已知直线 l : m y m 0 长为, 则实数 m 的取值范围是, 圆 C : y. 若对任意 [, ), 存在 l 被 C 截得弦 (A)[,0) (0, ] (B) (, ] [, ) (C)[,0) (0, ] (D) (, ] [, ) 命题意图本小题主要考查直线与圆点到直线的距离解三角形等基础知识, 考查学生的抽象概括能力运算求解能力, 考查化归与转化思想数形结合思想, 检测数学抽象数学建模数学运算素养等. 试题简析解法一: 由题意可得, 圆心 C 到 l 的距离 d ( ), 即 m m m, 所以 m, 又因为, 所以 0m, m 0或 0m. ( ) 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第 6 页 ( 共页 )

7 误把 m 则 = 解法二 : 由题意可得, 圆心 C 到 l 的距离 d ( ), 恒过定点,0 又 l : m y m 0 A,, 所以 AC, 另设直线 l 的倾斜角为, 所以 si (0, ] AC, 所以 l 的斜率 m t [,0) (0, ]. 错选原因错选 A: 在计算 m [( ) ] [( ) ] 时, 分子误当成来计算 ; 错选 B: 分离变量时, [( ) ] 写成 m ; 错选 D: 把最后的 m 计算成 m. 变式题源 (06 年全国卷 Ⅱ 理 ) 圆 y 8y 0的圆心到直线 y 0的距离为, (A) (B) (C) (D) () 已知函数 f, 0, e e, 0, (A)0, (B) 恰有两个零点, 则实数的取值范围是 e, (C) 0, e, (D)0, e, 命题意图本小题主要考查二次函数的图象与性质分段函数的图象复合函数的图象以及零点问题等知识点 ; 考查学生的抽象概括能力运算求解能力以及应用意识 ; 考查数形结合思想分类与整合函数与方程思想 ; 考查数学抽象数学运算和数据分析等. 试题简析解法一: 当 0 时, f( ) e 0, 故 0 不是函数 f( ) 的零点. e 当 (0, ) 时, f( ) 0 等价于 e e e e e e, 令 g( ) ( 0), 则 g( ), 当时, g( ) 0, 当时, g( ) 0, 当时, g( ) 0. 所以 g ( ) [e, ), 当 0 时, f( ) 在 (,0) 有两个零点, 故 f( ) 在 (0, ) 没有零点, 从而 0 ; e, 所以当 0 或时, f( ) 在 (,0) 有一个零点, 故 f( ) 在 (0, ) 有一个零点, 此时不合题市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第 7 页 ( 共页 )

8 意 ; 当时, f( ) 在 (,0) 有没有零点, 故 f( ) 在 (0, ) 有两个零点, 从而综上可得 0 或 e. 故选 D. 解法二 : 当 [0, ) 时, f ( ) e e f,, ( ) e 当 0 时, f( ) 在 (,0) 有两个零点, e. 又当 [0, ) 时, f ( ) (l ) e 0, 故 f( ) 在 [0, ) 没有零点, 所以 0 ; m 当 0 或时, f( ) 在 (,0) 有一个零点, 又当 [0, ) 时, f ( ) e 0, f( ) 在 [0, ) 上单调递减, 故 f ( ) f (0) e 0, 不合题意 ; 当时, f( ) 在 (,0) 有没有零点, 此时 f( ) 在 [0, ) 上必有两个零点. 当 [0, ) 时, 当 l 时, f( ) 0, 当 l 时, f( ) 0, 当 l 时, f( ) 0, 所以 f f, 要使 f( ) 在 [0, ) 上必有两个零点, 只需满足 m ( ) (l ) l e f f. m ( ) (l ) l e 0 令 g( t) t l t t e, 则 g '( t) l t, 当 t 时, g'( ) 0, 故 gt () 单调递增. 又 g(e ) 0, 故 l e 0 即 g( ) g(e ), 解得 e. 综上可得 0 或 e. 故选 D. 错选原因错选 A: 只会做二次函数部分, 无视另一种情况, 即左右各有一个零点 ; 错选 B: 用特殊值 0 或代入, 发现不成立, 故排除了其他三个选项得到 ; 错选 C: 可能根本没去做, 综合了 A 和 B, 于是选 C., 0, 变式题源 (0 年全国卷 I 理 ) 已知函数 f()= 若 f(), 则的取值范围 l( ), 0. 是 ( ) (A)(-,0] (B)(-,] (C)[-,] (D)[-,0] 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第 8 页 ( 共页 )

