第一章 三角函数 例 已知函数 的最小正周期为 求 的值 求函数 的单调区间及其图像的对称轴方程 分析 化简函数解析式的一般规律是运用倍角 两角和 差 公式化为只含一个角的三角函数形式去求解 解析 由 $ 得函数 的最 小正周期 得 因此 $ 则 令 $ 得 $ 故函数 的单调递增区间为 $ 令 $

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1 第一章 三角函数 高考数学中 三角函数的考点有三角函数的定义 终边相同的角与三角函数值的象限符号 化简求值 三角恒等变换 三角函数的图像和性质与解三角形 其中核心考点是三角函数的图像和性质与解三角形 为什么说它们是核心考点呢 其一 在高考数学试卷中的三角函数试题 约占 分 里 这部分约占三分之二的分值 约占 分 其二 它们都是研究三角函数的中心内容 其三 它们都与实际生活和其他边缘学科有紧密联系 其四 它们对三角函数的其他考点有较高的覆盖率 核心考点一 三角函数的图像和性质 方向一 三角恒等变换及性质的讨论 解法突破 用公式把已知函数化成同一个角的同种类型的三角函数 简称 同角同函 常见方法有 用两角和差公式或诱导公式变成 同角 的三角函数形式 用倍角公式 升幂公式 降幂公式 变成 同角 如 的三角函数形式 用两角和差公式或辅助角公式化 为 的 同函 三角函数形式 用同角三角函数基本关系式化 切 为 弦 三角函数形式 例 已知函数 求 的定义域 设 是第四象限角 且 求 的值 分析 对于定义域需从函数式结构 分式 偶次根式 及函数自身! 考虑 求值问题的思路是由未知化为已知 解析 由 得 故 的定义域为 因为 且 是第四象限角 所以 故 " " 评注 掌握定义域在求解步骤中最后结果的书写规范问题 变式 已知函数 求函数 的定义域 若 求 的值 #

2 第一章 三角函数 例 已知函数 的最小正周期为 求 的值 求函数 的单调区间及其图像的对称轴方程 分析 化简函数解析式的一般规律是运用倍角 两角和 差 公式化为只含一个角的三角函数形式去求解 解析 由 $ 得函数 的最 小正周期 得 因此 $ 则 令 $ 得 $ 故函数 的单调递增区间为 $ 令 $ 得 $ 故函数 的单调递减区间为 $ % 令 $ 得 $ 所以函数 的对称轴方程为 $ % 评注 利用两角和差公式 辅助角公式 化 为 或 的 同函 三角函数形式 在此基础上求解函数的性质 如最小正周期 对称性 单调区间 值域 最值 或求解三角不等式 变式 山东文 设函数 且 图像的一个 对称中心到最近的对称轴的距离为 求 的值 求 在区间 上的最大值和最小值 变式 北京文 已知函数 求函数 的定义域及最小正周期 求 的单调递减区间

3 ?0M5%.' 变式 已知函数 的图像经过点 求实数 的值 设 求函数 的最小正周期与单调增区间 例 已知函数 求 的值 求 的最大值和最小值 分析 该函数的变形方向与例 不同 无法将其变为同次 同角 只能变为二次型函数 提醒读者 注意次数 角度 函数名三者的变化 解析 " 令 得 则当 $ 时 取最大值 $ 当 时 取最小值 因此函数 的最大值为 最小值为 评注 求解三角函数的值域 最值 周期 单调性 奇偶性 对称性等性质的问题 首先要考虑将所给函数进行变形 但未必能变为 的形式 有时化简为 或 型函数 变式 已知 & 求 的值 求函数 的值域 方向二 对函数图像的研究 由图 及其性质 求式 即已知三角函数的部分图像 求解函数解析式 应理解 的意义 解法突破 对 中 的确定 常规方法是 振幅 可推出 周期 可推出 的值或取值范围 特征点 可列出三角方程 求出 的值

4 第一章 三角函数 例 已知函数 的一段图像如图 所示 求函数的解析式 图 分析 五点法是解这类问题的基本方法 这里要注意的是零点是递增区间的中心还是递减区间的中心 解析 由图 得 $ 则 代入点 得 则 得 又 得 故函数的解析式为 评注 若将点 $ 代入 中 求取的结果是否是一致的呢 得 即 又 则 或 而本题中求解得 为什么要舍去 呢 大家要注意 点 $ 位于函数 图像的增区间 据 五点描图法 知 得 又 则 故函数的解析式为 一般地 我们把函数 图像上从左到右的五个关键点依次称为 第一上零点 最大值点 下零点 最小值点 第二上零点 在不同时出现两个上零点的情形 下 不区分第一和第二上零点 它们所对应的相位值 分别为 利用它们解题时应注意这种对应性 故评注 说明的点 $ 应为 第一上零点 其对应的相位值应为 "$ 而不是 希望读者注意此点 变式 已知函数 其中 的部分图像如图 所示 求 的值 已知在函数 图像上的三点! 的横坐标分别为 求! 的值 y 1 N 2 M 1 O R P x 1 图

