目录 高频考点一 集合... 高频考点二 不等式的解法...5 高频考点三 复数... 高频考点四 线性规划...7 高频考点五 程序框图... 高频考点六 三视图... 高频考点七 平面向量...40 高频考点八 解析几何...50 高频考点九 数列...7 高频考点十 函数...85 高频考点十

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1 三好网 08 届艺考生 高考必备 数学

2 目录 高频考点一 集合... 高频考点二 不等式的解法...5 高频考点三 复数... 高频考点四 线性规划...7 高频考点五 程序框图... 高频考点六 三视图... 高频考点七 平面向量...40 高频考点八 解析几何...50 高频考点九 数列...7 高频考点十 函数...85 高频考点十一 导数...07 高频考点十二 三角函数与解三角形...8 高频考点十三 统计概率... 高频考点十四 立体几何...40 高频考点十五 命题与逻辑...5 高频考点十六 极坐标与直角坐标的互化...58

3 备考说明 随着国家对录取艺术生文化课成绩的逐年提高, 上线容易录取难成为艺术生面临的严峻问题 怎样让专业好的同学被心仪的大学录取呢? 那就必须在文化课上有所突破 怎样在短时间内让这些同学的数学成绩有一个较大的提高呢? 我就从一个数学老师的角度来谈一下艺术生的数学复习 一 艺术生的思想定位专业考试前, 艺术生把主要精力用到艺术考试上, 专业考试后只有两个多月复习文化课的时间, 这无疑给学生的学习带来巨大的压力, 这就需要同学们摆正心态, 别怕吃苦, 别怕困难, 动脑筋, 想办法, 打破常规, 相信通过自己不懈的努力一定能提高数学成绩 二 艺术生的数学能力定位艺术生的数学能力包括一般的运算能力 直观能力 观察能力 较低的直接推理能力 简单的模仿能力等, 因为这些能力与其专业有关, 比较容易达到 所以大家要对自己有信心, 只要上述能力在高考中正常发挥,80 分左右的成绩还是可以保证的, 而这对大多数的艺术专业生来说已经足够了 三 艺术生的数学知识定位数学知识多而且难, 这是事实 但是高考和平时的模考不同, 平时的试题难度区分不如高考那么准确, 高考试题的难度系数比例为 6 或 5:4: 对于艺术生而言, 最关键的是抓 50%-60% 的基础分! 只要把这部分基础分拿下,80 分左右的成绩是必得的 因此在复习过程中不需要各部分知识平均用力, 要有针对性, 对有把握拿分的题目或知识进行反复的练习, 完成自己的成绩目标 选择题与填空题的基础部分(50 分 ) 集合运算 5 分, 常用逻辑用语 5 分, 复数 5 分, 统计 5 分, 算法与框图 5 分, 线性规划 5 分, 三角函数 5 分, 立体几何 5 分, 平面向量 5 分, 一元二次不等式及其它不等式的求解 5 分 这十部分内容中是高考数学的选择填空的基础部分, 建议艺术生主要从这些方面复习 解答题中的基础部分( 约 40 分 ) 三角函数 6 分, 立体几何 6 分, 概率 分, 数列 5 分, 导数第一小题 6 分, 解析几何第一小题 5 分 近几年来解答题题型固定, 难度相对稳定 在复习解答题时, 建议各位艺术考生可以把主要精力放到解答题的第一问

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5 高频考点一 集合 知识讲解. 常用数集及其记法 : 非负整数集 ( 或自然数集 ), 记作 N; 正整数集, 记作 N * 或 N +; 整数集, 记作 Z; 有理数集, 记作 Q; 实数集, 记作 R. 集合的包含关系 : () 集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素, 则称 A 是 B 的子集 (A 包含于 B 或 B 包含 A), 记作 A B ( 或 A B ); () 集合相等 : 构成两个集合的元素完全一样 若 A B 且 B A, 则称 A 等于 B, 记作 A=B;. 若 A B 且 A B, 则称 A 是 B 的真子集, 记作 AÜ B; 4. 全集与补集 : () 包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集, 记作 U; () 若 U 是一个集合,A S, 则, () 简单性质 :) C S ( C S )=A;) { S且 A 称为 S 中子集 A 的补集 ; C S A=} C S S= ;) C =S 5. 交集与并集 : () 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的交集 交集 A B { A且 B} () 一般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集 并集 A B { A或 B} 6. 集合的简单性质 : () A A A, A, A B B A; () A A, A B B A; ()( A B) ( A B); (4) A B A B A; A B A B B ; S (5) C S (A B)=( C A) ( C B), C S (A B)=( C A) ( C B) S S S S 08 艺考真题密卷文化课高分过 5 / 55

6 典型例题 系列资料 BY 三好网汇编 例 下列命题 : 空集没有子集 ; 任何集合至少有两个子集 ; 空集是任何集合的真子集 ;4 若 A, 则 A. 其中正确的有 ( ) A.0 个 B. 个 C. 个 D. 个 答案 B 解析 错, 空集是任何集合的子集, 有 ; 错, 如 只有一个子集 ; 错, 空集不是空集的真子 集 ;4 正确, 因为空集是任何非空集合的真子集. 例 设集合 A={,,a},B={,a -a+}, 且 A B, 则 a 的值为. 答案 - 或 解析 A B, 则 a -a+= 或 a -a+=a, 解得 a= 或 a=- 或 a=, 结合集合元素的互异性, 可确定 a=- 或 a=. 例 若 A={0,,4,6},B={0,,6,9}, 则 A B=( ) A.{0} C.{0,6} B.{6} D.{0,,6} 答案 C 解析 观察两集合元素可知, 公共元素是 0,6, 从而 A B={0,6}. 例 4 已知集合 P={,}, 则满足 P Q={0,,,5} 的集合 Q 的个数是 ( ) A. B. C. D.4 答案 D 解析 P={, },P Q={0,,,5}, Q={0,5} 或 {0,,5} 或 {0,,5} 或 {0,,,5}, 即集合 Q 有 4 个. 例 5 已知 N 为自然数集, 集合 P={,4,7,0,},Q={,4,6,8,0}, 则 P A.{,7,} B.{4,0} C.{,7} D.{0,,} 答案 A 解析 P={,4,7,0,},Q={,4,6,8,0}, ð ={0,,,5,7,9,,,, }. P ð Q ={,7,}. Q N N ð N Q 等于 ( ) 例 6 有如下结论 :m (P Q) m P;m (P Q) m (P Q);P Q P Q=Q; 4P Q=P P Q=Q. 其中正确的个数是 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D.4 个 答案 C 08 艺考真题密卷文化课高分过 6 / 55

7 系列资料 BY 三好网汇编 解析 对于,m (P Q), 有可能 m P 但是 m Q ; 对于, 若 m (P Q), 那么一定有 m (P Q); 对于, P 是 Q 的子集, 一定有 P Q=Q; 对于 4,P Q=P =Q, 正确. 正确的有 4, 共 个. QP P Q 例 7 已知 I={0,,,,4,5,6,7,8},M={,,4,5},N={0,,5,7}, 则 ði ( M N) =( ) A.{6,8} C.{4,6,7} B.{5,7} D.{,,5,6,8} 答案 A 解析 M N={0,,,,4,5,7}, ði ( M N) ={6,8}. 技巧点拨. 韦恩图是集合的一种直观表示, 可帮助我们理解 分析问题, 但它不能作为严密的数学工具使用 图示 法直观, 一目了然, 是解题时迅速作答的有效方法 表示集合的图形的形状与集合的性质没有任何关系, 它仅仅是体现把集合中的元素都包含在内, 而不是该集合的元素不包含在内 ;. 空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集. 即若 A, 则 Ü A. 求集合的并 交 补是集合间的基本运算, 运算结果仍然还是集合, 区分交集与并集的关键是 且 与 或, 在处理有关交集与并集的问题时, 常常从这两个字眼出发去揭示 挖掘题设条件, 结合 Ve 图 或数轴进而用集合语言表达, 增强数形结合的思想方法 专项训练. 下列所给关系中, 正确的个数是 ( ) Q; 0 N; 06Z. A.0 B. C. D. 答案 B ; 解析 是无理数, 所以 Q, 故 错误 ;0 是自然数, 所以 0 N, 故 正确 ; 因为 06 Z, 所以 不正确. 故正确的只有.. 已知集合 A 0, m, m m 且 A, 则实数 m 的值为 ( ) A. B. C. 或 D.0,, 均可 答案 A 解析 由 A 可得 m 或 m 合中元素的互异性 ; 当 m, m,, 当 m 时, 集合 0,, m 时, 集合 A 0,, A, 满足元素互异性, 所以 m, 故选 A., 不满足集 08 艺考真题密卷文化课高分过 7 / 55

8 . 下列说法 : 系列资料 BY 三好网汇编 y, 整数集可以表示为 { 为全体整数 } 或 { Z }; 方程组 的解集为 y, y ; 集合 N 用列举法可表示为, ;4 集合 解析 集合 A 中元素 y 是实数, 不是点, 故选项 B,D 不对. 集合 B 的元素 (,y) 是点而不是实数, B 不正确, 所以 A 错. 5. 若 {,,} A {0,,,,7}, 则集合 A 的个数为 ( ) A. B. C.4 D.5 答案 B 解析 集合{,,} 是集合 A 的真子集, 同时集合 A 又是集合 {0,,,,7} 的子集, 所以集合 A 只能取集合 {,,,0},{,,,7} 和 {0,,,,7}. 6. 已知集合 A={ -+=0, R},B={ 0<<5, N}, 则满足条件 A C B 的集合 C 的个数为 ( ) A. B. C. D.4 8 / 艺考真题密卷文化课高分过 是无限 集. 其中正确的是 ( ) A. 和 B. 和 4 C.4 D.4 答案 C 解析 表示集合的符号 { } 已包含 所有 全体 等含义, 而符号 Z 已表示 整数集, 其正确的表示应为 { 为整数 } 或 Z ; y,, 方程组 的解是有序的实数对 而集合 { =, y =} 的元素为两个方程, 正 y y, 确的表示应为 {(,)}, 或 y, ; y 由, 得 或, 而 N, 故集合 { N }={}; 4 集合 中有无限个实数, 所以是无限集. 故正确的只有 集合 A={y y= +}, 集合 B={(,y) y= +}(A,B 中 R,y R), 选项中元素与集合的关系都正确的是 ( ) A. A, 且 B B.(,) A, 且 (,) B C. A, 且 (,0) B D.(,0) A, 且 B 答案 C

9 答案 D 解析 由题意知:A={,},B={,,,4}. 又因 A C B, 则集合 C 可能为 {,},{,,},{,,4}, {,,,4}. 7. 已知集合 A={ a- a+},b={ <<5}, 则能使 A B 成立的实数 a 的取值范围是 ( ) A.{a <a 4} B.{a a 4} C.{a <a<4} D. 答案 B 解析 将集合 A B 在数轴上表示出来, A B, 如图所示 : 则 a, a 5, a 题文 设 B={,},A={ B}, 则 A 与 B 的关系是 ( ) A.A B B.B A C.A B D.B A 答案 D 解析 B 的子集为,{},{},{,}. A={ B}={,{},{},{,}}, B A. 9. 已知集合 A={ - <},B={ < 5}, 则 A B=( ) A.{ <<} C.{ -<<5} B.{ - 5} D.{ -< 5} 答案 B 解析 结合数轴分析可知,A B={ - 5}. 0. 设集合 U={,,,4,5,6,7},M={,,4,7}, 则 ð M U =( ) A.U C.{,5,6} B.{,,5} D.{,4,6} 答案 C 解析 因为 U={,,,4,5,6,7},M={,,4,7}, 所以 ð M U ={,5,6}, 所以选 C. 高频考点二 不等式的解法. 一元二次不等式的解法 知识讲解 () 将不等式的右边化为零, 左边化为二次项系数大于零的不等式 a +b+c>0(a>0) 或 a +b+c<0(a >0). () 求出相应的一元二次方程的根. 9 / 艺考真题密卷文化课高分过

10 () 利用二次函数的图象与 轴的交点确定一元二次不等式的解集. 系列资料 BY 三好网汇编. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表 : 二次函数 y a b c ( a 0) 的图象 一元二次方程 a b c 0 有两相异实根, ( ) 有两相等实根 b a 无实根 a b c ( a 0) 0 的解集 或 b a R a b c 0 ( a 0) 的解集 例 不等式 的解集为 ( ) 典型例题 A.{ 或 } C.{ - } B.{ -<<} D. 答案 C 解析 由 , 得 +- 0, 即 (+)(-) 0, 所以 -, 所以原不等式解集为 { - }. 例 二次不等式 a b 0的解集为, 则 ab 的值为 ( ) A. 5 B.5 C. 6 D.6 答案 D 解析 由已知得, 是一元二次方程 a b 0 的两根, 且 a 0, 由根与系数的关系得 08 艺考真题密卷文化课高分过 0 / 55