9 二填空题 : 本大题共小题, 每小题 5 分 () 在平面直角坐标系 Oy 中, 角的顶点在原点, 始边与轴的非负半轴重合, 终边过点 (, ), π 则 cos( ). 答案 : 命题意图本小题主要考查三角函数的定义三角恒等变换等基础知识, 考查推理论证能力运算求解能力等, 考查化归与转化思想数形结合思想函数与方程思想等, 检测逻辑推理直观想象数学运算素养等. 试题简析解法一: 由已知可得 cos,si, π π π 所以 cos( ) cos cos si si. π π π π 解法二 : 由已知可得 k π, k Z, 所以 cos( ) cos( kπ ). 变式题源 (05 全国卷 Ⅰ 理 5) 已知角的顶点与原点重合, 始边与轴的正半轴重合, 终边在直线 y 上, 则 cos = (A) (B) (C) (D) 5 π () 已知向量 b, 的夹角为,, b 5, 则 b. 答案 : 命题意图本小题主要考查向量的表示数量积及向量运算等基础知识, 考查推理论证能力运算求解能力等, 考查化归与转化思想数形结合思想函数与方程思想等, 检测逻辑推理直观想象数学运算以及数学建模等素养. b. π 试题简析因为 b b cos b, 所以 b b + b b b 5, 解得变式题源 (07 全国卷 Ⅰ 理 ) 已知向量,b 的夹角为 60, =, b =, 则 + b =. (5) 设 O 为坐标原点, 点 AB, 在直线 y m( m 0) 上. 若 OAB 是斜边长为的等腰直角三角形, 则实数 m. 答案 : 或命题意图本小题主要考查直线方程点线距离等基础知识, 考查推理论证能力运算求解能力, 考查转化与化归思想数形结合思想分类与整合思想等, 检测逻辑推理直观想象数学运算素养等. m 试题简析若 AB 为直角三角形的斜边, 则点 O 到直线 l 距离等于, 由点线距离公式, 得, 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第 9 页 ( 共页 )

10 解得 m ; 若 OA 或 OB 为直角三角形的斜边, 则点 O 到直线 l 距离等于, 由点线距离公式, 得 m, 解得 m. 故答案为或. 则 = 变式题源 (06 全国卷 Ⅱ 理 ) 圆 y 8y 0的圆心到直线 y 0的距离为, (A) (B) (C) (D) (6) 如图, 一张 A 纸的长宽之比为, EF, 分别为 AD, BC 的中点. 现分别将 ABE, CDF 沿 BE, DF 折起, 且 A,C 在平面 BFDE 同侧, 下列命题正确的是.( 写出所有正确命题的序号 ) A E D G B F H C A,G, H, C 四点共面 ; 当平面 ABE 平面 CDF 时, AC 平面 BFDE ; 当 A, C 重合于点 P 时, 平面 PDE 平面 PBF ; 当 A, C 重合于点 P 时, 设平面 PBE 平面 PDF =l, 则 l 平面 BFDE. 答案 : 命题意图本小题主要考查空间点线面之间的位置关系等基础知识, 考查空间想像能力推理论证能力和创新意识等, 考查化归与转化思想数形结合思想等, 检测数学抽象逻辑推理直观想象素养等. 试题简析在 ABE 中, tabe, 在 ACD中, tcad, 所以 ABE DAC, 所以 AC BE, 同理 AC DF, 则折叠后,BE 平面 AGH,DF 平面 CHG, 又 DF BE, 平面 AGH 与平面 CHG 有公共点, 则平面 AGH 与平面 CHG 重合, 即 ACGH 四点共面 ; 由可知, 平面 ABE 平面 AGHC AG, 平面 CDF 平面 AGHC CH, 当平面..// 平面 CDF 时, 得到 AG //CH, 显然 AG =CH, 所以四边形 AGHC 是平行四边形, 所以 AC GH ; 设 PE DE, 则 PD, 所以 PE DE, 则 PE BF, 又 PE PB, BF PB B, 所以 PE 平面 PBF, 则平面 PDE 平面 PBF ; 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第 0 页 ( 共页 )