5 变式 已知函数?0M5%.' 求函数 的解析式 已知 $ 的部分图像如图 所示 求 的值 图 方向三 给出函数的性质 如奇偶性 单调性 对称性 最值 求解函数解析式 即 的确定 例 设 $ 其中 求函数 的值域 若 在区间 上为增函数 求 的最大值 分析 函数的值域 单调性的确定需将函数化为 的形式 再按原理进行 解析 $ 因为 所以函数 的值域为 解法一 由 知 又 在区间 上为增函数 得 $ 故 得 又 可得 $ 则 的最大值为 $ 解法二 由 知 在区间 上为增函数 由含原点的增区间的 对称性可知函数 在 上也为增函数 故 即 $ 得 $ 故 $ 则 的最大值为 $ 评注 一般地 若 为奇函数 在 上为增函数 其中 若 ' 则 即可求出 的范围 变式 江西文 $ 已知函数 为奇函数 且 其中

6 求 的值 若 求 的值 第一章 三角函数 方向四 图像变换问题 向左平移 个单位 横坐标伸缩到原来的 倍 解法突破 函数 横坐标不变 纵坐标伸缩到原来的 倍 或函数 横坐标伸缩到原来的 倍 向左平移 个单位 纵坐标不变 横坐标不变 纵坐标伸缩到原来的 倍 注 无论函数图像变换的次序如何 相位的变换只针对 而言 例 已知向量 函数 的最大值为 $ 求 将函数 的图像向左平移 个单位 再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 得到函数 的图像 求 在 上的值域 分析 本题是用向量的数量积给出三角函数 对题目条件直接翻译便可得出答案 解析 $ 因为 的最大值为 $ 知 $ 由 得 $ $ 将函数 的图像向左平移 个单位得到 $ $ $ 的图像 再将得到的图像上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 得到 $ 因为 所以 & $ 得 故 在 上的值域为 $ 评注 条件要求的每种变换对应一种解析式 按要求依次变换便得所求解析式 变式 已知函数 求 的最小正周期 若函数 的图像是由 的图像向右平移 个单位长度得到的 当 时

7 ?0M5%.' 求 的最大值和最小值 方向五 与平面向量的综合 解法突破 三角函数与向量知识的综合 一般都是由向量的坐标形式进行数量积运算得出三角函数式 然后对函数式进行恒等变换去解决提出的问题 例 已知向量 设函数 的图像关于直线 对称 其中 为常数 且 求函数 的最小正周期 若 的图像经过点 求函数 在区间 上的取值范围 分析 这里由数量积得出三角函数式 按三角函数知识求解 解析 因为 $ 由直线 是 图像的一条对称轴 可得 $ 所以 $ 即 又 所以 故 $ 所以 的最小正周期是 $ 由 的图像过点 即 故 $ 得 即 $ " $ 所以 $ 得 $ 故函数 在 上的取值范围为 由 有 $ $ $ 评注 本题实质是三角函数问题 还是利用三角函数恒等变形化为一个角的三角函数 再求出性质 变式 陕西文 $ 已知向量 设函数 求 的最小正周期 求 在 上的最大值和最小值

8 变式 辽宁文 & 设向量 若 求 的值 设函数 求 的最大值 第一章 三角函数 核心考点二 解三角形 方向一 合理选取正弦定理 余弦定理解三角形 已知边角关系式求解边或角及面积 解法突破 解三角形要具备三个条件 且其中至少有一个与边有关 正弦定理可用来解决如下问题 知两角一边求其他边或角 知两边一对角求另一对角 知小角求大角两解 知大角求小角一解 及其他边角 余弦定理可用来解决如下问题 知三边求角 知两边及夹角求第三边 知两边一对角 求第三边 在三角形内角为特殊角时 还可以使用正弦定理求出第二个角后 利用内角和定理 "# 获得第三个角 然后再次使用正弦定理求出第三边 例 在 "# 中 角 "# 的对边分别为 已知 " # 且 求 "# 求 的值 分析 本题 因为是有关正切问题 所以选用 "# 公式 中边的计算是知一边求另一边 用正弦定理 解析 "# "# "# " 由 "#"# 得 据正弦定理 得 # # 又 # # 得 # 则 " 评注 本题思路较简单 直接套用公式即可 变式 在 "# 中 已知 "# 求角

9 ?0M5%.' 若 "#"# 的面积是 求 " 变式 湖北文 在 "# 中 角 "# 对应的边分别是 已知 "# 求角 的大小 若 "# 的面积 $ 求 "# 的值 例 湖南文 # 如图 所示 在平面四边形 "#% 中 % "%& &# & & % "&# 求 #&% 的值 求 "& 的长 分析 第 问在 #%& 中 已知两边与一角求第三边 利用余弦定理 第 问 利用两角和差求 &" 再解 "& 解析 在 #%& 中 由余弦定理知 &# #% %& #%%& % 根据已知条件得 &#% #% ' 解得 #% 或 负值舍去 在 #%& 中 由正弦定理可得 #& #% % %&# 故 #% #% $ 图 #% ' 即 %&# #& & & 由题意可知 %&# 故 %&# %&# & & 又 &" %&# 所以 &" %&# %&# %&# ' & & ' & & 在 &" 中 &" & "& "& & 故 "& &

