Born to win 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. k (1) 当 x 0 时, 若 x tan x与

Size: px

Start display at page:

Download "Born to win 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. k (1) 当 x 0 时, 若 x tan x与"

欲马
5 years ago
Views:

1 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 当时, 若 t 与是同阶无穷小, 则 (A). (C). (B). (D)4. 答案 C 解析 t ( o( )) ~, 故.,, () 设函数 f ( ) l,, 则是 f ( ) 的 A. 可导点, 极值点. B. 不可导点, 极值点. C. 可导点, 非极值点. D. 不可导点, 非极值点. 答案 B f ( ) f () 解析. lim lim, 可导. f ( ) f () l lim lim, 当时, f ( ) ; 当时, f ( ). 故 f ( ) 在 () 设 { u } 是单调递增的有界数列, 则下列级数中收敛的是 m u A. m. B. ( ). u m u C. ( ). D. u 答案 C 解析举反例:(A) u (B) u m (C) 故 f ( ) 不处取极大值. 故选 (B). ( u u ) u (4) 设函数 Q(, y). 如果对上半平面 ( y ) 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有 y, 那么函数 (, ) P (, y ) d Q (, y ) dy C P y 可取为

2 A. C. y. y B.. y D.. y y y 答案 D Q P 解析, y P y, y 则又上半平面含, 有零, 故 (C) 错, 选 (D). (5) 设 A 是阶实对称矩阵,E 是阶单位矩阵, 若 A A E, 且 A 4, 则二次型 A 的规范形为 A. C. y y y. B. y y y. D. y y y. y y y 答案 C 解析 A A E, 设 A 的特征值为 ( )( ) 或 A 4 A的特征值为, q, p X A 的规范形为 y y y ( 6 ) 如图所示, 有张平面两两相交, 交线相互平行, 它们的方程 i i y i z di (i=,,) 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A, A, 则 A. r( A),r( A) B. r( A),r( A)

3 C. r( A), r( A) D. r( A), r( A) 答案 C 解析 () 令 y z di, i,, i i i i 由于,, 无公共交点, 则 r( A) r( A), 故 B D 排除 () 由 () 分析可知, r( A), 且 A, 则 r( A) 以和为例, 由于 y z d y z d 的公共解为一条直线则 r 即 r 因此 r( A) r. r( A) 综上 A 正确 (7) 设 A, B 为随机事件, 则 P( A) P( B) 的充分必要条件是 A. P( A B) P( A) P( B) B. P( AB) P( A) P( B) C. P( AB) P( BA) D. P( AB) P( AB) 答案 C 解析 A选项 P( AB), 故 A 排除

4 B 选项 A B 独立, 故 B 排除 C 选项 P( A) P( AB) P( B) P( AB) 而 P( A) P( B), 故 C 正确 D 选项 P( AB) P( A B) P( A B) P( A) P( B) P( AB) P( A) P( B) 故 D 排除 (8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 且都服从正态分布 N (, ). 则 P X Y A. 与无关, 而与有关. C. 与, 都有关. B. 与有关, 而与无关. D. 与, 都无关. 答案 A 解析 X, Y 独立, 服从正态分布, 则 z y N (, ) Z P( X Y ) P( Z ) P( ) ( ), 故 A 正确二填空题 :94 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸... 指定位置上. z z (9) 设函数 f ( u ) 可导, z f (si y si ) y, 则 cos cos y y y 答案 cos cos y z 解析 f '(si y si )( cos ) y 故 z f '(si y si )cos y y

5 z z y f '(si y si ) f '(si y si ) cos cos y y cos cos y y cos cos y () 微分方程 yy y 满足条件 y() 的特解 y 答案 y y 解析 y ' y y dy d y 故 l( ) y C. 由 y() 得 C l 则 l( y ) l. 故即 y 故 y l( y ) l ( ) () 幂级数在 (, ) 内的和函数 S( ) ( )! 答案 cos 解析 ( ) ( ) cos ( )! () 设为曲面 y 4z 4( z ) 的上侧, 则 z 4 4 z ddy 答案解析 Dy D ' z ddy y ddy yddy d r dr 4 si

6 () 设 A (,, ) 为三阶矩阵, 若, 程组 A 的通解为线性无关, 且则线性方答案,,, R 解析 d, d 无关, A ( d, d, d ) r( A) d d d r( A) A 的基础解系中有 r( A) 个解向量. d d d (,,) 为 A 的解为基础解系. 通解为 (,,), R (4) 设随机变量 X 的概率密度为,, f ( ), 其他,, F( ) 为 X 的分布函数,EX 为的数学期望, 则 PF( X ) EX 答案解析, f ( ), 其他 4 E( ) f ( ) d d 6

7 t F( ) f ( t) dt dt P( F( ) E( ) ) P( F( ) ) P( ) P( ) d 4 三解答题 :5 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸... 指定位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. (5)( 本题满分分 ) 设函数 y( ) 是微分方程 () 求 y( ) () 求曲线 y y( ) 的凹凸区间及拐点答案 () y (),,, y ' y 函数, 函数 y 是凹的, 解析 () d d y d c d c c 由 y, 得 c, 故 () y 的特解. 满足条件 (),,,,, 为拐点 y y 是凸的, 在,,