11 由 BE DF, BE 平面 PBE, DF 平面 PBE, 所以 DF 平面 PBE, 平面 PDF 平面 PBE l, 则 l DF,l 平面 BEDF, l 平面 BEDF. 变式题源 (07 全国卷 Ⅱ 理 6) 如图, 圆形纸片的圆心为 O, 半径为 5 cm, 该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D E F 为圆 O 上的点, DBC, ECA, FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后, 分别以 BC,CA,AB 为折痕折起 DBC, ECA, FAB, 使得 D E F 重合, 得到三棱锥. 当 ABC 的边长变化时, 所得三棱锥体积 ( 单位 :cm ) 的最大值为. 三解答题 : 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤 (7)( 本小题满分 0 分 ) p 已知抛物线 C : y p( p 0) 的焦点为 F, 点 A(, )( 0) 在 C 上, AF. (Ⅰ) 求 C 的方程 ; (Ⅱ) 若直线 AF 与 C 交于另一点 B, 求 AF BF 的值. 命题意图本小题主要考查抛物线的定义及标准方程直线与抛物线的位置关系等基础知识 ; 考查推理论证能力运算求解能力等 ; 考查化归与转化思想数形结合思想函数与方程思想等 ; 考查直观想象数学运算等. 试题简析 p p 解法一 :(Ⅰ) 由抛物线的定义, 得 AF,... 分解得 p,... 分所以 C 的方程为 y 分 (Ⅱ) 由 (Ⅰ), 得 A(, ), 因为 A(, )( 0) 在 C 上, 所以 8, 解得或 ( 舍去 ),... 5 分故直线 AF 的方程为 y ( ),... 6 分 y ( ), 由消去 y, 得 y 8, 5 0,... 7 分市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第页 ( 共页 )

12 解得,,... 8 分由抛物线的定义, 得 BF 6,... 9 分所以 AF BF 分 p, 解法二 :(Ⅰ) 由题意, 可得 p p... 分 ( ) 9, p, 解得... 分, 所以 C 的方程为 y 分 (Ⅱ) 由 (Ⅰ), 得 A (, ), 故直线 AF 的方程为 y ( ),... 6 分 y ( ), 由消去 y, 得 y 8, 5 0,... 7 分由韦达定理, 得, 又, 所以,... 8 分故 AB, 从而 BF AB AF 6,... 9 分 ( ) 9 则 0 = 所以 AF BF... 0 分 5 变式题源 (05 全国卷 Ⅰ 文 0) 已知抛物线 C:y = 的焦点为 F,A( 0,y 0 ) 是 C 上一点, AF = 0, A. B. C. D.8 (8)( 本小题满分分 ) 数列是公差大于 0 的等差数列, 数列中项, b 是与 5 的等比中项. (Ⅰ) 求数列 (Ⅱ) 求数列与 b 的通项公式 ; b 的前项和. b 是公比为的等比数列,, b 是与的等差命题意图本题主要考查等差等比数列的定义及通项公式求和公式等基础知识, 考查运算求解能力, 考查函数与方程思想等 ( 基本量法 ). 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第页 ( 共页 )

13 b, 试题简析解:(Ⅰ) 由已知,... 分 b 5, b b d, b, 即解得或 b d, d, d 所以 d,, ( 舍去 ),... 分,... 5 分 b b q 分 d 和 ( 只正确写出 b b q 中的一个给分, 正确写出两个给分 ) (Ⅱ) 由 (Ⅰ), 得 b, 设数列 b 的前项和为 S, 则 S b b b, 5 8,... 7 分变式题源 (0 全国卷 Ⅰ 理 7) 等比数列 (Ⅰ) 求数列的通项公式 ;,... 分 ( 一个公式正确给分 ).... 分的各项均为正数, 且, 9. (Ⅱ) 设 b log log... log, 求数列的前项和. b 6 (9)( 本小题满分分 ) ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 bc.,, 已知 bsi A csi C bsi B. (Ⅰ) 求 C ; (Ⅱ) 若 ABC 的周长为 6, 求 ABC 的面积的最大值. 命题意图本小题主要考查正弦定理, 余弦定理, 三角形的面积公式, 基本不等式二次不等式等基础知识, 考查推理论证能力和运算求解能力, 考查转化与化归思想函数与方程思想等, 检测数学抽象数学建模数学运算素养等. 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第页 ( 共页 )