10 第一章 三角函数 评注 在四边形中考查解三角形不常见 需要充分挖掘隐含条件 同时注意对已证结论的使用 变式 新课标 文 & 四边形 "#% 的内角 与 # 互补 " "# #% % 求角 # 和边 "% 求四边形 "#% 的面积 方向二 三角形中边角互化解法突破 此类问题一般题设都是边 角混合的等式 解题突破口是利用正 余弦定理将边 角 化为角 边 列方程 解方程可得所求 例 已知 "# 的三个内角 "# 所对的边分别为 且 " 求 的值 若 求角 " 的大小 分析 已知等式两边的边或三角函数次数相同 考虑用正弦定理 题中有平方关系 考虑用余弦定理 解析 由 " 据正弦定理边化角得 "" 即 " 即 " 则 " 即 由 知 代入 得 $ 由余弦定理知 " $ " $ 又 " 所以 " 评注 本题 问按常规做法易得 问注意边之间关系需要统一 只有这样才能求出 " 的值 注意这些特别的数字 如 变式 江西文 & 在 "# 中 角 "# 所对的边分别为 已知 ""# " 求证 成等差数列 若 # 求 的值

11 ?0M5%.' 变式 在 "# 中 内角 "# 的对边分别为 已知 # " 求 # 的值 若 " 求 "# 的面积 $ "# 变式 已知 分别为 "# 三内角 "# 的对边 # # 求角 的大小 若 "# 的面积为 求 方向三 解三角形中的取值范围及最值问题 解法突破 三角函数中的最值问题一般都是利用代数变换化为所求量的函数式 用求函数最值的方法 如二次函数法 基本不等式法 求解 例 在 "# 中 角 "# 的对边分别为 且满足 " 求角 的大小 若 求 "# 面积的最大值 分析 边 角混合式子 先统一边或角的等式 方程 求解 围绕列面积函数式这一目标可化为边或角求解 解析 因为 " 由正弦定理得 #" " 即 # " " 所以 #"## 在 "# 中 # 所以 又因为 所以 解法一 因为 且 得 则 当且仅当 时 取 所以 $ "# 所以 "# 面积的最大值为 解法二 $ "# "# 又 得 "# # " 则 $ "# " " " " " "" " "" " " " $

12 第一章 三角函数 当 " $ 时 即 "! 时 $ "# 取得最大值为 " " " 评注 列面积函数式究竟化为边还是角由条件决定 这里化为角的话思路简单 运算较繁 不如巧妙运用基本不等式简便 变式 在 "# 中 角 "# 的对边分别为 且 "# 成等差数列 求 的值 设 # 求 的最大值 变式 在 "# 中 角 "# 所对的边分别是 且满足 求角 的值 若 求 "# 周长的取值范围 预测题一 三角函数核心预测题 如图 所示 在平面直角坐标系 中 角 的顶点在原点 始边与 轴的正半轴重合 终边交 半个单位圆于点 且 " 作 "# 轴于点 # 若点 的纵坐标为 求点 " 的横坐标 求 # 的面积 $ 的最大值 将角 的终边绕原点逆时针方向旋转 交单位圆于点 " 过点 图

13 ?0M5%.' 预测题二 已知函数 的一个零点是 求实数 的值 设 求 的单调递增区间 预测题三 已知函数 求函数 的定义域 求 的单调递增区间 若 且 求 的值 预测题四 已知函数 $ 求函数 的最小正周期 求函数 在区间 $ 上的最大值和最小值

14 第一章 三角函数 预测题五 已知函数 求函数 的最小正周期及图像的对称轴方程 设函数 求 的值域 预测题六 已知函数 其中 其部分图像如图 $ 所示 求函数 的解析式 求函数 上的单调区间和最大值及相应 的值 在区间 图 预测题七 已知函数 为偶函数 且函数 的图像的两相邻对称轴间的距离为 求 的值 将函数 的图像向右平移 个单位后 再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的 $ 倍 纵坐标不变 得到函数 的图像 求 的单调递减区间

15 ?0M5%.' 预测题八 将函数 的图像上各点的横坐标伸长为原来的 倍 纵坐标不变 再向左平移 个单位 得到函数 的图像 若函数 的图像过点 $ $ 且相邻两对称轴间的距离为 求 的值 若锐角 "# 中 "# 成等差数列 求 的取值范围 预测题九 在 "# 中 分别是角 "# 所对的边 向量 "" 求角 " 的大小 若 求 的值 " 预测题十 在 "# 中 内角 "# 所对的边分别为 且满足 $ " # 求 的值 求 "# 的值

16 第一章 三角函数 预测题十一 在 "# 中 角 "# 所对的边分别是 已知 # 若 "# 的面积等于 求边 若 # " 求 "# 的面积 预测题十二 在 "# 中 角 "# 所对的边分别为 已知 # " 求角 " 的大小 若 求 的取值范围 预测题十三 在 "# 中 内角 "# 的对边分别是 且 求角 的大小 设 $ 为 "# 的面积 求 $"# 的最大值 并指出此时 " 的值