11 b, a 解得, a 08 艺考真题密卷文化课高分过 a, ab 6, 故选 D. b, 4 6, 0, 例 设函数 f( ) 则不等式 f ( ) f () 的解集是 ( ) 6, 0, A.(, ) (,) B.(,) (, ) C.(,) (, ) D.(,) (, ) 答案 D 解析 f 4 6, 则原不等式可化为 0 或 0, 即解集是,,, 故选 D. 例 4 解不等式 a -(a+)+<0(a R) 答案 见解析 / , 或 0 6, 0, 解得 或 解析 若 a = 0, 则原不等式等价于 - + <0 > ; 若 a<0, 则原不等式等价于 ( )( ) 0 或 >; a a 若 a>0, 则原不等式等价于 ( )( ) 0 a 当 a= 时, 当 a> 时, a 当 0<a< 时, a =, 所以不等式解集为 ; <, 所以 a a <<; >, 所以 << 例 5 已知不等式 m --m+<0. () 若对所有的实数 不等式恒成立, 求 m 的取值范围 ; a () 设不等式对于满足 m 的一切 m 的值都成立, 求 的取值范围. 7 (, ) 答案 ()m ;() 的取值范围是.. 解析 () 不等式 m --m+<0 恒成立, 即函数 f()=m --m+ 的图象全部在 轴下方. 注意讨论 m=0 时的情况. 当 m=0 时,-<0, 即当 > 时, 不等式恒成立 ;

12 当 m 0 时, 函数 f()=m --m+ 为二次函数, 需满足开口向下且方程 m --m+=0 无解, 即, 则 m 无解. 综上可知不存在这样的 m. () 从形式上看, 这是一个关于 的一元二次不等式, 可以换个角度, 把它看成关于 m 的一元一次不等式, 并且已知它的解集为 [-,], 求参数 的范围. 设 f(m)=( -)m+(-), 则其为一个以 m 为自变量的一次函数, 其图象是直线, 由题意知该直线当 - m 时线段在 轴下方,, 即 7 的取值范围是 (, ) 一个技巧 技巧点拨 一元二次不等式 a +b+c<0(a 0) 的解集的确定受 a 的符号 b -4ac 的符号的影响, 且与相应的二次函数 一元二次方程有密切联系, 可结合相应的函数 y=a +b+c(a 0) 的图象, 数形结合求得不等式的解集. 若一元二次不等式经过不等式的同解变形后, 化为 a +b+c>0( 或 <0)( 其中 a>0) 的形式, 其对应的方程 a +b+c=0 有两个不等实根,,(<)( 此时 Δ=b -4ac>0), 则可根据 大于取两边, 小于夹中间 求解集. 两个防范 () 二次项系数中含有参数时, 参数的符号影响不等式的解集 ; 不要忘了二次项系数是否为零的情况 ; () 解含参数的一元二次不等式, 可先考虑因式分解, 再对根的大小进行分类讨论 ; 若不能因式分解, 则可对判别式进行分类讨论, 分类要不重不漏. 专项训练. 若, 则 A.0, B. 4, 答案 C 解析 由 解得 0 的取值范围是 ( ) C. 4,0, 函数 y 递减,, 上递增, 在 处取得最小值 4, 在 D.,4 图象的对称轴是, 故在 0, 上 处取得最大值 0, 故值域为 4,0. 08 艺考真题密卷文化课高分过 / 55

13 a 的解集为. 已知不等式 5 b 0 系列资料 BY 三好网汇编, 则不等式 b 5 a 0的解集为 ( ) A. B. 或 C. D. 或 答案 A 5, a 解析 由题意得 解得 a, b 6, 所以不等式 b 5 a 0为 6 5 0, b, a 即 ()( ) 0, 所以解集为 故选 A.. 若不等式 ( m ) ( m ) 0 的解集是 R, 则 m 的取值范围是 ( ) A. (,9) B.(,] (9, ) C.[,9) D.(,) (9, ) 答案 C 解析 由 ( m ) ( m ) 0 解集为 R, 可得 () 当 m 0, 即 m 时, 0恒成立 ; () 当 m 时, ( m) 8( m) 0, 即 m 9;() 当 m 时, 不恒成立. 综上, 实数 m 的 取值范围为 [,9). 4. 已知关于 的不等式 0 和 b c 0 的解集分别为 AB,, 若 A BR, A B,4, 则 bc( ) A.7 B. 7 C. D. 答案 B 解析 ( )( ) 0, 解得 A { 或 } 则 B { 4}, 即不等式 b c, 因为 A B R,,4 A B, 0 的解集为 B { 4}, 所以, 4是方 4 b, 程 b c 0 的两个实数根, 所以 解得 b, c 4, 所以 b c 7, 故选 B. 4 c,, 0, 5. 设 f( ) 则不等式, 0, f ( ) 的解集是 ( ) 08 艺考真题密卷文化课高分过 / 55

14 A. R 答案 B 0, B. (, ),0 C. 系列资料 BY 三好网汇编 D.(,0) 解析 不等式 解得 或 f ( ) 0, 不等式 0, 等价于 f ( ) 0,, 或 0, 0 即 的解集是 (, ),0. 故选 B. 0, 0, 或 6. 若不等式 m m 4 4 对任意实数 均成立, 则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(, ) [, ) B., C.(,] D.(,] 答案 C m m 4 4 m m 4 0, 当 解析 m 0, 要使不等式恒成立, 则需 4m 6m 0,, 解得 m 时成立 ; 当 m 时,. 综上, 7. 不等式 ( a 4) ( a ) 0 的解集是空集, 则实数 a 的取值范围为 ( ) 6 6 A. (, ) B. [, ) C. [, ] D. [, ) {} 5 5 答案 B (,] 解析 令 a 4 0, 解得 a 或 a, 当 a 时, 不等式可化为 4 0, 解集不是空集, 不 符合题意 ; 当 a 时, 不等式可化为 0不成立, 解集为空集. 当 a 4 0时, 要使不等式的解集 a 4 0, 6 6 为空集, 则 解得 a. 综上, 实数 a 的范围为 a, 故选 B. ( a ) 4( a 4) 0, 对任意 a,, 函数 f a 4 4 a 的值恒大于零, 则 的取值范围是 ( ) A. B. 或 C. D. 或 答案 B f a a a , 当 解析 当 4 4 0, 解得 ; 当 时,. 综上, 或, 故选 B. 时, 0 f, 不符合题意 ; 4 4 0, 解得 时,. 08 艺考真题密卷文化课高分过 4 / 55

15 0, 9. 若不等式组 的解集不是空集, 则实数 a 的取值范围是 ( ) 4 ( a) 0 A.(, 4] B.[ 4, ) C.[ 4,0] D.[ 40,0) 答案 B 解析 不等式 0 的解集为 [,], 假设 0, a 的解集为空集, 则不等式 4 ( ) 0 4( a) 0的解集的为集合 或 的子集, 因为函数 f ( ) 4 ( a ) 图象的 对称轴为 f a a, 则 a 的取值范围是为, 所以必有 ( ) a 4, 故选 B. 0. 已知方程 a a 4 0 的一个实根在区间 (,0) 内, 另一个实根大于, 则实数 a 的取值范围 是 ( ) A.0a 4 B.a C. a D. a 或 答案 B 解析 令 ( f ) a a 4, 方程 a a 4 0 的一个实根在区间 (,0) 内, 另一个 f 0, a a 0, 实根大于, f 0 0, a 4 0, a, 故选 B. f 0, a 4a 0, a 高频考点三 复数. 复数的基本概念与复数相等的判断 知识讲解 复数的基本概念 () 虚数单位 i : 数 i 叫做虚数单位, 它的平方等于, 即 i () 复数的概念 : 形如 a bi ( a, b R ) 的数叫复数, 记作 : z a bi ( a, b R ); 其中 :a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部,i 是虚数单位 全体复数所成的集合叫做复数集, 用字母 C 表 示 复数相等的充要条件 08 艺考真题密卷文化课高分过 5 / 55

16 两个复数相等的定义 : 如果两个复数的实部和虚部分别相等, 那么我们就说这两个复数相等. 即 : a c 如果 a, b, c, d R, 那么 a bi c di b d 特别地 : a bi 0 a b 0. 共轭复数 当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于 0 的两个共轭复数 也叫做共轭虚数, 通常记复数. 复数的四则运算. 复数的加法 减法运算法则 设 z a bi, z c di z 的共轭复数为 z ( a, b, c, d R ), 我们规定 : z z ( a bi) ( c di) ( a c) ( b d) i z z ( c a) ( d b) i 加法运算律满足 交换律 :z +z =z +z 结合律 ::(z +z )+z =z +(z +z ). 乘法 除法运算法则 设 z a bi, z c di ( a, b, c, d. R ), 我们规定 : z z ( a bi)( c di) ( ac bd) ( bc ad) i z a bi ( a bi)( c di) ac bd bc ad i z c di ( c di)( c di) c d c d. 复数的几何意义与复数的模. 复数的几何表示 : 复数 z a bi( a, b R) 复平面内的点 Z( a, b ) 平面向量 OZ. 复数的模 : 复数 z a bi( a, b R ) 对应的向量 OZ 的模叫做 z 的模, 记作 z 或 a bi, 即 z a bi a b 典型例题 例 设 z 是复数, 则下列命题中的假命题是 ( ) A. 若 z 0, 则 z 是实数 B. 若 z <0, 则 z 是虚数 08 艺考真题密卷文化课高分过 6 / 55

17 C. 若 z 是虚数, 则 z 0 D. 若 z 是纯虚数, 则 z <0 答案 C 系列资料 BY 三好网汇编 ab=0, 解析 设 z=a+bi(a,b R), 则 z =a -b +abi, 由 z 0, 得 a -b 0, 则 b=0, 故选项 A 为真, 同理选项 B 为真 ; 而选项 C 为假, 选项 D 为真. 例 设 a,b R,a+bi= -7i -i (i 为虚数单位 ), 则 a+b 的值为. 答案 8 解析 a+bi= -7i -i =-7i+i =5+i, 5 a=5,b=, 故 a+b=8. 例 若复数 z 满足 z z i, 其中 i 为虚数单位, 则 z. 答案 4 i 解析 设 z a bi( a, b R), 则 ( a bi) a bi i 4a 且 b z i 4 例 4 若 z, z C, z z z z 是 ( ) A. 纯虚数 B. 实数 C. 虚数 D. 不能确定 答案 B 解析 z a bi, z c di,( a, b, c, d R), z z z z ( a bi)( c di) ( a bi)( c di) ac bd R 例 5 若 z, 那么 z i 答案 i 解析 z 的值是 i i i z z z i i i , ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i 5 例 6 若, 4 4, 则复数 (cos si ) (si cos )i 在复平面内所对应的点在 ( ). A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案 B 08 艺考真题密卷文化课高分过 7 / 55

18 解析 cos si si 4,si cos si 4, 因此 cossi 0,sicos 0, 所以复数在复平面内对应的点在第二象限. z 例 7 设复数 z 满足 z 则 z =( ) (A) (B) (C) (D) 答案 A z 解析 由 z i i 得, z i = ( i )( i ) =i, 故 z =, 故选 A. ( i)( i) 技巧点拨. 研究复数问题一般将其设为 z a bi( a, b R) 形式, 利用复数相等的充要条件, 即实部与实部, 虚部与 虚部分别对应相等, 将复数相等问题转化为实数问题, 解对应方程组问题.. 复数问题实数化转化过程中, 需明确概念, 如 z a bi( a, b R) 的共轭复数为 z a bi( a, b R). 复数的考查核心是代数形式的四则运算, 即使是概念的考查也需要相应的运算支持, 将复数问题转化为 实数问题来解决的途径, 是本章常用的方法, 简称为 复数问题实数化. 运算时的技巧 : ()i 是虚数单位, i ; i i, i, i i, i ( Z) i i ()( +i) i,( i) i, i, i i i 专项训练. 已知 i z i (i 为虚数单位 ), 则复数 z =( ) A. i B. i C. i D. i 答案 D. 若 z=( -) +(-)i 为纯虚数, 则实数 的值为 ( ). [A.- B.0 C. D.- 或 答案 A 解析 z 为纯虚数, 08 艺考真题密卷文化课高分过 8 / 55

19 0 0. 复数 i z i, =. (i 为虚数单位 ) 在复平面内对应的点所在象限为 ( ) 系列资料 BY 三好网汇编 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案 D i ( i) 4i 解析 因为 z, 故复数 z 对应的点在第四象限, 选 D 项. i 计算 i i i 的值是 ( ) A.0 B. C.- D.i 答案 A 解析 按复数除法的运算法则得第一项, 再由 i 的幂的性质得第二项, i ( i) i i i i i i 0, 故选 A. i ( i)( i) i 5. 复数 z=(m +m)+mi(m R,i 为虚数单位 ) 是纯虚数, 则实数 m 的值为 ( ) A.0 或 - B.0 C. D.- 答案 D m m0, 解析 z 为纯虚数, m=-, 故选 D. m 0, 6. 下列说法正确的是 ( ) A. 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0, 那么这两个复数相等 B.ai 是纯虚数 (a R) C. 如果复数 +yi( y R) 是实数, 则 =0,y=0 D. 复数 a+bi(a b R) 不是实数 答案 A 解析 两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等, 即它们的实部的差与虚部的差都 为 0, 故 A 正确 ;B 中当 a=0 时,ai 是实数 0;C 中 +yi 是实数, 只需 y=0 就可以了 ;D 中当 b=0 时, 复数 a+bi 为实数. 7. 下列命题中, 正确命题的个数是 ( ) 若,y C, 则 +yi=+i 的充要条件是 =y=; 若 a,b R 且 a>b, 则 a+i>b+i; 若 +y =0, 则 =y=0. A.0 B. C. D. 9 / 艺考真题密卷文化课高分过