8 y y 列表 y y,,,, y 凸凹凸凹 y 是凸的, 在,,, 函数 y 是凹的, 由故在,,, 函数 y, y, y, 由拐点判别定理得,,,,, 为拐点 (6)( 本题满分分 ) 设, b 为实数, 函数 z by 在点 (,4) 处的方向导数中, 沿方向 l i 4 j 的方向导数最大, 最大值为. () 求, b ; () 求曲面 z by ( z ) 的面积 ; 答案 () b () 解析 () 由题意可知 grd by b, 6,8,4,4 6 8b 得 4, 得 b, 且方向导数最大为数最大 ), 故 b. 6 64b ( 与梯度方向相同, 方向导 Z y ()

9 4 4 : D S ds y ddy D y d r rdr r d r r (7)( 本题满分分 ) 求曲线 si ( ) y 与轴之间图形的面积答案解析所求面积 si d A lim lim lim si cos lim si lim si d d (8)( 本题满分分 ) 设 (,,...) d () 证明 : 单调递减, 且. (,...) () lim

10 答案 (),, 解析 d () 令 si t, 则 si t cos tdt si t si tdt si tdt si t dt () lim 为偶为奇为偶为奇为奇数, ; 为偶数, ; 故单调减少为偶数时, 为奇数时, 故,, ; ; 为奇为偶

11 () lim 为奇 lim lim 为偶为奇为偶 lim 为偶 lim 为奇 (9)( 本题满分分 ) 设是由锥面 ( y z) ( z) ( z ) 与平面 z 围成的椎体, 求的形心坐标答案 zdv ydv zdv 解析由题意可知,, y, z dv dv dv 其中令 dv dt ddy ( z) dz= D ( y) ( z) ( ) = D zdv zdz ddy z z dz ydv dz yddy rcos y rsi, 则 ( y) ( z) z ( ) ( z) ( z) ) ( z) z ( ) yddy d rsi rdr si r r d si d

12 ydv ( z) dz ( z ) ; 故 y, z, 4 ()( 本题满分分 ) 已知向量组 ( ),,, ( ),,, 若向 4 4 量组 ( ) 和向量组 ( ) 等价, 求的取值, 并将用,, 线性表示答案解析 4 4, 所以., 所以, R ( ), R. 所以 ()( 本题满分分 ) 已知矩阵 A 与 B 相似, y () 求, y ; () 求可逆矩阵 P 使得 P AP B ;

13 答案 (), y ;() P 4 tra trb y 4 解析 () A ~ B, 即, y A B y 5 E A E B A, B的特征值为 =, =, = () 当时, 由 ( E A),( E B) 可得 A B属于特征值的线性无关的特征向量分别为 =,,, =,, ; 当时, 由 ( E A),( E B) 可得 A B属于特征值的线性无关的特征向量分别为 =,,, =,, ; 当时, 由 ( E A),( E B) 可得 A B属于特征值的线 =,,, =,, 性无关的特征向量分别为 ; P (,, ), P (,, ), 则令 P AP P BP P P AP P B 故令 P PP, 即 P AP B. 4 ()( 本题满分分 ) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 服从参数为的指数分布, P Y p, P Y p. 令 Z XY Y 的概率分布为 () 求 Z 的概率密度 ; () p 为何值时, X 与 Z 不相关 ; () X 与 Z 是否相互独立 ; 答案解析 () F ( z) P( XY z) P( XY z, Y ) P( XY z, Y ) Z P( X z) P( Y ) P( X z) P( Y )

14 pp( X z) ( p) P( X z) p( F ( z)) ( p) F ( z) X X 因为 f X z, z ( z),, 其他 f X z, z (- z),, 其他所以 f ( z) pf ( z) ( p) f ( z) Z X X z ( p), z z f z ( z) p, z, 其他 () cov( X, Z),cov( X, XY), 由于 cov( X, XY) E( X Y) EXEXY EX EY ( EX ) EY EYDX, 则 cov( X, XY) p. 由 p, 可知当 p 时, X 与 Z 不相关. () X 与 Z 不独立. ()( 本题满分分 ) 设总体 X 的概率密度为 A f (, ),, 其中是已知参数, 是未知参数, A 是常数, X, X,..., X 是来自总体 X 的简单随机样本, () 求 A ; () 求的最大似然估计量 ; 解析 () 根据概率密度归一性, 有 A d 设 t, 则 A d A t dt A, 则 A A i () 似然函数 L, 取对数 ll i l A l i i

15 d l L i i 对求导有, + d i i 大似然估计量为 ˆ i i 则, 则的最

2019 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A.1. B.2. C.3. D.4.

2019 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A.1. B.2. C.3. D.4. 9 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的 k 当时, 若 ta 与是同阶无穷小, 则 k = A B C D4 k - ta -, 若要 - ta 与是同阶无穷小, \ k = \ 选 C,, 设函数 f ( ) 则 = 是 f() 的 l,, A 可导点, 极值点 B 不可导点,