解析 : 由于 a >, 则 a 为正项级数,S =a +a + a 为正项级数 a 的前 = 项和正项级数前项和有界与正向级数 (4) 设 I = sid(=,,3), 则有 D (A)I < I <I 3. (B) I < I < I 3. = a = 收敛是充要条件故选 A (C) I

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朝航浑班
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1 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 曲线 = + 渐近线的条数为 () (A) (B) (C) (D)3 答案 :C 解析 : lim + =, 所以 = 为垂直的 + lim =, 所以 = 为水平的, 没有斜渐近线故两条选 C () 设函数 f = ( )( ) L ( ), 其中为正整数, 则 f ' () = (A) ( ) ( )! (B) ( ) ( )! (C) ( )! (D) ( )! 答案 :C 解析 : f ' = ( ) L ( ) + ( )( ) L ( ) + L ( )( ) L ( ) 所以 f ' () = ( )! (3) 设 a >(=,, ),S =a +a + a, 则数列 (s ) 有界是数列 (a ) 收敛的 (A) 充分必要条件. (B) 充分非必要条件. (C) 必要非充分条件. (D) 即非充分地非必要条件. 答案 :(A) 您所下载的资料来源于 aoa.com 考研资料下载中心获取更多考研资料, 请访问

2 解析 : 由于 a >, 则 a 为正项级数,S =a +a + a 为正项级数 a 的前 = 项和正项级数前项和有界与正向级数 (4) 设 I = sid(=,,3), 则有 D (A)I < I <I 3. (B) I < I < I 3. = a = 收敛是充要条件故选 A (C) I < I 3 <I, (D) I < I < I 3. 答案 :(D) 解析 :: I = si d 看为以为自变量的函数, 则可知 I ' = si,, π, 即可知 = I si d 关于在 (,π ) 上为单调增函数, 又由于,,3,π, 则 I < I < I3, 故选 D f (, ) (5) 设函数 f (,) 可微, 且对任意, 都有 f (, ) >, <,f(, )<f (, ) 成立的一个充分条件是 (A) >, <. (B) >, >. (C) <, <. (D) <, >. 答案 :(D) f 解析 : (, ) f >, (, ) < 表示函数 f (, ) 关于变量是单调递增的, 关于变量是单调递减的因此, 当 <, > 必有 f (, ) < f(, ), 故选 D (6) 设区域 D 由曲线 = si, = ±, =, ( A ) π ( B) ( C) ( D) π 答案 :(D) 解析 : 由二重积分的区域对称性, π 5 围成, 则 ( ) dd = 您所下载的资料来源于 aoa.com 考研资料下载中心获取更多考研资料, 请访问

3 π 5 5 ( ) dd = π d ) si ( d = π (7) 设 α =, α =, α3 =, α4 = 其中 c, c, c3, c4为任意常数, 则下列向量组线性相关 c c c 3 c 4 的是 (A) α, α, α 3 (B) α, α, α 4 (C) α, α 3, α 4 (D) α, α 3, α 4 答案 :(C) 解析 : 由于 ( α α α ),, = = c = c c c , 可知 α, α3, α 4线性相关故选 (C) ( 8 ) 设 A 为 3 阶矩阵, P 为 3 阶可逆矩阵, 且 P AP=, (,, ) Q = α + α α α 则 Q AQ= 3 ( α, α, α ) P =, 3 (A) (B) (C) (D) 答案 :(B) 解析 : Q= P, 则 Q = P, 故 Q AQ = P AP = = 故选 (B) 二填空题 :9 4 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸... 指定位置上. 您所下载的资料来源于 aoa.com 考研资料下载中心获取更多考研资料, 请访问

4 (9) 设 = 是由方程答案 : + 解析 : 方程 () 计算答案 : 4 π + = 所确定的隐函数, 则 d d = d d + = 两端对求导, 有 d = d d, 所以 d lim = = + 解析 : 原式 d π = lim = arcta. = = i= i () 设答案 :. z z = f l +, z 其中函数 f ( u ) 可微, 则 + = z z = f, = f 解析 : 因为, 所以 z d + ( 3 ) d = z + = () 微分方程满足初始条件 = = 的解为答案 : 解析 : 所以 = d d d + ( 3 ) d = = 3 3 d d + = 为一阶线性微分方程, d d 3 d C 3 d C = + = + = ( + C) 又因为 = 时 =, 解得 C = = + ( < ), 故 (3) 曲线上曲率为 =. 的点的坐标是您所下载的资料来源于 aoa.com 考研资料下载中心获取更多考研资料, 请访问 3