20 答案 A 解析 对, 由于,y C, 所以,y 不一定是 +yi 的实部和虚部, 故 是假命题 ; 对, 由于两个虚数不能比较大小, 故 是假命题 ; 是假命题, 如 +i =0, 但 0,i 设 a,b R,i 是虚数单位, 则 ab=0 是 复数 a-bi 为纯虚数 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 答案 B 解析 ab=0 时,a=0 或 b=0, 复数 a-bi 为纯虚数时,a=0 且 b 0, 那么 ab=0 是 复数 a-bi 为纯虚数 的必要不充分条件, 故选 B. 9. 向量 则 OZ + OZ 对应的复数是 5-4i, 向量 OZ 对应的复数是 ( ) OZ 对应的复数是 -5+4i, A.-0+8i B.0-8i C.0 D.0+8i 答案 C 解析 由题意可知 OZ + OZ + OZ =(5,-4), OZ =(-5,4), OZ =(5,-4)+(-5,4)=(5-5,-4+4)=(0,0). OZ 对应的复数是 复数 (+i) 等于 ( ) A.+4i B.5+4i C.+i D.5+i 答案 A 解析 因为(+i) =4+4i+i =4+4i-=+4i. 故选 A. 高频考点四 线性规划 知识讲解. 已知直线 l :0 A By C 把坐标平面分成两部分, 在直线 l 同侧的点, 将其坐标带入 A By C 得到的实数符号都相同, 在直线 l 异侧的点, 使将其坐标带入 A By C 得到的实数符号都相反.. 二元一次不等式所表示平面区域的判断方法可概括为直线定界, 特殊点定域.. 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 4. 图解法解决简单线性规划问题时关键是找出约束条件和目标函数. 步骤 :() 把题目中的量分类分清,() 设出变量, 寻求约束条件列出不等式组, 找出目标函数,() 08 艺考真题密卷文化课高分过 0 / 55

21 准确作图, 利用平移直线法求最优解,(4) 回归实际问题 典型例题 例 在 ABC 中,A(,-),B(-,),C(,), 写出 ABC 区域所表示的二元一次不等式组. +y- 0, 答案 -y+ 0, +y-5 0. 解析 首先写出 ABC 三边所在直线方程, 然后再根据区域确定不等式组. 解法一 : 由两点式得 AB BC CA 直线方程并化简为 : AB:+y-=0,BC:-y+=0, AC:+y-5=0. 原点 (0,0) 不在各直线上, 将原点坐标代入到各直线方程左端, 结合式子的符号可得不等式组为 +y- 0, -y+ 0, +y-5 0. 解法二 : 由 AB 的方程及三角形区域在 AB 上方, 根据 同号在上 原则, 得不等式 +y- 0. 由 BC 的方程及三角形区域在 BC 下方, 根据 异号在下 的原则, 得不等式 -y+ 0. +y- 0, 同理得 +y-5 0, 从而得不等式组 -y+ 0, +y y+5 0, 例 已知,y 满足 5+y-6 0, -5y+0 0, 则 z=-y 的取值范围是. 答案 [-5,6]. 解析 先画出约束条件的可行域, 如图所示, +8y+5=0, 由 5+y-6=0, +8y+5=0, 由 -5y+0=0, 得 B(,-), 得 A(-5,0). 当 z 为常数时,z=-y 可化为 y=-z, 所以 -z 表示直线 z=-y 在 y 轴上的截距, 如图所示 ; 当点 (,y) 位于 A 点时,-z 取最大值, zmi=-5-0=-5; / 艺考真题密卷文化课高分过

22 当点 (,y) 位于 B 点时,-z 取最小值 ; 系列资料 BY 三好网汇编 zma=-(-)=6. 综上所述, 目标函数 z 的取值范围是 [-5,6]. 0, 例 设 z=y-+4, 式中 y 满足条件 0 y, y-. 求 z 的最大值和最小值. 答案 z 的最大值和最小值分别是 8 和 4. 0, 解析 作出满足不等式组 0 y, y-. 的可行域 ( 如图所示 ). 作直线 l:y-=t, 当 l 经过点 A(0,) 时,z ma= - 0+4=8; 当 l 经过点 B(,) 时,z mi= - +4=4. 例 4 已知, y 满足约束条件 y 0 y y 0, 若 z a y 的最大值为 4, 则 a ( ). A. B. C. D. 答案 B y 0 解析 作出不等式组 y 所表示的平面区域, 如图所示. y 0 依题意, z a y a 4, 则 的最大值必在 A, 或 B,0 处取得. 当在, a, 经检验, 不合题意 ; 当在,0 y a, 经检验, 符合题意 -y=0. 故选 B. 则 A 处取得时, B 处取得时, a 0 4, A O B +y= -y+ 0, 例 5 若实数 y 满足 >0, y, y 则的取值范围是 ( ) A.(0,) B.(0,] 08 艺考真题密卷文化课高分过 / 55

23 C.(,+ ) 答案 B D.[,+ ) 系列资料 BY 三好网汇编 -y+ 0, 解析 不等式组 >0, y, 表示的平面 区域为如图所示的 ABC 及其 内部 ( 不包括边 AC), y 表示点 (,y) 与原点 O 连线的斜率, 当点 (,y) 在 B 处时, y 有最小值 =. y y 当点 (,y) 由 B 在区域内向左移动时越来越大, 故的取值范围是 [,+ ). 答案 D 0, 例 6 已知 y 满足 y, 4+y, y- 则的取值范围是. + 答案 [-,] y- 解析 作出可行域如图所示, 设点 M(,y) 在可行域内, 定点 P 的坐标为 (-,), 则目标函数的值 + y- 为直线 PM 的斜率, 因为 PO PA 的斜率分别为 -, 由图可得的取值范围是 [-,]. + 技巧点拨 () 解决线性规划问题时, 找出约束条件和目标函数是关键, 一般步骤如下 : 作 : 确定约束条件, 并在坐标系中作出可行域 ; 移 : 由 z=a+by 变形为 y=- a b +z b, 所求 z 的最值可以看成是求直线 y =- a b +z 在 y 轴上的截距的最 b z 值 ( 其中 a,b 是常数,z 随,y 的变化而变化 ), 将直线 a+by=0 平移, 在可行域中观察使最大 ( 或最小 ) b 时所经过的点 ; () 当 b>0 时, 当直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最大 当直线过可行域且在 y 轴上截距最小时,z 值最小 当 b<0 时, 当直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最小 当直线过可行域且在 y 轴上截距最小时, 08 艺考真题密卷文化课高分过 / 55

24 z 值最大 () 如果可行域是一个多边形, 那么一般在其顶点处使目标函数取得最大 ( 小 ) 值, 最优解一般就是某 个顶点 一 选择题. 若变量, A. 4 答案 B y 满足约束条件 B. 5 专项训练 4 5y 8 剟, 则 z y 的最小值为 ( ). 0剟 y C. 6 D. 解析 不等式所表示的可行域如下图所示, 由 z y 得 z 依题当目标函数直线 l : y 经过点 4 z. 故选 B. 5 5 即 mi A 4, 5 5 z y, 时, z 取得最小值, 4+5y-8=0 y = = y= O A. 已知, y 满足 y 0 y5 0 0, 则 z y 的最大值是 ( ). A. 0 B. C.5 D.6 答案 C y 0 解析 由 + y 5 0, 作出可行域及直线 y 0, 如图所示, 平移 y 0发现, 当其经过直 0 线 y5 0 与 的交点 (,4) 时, z y 取最大值为 zma 4 5. 故选 C. 08 艺考真题密卷文化课高分过 4 / 55

25 y y=+ - O =- y=--5 y=- 二 填空题 a y. 设 a0, b 0, 若关于 y, 的方程组 无解, 则 a b 的取值范围是. by, 答案 解析 解法一 : 即线性方程组表示两条平行的直线, 故由条件 所以 a b ab,. 故填 解法二 : 将方程组中的 式化简得. y a ab, 且, 代入 式整理得 方程组无解应该满足 ab 0且 b 0, 所以 ab 且 故填,. a b ab b, b, 所以由基本不等式得 a b ab., 4. 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲 乙两种新型材料. 生产一件产品 A 需要甲材料.5kg, 乙材 料 kg, 用 5 个工时 ; 生产一件产品需要甲材料 0.5kg, 乙材料 0.kg, 用 个工时. 生产一件产品 A 的利 润为 00 元, 生产一件产品 B 的利润为 900 元, 该企业现有甲材料 50kg, 乙材料 90kg, 则在不超过 600 个工时的条件下, 生产产品 A, 产品 B 的利润之和的最大值为元. 答案 6000 y 解析 设生产产品 A,B 的件数分别为 y,, 获得利润为 z 元, 00 y, N.5 0.5y 50 则 y, 满足约束条件为 :, 目标函数为 0.y 90 5 y ( 60,00) z y 00 7 y, 画出满足不等式组的可行域, 如图所示. O 00 5y 联立, 得 0.y 90 y 00, 即 A 60,00. 移动目标函数 7 z y, 900 可得到当其经过点 A 60,00 时, z 有最大值 故填 / 艺考真题密卷文化课高分过

26 5. 若, 答案 y 满足约束条件 y 0 y 0 y 0 解析 由题意, 作出可行域如图所示. 目标函数为 小. 由图可知 y z 在 A, z=+4y A(,), 则 z 4y 的最小值为. z 4y 处取得最小值, 故 zmi 4., 则直线 系列资料 BY 三好网汇编 z y 4 4 的纵截距越大, z 值越 O -y=0 B(,0) +y-=0 高频考点五 程序框图 知识讲解. 程序框图又称流程图, 是一种用规定的图形 指向线及文字说明来准确 直观地表示算法的图形. 通常程序框图由程序框和流程线组成, 一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤, 流程线带方向箭头, 按照算法进行的顺序将程序框连接起来.. 三种基本逻辑结构 () 顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的, 这是任何一个算法都离不开的基本结构. 其结构形式为 () 条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式. 其结构形式为 () 循环结构是指从某处开始, 按照一定条件反复执行处理某一步骤的情况. 反复执行的处理步骤称为循 环体. 循环结构又分为当型 (WHILE 型 ) 和直到型 (UNTIL 型 ). 其结构形式为 08 艺考真题密卷文化课高分过 6 / 55

27 典型例题 例 某程序框图如图所示, 若该程序运行后输出的结果不大于 7, 则输入的整数 i 的最大值为 ( ) A. B.4 C.5 D.6 答案 C 0 解析 执行程序如下: S 0, 0 ; S 0 7, ; 若继续循环 S 5 7, ; 若继续循环 S 5 0 7, ; 若继续循环 4 S 0 9 7, 4 ; 若继续循环 S 9 6 7, 5 ; 若继续循环 S , 6, 所以该步不能执行, 所以 i 的最大值为 5, 故选 C. 例 如下程序的循环次数为( ) =0 WHILE <0 =+ = WEND PRINT END A. B. C. D.4 答案 C 解析 程序执行如下: 7 / 艺考真题密卷文化课高分过

28 ()<0,=0+=,= =; ()<0,=+=,= =4, ()<0,=4+=5,=5 =5, 此时跳出循环, 并输出. 所以一共进行 次循环, 故选 C. 例 设计一个计算 的算法, 下面给出了算法语句的一部分, 则在横线 上应填入下面数据中的 ( ) S= i= DO S=S*i i=i+ LOOP UNTIL i 输出 S A.8 B.9 C.0 D. 答案 C 解析 由算法知 i 的取值为,5,7,9,, 又只需计算 5 7 9, 因此只要保证所填数大于 9, 小 于 即可, 故选 C. 例 4 执行下图程序框图, 如果输入的,t 均为, 则输出的 S= ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 答案 D 解析 由题意知: 当 k 时, M, S 5; 当 k 时, M, S 7 ; 当 k 时, 输出 S=7, 故选 D. 例 5 执行如图所示的程序框图, 若输出 k 的值为 6, 则判断框内可填入的条件是 ( ) 08 艺考真题密卷文化课高分过 8 / 55

29 A.s> B.s> 5 C.s> 7 0 D.s> 4 5 答案 C 解析 程序框图的执行过程如下 :s=,k=9;s= 9 0,k=8;s= = 8 0,k=7;s= = 7 0,k =6, 循环结束. 故可填入的条件为 s> 7 0. 故选 C.. 条件语句有关的解题方法 : 技巧点拨 () 条件语句有两种形式, 应用时要根据实际问题适当选取 ; () 编写含有多个条件结构的程序时, 每个条件语句执行结束时都以 END IF 表示 ; () 算法中需要判断情况 分类执行时, 如判断一个数的正负 比较两个数的大小 求分段函数的函数值等, 都需要用到条件语句 ; (4) 条件语句是一个整体,IF THEN ELSE END IF 都是语句的一部分, 且 IF END IF 必须成对出现 ; (5) 若程序只对条件满足时作处理, 不用处理条件不满足时的情况, 则可以省略 ELSE 分支.. 与循环结构有关的解题方法 () 循环结构循环有限次输出结果解决此类型问题最常用的方法是列举法, 即依次执行循环结构, 直到循环终止, 但在执行循环体的过程中, 第一, 要明确每一次执行循环体前和执行循环体后变量的值发生的变化 ; 第二, 要明确循环终止的条件是什么, 什么时候要终止循环体的执行. () 与周期结合的循环结构输出结果解决此类型问题的一般思路是 : 第一步, 要先对循环结构执行若干次, 从执行的若干次结果观察出循环周期 ; 第二步, 根据循环终止条件, 弄清循环结构终止时的循环次数 ; 第三步, 根据循环结果的循环周期及循环次数, 输出结果, 其中输出的结果为第 m 次的结果 (m 为循环次数除以循环周期所得余数 ) 一 选择题 专项训练. 如图程序中, 输出的是 4, 则输入的 可以是 ( ) 9 / 艺考真题密卷文化课高分过