14 试题简析解:(Ⅰ) 因为已知 bsi A csi C bsi B, b c 所以由正弦定理,... 分 si A si B si C 可得 b c b,... 分所以 b c b, b c b 又由余弦定理, 得 cos C,... 5 分 b b 因为 0 C π, 所以 C ( 正确写出正弦定理, 给分 ; 正确写出余弦定理, 再给分.) π 分 (Ⅱ) S ABC bsi C b 分由 (Ⅰ) b c b 又 b c 6 c b b b b,, 得, 所以 c 6 b, 6 b b b, b 所以 b,... 8 分 b 又 b,... 9 分 b 所以 b b, b b 6 0, 所以 0b 或 b 6( 不合, 舍去 ),... 0 分所以 S ABC bsi C b, 当且仅当 b 时等号成立,... 分所以 ABC 的面积的最大值为.... 分变式题源 ( 06 全国卷 Ⅰ 理 7 ) ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为, b, c, 已知 cosc ( cosb bcosa) c. (Ⅰ) 求 C ; (Ⅱ) 若 c 7, ABC 的面积为, 求 ABC 的周长. 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第页 ( 共页 )

15 (0)( 本小题满分分 ) 如图, 在四棱锥 P ABCD 中, 平面 PAD 平面 ABCD, BC CD AB, AP PD, APD ABC BCD 90. P (Ⅰ) 求证 : AP 平面 PBD ; (Ⅱ) 求平面 PAD 与平面 PBC 所成角的余弦值. A D B C 命题意图本小题主要考查直线与平面垂直的判定, 面面垂直的性质, 二面角余弦值的求解等基础知识, 考查空间想像能力推理论证能力运算求解能力, 考查化归与转化思想数形结合思想函数与方程思想等, 综合检测数学抽象逻辑推理直观想象数学运算数学建模素养等. 试题简析解法一 :(Ⅰ) 在底面 ABCD 中, ABC BCD 90, BC CD AB, 所以 BD BC, AD BC, 所以 AD BD BC AB, 所以 BD AD,... 分又平面 PAD 平面 ABCD, 平面 PAD 平面 ABCD AD, BD 平面 ABCD, 所以 BD 平面 PAD,... 分又 AP 平面 PAD, 所以 BD AP 由 APD 90 知 AP PD,,... 分又 PD BD D,... 分所以 AP 平面 PBD 分 (Ⅱ) 分别延长 AD 和 BC 相交于一点 Q, 连结 PQ, 则直线 PQ 即为所求直线 l,... 6 分在平面 PAD 内过 D 作 DE AD ( 如图 ), 又平面 PAD 平面 ABCD, 平面 PAD 平面 ABCD AD, DE 平面 PAD, 所以 DE 平面 ABCD, 又 BD AD, 所以 DE, DA, DB 两两互相垂直分以 D 为原点, 向量 DA, DB, DE 的方向分别为轴 y 轴 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 D yz ( 如图 ) 分 DA, 则 D 0,0,0, 0,,0 设 B, C(,,0), P (,0,), 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第 5 页 ( 共页 )