5 答案 :(, ) 解析 : 将 = +, = 代入曲率计算公式, 有 K = = = 3/ 3 ( + ) + ( + ) 整理有 ( + ) =, 解得 = 或, 又 <, 所以 =, 这时 =, 故该点坐标为 (, ) * (4) 设 A 为 3 阶矩阵, A = 3, A 为 A 的伴随矩阵, 若交换 A 的第一行与第二行得到矩阵 B, 则 * BA = 答案 :-7 * * 解析 : 由于 B = EA, 故 BA = E A A = A E = 3E, * 3 所以, BA = 3 E = 3 E = 7*( ) = 7. 三解答题 :5 3 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸... 指定位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. (5)( 本题满分分 ) 已知函数 + f =, 记 a= lim f si, () 求 a 的值 () 若当时, f a是的同阶无穷小, 求 si 解析 :() lim f = lim( + ) = lim + =, 即 a = si si (), 当时, 由 f a= f = = si si 又因为, 当时, (6)( 本题满分分 ) + f = 的极值求 (, ) 解析 : (, ) + f =, 3 si 与 6 等价, 故 f a~, 即 = 6 您所下载的资料来源于 aoa.com 考研资料下载中心获取更多考研资料, 请访问

6 f = = f = =, 解得函数为驻点为,. 先求函数的驻点. (, ), (, ) 又 A= f, =, B= f, =, C = f, =, 所以 B AC <, A<, 故 (, (7)( 本题满分分 ) 过点 (,) 点作曲线 L: =. f ) 在点 (,) 处取得极大值 f (,) = l 的切线, 切点为 A, 又 L 与轴交于 B 点, 区域 D 由 L 与直线 AB 及轴围成, 求区域 D 的面积及 D 绕轴旋转一周所得旋转体的体积解析 : 设切点坐标为 A(,l ), 斜率为 B(,), 所以切线与轴交点为 B, =, 故切线方程为 :, 所以设切线方程为 l = ( ), 又因为该切线过 = + (,) A Y=l B () A= ( ) d = ( ) = () V = π ( ) l 3 π d 8 = π π ( l ) l d 3 8 = π π 4 ( l) d = π π ( ) = π( + 3) 3 3 (8)( 本题满分分 ) 您所下载的资料来源于 aoa.com 考研资料下载中心获取更多考研资料, 请访问

7 计算二重积分 D dσ, 其中区域 D 为曲线 r = + cosθ ( θ π ) 与极轴围成解析 : dσ = dθ + r cosθ r siθ D π cosθ π = siθ cosθ ( + cosθ ) 4 π θ θ θ = 6 si cos ( cos π = = = 5 si t cos tdt 6 π rdr 4 d θ ) cos si t cos 8 9 θ θ d '' ' (9)( 本题满分分 ) 已知函数 f () 满足方程 f + f f = 及 tdt ' f + f = ) 求表达式 f () ) 求曲线的拐点 = 解析 : f ( ) f ( t ) dt ) 特征方程为 r + r =, 特征根为 r =, r =, 齐次微分方程 f + f f = 的通解为 f = C + C. 再由 f ' + f = 得 C = C C C, 可知 =, = 故 f = t t ) 曲线方程为 = dt, 则 ' dt = +, '' ( ) t = + + dt 令 '' = 得 = 为了说明 = 是 '' = 唯一的解, 我们来讨论 '' 在 > 和 < 时的符号当时, >,( ) t > + dt > t <, + dt <, 可知 '' < 可知 = 是 '' = 唯一的解同时, 由上述讨论可知曲线 = = f ( ) ()( 本题满分分 ) f ( t ) dt 唯一的拐点 + 证明 : l + cos +, < <, 可知 '' > ; 当 < 时, f ( ) f ( t ) dt 在 = 左右两边的凹凸性相反, 可知 (,) 点是曲线您所下载的资料来源于 aoa.com 考研资料下载中心获取更多考研资料, 请访问