30 INPUT IF <0 THEN =- END IF y= PRINT y END A.-8 B.4 C.8 D.-6 答案 D 解析 本题考查条件语句的基本结构和功能. 程序为求 y= 的函数值, 当输出 4 时,4=, 故 输入的 =±6, 故选 D.. 如图是一个算法的程序框图, 已知 a =, 输出的 b=, 则 a 等于 ( ) A. B.5 C.7 D.9 答案 B a 解析 由题意知该算法是计算 a 的值. a 则, 解得 a =5.. 根据如图所示的框图, 对大于 的整数 N, 输出的数列的通项公式是 ( ) 08 艺考真题密卷文化课高分过 0 / 55

31 A.a = B.a =(-) C.a = D.a = - 答案 C 解析 阅读题中所给的程序框图可知, 对大于 的整数 N, 输出数列 :, =, =, = 4,, N- = N, 故其通项公式为 a =. 4. 阅读下列程序 : 若输入 5, 则程序运行的结果为 ( ) A. B.0 C.5 D.6 答案 D 解析 当 a=5 时, 条件 a>5 不成立, 故执行 ELSE 后面的语句 b=a +=6. 5. 下列程序语句的算法功能是 ( ) INPUT a,b,c IF a<b THEN a=b END IF IF a<c THEN a=c END IF PRINT a END A. 输出 a,b,c 三个数中的最大数 B. 输出 a,b,c 三个数中的最小数 / 艺考真题密卷文化课高分过

32 C. 将 a,b,c 从小到大排列 D. 将 a,b,c 从大到小排列 答案 A 解析 由程序语句可知, 当比较 a,b 的大小后, 选择较大的数赋给 a; 当比较 a,c 的大小后, 选择较 大的数赋给 a; 最后输出 a, 所以此程序的作用是输出 a,b,c 中最大的数. 故选 A. 二 填空题 6. 下面一段程序执行后的结果是. A= A=A* A=A+6 PRINT A END 答案 0 解析 执行第 句时 A= =4, 执行第 句时 A=4+6=0. 7. 运行下面的程序, 输出的值为. S=0 i= WHILE S<8 S=S+i i=i+ WEND PRINT i END 答案 7 解析 由于循环体是先执行 S=S+i, 再执行 i=i+, 然后进行判断, 当 S=+++4+5=5 时, 执 行 i=5+=6, 这时 5<8 成立, 再循环一次 S=5+6=,i=6+=7, 这时再判断 <8 不成立, 于 是执行 PRINT i, 即 i=7. 8. 执行如图所示的程序框图, 则输出的 k 的值为. 08 艺考真题密卷文化课高分过 / 55

33 答案 4 解析 逐次写出运行结果. 该流程图运行 4 次, 各次 S 的取值分别是,,6,5, 所以输出的 k=4. 9. 根据下面的程序框图, 要使得输出的结果在区间 [-, 0] 上, 则输入的 的取值范围是. 答案, 5. 解析 由程序框图可得输出值 y=, <0, 4-, 0, - 0, 若 y [-,0], 则 <0, - 4-0, 或 0, 解得 某程序框图如图所示, 则输出的结果 S 等于. 答案 57 解析 k, S 4 ; k, S ; k 4, S 6 ; k 5, S 57, 退出循环, 输出 S 57. 高频考点六 三视图 知识讲解. 空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体, 画出的空间几何体的图形 具体包括 : () 正视图 : 物体前后方向投影所得到的投影图 ; 08 艺考真题密卷文化课高分过 / 55

34 它能反映物体的高度和长度 ; () 侧视图 : 物体左右方向投影所得到的投影图 ; 它能反映物体的高度和宽度 ; () 俯视图 : 物体上下方向投影所得到的投影图 ; 它能反映物体的长度和宽度 ;. 三视图画法规则高平齐 : 主视图与左视图的高要保持平齐长对正 : 主视图与俯视图的长应对正宽相等 : 俯视图与左视图的宽度应相等. 空间几何体的直观图 () 斜二测画法 建立直角坐标系, 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX,OY, 建立直角坐标系 ; 画出斜坐标系, 在画直观图的纸上 ( 平面上 ) 画出对应的 O X,O Y ' ' ', 使 X OY =45 0 ( 或 5 0 ), 它们 确定的平面表示水平平面 ; 画对应图形, 在已知图形平行于 X 轴的线段, 在直观图中画成平行于 X 轴, 且长度保持不变 ; 在已知图 形平行于 Y 轴的线段, 在直观图中画成平行于 Y 轴, 且长度变为原来的一半 ; 4 擦去辅助线, 图画好后, 要擦去 X 轴 Y 轴及为画图添加的辅助线 ( 虚线 ) () 平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的, 中心投影的投影线相交于一点 4. 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置, 因为多边形顶点的位置一旦确定, 依 次连结这些顶点就可画出多边形来, 因此平面多边形水平放置时, 直观图的画法可以归结为确定点的位置 的画法 强调斜二测画法的步骤 典型例题 例 将正方体 ( 如图 所示 ) 截去两个三棱锥, 得到图 所示的几何体, 则该几何体的侧视图为 ( ) 08 艺考真题密卷文化课高分过 4 / 55

35 答案 B 解析 题图 所示的几何体的侧视图由点 A,D,B,D 确定, 外形为正方形, 判断的关键是两条对角线 AD 的投影为实线,B C 的投影为虚线, 故选 B. 例 某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积为 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥, 则通过侧视图得高 h=, 底面积 S= =, 所以 体积 V= Sh=. 例 如图为某几何体的三视图, 则该几何体的表面积为 ( ) 5 / 艺考真题密卷文化课高分过

36 A.0 5 B.0 C. 6 6 D.6 6 答案 C 解析 由三视图知四边形 ABCD 为直角梯形, 其面积为 S= =. 三角形 PAB 为直角三角形, 其面积为 S= =. 三角形 PAD 面积为 S= =,PD=, 三角形 PDC 面积为 S4= =. 又 PB=BC= 5,PC=, 作 BE PC 于 E, 则 BE= = =, 所以三角形 PBC 的面积为 S5= =, 故表面积为 S=S+S+S+S4+S5=6+ +. 例 4 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图, 则该几何体的表面积为 ( ) A.0π C.8π B.4π D.π 08 艺考真题密卷文化课高分过 6 / 55

37 答案 C 解析 该几何体的表面积由圆锥的侧面积 圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成. 其中, 圆锥 的底面半径为, 母线长为 + =4, 圆柱的底面半径为, 高为 4, 故所求表面积 S=π 4+ π 4+π =8π. 例 5 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( ) A. B. C. 4 D. 答案 A 解析 由三视图可知, 该几何体是在一个圆柱中挖去两个半球而形成的, 且圆柱的底面圆半径为, 母 线长为, 则圆柱的体积 V 柱 = =, 挖去的两个半球的半径均为, 因此挖去部分的体积为 V 球 = 4 = 4, 因此, 几何体的体积为 V =V 柱 -V 球 = - 4 =, 故选 A 技巧点拨 根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 : () 根据给出的三视图判断该几何体的形状 ; () 由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量 ; () 套用相应的面积公式与体积公式计算求解. 专项训练 一 选择题. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体可以是 ( ) 08 艺考真题密卷文化课高分过 7 / 55

38 A. 棱柱 B. 棱台 C. 圆柱 D. 圆台 答案 D 解析 选 D. 根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致且为梯形, 并且俯视图是两个圆, 可知只有选项 D 合适, 故选 D.. 某几何体的正视图和侧视图均如图所示, 则该几何体的俯视图不可能 是 ( ) 答案 D 解析 对于选项 A, 两个圆柱的组合体符合要求 ; 对于选项 B, 一个圆柱和一个正四棱柱的组合体符合要求 ; 对于选项 C, 一个底面为等腰直角三角形的三棱柱和一个正四棱柱的组合体符合要求 ; 选项 D 如果可能的话, 则这个空间几何体是一个正三棱柱和一个正四棱柱的组合体, 其正视图中上面矩形的宽是三棱柱的底面边长, 但侧视图中上面矩形的宽是三棱柱底面三角形的高, 故只有选项 D 中的不可能.. 沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示, 它的俯视图是 ( ) 答案 D 解析 从上面看依然可得到两个半圆的组合图形, 注意看得到的棱画实线. 4. 已知某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 ( ) 8 / 艺考真题密卷文化课高分过

39 A.6 B.4 C. D.48 答案 D 解析 选 D. 由三视图知, 该几何体是一个四棱锥 E-ABCD, 底面 ABCD 是一个直 角梯形, 各边长如图所示,BC AB,EB 底面 ABCD,AB=6, 所以由棱锥的体积公 式得,V= (6+) 6 6= 某几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积为 () A.4 B. 答案 B 0 C. 6 D.8 解析 由三视图可得到几何体的直观图如图所示, 该几何体是由一个四棱锥 A CDEF 和一个三棱锥 F ABC 组成, 四棱锥 A CDEF 的底面面积为 4, 高为 4, 所以体积是 F ABC 的底面积为, 高为, 故体积是 4, 所以该几何体的体积为 0, 故选 B. 6 V 4 4 ; 三棱锥 08 艺考真题密卷文化课高分过 9 / 55

40 二 填空题 6. 如图, 已知某组合体的正视图与侧视图相同 ( 其中 AB=AC, 四边形 BCDE 为正方形 ), 则该组合体的俯视 图可以是. 答案 ()()()(4) 解析 该几何体可以是由正方体与底面边长与正方体底面边长相同的正四棱锥组合而成, 此时俯视图为 (); 该几何体可以是由正方体与底面直径与正方体的棱长相同的圆锥组成, 此时其俯视图为 (4); 该几何体可以是由圆柱与底面为正方形且边长等于圆柱底面直径的四棱锥组合而成, 此时其俯视图为 (); 该几何体可以是由相同底面的圆柱与圆锥组成的几何体, 此时其俯视图为 (). 综上可知, 该组合体的俯视图可以是 ()()()(4). 7. 一物体及其正视图如图 : 则它的侧视图与俯视图分别是图形中的. 答案 解析 侧视图是矩形中间有条实线, 应选 ; 俯视图为矩形中间两条实线, 且为上下方向, 应选. 8. 某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图为扇形, 则该几何体的体积为 ( ) 08 艺考真题密卷文化课高分过 40 / 55

41 A. 答案 D B. C. 9 D. 6 9 解析 如图, 由三视图中所给尺寸知, AC =, DC =, ACD = 9. 某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的表面积是. 答案 + 5 解析 由三视图作出三棱锥如图所示, 在三棱锥 A BCD 中, AD 平面 BCD. BCD 为等腰三角形, E 为 BC 的中点, 连接 AE, DE, 又 AD = BE = EC =,DE=, 所以 BD =CD = 5, AE = 5. 则 S ACD=S ABD= 5 = 5,S ABC= 5 = 5,S BCD=. 故 S 表 =S ACD+S ABD+S BCD+S ABC= 某几何体的三视图如图所示 ( 单位 :cm), 则该几何体的体积 ( 单位 :cm ) 是 cm. 08 艺考真题密卷文化课高分过 4 / 55

42 π + 答案 系列资料 BY 三好网汇编 解析 由几何体的三视图可知, 该几何体是一个底面半径为, 高为 的圆锥的一半与一个底面为直角 边长是 的等腰直角三角形, 高为 的三棱锥的组合体, 该几何体的体积 V= π + =π +. 高频考点七 平面向量 知识讲解 7. 平面向量的概念及其线性运算. 向量的有关概念 () 向量 : 既有大小又有方向的量叫做向量, 向量的大小叫向量的长度 ( 或模 ). () 零向量 : 长度等于 0 的向量叫零向量, 其方向是不确定的. () 单位向量 : 长度为 的向量. (4) 相等向量 : 同向且等长的有向线段表示同一向量, 又叫相等向量. (5) 共线 ( 平行 ) 向量 : 通过有向线段 AB 的直线, 叫做向量 AB 的基线. 如果向量的基线互相平行或重合, 则称这些向量为共线向量或平行向量.. 向量的线性运算向量运算定义法则 ( 或几何意义 ) 运算律 () 交换律 : 加法 求两个向量和 的运算 a b b a () 结合律 : ( a b) c a ( b c) 08 艺考真题密卷文化课高分过 4 / 55

43 求 a 与 b 的相反 减法 向量 b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 求实数 λ 与向 a a. () ( a) ( ) a; 数乘 量算 a 的积的运 () 当 λ>0 时, 相同 ; 当 λ<0 时, a 与 a 的方向 a 与 a 的方 ( ) a a a; ( a b) a b 向相反 ; 当 λ=0 时, a = 0. 向量共线的条件 平行向量基本定理 : 如果 a = b 7. 平面向量基本定理及坐标表示. 平面向量基本定理 : 设 e 的一对实数 y, 使得 a = e +,, 则 a //b ; 反之, 如果 a //b (b 0 ) 则一定存在一个实数, 使 a = b e 是一平面内的两个不平行的向量, 那么对平面内任意一向量 a, 存在唯一 e y. 向量的直角坐标运算 : 设 a = (, y ), b a - b y y ; a = (, y). =. 三个结论 :. 其中, e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底. = (, y ), 则 a +b () 两个向量 a = (, y ), b = (, y ) 相等 且 y y; () 在平面向量基本定理中, 由两个基底 e, e 决定的向量 a = (, y y ) ; = e + e 与 b = e. + e 相等的条件是 且, 若 a = 0, 则 () 若 a, y, b, y = =0. a // b y y 0, 则 注意 :. 若 a=(,y),b=(,y), 则 a b 的充要条件不能表示成 = y, 因为 y,y 有可能等于 0, 所以应表示为 y - y =0. 同时,a b 的充要条件也不能错记为 -y y =0, y - y =0 等. 7. 平面向量的数量积及应用. 两个非零向量的夹角 08 艺考真题密卷文化课高分过 4 / 55

44 已知非零向量 a 与 a, 作 OA= a,ob = b, 则 AOA=θ(0 θ π) 叫 a 与 b 的夹角 ; 说明 :() 当 θ=0 时, a 与 b 同向 ; () 当 θ=π 时, a 与 b 反向 ; () 当 θ= 时, a 与 b 垂直, 记 a b ; (4) 注意在两向量的夹角定义, 两向量必须是同起点的, 范围 向量数量积的定义 : ab a b cos a, b. C. 数量积的几何意义 : 向量 a 与向量 b 在 a 方向上的投影的乘积. 4. 向量数量积的性质 () 如果 e 是单位向量, 则 a e = e a = a cos a, b. () a b a b =0, 且 a b () a a = a ; a = aa. ab (4)cos< a, b >=. a b (5) a b a b. 5. 数量积的运算律 () 交换律 a b =b a. () 分配律 ( a +b ) c = ac b c. () 对 R, ( a b )=( 6. 数量积的坐标运算 设 a =a a, b =,, b b. () a b = a b a b. 08 艺考真题密卷文化课高分过 =0 a b 44 / 55. a ) b = a ( b ).