16 P z Q A D 所以 BP,,, BC (,,0),... 9 分设, y, z 是平面 PBC 的一个法向量, BP 0, y z 0, 则即 BC 0, y 0, 令, 得 (,, ) 分显然 DB 0,,0 是平面 PAD 的一个法向量.... 分设二面角 Al B 的大小为 ( 为锐角 ). DB 所以 cos, DB 9 所以二面角 Al B 的的余弦值为 B y C.... 分解法二 :(Ⅰ) 同解法一 ;... 5 分 (Ⅱ) 分别延长 AD 和 BC 相交于一点 Q, 连结 PQ, 则直线 PQ 即为所求直线 l,... 6 分分别取 AD, AB 中点 O 和 E, 连结 PO, OE, 所以 OE // BD, 又 BD AD, 所以 OE AD, 又因为 AP PD,O 为 AD 的中点, 所以 PO AD, 又平面 PAD 平面 ABCD, 平面 PAD 平面 ABCD AD, PO 平面 PAD, 所以 PO 平面 ABCD, 所以 PO, AO, OE 两两互相垂直分以 O 为原点, 向量 OA, OE, OP 的方向分别为轴 y 轴 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 O yz ( 如图 ),... 8 分 OA, 则 D,0,0,,,0 设 B, C(,,0), P (0,0,), 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第 6 页 ( 共页 )

17 A P z O E D y 所以 BP,,, BC (,,0),... 9 分设, y, z 是平面 PBC 的法向量, BP 0, y z 0, 则即, BC 0, y 0, 令, 得 (,, ) 分显然 DB 0,,0 是平面 PAD 的一个法向量.... 分设二面角 Al B 的大小为 ( 为锐角 ). DB 所以 cos, DB 9 所以二面角 Al B 的余弦值为 B C Q.... 分变式题源 (07 全国卷 Ⅱ 理 9) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 o ABCD, AB BC AD, BAD ABC 90, E 是 PD 的中点. (Ⅰ) 证明 : 直线 CE // 平面 PAB; o (Ⅱ) 点 M 在棱 PC 上, 且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 5, 求二面角 M-AB-D 的余弦值 ()( 本小题满分分 ) y 已知椭圆 E : ( b 0) 的离心率为 b, 上顶点为 B. 点 P 在 E 上, 点 D(0, b), PBD 的最大面积等于. (Ⅰ) 求 E 的方程 ; (Ⅱ) 若直线 DP 与 E 交于另一点 Q, 直线 BP, BQ 分别与轴交于点 M, N, 试判断 OM ON 是否为定值. 命题意图本小题主要考查直线方程椭圆基本性质直线与椭圆的位置关系等基础知识, 考查推市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第 7 页 ( 共页 )

18 理论证能力运算求解能力, 考查转化与化归思想数形结合思想函数与方程思想等, 检测数学抽象逻辑推理直观想象数学运算以及数学建建模素养等. 试题简析解法一 :(Ⅰ) 由题意, 可得 PBD 的最大面积为 b, 故 b 分 c 又 e,... 分 b c... 分联立, 解得, b, 故 E 的方程为 y.... 分 (Ⅱ) 由 D(0, ), 设直线 DP 的方程为 y k, 并设 P(, y ), Q(, y ) 分 y k, 联立方程组消去 y, 得 y, ( k ),... 6 分整理, 得 (k ) 8k 6 0,... 7 分 8k 6 由韦达定理, 得, k k,... 8 分又直线 BP 的方程为 y 同理, 通过直线 BQ 的方程, 可求得 N y y, 所以 M,0,... 9 分 y,0,... 0 分所以 OM ON y y... 分 6, ( k )( k ) k k( ) 9 6k k 9(k ) 即 OM ON 为定值.... 分 ( 直接回答 OM ON 是定值给分 ; 直接写出 OM ON 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第 8 页 ( 共页 ) 为定值给分.) 解法二 :(Ⅰ) 同解法一 ;... 分 (Ⅱ) 设直线 DP 的方程为 y k, P(, y ), Q(, y ) 分

19 y k, 联立方程组消去 y, 得 y, ( k ),... 6 分整理, 得 (k ) 8k 6 0,... 7 分 8k 6 由韦达定理, 得, k k,... 8 分所以 k y y BP kbq... 9 分 ( k )( k ) k k( ) 9 6k k 9(k ),0 分 6 OB OB 又 k BP k BQ k BM k BN OM ON, 故 OM ON, 即 OM ON 为定值.... 分变式题源 (05 全国卷 Ⅱ 理 0) 已知椭圆 C: 9 y m (m>0), 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B, 线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ) 证明 : 直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 ; m (Ⅱ) 若 l 过点 (, m ), 延长线段 OM 与 C 交于点 P, 四边形 OAPB 能否平行四边形? 若能, 求此时 l 的斜率 ; 若不能, 说明理由. ()( 本小题满分分 ) 函数 f l k (Ⅰ) 讨论 (Ⅱ) 当 0, f 的单调性 ;. 时, 若 e e k k, 求实数 k 的取值范围. 命题意图本题综合考查指数对数运算, 不等式, 函数与导数以及导数的应用等基础知识, 考查抽象概括能力推理论证能力运算求解能力以及应用意识和创新意识, 考查函数与方程思想转化与化归思想分类与整合思想等. 试题简析解 :(Ⅰ) 由 0 得,, 故 f( ) 的定义域为 (,).... 分 f.... 分市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第 9 页 ( 共页 )

