2019 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A.1. B.2. C.3. D.4.

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畅坂伍
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1 9 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的 k 当时, 若 ta 与是同阶无穷小, 则 k = A B C D4 k - ta -, 若要 - ta 与是同阶无穷小, \ k = \ 选 C,, 设函数 f ( ) 则 = 是 f() 的 l,, A 可导点, 极值点 B 不可导点, 极值点 C 可导点, 非极值点 D 不可导点, 非极值点 - l f -() = lim =, f () lim lim l - = + = + 不存在 + \ = 处 f ( ) 不可导当 < 时, f ( ) = - > \ f ( ) 单增 =- f ( ) - 当 > 时 f ( ) = l f ( ) = l + Î (,e ) 时 f ( ) < \ f ( ) 单减 \ = 为 f ( ) 的极值点 \ 选 B 设 {u} 是单调增加的有界数列, 则下列级数中收敛的是 A u B ( ) u C u ( ) u

2 D ( u u ) {u} 单调增加且有界由单调有界收敛定理可得 {u} 极限存在, 设 lim u A 则 u u 的前项和为 S u u u u u u u lim S lim u u A u 选 (D) 4 设函数 Q(, ) 如果对上半平面 ( > ) 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有 P (, )d Q (, )d, 那么函数 P(,) 可取为 C A B C D P 由题意知, 积分与路径无关, 则 Q u u 存在 u(,) 使得 P(, ), Q(, ) Q u(, ) c( ) 则 u P c( ) 又可为排除 (C), 选 (D)

3 5 设 A 是阶实对称矩阵,E 是阶单位矩阵若 A A E, 且 A =4, 则二次型 T A 的规范形为 A B C D 由 A + A = E 得 λ + λ=, λ 为 A 的特征值, l =- 或, 又 A =λ λ λ = 4, 故 λ =λ =-, λ =, 规范形为 - -, 选 (C) 6 如图所示, 有张平面两两相交, 交线相互平行, 它们的方程 ai a i a i z di ( i,,) 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A, A, 则 A r( A), r( A) B r( A), r( A) C r( A), r( A) D r( A), r( A) 由条件知张平面无公共交点, 方程组无解, 故 r( A) ¹ r( A) 又两平面交于一条直线, 故 r( A ) =, 因此 r( A) =, r( A) =, 选 (A) 7 设 A,B 为随机事件, 则 P( A) = P( B) 的充分必要条件是 A P( A B) = P( A) + P( B) B P( AB) = P( A) P( B) C P( AB) = P( BA)

4 D P( AB) = P( AB) P( AB) = P( A) - P( AB), P( BA) = P( B) - P( AB) P( A) = P( B) \ P( AB) = P( BA) 选 (C) 8 设随机变量与 Y 相互独立, 且都服从正态分布 A 与 m 无关, 而与 s 有关 B 与 m 有关, 而与 s 无关 C 与 m, s 都有关 D 与 m, s 都无关因为 N( u, s ) Y N( u, s ) 且与 Y 相互独立 N( m, s ), 则 P{ - Y < } \ - Y N(, s ) - Y \ P{ - Y < } = P < = F - s s ç s \ 与 m 无关, 而与 s 有关选择 (A) 二填空题 :9~4 小题, 每小题 4 分, 共 4 分 z z 9 设函数 f ( u ) 可导, z = f (si - si ) +, 则 + = cos cos 因为 : z f '(si si )( cos ) z f '(si si )(cos ) 所以 : z z f '(si si )( cos ) cos f '(si si ) cos cos cos cos cos cos cos cos 微分方程 '- - = 满足条件 () = 的特解 =

5 ' ' d d 两边积分得 l( ) l C Ce 由 ()= 得 C= 所以 e 幂级数 (-) ( )! å 在 ( ) =,+ 内的和函数 S( ) = s ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( )! ( )! 设 å 为曲面 + + 4z = 4( z ) 的上侧, 则设 A ( a, a, a ) = 为阶矩阵, 若, A = 的通解为 4 4 d d 4 d d d d d r si dr 4 4 z 4 (4 ) d d, 线性无关 r( A) a a 线性无关, 且 a = - a + a, 则线性方程组 r( A) r( A) A= 为基础解系有 r( A) 个线性无关的解向量

6 (,, ) 通解为 k k R ìï, 4 设随机变量的概率密度为 f ( ) ï < <, = í F( ) 为的分布函数,E 为的数 ïïï î, 其他学期望, 则 P{ F( ) > E - } = 的概率密度为 f ( ) 其他 8 4 E d d 6 F( ) 4 P{ F( ) E } P{ F( ) } P{ } P d 4 4 (4 ) 4 4 三解答题 :5~ 小题, 共 94 分解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤解答题 ( 高等部分 ) 5 设函数 ( ) 是微分方程 () 求 ( ) ; e () 求曲线 ( ) 的凹凸区间及拐点满足条件 () 的特解 P( ) Q( ) e