45 a b a b () a b. () a = a a. (4) cos< a, b >= a b a b a a b b. 例 下列说法中, 不正确的是 ( ) 典型例题 A. 向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等 B. 任何一个非零向量都可以平行移动 C. 长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D. 两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 答案 D 解析 很明显选项 A,B,C 正确, 共线向量只与方向有关, 方向相同或相反的向量都是共线向量, 所 以选项 D 不正确. 例 下列说法中 : () 若 a 是单位向量,b 也是单位向量, 则 a 与 b 的方向相同或相反 ; () 若向量 AB 是单位向量, 则向量 BA 也是单位向量 ; () 两个相等的向量, 若起点相同, 则终点必相同. 正确的个数为 ( ) A. 0 B. C. D. 答案 C 解析 由单位向量的定义知, 凡长度为 的向量均为单位向量, 对方向没有任何要求, 故 () 不正确 ; 因 为 AB 确的. BA, 所以当 AB 是单位向量时,BA 也是单位向量, 故 () 正确 ; 据相等向量的概念知,() 是正 例 设 P 是 ABC 所在平面内的一点,BC +BA =BP, 则 ( ) A.PA +PB =0 C.PC +PA =0 B.PB +PC =0 D.PA +PB +PC =0 答案 C 解析 BC +BA =BP, 由平行四边形法则, 点 P 为线段 AC 的中点, PC +PA =0. 故选 C. 08 艺考真题密卷文化课高分过 45 / 55

46 例 4 梯形 ABCD 中, AB // DC,AC 与 BD 交于点 O, 则 A D B D B C A O CO. 答案 0 解析 AD BD BC AO CO AD DB BC OA OC AC CA 0. 例 5 如图, 在 ABC 中, AN NC,P 是 BN 上的一点, 若 AP mab AC, 则实数 m 的值 9 为 ( ) A. 9 B. C. D. 答案 A 解析 点 P 在 BN 上, 则存在实数 使 BP BN. AP AB BP AB BN AB AN AB AB AN. 8 AN NC, AC 4AN, AP mab AC mab AN, 9 9 m, 8 解得 m, 故 A 正确., 9 9 例 6 下列关于基底的说法正确的是 ( ) 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底 ; 基底中的向量可以是零向量 ; 平面内的基底一旦确定, 该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A. B. C. D. 答案 C 解析 零向量与任意向量共线, 故零向量不能作为基底中的向量, 故 错, 正确. 例 7 若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上, 且 CD 4DB r AB sac, 则 r s的值为 ( ) 08 艺考真题密卷文化课高分过 46 / 55

47 A. 8 5 答案 C B. 8 5 解析 CD 4DB r AB sac 08 艺考真题密卷文化课高分过 47 / 55 C , 4, r s. r s 例 8 已知,,,, y, A. C. 8 0, 4, 答案 D CD CB AB AC r AB sac, 5 5 a b c, 若 a b c 0, 则 B. D. 8, 8,0 解析,,, y 8,y a b c 0, 8 0, 8, y 0, y 0. 例 9 已知点 A,, B 4, 和向量 a, A. 答案 C B. C. 解析 根据 A,, B 4,, 可得, 解得 =. 故选 C. 例 0 设向量 ab, 满足 A. B. C. 答案 A D. 4 5 c ( ), 若 a AB, 则实数 的值为 ( ) D. AB, a AB, 0, a, ab, a b, 则 b ( ) D. 4 解析 a b, a b a ab b a a b b b 7 8, b, 故选 A. 例 已知向量 a,, b,. 若向量 c 满足 c a b, c a b, 则 c 等于 ( )

48 A. 7 7, 9 B. 7 7, 9 C. 7 7, 9 D. 7 7, 9 答案 D 解析 设 c=(,y), 由 (c+a) b 有 -(+)-(y+)=0, 由 c (a+b) 有 -y=0, 联立 有 =- 7 9,y=- 7, 则 c= 7, 7 9, 故选 D. 例 已知向量 a =(,),b =(,-), 且 a b, 则 a +b =( ) A. 5 B. 0 C. 5 D.0 答案 B 解析 由题意可得 ab =(,) (,-)=-=0, 解得 =. 则 a +b =(+,-)=(,-), 可得 a +b = 0, 故选 B. 技巧点拨. 两个向量共线条件的三种表示方法已知 a=(,y ),b=(,y ). 当 b 0 时,a=λb. 这是几何运算, 体现了向量 a 与 b 的长度及方向之间的关系 y - y =0. 这是代数运算, 用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数 λ, 从而减少未知数的个数, 而且使问题的解决具有代数化的特点和, 程序化的特征. y 当 y 0 时,. y 即两向量的相应坐标成比例, 通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示, 而且不易出现搭配错误.. 用坐标求两个向量夹角的四个步骤 : () 求 a b 的值 ; () 求 a b 的值 ; () 根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦 ; (4) 由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角 专项训练 48 / 艺考真题密卷文化课高分过

49 一 选择题. 已知 D, E, F 分别是 ABC 三边 AB, BC,CA 的中点, 则下列等式不成立的是 ( ) A. FD DA FA B. FD DE EF 0 C. DE DA EC D. DA DE DF 答案 B 解析 由加法的三角形法则可得, FD DA FA, FD DE EF 0, DE DA EC, DA DE DF, 故选 B.. 向量 a b 均为非零向量, 则下列说法不正确的是 ( ) A. 若向量 a 与 b 反向, 且 a b, 则向量 a b 与 a 的方向相同 B. 若向量 a 与 b 反向, 且 a b, 则向量 a b 与 a 的方向相同 C. 若向量 a 与 b 同向, 则向量 a b 与 a 的方向相同 D. 若向量 a 与 b 的方向相同或相反, 则 a b 的方向必与 a b 之一的方向相同 答案 B 解析 对于 B, 向量 a b 与 b 的方向相同, 故选 B.. 已知 AB =0, BC =7, 则 AC 的取值范围是 ( ) A.,7 B.,7 C.,0 D.,0 答案 A 解析 AC = AB+BC, AC = AB+ BC AB BC =7, AC = AB+ BC AB BC =, AC 若 O 是 ABC 内一点, OA OB OC 0, 则 O 是 ABC 的 ( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 答案 B 解析 由 OA OB OC 0得 OA OB OC, 而 OA OB 表示的是以 OA, OB 为邻 08 艺考真题密卷文化课高分过 49 / 55

50 边的平行四边形对角线所在的向量, 结合图形易得 O 是 ABC 的重心. 5. 已知向量 AB a b, BC 5a b, CD a b, 则 ( ) A. A B C 三点共线 B. A B D 三点共线 C. A C D 三点共线 D. B C D 三点共线 答案 B 解析 二 填空题 6. 给出下列说法 : () 若 系列资料 BY 三好网汇编 BD BC CD a 6b a b AB, A B D 三点共线. 故选 B. a b, 则 a b 或 () 向量的模一定是正数 ; a b; () 起点不同, 但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 ; (4) 向量 AB 与 CD 是共线向量, 则 其中正确说法的序号是. 答案 () 解析 () 错误. () 错误. 例如 0 的模 0 0. A, B, C, D 四点必在同一直线上. a b 仅说明 a 与 b 模相等, 但不能说明它们方向的关系. () 正确. 对于一个向量, 只要不改变其大小和方向, 是可以任意移动的. (4) 错误. 共线向量即平行向量, 只要求方向相同或相反即可, 并不要求两个向量 AB CD 必须在同一直 线上. 7. 如图, 已知 ABC 是直角三角形且 A 90, 则下列结论中正确的是. AB AC BC ; AB BC CA ; AB CA BC ;4 答案 4 AB AC BC. 解析 正确, 以 AB,AC 为邻边作 ABDC, 又 A 90, 所以 ABDC 为矩形, 所以 AD BC, 08 艺考真题密卷文化课高分过 50 / 55

51 所以 AB AC AD BC ; 正确, AB BC AC CA ; 正确, AB CA CB BC ;4 正确, 由勾股定理知 8. 已知点 G 是 ABC 的重心, 则 GA GB GC. 答案 0 AB AC BC. 解析 如图所示, 连接 AG 并延长交 BC 于 E 点, 则点 E 为 BC 的中点, 延长 AE 到 D 点, 使 GE ED, 则 GB GC GD, GD GA 0, GA GB GC 若菱形 ABCD 的边长为, 则 AB CB CD. 答案 解析 由于 AB CB CD AB BC CD AD, 则 AB CB CD AD. = 0. 若向量 a i 4j, 5 4 答案 6i j 解析 a b a b b a. b i j, 则 a b a b b a a b a b b a a b 44 i 4 j 5i 4 j i j 5i 4 j 6i j. 高频考点八 解析几何 知识讲解 8. 直线的斜率与直线的方程. 直线与 轴相交时, 轴正向与 l 向上的方向所成的角叫做直线 l 的倾斜角, 记为. 当直线与 轴平行 或重合时, 倾斜角为 0, 倾斜角的范围是 当一条直线的倾斜角为 ( 90 ) 08 艺考真题密卷文化课高分过 时, ta 表示该直线的斜率, 常用 k 表示, 即 k ta. 当 90 时, 5 / 55

52 斜率不存在, 当直线过点 P(, y ) P (, y ) 且 时, k y y.. 直线方程的几种形式 : () 点斜式方程 : 若斜率为 k 的直线 l P(, y ) 0 0 过点, 则直线 l y y 的方程为 0 k( 0) ; () 斜截式方程 : 若斜率为 k 的直线 l 在 y 轴上的截距是 b, 则直线 l 的方程为 y k b ; () 两点式方程 : 经过两点 P(, y ) P (, y ) 的直线方程 : y y y y (4) 截距式方程 : 若直线 y a b ; l 在 轴上的截距 a, 在 (5) 直线的一般式方程为 : A By C 0( A, B 不同时为 0) 8. 两条直线的位置关系. 两条直线的位置关系 : ()l l b k =k 且 b, 前提条件是斜率存在 ; y 轴上的截距是 b, 且 a0, b 0, 则直线 l l k k =-, 前提条件是斜率存在且不为 0; 研究时不要忽略斜率不存在或斜率为 0 的情形.. 点到直线的距离公式 : A0 By0 C P(, y ) 到直线 l : A By C 0 的距离公式为 A B. 点 0 0 l. 两条平行线 : A By C 0 8. 圆的方程. 圆的方程的两种形式 : () 圆的标准方程 : 圆心为 ( ab, ) C C l : A By C 0 间的距离公式是 A B. 与 且半径为 r 的圆的方程为 ( a) ( y b) r ; () 圆的一般方程是 y D Ey F 0 ( D E 4F 0).. 点与圆的位置关系 : l 的方程为 08 艺考真题密卷文化课高分过 5 / 55

53 已知点 P(, y ) 0 0 和圆 ( a) ( y b) r 则 () 点 P 在圆上 ( 0 a) ( y0 b) r () 点 P 在圆内 ( 0 a) ( y0 b) r () 点 P 在圆外 ( 0 a) ( y0 b) r 8.4 直线 圆的位置关系. 直线与圆的位置关系 : 已知直线 l, 圆的方程为 ( a) ( y b) r () 直线 l 与圆相离 () 直线 l 与圆相切 () 直线 l 与圆相交 d r d r d r ;, d 为圆心到直线 l 的距离, 则 ; ( 注意圆心到切线的距离等于圆的半径 ). 牢记 Rt : r d 等于弦长一半的平方.. 圆的切线求法 : () 点 P 在圆上 : 过圆 y r P( 上一点 0, y0) 的圆的切线方程是 0 y0y r ; () 若点 P 在圆外, 则过点 P 的圆的切线有两条.. 圆与圆的位置关系 : () 圆与圆有五种位置关系, 分别是外离 外切 相交 内切 内含. () 圆与圆位置关系的判定 几何法 : 若两圆的半径分别为 r r, 两圆的圆心距为 d, 则两圆的位置关系的判断方法如下 : 位置 关系 外离外切相交内切内含 图示 d 与 r r 的关 d>r +r d=r +r r -r <d <r +r d= r -r 0 d< r -r 系 代数法 08 艺考真题密卷文化课高分过 5 / 55