20 因为 (,), ( ) 所以 f 0 0 ( ) 0, ( ) 0 0 ( ) 0 f 当 0 时.... 分 ( ) 0 对 (,) 恒成立, ( ) 0 在 (,) 当 0 时, 因为当 0 时, ( ) 0 内无解, 故 f 在, ( ) 0 恒成立, 所以 f 在, 恒成立, f 0, f 在, 上单调递增 ;5 分上单调递增 ; 上单调递增 ;... 6 分时, 由由 ( ) 0, 得 (, ), ( ) 0, 得 (, ) (,), 故 f 在 (, ) 上单调递减, 在 (, ) 和上单调递增. (,)... 7 分综上 : 当时, f 在, 时, f 当上单调递增 ; 在 (, ) 上单调递减, f 在 (, ) 和 (,) 上单调递增分 (Ⅱ) 当时, 由 (Ⅰ) 知, f 在, 上单调递增, 所以当 0, 时, f f 0 0 f, l, 即... 9 分 l, 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第 0 页 ( 共页 )

21 从而当时, f 所以当 e, 两式相减得 e e ;... 0 分 e, 在 (, ) 上单调递减 ; (0, )( (0,)) 时, f f 0 0 f l, 即 l, 从而 e, e,, 两式相减得 e e.... 分时, 若 e e k k, 则实数 k 的取值范围为 k.... 分综上可得, 当 0, 变式题源 (0 全国卷 Ⅰ 理 ) l b 已知函数 f( ), 曲线 y f ( ) 在点 (, f ()) 处的切线方程为 y 0. (Ⅰ) 求, b 的值 ; (Ⅱ) 如果当 0, 且时, l f( ) k, 求 k 的取值范围. 市单科质检数学 ( 理科 ) 试题第页 ( 共页 )

T 分 6 分分解法 : 由 (Ⅰ) 得 b a, 8 分 T b b b b 分分 (8)(Ⅰ) 解 : 依据分层抽样的方法, 名女同学中应抽取的人数为名, 分 8 名男同学中应抽取的人数为 8 名, 分故不同的样本的个数为 C C 8 (Ⅱ) (ⅰ) 解 : 名同学中数学和物理成绩均为

T 分 6 分分解法 : 由 (Ⅰ) 得 b a, 8 分 T b b b b 分分 (8)(Ⅰ) 解 : 依据分层抽样的方法, 名女同学中应抽取的人数为名, 分 8 名男同学中应抽取的人数为 8 名, 分故不同的样本的个数为 C C 8 (Ⅱ) (ⅰ) 解 : 名同学中数学和物理成绩均为 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 二 ) 理科数学试题答案及评分参考评分说明 : 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不超过该部分正确解答应得分数的一半 ; 如果后续部分的解答有较严重的错误,

变式题源 (05 全国卷 Ⅰ 文 ) 已知复数 z 满足 (z-)i=+i, 则 z= (A)--i (B)-+i (C)-i (D)+i () 设等差数列 的前 项和为 S. 若, S 5 S 9, 则 50 (A) 99 (B)0 (C) 500 (D) 9 5 命题意图 本小题主要考查等差数列

变式题源 (05 全国卷 Ⅰ 文 ) 已知复数 z 满足 (z-)i=+i, 则 z= (A)--i (B)-+i (C)-i (D)+i () 设等差数列的前项和为 S. 若, S 5 S 9, 则 50 (A) 99 (B)0 (C) 500 (D) 9 5 命题意图本小题主要考查等差数列