7 P( )d P( )d e Q( )e d c d d e e e d c e e e d c e ( c) ()= c= e ( ) e e ( ) ( )e ( ) e ( )e ( ) ( )e ( )( )e 令 ( ) 当或时, ( ) () 的凹区间为 (,) 和 (, ) 当或时, ( ) () 的凸区间为 (, ) 和 (, ) 所以曲线 () 的拐点为 (,), (, e ),(, e ) 6 设 a,b 为实数, 函数 z a b 在点 (,4) 处的方向导数中, 沿方向 l i 4 j 的方向导数最大, 最大值为 () 求 a,b () 求曲面 z a b ( z ) 的面积 () 在点 (,4) 处的梯度方向为 grad z (,4) ( z (, 4), z (, 4)) (6 a,8 b) grad z, 且 (,4)

8 a 由题意知故 6a b 5, 4 8b 5 () 由 () 知 z, 由 z 得, 令 D {, }, 曲面面积为 S z z D d d 4( ) d d D d 4r r d r 4 d( 4 ) 8 r r ( 4 r ) 4 7 求曲线 e si ( ) 与轴之间图形的面积设在区间 [ k,( k ) ]( k,,,, ) 上所围的面积记为 u k, 则 ( k ) ( k ) k u e si d ( ) e si d k ; k 记 I= e si d, 则 k I e d cos (e cos cos d e ) e cos e d si e cos (e si si d e ) e (cos si ) I 所以 e I (cos si ) C ; 因此 ; k k ( k) ( k) k uk ( ) e (cos si ) k (e e ) ( 这里需要注意 cos k ( ) k ) 因此

9 S lim S ( ) k e e u e ; e k k k ( ) e e e lim e e e 8 设 a d (,,, ) () 证明 : 数列 {a} 单调减少, 且 a a (,, ) a () 求 lim a 则 ( ) a a d d ( ) d a 单调递减 sit / / a d si cos si ( si ) t tdt t t dt I I I, a I, a 则 I a ( ) ( ) 则 () 由 () 知, a 由夹逼准则知, lim a a a 单调递减, 则 a a a, 即 a 9 设是由锥面与平面 z= 围成的锥体, 求 ( z) ( z) ( z ) 的形心坐标 { } 解 : 令 D (, ) ( z) ( z) z = + - -, 形心为 (,,,) 由于 W 关于 Oz 面对称, 故 = z,

10 d dz dd p -z v Dz d d d d p( - ) d Dz dz dq ( z+ rsiq) rdr W = = = v z z z W p = d z z( - z) + (- z) si q dq p ò = p( - z) dz = p 4, zdv W p z = = z = z - z z = dv 4 W 故 W 的形心坐标为,, ç 4 4 d d d p( ) d p Dz 设向量组 =(,,) T =(,,) T =(,a,) T 为 R 的一个基, =(,,) T 在这个基下的坐标为 (b,c,) T () 求 a,b,c () 证明,, 为 R 的一个基并求,, 到,, 的过渡矩阵 () 由题意可知, b = ba + ca + a 即 b + c + = b + c + a = b + c + a b + c + ì b + c = ï íb + c + a = ï ïî b + c = - 即 b c = a - A = \ b =, c = -, a =

11 (),,,, 线性无关且向数量个数为个,, 是 R 的一个基 (,, ) (,, ) (,, ) 令 P PE P (,, ) (,, ) 即 (,, ) 到 (,, ) 的过渡矩阵为

12 已知矩阵 A 与 B 相似 () 求 () 求可逆矩阵 P, 使得 P - AP=B () A ~ B 4 tr( A) tr( B), A B 4 () E B ( )( )( ),, A E 4 T 时, =(-,, ) 4 44 时, A E 5 5 T =(-,, 4) 4 A E T 时, =(-,,) 4 P, 令, P AP 有 4

13 E T 时,B =(-,, ) 4 E T 时,B =(,,) E T 时,B =(,,) 4 令 P,, 有 P BP B P P APP, 故 P PP 4 4 设随机变量与 Y 独立服从参数为的指数分布 Y 的概率分布为 P Y p, P Y p( p ), 令 Z=Y () 求 Z 的概率密度 ()p 为何值时, 与 Y 不相关? () 与 Z 是否相互独立? () 随机变量的分布函数为 F F ( z) P Z P ( e ( ), Z z PY z z, Y P z, Y p) F ( z) p F ( z),

14 当 z z 时, F ( z) p F ( z) pe 当 Z z z 时, F ( z) ( p) F ( z) p F ( z) ( p)( e ) p Z 则 f Z ( p) e ( z) z pe, z, z z () E, EZ E( Y ) E EY p E( Z) E( Y ) E( ) E( Y ) D ( E ) p ( p) 当 E( Z) E( ) E( Z) 时,, Z 不相关即 p ( p), 可得 p () 因为 P, Z P, Y, 又 P e, PZ pe 则, Z P PZ P, 故不独立 ( 本题满分分 ) 设总体的概率密度为 ( ) A e, f ( ; ), 其中是已知参数, 是未知参数,A 是常数,,,, 机样本 () 求 A; () 求的最大似然估计量 ( ) ( ) 是来自总体的简单随 A A () 由 e d A e d 可得 : A () 设,,, 为样本值, 似然函数为 L e, i i,,,, else 当,,, 时,

15 l l l l i i L 令 ) ( l i i d L d, 可得 i 故的最大似然估计量为 i

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2019 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A.1. B.2. C.3. D.4.

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