54 联立两圆的方程组成方程组. 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下 : 系列资料 BY 三好网汇编 方程组解的个数 组 组 0 组 两圆的公共点个数 个 个 0 个 两圆的位置关系相交内切或外切内含或外离 利用代数法判断两圆的位置关系时, 注意条件的不等价性, 即两圆外离 Δ<0, 应是两圆外离 Δ<0, Δ<0 两圆外离或内含. 同理, 两圆外切或内切 Δ=0, 两圆相交 Δ> 椭圆. 椭圆概念 平面内与两个定点 F F 的距离的和等于常数 ( 大于 FF ) 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭 圆的焦点, 两焦点的距离叫椭圆的焦距 若 M 为椭圆上任意一点, 则有 MF MF a. 椭圆的标准方程及几何性质 标准 方程 a + y b =(a>b>0) y a + b =(a>b>0) 图形 范围 -a a,-b y b -b b,-a y a 对称性对称轴 : 坐标轴对称中心 :(0,0) 焦点 F (-c,0),f (c,0) F (0,-c),F (0,c) 焦距 F F =c 顶点 轴长 A (-a,0),a (a,0); B (0,-b),B (0,b) 长轴 A A =a 短轴 B B =b A (0,-a),A (0,a); B (-b,0),b (b,0) 长轴 A A =a 短轴 B B =b 离心率 e= c a (0,) 8.6 双曲线 08 艺考真题密卷文化课高分过 54 / 55

55 . 双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线 ( PF PF a ). 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 a - y b = (a>0,b>0) y a - b = (a>0,b>0) 图形 范围 a 或 -a,y R y a 或 y -a, R 对称 对称轴 : 轴,y 轴 对称轴 : 轴,y 轴 性 性 对称中心 :(0,0) 对称中心 :(0,0) 质 顶点 (-a,0), (0,a), 坐标 (a,0) (0,-a) 渐近线 y=± b a y=±a b 离心率 e= c a,e (,+ ). 等轴双曲线 ) 定义 : 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 定义式 : a b ; ) 等轴双曲线的性质 :() 渐近线方程为 : y ;() 渐近线互相垂直 注意以上几个性质与定义式彼此等价 亦即若题目中出现上述其一, 即可推知双曲线为等轴双曲线, 同时 其他几个亦成立 ) 注意到等轴双曲线的特征 a b, 则等轴双曲线可以设为 : 轴, 当 0时焦点在 y 轴上 8.7 抛物线. 抛物线的概念与性质 y 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 ( 0), 当 0 时交点在 08 艺考真题密卷文化课高分过 55 / 55

56 . 抛物线的标准方程及其几何性质 标 准 方 y =p(p>0) y =-p(p>0) =py(p>0) =-py(p>0) 程 图 象 范 围 0 0 y 0 y 0 对 称 轴 轴 y 轴 性 质 顶点焦点 (0,0) ( p,0) (-p,0) (0,p ) (0,-p ) 准 线 =- p = p y=- p y= p 离 心 率 e= 典型例题 例 直线 l 经过原点和点 (, ), 则直线 l 的倾斜角为 ( ) A.0 B. 45 C. 60 D.0 答案 C 08 艺考真题密卷文化课高分过 56 / 55

57 解析 直线 l 的斜率 k 所以 60. 故 C 正确. 0 0 系列资料 BY 三好网汇编. 设直线 l 的倾斜角为, 则 k ta. 因为 0 80, 例 已知坐标平面内三点 A(5,-),B(,),C(,), 则 ABC 是 ( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定 答案 A 解析 由题意可知 k AB= 5 因为 k AB k BC=,k BC=,k 4 AC=. 5 =-, 所以 AB BC, 所以 ABC 为直角三角形. 例 已知点 A(m,),B(m,m+4),C(m+,),D(,0), 且直线 AB 与直线 CD 平行, 则 m 的值为 ( ) A. B.0 C.0 或 D.0 或 答案 D 解析 m=0 时, 直线 AB 与 CD 斜率均不存在, 互相平行 ;m 0 时, k AB m 4 0 kcd m m m, 解得 m=. 故选 D. 例 4 与直线 y=+ 垂直, 且在 y 轴上的截距为 4 的直线的斜截式方程为 ( ) A.y= +4 C.y=-+4 答案 D B.y=+4 D.y= +4 解析 由条件可知 : 所求直线的斜率为, 又截距为 4, 所以选 D. 例 5 若直线 ( m + m -) +( m - m ) A. B. C.- y =4 m - 在 轴上的截距为, 则实数 m 是 ( ) D. 或 - 答案 D 4m 解析 当 m + m - 0 时, 在 轴上的截距为 =, 即 m - m -=0, m = 或 m m m =- 08 艺考真题密卷文化课高分过 57 / 55

58 例 6 经过原点, 且倾斜角是直线 y= + 倾斜角 倍的直线的方程为 ( ) A.=0 B.y=0 C.y= 答案 D D.y= 解析 设直线 y= + 的倾斜角为 θ, 则 ta, 所以 ta ta, 故选 D. ta 例 7 已知直线 l 在 答案 (-,0) 解析 由题意可设方程为 定点 (-,0). y 轴上的截距等于它的斜率, 则直线 l 一定经过点. y = a + a, 即 y = a ( +), 由点斜式方程可知, 直线过 例 8 在 y 轴上的截距是 -, 且经过 A(,-),B(6,) 中点的直线方程为 ( ) y y y y A. B. C. D 答案 B 解析 A(,-),B(6,) 的中点坐标为 (4,0), 即直线在 轴上的截距为 4, 则直线的方程 y 为. 4 例 9 已知 A (,4) 关于直线 y 0对称的点为 B, 则 B 满足的直线方程为 ( ) A. y0 B. y0 C. y5 0 D. y 0 答案 D 解析 设点 B(, y ), 因为点 A (,4) 关于直线 y 0对称的点为 B, 所以 y 4,, 解得 此时点 B 满足直线 y 0, 故选 D. y 4 y, 0, 例 0 在直线 -y+5=0 上求点 P, 使 P 点到 A(,) 距离为, 则 P 点坐标是 ( ) A.(5,5) C.(5,5) 或 (-,) B.(-,) D.(5,5) 或 (,-) 08 艺考真题密卷文化课高分过 58 / 55

59 答案 C 解析 设点 P(,y), 则 5 y, 由 PA = 得 (-) +( 即 (-) =9, 解得 =- 或 =5, 当 =- 时,y=; 当 =5 时,y=5, P(-, ) 或 (5, 5). 5 系列资料 BY 三好网汇编 -) =, 例 点 P 在 轴上, 且到直线 -4 y +6=0 的距离为 6, 则点 P 的坐标为 ( ) A.(8,0) B.(-,0) C.(8,0) 或 (-,0) D.(-8,0) 或 (,0) 答案 C 解析 设点 P 的坐标为 (,0), 则根据点到直线的距离公式可得 4 =6, 解得 =8 或 = -, 所以点 P 的坐标为 (8,0) 或 (-,0). 例 抛物线 y =- 上的点到直线 4 + y -8=0 距离的最小值是 ( ) A. C 答案 A B. D 解析 设 P ( 0, = 5 0 ) 为 5 0 y =- 0 上任意一点, 则由题意得 P 到直线 4 +, 当 0 = 时, d mi = 例 已知圆心在 轴上的圆 C 与 轴交于两点 A(,0),B(5,0), 此圆的标准方程为 ( ) 0 5 = 4. y -8=0 的距离 d = A.(-) +y =4 C.(-) +(y-) =4 B.(+) +(y-) =4 D.(+) +(y+) =4 答案 A 解析 由题意可知圆心坐标为 (,0),r=, 所以圆 C 的标准方程为 (-) +y =4. 故选 A. 例 4 若点 P(,) 为圆 (-) +y =9 的弦 MN 的中点, 则弦 MN 所在直线的方程为 ( ) A.+y-=0 C.+y-=0 B.-y+=0 D.-y-=0 答案 D 解析 圆心 C(,0),k PC= 08 艺考真题密卷文化课高分过, 点 P 是弦 MN 的中点, PC MN, k MNk PC=-, k MN=, 弦 MN 所在直线方程为 y-=(-), 59 / 55

60 即 -y-=0. 系列资料 BY 三好网汇编 例 5 圆心是 (-,4), 经过点 M(5,) 的圆的一般方程为. 答案 +y +6-8y-48=0 r 5 4 7, 解析 圆的半径 圆的标准方程为 (+) +(y-4) =7, 整理得, +y +6-8y-48=0. 例 6 已知圆 C: +y -+y-=0,ab 为圆 C 的一条直径, 点 A(0,), 则点 B 的坐标为. 答案 (,-) 解析 由 +y -+y-=0, 得 (-) +(y+) =5, 所以圆心为 C(,-). 设 B( 0,y 0), 由中点 坐标公式得 y 0 0 0, 解得, y 0 0,, 所以点 B 的坐标为 (,-). 例 7 设直线 l 与圆 +y = 相切于点 M(, ), 则 l 的斜率是 ( ) A. B. C.- D.- 答案 C 解析 设圆心为 C, k CM=,CM l, l 的斜率 k=-. 例 8 已知圆 C 的半径为, 圆心在 轴的正半轴上, 直线 +4y+4=0 与圆 C 相切, 则圆 C 的方程 为 ( ) A. +y --=0 C. +y +-=0 B. +y +4=0 D. +y -4=0 答案 D a+4 解析 设圆心为(a,0)(a>0), 则 =, 即 a=, 5 圆 C 的方程为 (-) +y =4. 例 9 圆心坐标为(,-) 的圆在直线 -y-=0 上截得的弦长为, 那么这个圆的方程为 ( ) A.(-) +(y+) =4 C.(-) +(y+) =8 B.(-) +(y+) = D.(-) +(y+) =6 答案 A 解析 d= +- + =,r= +=, 圆的方程为 (-) +(y+) =4. 例 0 若圆 y 4 与圆 y ay 6 0( a 0) 的公共弦的长为, 则 a ( ) 08 艺考真题密卷文化课高分过 60 / 55

61 A. B. C. 答案 B D. 解析 由 y 4 与 y ay 6 0( a 0), 可得公共弦的方程为 圆心坐标为 (0,0), 半径为 r 故选 B. P, 则经过点 例 圆 : y 5 y a, 圆 y 4 的, 由圆的弦长公式可得 l r d 4, 解得 a M, A. y 5 0 B. y 5 0 C. y 5 0 D. y 5 0 答案 D 解析 点 为 y M, 在圆上, 所以 OM 与切线垂直, 因为, 即 y5 0. 例 已知点, 的切线方程为 ( ) k OM, 所以切线斜率为 a,, 因此切线方程 M a b 在圆 O : y 外, 则直线 a by 与圆 O 的位置关系是 ( ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 答案 B 解析 点 M a, b 在圆 d a b O, 直线 : y 外, a b, 圆心 O 到直线 a by 距离 a by 与圆 O 相交. 故选 B. 例 求适合下列条件的椭圆的标准方程 : 两个焦点的坐标分别是 y 答案 () ,5,0, 5, 椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 6 ; y 0. a b 解析 () 焦点在 y 轴上, 设其标准方程为 a b a 6, c 0, a, c 5. b a c 44. y 所求椭圆方程为 艺考真题密卷文化课高分过 6 / 55

62 y 0, a b () 解法一 : 当焦点在 轴上时, 设椭圆的标准方程为 a b 将 A, 和 B, y 所求椭圆的标准方程为. 5 5 代入标准方程解得 a 5, b 5. y 0. a b 当焦点在 y 轴上时, 设椭圆的标准方程为 a b 将 A, 和 B, a b, 不合题意, 舍去. 代入标准方程解得 a y 综上, 所求椭圆的标准方程为. 5 5 解法二 : 设所求椭圆方程为 A A, A4B, 5 依题意, 得 解得 AB, B, 5 y 所求椭圆的标准方程为 , b 5. By ( A0, B0且 例 4 椭圆 m y m 0m 0 A.0, m A B) 的焦点坐标是 ( ) B. m,0 C.0, m D. m,0 答案 C y 解析 化为标准方程是, m 0, 0 m. m 焦点在 y 轴上, 且 c m ( ) m. 故选 C., 系列资料 BY 三好网汇编 y 例 5 方程 k4 0 k 表示焦点在 轴上的椭圆, 则实数 k 的取值范围是 ( ) A.4, B.4,7 C.4,0 D.7,0 答案 D 08 艺考真题密卷文化课高分过 6 / 55

63 k 4 0, 解析 由题意可知 0 k 0, 解得 7 0. k 4 0 k, k 例 6 已知直线 y y 0 相交于 a b 与椭圆 a b AB, 两点, 若椭圆的离心率为, 焦距为, 则线段 AB 的长是 ( ) A. B. 4 C. D. 答案 B c 解析 由条件知 c, e, 所以 a, b, 椭圆方程为 a y, 联立直线方程与椭圆 方程可得 A 4 0,, B,, 所以 4 AB. 例 7 设双曲线 C 的两个焦点为,0,,0, 一个顶点是,0, 则双曲线 C 的方程为 ( ) A. y B. y C. y D. y 答案 A 解析 双曲线 C 的两个焦点为 以双曲线 C 的方程为,0 y, 故选 A., 例 8 已知点 M(, 0), N (, 0), 动点 为. y 答案 0,0, 一个顶点是 PM P 满足条件,0, 所以 c, a, b, 所 PN. 记动点 P 的轨迹方程 解析 由 PM PN MN 4, 结合双曲线定义可知动点 P 的轨迹为以 M, N 为焦点的双曲, 轨迹方程为 0 线右支, 双曲线中 a, c 4, a, c, b y. 例 9 抛物线 y =-p(p>0) 上有一点 M 的横坐标为 -9, 它到焦点的距离为 0, 求此抛物线方程和 M 点的坐标. 08 艺考真题密卷文化课高分过 6 / 55