8 解析 : 令 + f = l + cos, 可得 f ' + + = l + g si + = l + si + + = l + g si + + 当 < < 时, 有 l, + >, 所以 g si, ' 故 f, 而 f =, 即得 l + + cos 所以 l + + cos 当 < <, 有 l, + >, 所以 g si, 故 ' f, 即得 l + + cos + 可知, l + cos +, < < ()( 本题满分分 ) () 证明方程 = ( > 的整数 ), 在区间, 内有且仅有一个实根 ; () 记 () 中的实根为, 证明 lim 存在, 并求此极限解析 : () 由题意得 : 令 f = + + L +, 则 f () >, 再由 ( ) f = = <, 由零点定理得在 (,) 肯定有解, 假设在此区间还有另外一根, 所以 + + L + = + + L +, 由归纳法得到 =, 即唯一性得证您所下载的资料来源于 aoa.com 考研资料下载中心获取更多考研资料, 请访问

9 () 假设根为, 即 f( ) = + + L + =, 所以 ( ) f = =,( < < ), + 由于 L + + =, 可知 + + L + =, 可知 < + 又由于定理可知 { } 当时, 收敛, 假设 lim = a, 可知 a< < = L, 由于 < ( ) a lim f = lim = =, 得 lim = a ()( 本题满分分 ) a a 设 A =, b = a a (Ⅰ) 求 A (Ⅱ) 已知线性方程组 A a a 解析 :(Ⅰ) a a = b 有无穷多解, 求 a, 并求 A = b 的通解 a a = a + a ( ) a = a < <, 也即 { } 是单调的则由单调有界收敛 4+ 4 a a a a a a a a a 3 a a a a a a (Ⅱ) a a a 4 a a a 4 可知当要使得原线性方程组有无穷多解, 则有 a = 及 a a =, 可知 a = 此时, 原线性方程组增广矩阵为, 进一步化为行最简形得 a 您所下载的资料来源于 aoa.com 考研资料下载中心获取更多考研资料, 请访问

10 可知导出组的基础解系为, 非齐次方程的特解为, 故其通解为 + 线性方程组 A = b存在个不同的解, 有 A =. 即 : A λ = λ = λ λ+ =, 得 λ = 或 -. λ 当 λ = 时, = 3, 显然不符, 故 λ =. T (3)( 本题满分分 ) 三阶矩阵 A =, 为矩阵 A A 的转置, 已知 raa= ( T ), 且二次型 a f T T = A A ) 求 a ) 求二次型对应的二次型矩阵, 并将二次型化为标准型, 写出正交变换过程 T 解析 :) 由 raa = ra =可得, = a+ = a = a T T f = A A= (,, ) ) 4 3 = 则矩阵 B = 4 λ 3 λe B = λ = λ λ λ 6 = λ 4 λ λ λ 解得 B 矩阵的特征值为 : = ; = ; 3 = 6 您所下载的资料来源于 aoa.com 考研资料下载中心获取更多考研资料, 请访问

11 对于 λ =, 解 ( λe B) X = 得对应的特征向量为 : η = 对于 λ =, 解 ( λe B) X = 得对应的特征向量为 : η = 对于 λ3 = 6, 解 ( λ3e B) X = 得对应的特征向量为 : η3 = 将 η, η, η 3单位化可得 : α =, 3 α =, α 3 = 6 (,, ) Q = α α α 3 您所下载的资料来源于 aoa.com 考研资料下载中心获取更多考研资料, 请访问

一根据所给图表，回答下列问题。

一根据所给图表，回答下列问题。年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一选择题 :~8 小题, 每小题分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 曲线渐近线的条数为 () (A) (B) (C) (D)3 答案 :(C) 解析 : lim, 所以为垂直渐近线 lim, 所以为水平渐近线, 没有斜渐近线, 总共两条渐近线, 选

解析 : 由于 a >, 则 a 为正项级数,S =a +a + a 为正项级数 a 的前 = 项和 正项级数前 项和有界与正向级数 (4) 设 I = sid(=,,3), 则有 D (A)I < I <I 3. (B) I < I < I 3. = a = 收敛是充要条件 故选 A (C) I

解析 : 由于 a >, 则 a 为正项级数,S =a +a + a 为正项级数 a 的前 = 项和正项级数前项和有界与正向级数 (4) 设 I = sid(=,,3), 则有 D (A)I < I <I 3. (B) I < I < I 3. = a = 收敛是充要条件故选 A (C) I