64 解析 设焦点为 F(- p,0), M 点到准线的距离为 d, 则 d= MF =0, 即 9+ p =0, 所以 p=, 所以抛物线方程为 y =-4. 将 M(-9,y) 代入抛物线的方程, 得 y=±6, 所以 M 点坐标为 (-9,6) 或 (-9,-6).. 求圆的方程的几种方法 : 坐标轴上, 定量 是指确定 a,b 的值, 常用待定系数法. 若双曲线的焦点不能确定时, 可设其方程为 64 / 艺考真题密卷文化课高分过 技巧点拨 () 直接法 : 根据圆的几何性质, 直接求出圆心坐标和半径, 进而写出方程 ; () 待定系数法 : 若已知条件与圆心 ( a,b ) 和半径 r 有关, 则设圆的标准方程, 根据已知条件列出关于 a, b, r 的方程组, 从而求出 a,b, r 的值 ; 若已知条件没有明确给出圆心或半径, 则选择圆的一 般方程, 依据已知条件列出关于 D E F 的方程组, 进而求出 D E F 的值.. 涉及与圆有关的最值问题, 可借助图形性质, 利用数形结合求解, 一般地 : y b 形如 u 形式的最值问题, 可转化为动直线斜率的最值问题 ; a 形如 a + y 定点的距离的平方的最值问题 ; b 形式的最值问题, 可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题, 或转化为动点到 形如 t a by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最佳问题.. 与椭圆有关的解题技巧 () 利用椭圆的定义定形状时, 一定要注意常数 a > F F 这一条件. () 当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时, 常利用勾股定理 正 ( 余 ) 弦定理 椭圆定义, 但一定要注 意 PF + PF 与 PF PF 的整体代换. () 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法, 具体过程是先定位, 再定量, 即首先确定焦点所在的位置, 然后再根据条件建立关于 a,b 的方程组, 若焦点位置不确定, 可把椭圆方程设为 A +By =(A>0,B>0, A B) 的形式. 4. 与双曲线有关的解题技巧 : () 应用双曲线的定义需注意的问题 : 双曲线的定义中, 要注意双曲线上的点 ( 动点 ) 具备的几何条件, 即 到两定点 ( 焦点 ) 的距离之差的绝对值为一常数, 且该常数必须小于两定点间的距离. 若定义中的 绝 对值 去掉, 点的轨迹是双曲线的一支. 同时需注意定义的转化应用. () 在焦点三角形中, 注意定义 余弦定理的活用, 常将 PF - PF =a 平方, 建立 PF PF 间的联系. () 确定双曲线的标准方程也需要一个 定位 条件, 两个 定量 条件. 定位 是指确定焦点在哪条

65 A +By =(AB<0). 系列资料 BY 三好网汇编 (4) 对于共焦点 共渐近线的双曲线方程, 可灵活设出恰当的形式求解. 若已知渐近线方程为 m+y=0, 则双曲线方程可设为 m - y =λ(λ 0). 5. 与抛物线有关的解题技巧 : () 凡涉及抛物线上的点到焦点距离时, 一般运用定义转化为到准线距离处理. 如本例充分运用抛物线定义实施转化, 使解答简捷 明快. () 若 P( 0,y 0) 为抛物线 y =p(p>0) 上一点, 由定义易得 PF = p 0+ ; 若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 A(, y ),B(,y ), 则弦长为 AB = + +p, + 可由根与系数的关系整体求出. 专项训练 一 选择题. 斜率为 的直线经过点 A (,5), B ( a,7),c (-,b A.4,0 B.-4,- ) 三点, 则 a,b 的值分别为 ( ) C.4,- 答案 C k 解析 由题意, 得 k AC AB D.-4, b 5, 即, 解得 a =4,b = a. 直线 l,l 的斜率是方程 0 的两根, 则 l 与 l 的位置关系是 ( ) A. 平行 B. 重合 C. 相交但不垂直 D. 垂直 答案 D 解析 因为方程 程 0 的两根, 所以 k 0 有两个不相等的实数根, 直线 l,l 的斜率是方 k l l, 且 k k, 所以 l 与 l 垂直. 故选 D. l l 7. 已知 M,,A(,),B(,), 则过点 M 和线段 AB 的中点的直线方程为 ( ) A.4+y=5 B.4-y=5 C.+y=5 D.-y=5 答案 B 解析 AB 的中点坐标为,, y 即,, 由两点式可得, 7 即 4-y=5. 08 艺考真题密卷文化课高分过 65 / 55

66 4. 圆心是 (4,-), 且过点 (5,) 的圆的标准方程是 ( ) 系列资料 BY 三好网汇编 A.(-4) +(y+) =0 B.(+4) +(y-) =0 C.(-4) +(y+) =00 答案 A D.(-4) +(y+) = 0 解析 设圆的标准方程为 (-4) +(y+) =r, 把点 (5,) 代入可得 r =0, 故选 A. 5. 设椭圆的两个焦点分别为 F F, 过, F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P, 若 FPF 为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率是 ( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 设点 P 在 轴上方, 则坐标为 c, b a, 因为 F PF 为等腰直角三角形, 所以 PF F F, b 即 c a, 等式两边同除以 a, 化简得 e e, 解得 e, 故选 D. 二 填空题 6. 已知直线 l 过点 P(,) 且与直线 l :y=+ 垂直, 则 l 的点斜式方程为. 答案 y-=-(-). 解析 根据题意可知 : 直线 l 的斜率为, 所以 l 的点斜式方程为 y-=-(-). 7. 以 A,, 5, 答案 y 4 0 B 为端点的线段的垂直平分线方程是. 解析 因为 A,, B 5,, 所以 AB 的中点坐标为, 为 =, 所以 AB 的中垂线的斜率为 5 段的垂直平分线方程是 y, 直线 AB 的斜率, 所以以 A,, B 5,, 即 y 点 P (-,4) 关于直线 4 - y -=0 对称的点的坐标是. 答案 (5,) 为端点的线 08 艺考真题密卷文化课高分过 66 / 55

67 b 4 4 a 解析 设对称点坐标为( a, b ), 则 a 4 b 4 0 a 5 解得, 即所求对称点的坐标是 (5,). b 9. 以点 (,-) 为圆心且与直线 +y=6 相切的圆的方程是. 5 答案 y 4 y 0 解析 将直线 +y=6 化为 +y-6=0, 圆的半径 r= = 5, 所以圆的方程为 (-) +(y+) = 5, 化为一般形式即 y 4 y 0 5 系列资料 BY 三好网汇编 0. 椭圆 y 4 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于, 那么点 P 到另一个焦点的距离等 于. 答案 解析 由椭圆的方程可知 a 4, a. 由椭圆的定义可得点 P 到另一个焦点的距离等于 a 4. 三 解答题. 求经过点 A(-,-4) 且与直线 +y-6=0 相切于点 B(8,6) 的圆的方程. 答案 +y -+y-0=0. 解析 设所求圆的方程为 +y +D+Ey+F=0, 则圆心坐标为 - D,-E. 圆与 +y-6=0 相切, 6+ E 8+ D - =-, 即 E-D-6=0. (-,-4),(8,6) 在圆上, D+4E-F-0=0, 8D+6E+F+00=0. 联立, 解得 D=-,E=,F=-0, 故所求圆的方程为 +y -+y-0=0.. 已知一个圆 C 与 y 轴相切, 圆心 C 在直线 l :-y=0 上, 且在直线 l :-y=0 上截得的弦长为 7, 08 艺考真题密卷文化课高分过 67 / 55

68 求圆 C 的方程. 答案 圆的方程为 (-) +(y-) =9 或 (+) +(y+) =9. 解析 圆心 C 在直线 l :-y=0 上, 可设圆心为 C(t,t). 又 圆 C 与 y 轴相切, 圆的半径为 r= t. 再由弦心距 半径 弦长的一半组成的直角三角形可得 ( t-t ) +( 7) = t. 解得 t=±. 圆心为 (,) 或 (-,-), 半径为. 故所求圆的方程为 (-) +(y-) =9 或 (+) +(y+) =9.. 求由下列条件所决定的圆 O: +y =4 的切线方程 : () 经过点 P(,) () 经过点 Q(,0) () 斜率为 - 答案 详见解析 解析 () 因为 P 在圆上, 所以 K PO=, 所以 K 切线 =- 所以切线方程为 :y-=- (- ) 即 : 0 y () 由题意知切线斜率存在, 则 y=k(-) 即 k-y-k=0 D= k k = 得 k= 5 5 所以切线方程为 :y= 5 5 (-) () 设切线方程为 y=-+b 即 +y-b=0 D= b = 所以 b= 所以切线方程为 :y=- 4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 : () 长轴长是短轴长的 倍, 且过点, ; () 椭圆过点 答案 详见解析 6,0, 离心率 e. 08 艺考真题密卷文化课高分过 68 / 55

69 解析 () 设椭圆的标准方程为 a, 椭圆过点, y b 或 a b y 0. 由已知 a b 系列资料 BY 三好网汇编 a b 且 b b 或, b b a b 8, 或 a b 8, 8, 9 y 故所求椭圆的方程为 8 () 当椭圆的焦点在 轴上时, y 或 由题意知 a, c a 6 b a c 96., c y 椭圆的标准方程为 当椭圆的焦点在 y 轴上时, 由题意知 c 6 b,, a a b a = 6, a 7. y 椭圆的标准方程为. 9 7 y 综上, 所求椭圆的标准方程为 9 y 或 已知双曲线的两个焦点为 F 5,0, 5,0 PF PF, 求该双曲线的方程. F, P 是此双曲线上的一点, 且 PF PF, 答案 4 y 解析 依题意知, 双曲线的焦点在 轴, F F c 5, 由双曲线的定义得 : PF PF a, 4 PF PF PF PF a, 08 艺考真题密卷文化课高分过 69 / 55

70 PF PF, PF PF, PF PF F F, 代入 式 0 系列资料 BY 三好网汇编 a 4, 又 c 5 6. 求适合下列条件的双曲线的标准方程 :, b c a, 该双曲线的方程为 4 y () 过点 (,- ), 离心率 e= 5 ; () 中心在原点, 焦点 F,F 在坐标轴上, 实轴长和虚轴长相等, 且过点 P(4,- 0). 答案 () 双曲线的标准方程为 - y =;() 双曲线的标准方程为 6 -y 6 =. 4 解析 () 若双曲线的焦点在 轴上, 设其标准方程为 a - y b =(a>0,b>0). 9 因为双曲线过点 (,- ), 则 a - b =. 又 e= c a = a +b a = 5, 故 a =4b. 由 得 a =,b = 4, 故所求双曲线的标准方程为 - y =. 4 y 若双曲线的焦点在 y 轴上, 设其标准方程为 a - b =(a>0,b>0). 同理可得 b =- 7, 不符合题意. 综上可知, 所求双曲线的标准方程为 - y =. 4 () 由 a=b 得 a=b, 所以 e= + b a =, 所以可设双曲线方程为 -y =λ(λ 0). 因为双曲线过点 P(4,- 0), 所以 6-0=λ, 即 λ=6. 所以双曲线方程为 -y =6. 所以双曲线的标准方程为 6 -y 6 =. 7. 已知抛物线的焦点在 轴上, 抛物线上的点 M(-,m) 到焦点的距离是 5. 求抛物线方程和 m 的值. 答案 抛物线方程为 y =-8,m=± 6. 解析 解法一 : 抛物线焦点在 轴上, 且过点 M(-,m), 设抛物线方程为 y =-p(p>0), 则焦 点坐标 F(- p,0), m =6p 由题意知 m +- p, =5 70 / 艺考真题密卷文化课高分过

71 p=4 解得 m= 6, p=4 或 m=- 6. 所求抛物线方程为 y =-8,m=± 6. 解法二 : 设抛物线方程为 y =-p(p>0), 则焦点坐标 F(- p,0), 准线方程 = p. 由抛物线定义知, 点 M 到焦点的距离等于 5, 即点 M 到准线的距离等于 5, 则 + p =5, p=4, 抛物线方程为 y =-8. 又点 M(-,m) 在抛物线上, m =4, m=± 6, 所求抛物线方程为 y =-8,m=± 6. 高频考点九 数列 知识讲解 9. 数列概念. 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列, 数列中的每个数叫做这个数列的项.. 数列 a 的第 项与 之间的关系可以用一个公式 a f ( ) 来表示, 则 a f ( ) 叫做数列的通项公式, 注意 : 并非每个数列都有通项公式, 也并非都是唯一的.. 数列的常用表示方法有 : 解析法 列表法 图象法. 4. 数列分类 : 分类原则类型满足条件 按项数分类 有穷数列无穷数列 项数有限 项数无限 递增数列 a+>a 按项与项间的 大小关系分类 递减数列常数列 a+<a a+=a 其中 N+ 5.S 与 a 的关系 已知 S, 则 a= 中, 若 a 最大, 则 按其他标准分 类 有界数列 摆动数列 存在正数 M, 使 a M a 的符号正负相间, 如,-,, -, 错误! 在数列 {a} a a-, a a+. 若 08 艺考真题密卷文化课高分过 7 / 55

72 a 最小, 则 a a-, a a+. a 6. 递推公式定义 : 如果已知数列 的第 项 ( 或前几项 ), 且任一项 a 与它的前一项 a ( 或前几项 ) 间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个 数列的递 推公式 9. 等差数列. 等差数列的定义 : a a d (,,, ). 等差数列的通项公式 : a a d,. 等差数列的前 项和公式 : S a d 4. 等差中项 : 若 A 是 a 与 b 的等差中项, 则 5. 等差数列的判定方法 : 定义法 : a a 常数 ( N* ) a a m d a a m a b A 中项公式法 : a a a ( N* ) 通项公式法 : a k b ( N* a a ) 4 前 项求和法 : S p q ( N* ) 6. 等差数列的相关性质 : a 等差数列 { } 中,. 为等差数列 ; a 为等差数列 ; 为等差数列 ; am a am a m d, 变式 d m a 为等差数列 ; 等差数列 { } 的任意连续 m 项的和构成的数列 S, S S, S S, 仍为等差数列. a ; m m m m m 等差数列 { a } 中, 若 m p q, 则 am a a p aq, 若 m p, 则 a a a m p 4 等差数列 { a } 中, S a b ( 其中 a d, d 0 ) 5 两个等差数列 { a } 与 { b } 的和差的数列 { a b } 仍为等差数列. 9. 等比数列. 定义 : 数列 {a} 从第 项起, 每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列. 常数叫公 08 艺考真题密卷文化课高分过 7 / 55

73 比.. 通项公式 :a=aq -, 推广形式 :a=amq -m. 变式 :q= m a a m ( m N * ). a ( q ),. 前 项和 S= a( q ) a aq q q ( q 0或 q ). S q 注 :q 时, = m S q m. 4. 等比中项 : 若 a b c 成等比数列, 则 b 为 a c 的等比中项, 且 b=± ac. 5. 三个数或四个数成等比数列且又知积时, 则三个数可设为 a q a aq, 四个数可设为 a q a aq aq q 为好. 6. 证明等比数列的方法 : () 定义法 : 只需证 a a = 非零常数 ; () 等比中项法 : 只需 a+ =a a + 或 9.4 数列求和数列求和的常用方法 : a a = a a.. 公式法 : 直接应用等差数列, 等比数列的前 项和公式. a. 倒序相加法 : 如果一个数列 { }, 与首末两项等 距离 的两项之和等于首末 两项之和, 可采用把这个和中的项颠倒顺序, 然后将两式相加, 从而求得.. 错位相减法 : 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积所构成, 则此时可把其前 项和的表示式两边同时乘以公比, 然后两式相减, 从而求得. 例 : a b c, 其中 b 是等差数列, c 是等比数列, 记 S b c bc bc bc, 则 qs b c b c b c, 4. 裂项相消法 : 把数列的通项拆成两项 ( 或多项 ) 之差, 在求和时一些正负项相互抵消, 从而求得其和, 7 / 艺考真题密卷文化课高分过

74 a ( ) ( A B)( A C) C B A B A C ( ) = - 5. 分组转化法 ( 或并项法 ): 把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合, 使其转化为等差数列或等比数列, 然后利用相关的求和公式求得. 典型例题 例 九章算术 是我国古代内容极为丰富的一部数学专著, 书中有如下问题 : 今有女子善织, 日增 等尺, 七日织二十八尺, 第二日 第五日 第八日所织之和为十五尺, 则第九日所织尺数为 ( ) A.8 B.9 C.0 D. 答案 B 解析 该数列为等差数列, 且 S7 8, a a5 a8 5, 设等差数列的公差为 d, 7a d 8,a d 5, 解得 a, d, 则 a9 a 8d 9. 则 a 例 设数列 是等差数列, S 为其前 项和. 若 S6 8S, a a5 8, 则 a 0 ( ) A. 4 B.6 C. 74 D.80 答案 C a 解析 设等差数列{ } 的首项为 a, 公差为 d, 由题意得 所以 a0 a 9d 9 ( 4) 74, 故选 C. 例 已知等差数列 65 6a d 8( a d), a, 解得 d 4, d 8, a 中, a a 7 a 0 8, a a 4 4, 记 S a a a, 则 S ( ) A.78 B.5 C.56 D.68 答案 C 解析 设等差数列 a 的首项为 a, 公差为 d, 则 a a 7 a 0 a d a d a 6 d a 9 d a a a 0d a d 7d 4, 联立, 得 a, d, S a d , 4 例 4 等差数列 () 求数列 a 的通项公式 ; a 中, 已知 a7 8, a 艺考真题密卷文化课高分过 74 / 55

75 () 求 S 的最大值. 答案 () a 6 ()6 解析 () 设首项为 a, 公差为 d a 6d 8, 所以 解得 a a 6d 4, d 8,. 因为 a7 8, a7 8,, 所以 a a d () 由 () 可得 S 5 ( ), 所以当 或 时, S 取得最大值. 4 S ma 例 5 已知等差数列 {a } 满足 a =7,a 5+a 7=6,{a } 的前 项和为 S. () 求 a 及 S ; () 令 b a N, 求数列 {b } 的前 项和 T. 答案 ()a =+,S =(+) () T 4. 解析 () 设等差数列 {a } 的首项为 a, 公差为 d, 由于 a =7,a 5+a 7=6, 所以 a +d=7,a +0d=6, 解得 a =,d=. a a 由于 a =a +(-)d,s = () 因为 a =+, 所以, 所以 a =+,S =(+). a -=4(+), 因此 b = 4 = 4. 故 T =b +b + +b 所以数列 {b } 的前 项和 例 6 在等比数列 T 4. a 中, a 4, a 7, 则 a ( ) A.6 B.8 C.6 D.48 答案 C 08 艺考真题密卷文化课高分过 75 / 55

76 解析 由等比数列的性质可得 a 例 7 已知首项为, 公比为 a 6. 故选 C. 4 7 a7q a 4 a 的等比数列 A. S a B. S a C. S 4 a D. S a 的前 项和为 系列资料 BY 三好网汇编 S, 则 ( ) 答案 D 解析 根据题意, 结合等比数列求和公式可知 S a a q q a a, 故选 D. 例 8 已知等比数列 { a } 的公比为正数, 且 aa a, 则公比 q ( ) 9 5 A. B. C. D. 答案 C a6 解析 aa9 a6 a5, q a, 因为 q 0, 所以 q, 故选 C. a 例 9 已知{ } 为等比数列, 若 aa a, 且 A. B. 答案 D 5 C. a 4 与 解析 由题意知, a a a a 4 a, 即 a4, 又 a 所以 a, 即 a7. 故选 D. 4 4 例 0 () 若等比数列 {a } 的首项 a = 9 8, 末项 a = () 在等比数列 {a } 中, 已知 a 5-a =5,a 4-a =6, 求 a. 答案 ()4 () 解析 () 由 a a q a, 5 或 a 9 得 8 4 a5 a aq a 5, () 因为 a4 a aq aq 6, a 7 的等差中项为 a 4 与, 公比 q= D , 则 a 7 的等差中项为, 即, 得 =4. 由得 q= 或 q=., 求项数 ; a ( ) 7 5 4, 08 艺考真题密卷文化课高分过 76 / 55

77 当 q= 时,a =-6; 当 q= 时,a =. 系列资料 BY 三好网汇编 a = 6 a 5 例 已知数列 答案 或 a = 中, a. a a a a, 则数列, a 的通项为 a. 解析 由题意得 a a, 则 a a, 又 a, 所以数列 a 是以为首项, 以 a 为公差的等差数列, 所以 ( ) ( ), a. a a 例 设数列 () 求证 : a () 若 的前 项和为 S 是等比数列 ; 为递增数列, 求 a 的取值范围. 答案 () 证明见解析 ()9, S, 且首项 a, a S N. 解析 () 证明 : a S N, S S, S S a, 数列 S 是公比为, 首项为 a 的等比数列., S () 由 () 得, a 时, a S S a. a 为递增数列, S a, 时,a a 时, a 0 a 的取值范围是 9,., a 9, a a a,, 例 已知数列{ a } 满足 a a ( * Ν ), 且 a. () 求证 : 数列 a 是等比数列 ; 08 艺考真题密卷文化课高分过 77 / 55

78 () 求数列 { a } 的前 项和 S. 答案 () 详见解析 ;() S a 解析 () 证明 : a, a a a 是首项为, 公比为 的等比数列. () 由 () 可得 a, a. a, ( ) S. 例 4 已知公比 a () 若数列 b a q 0 的等比数列 是等差数列, 求 b () 在 () 的条件下, 求数列 答案 () a b a 的前 项和为, b ; 的前 项和 5, T. a, S, 数列 中, b, b. S, 且 ; () 5 T 解析 () 由题意得 S q q, 所以 q 4 或 q, 因为 q 0, 所以 q, 所以 a b, a b 所以 a., 所以数列 a b b 5 a 5. 所以 b () 由 () 得 5, 所以 T 的公差 d 5, 所以 a b 5. b. 证明一个数列是等差数列的方法 : 技巧点拨 () 定义法 : 利用 a +-a =d(d 为常数, N * ) {a } 是等差数列 ; 78 / 艺考真题密卷文化课高分过

79 () 等差中项法 :a +=a +a +( N * ) {a } 是等差数列 ; 系列资料 BY 三好网汇编 () 通项公式法 :a =k+b(k,b 为常数, N * ) {a } 是等差数列 ; (4) 项和公式法 : S A B (. 与等差数列有关的解题技巧 : AB, 是常数, () 涉及等差数列的基本概念的问题, 常用基本量 A 0 {a } 是等差数列. a d 来处理 ;, () 若奇数个成等差数列且和为定值时, 可设中间三项为 a d, a, a d ; 若偶数个成等差数列且和为定值 时, 可设中间两项为 a d, a d, 其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元.. 证明数列是等比数列常用的方法 : a () 定义法 : a+ =q(q 为常数且 q 0) 或 =q(q 为常数且 q 0, ) {a a a } 为等比数列 ; - () 等比中项法 :a +=a a +(a 0, N * ) {a } 为等比数列 ; () 通项公式法 :a =a q - ( 其中 a,q 为非零常数, N * ) {a } 为等比数列. 4. 与等比数列有关的解题技巧 : () 在运用等比数列的前 项和公式时, 一定要注意对公比 q 的讨论 (q= 或 q ); () 当 q 时, 若已知 a 及 q, 则用公式 S = a-q 较好 ; 若已知 a -q, 则用公式 S a-aq = 较好 ; -q () 在等比数列 {a } 的五个量 a,q,a,,s 中,a 与 q 是最基本的元素, 当条件与结论间的联系不明 显时, 均可以用 a 与 q 表示 a 与 S, 从而列方程组求解, 在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元 的目的. 这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 一 选择题. 等差数列 { a } 的前三项依次为, 专项训练 A. 5 5 B. C.5 D.4 答案 D 解析 因为 4. 设, 4, 则它的第 5 项为 ( ), 所以 0, 它的第 5 项为 4, 故选 D. a 是公差为正数的等差数列, 若 a a a 5, a a a 80, 则 a a a ( ) A.0 B.05 C.90 D.75 答案 B 08 艺考真题密卷文化课高分过 79 / 55

80 a 解析 设等差数列 的公差为 d, 则 d>0. a a a 5, aa 0, 又 a a a 80, aa 6. 由 d>0 及 可得 aa 6 d a a 5, a, a 8, 系列资料 BY 三好网汇编 a 5. a a a a ( a d) ( ) 05, 故选 B. a. 设等差数列 的前 项和为 S, 若 S =9,S 6=6, 则 a 7+a 8+a 9= ( ) A.6 B.45 C.4 D.7 答案 B 解析 由等差数列性质知 S S S 6 S 9 S 6 45, a 7 a 8 a 9 45, 故选 B. a 4. 等差数列 S S 9 6 成等差数列, 即 9, 7, S S 9 6 共有 项, 其中奇数项之和为 0, 偶数项之和为 9, 则 的值是 ( ) 成等差数列, A. B.5 C. 7 D.9 答案 D 解析 因为 S 奇 = 0, S 偶 = 9, 又 S ( ) a S a, 所以 奇, 偶 S 5. 已知两个等差数列 {a } 和 {b } 的前 项和分别为 S 和 T, 且 T 0, 9, 故选 D. 9 7 a, 则的值为 4 7 b ( ) A. 7 4 答案 C B. C. 4 D a a 解析 S -=(-) a =(-) =(-)a. 同理,T -=(-)b. S T () a = () b a = b. a 令 = 得, b = S T = 7 + = 在等差数列 a 中, a a 8 08 艺考真题密卷文化课高分过, 数列 b 是等比数列, 且 b7 a7 80 / 55, 则 b6 b8的值为 ( ) A. B.4 C.8 D.6 答案 D 解析 在等比数列 b 中, 可得 b b b, 在等差数列 a 中, 可得 a a a7, 所以 a7 4,

81 b a, 所以 b6 b8 b7 4 6, 故选 D. 又 7 7 a 7. 已知等比数列 的首项 a, 公比 A.50 B.5 C.55 D.46 答案 C 解析 原式 log ( a a q, 则 log a log a log a ( ) a) log ( a aq aq aq ) log ( a q ) log a 8. 数列 于 ( ) 满足 : a a ( A. B. 答案 D Ν, R 且 C. a 0 ), 若数列 D. 55. 故选 C. 是等比数列, 则 的值等 解析 由 a a, 得 a a ( a ). 由于数列 { } 是等比数列, 所以, 得. 故选 D. a 9. 公比不为 的等比数列 a 的前 项和为 S, 且 a, a, a 成等差数列, 若 A.-5 B.0 C.5 D.7 答案 A a =, 则 4 S =( ) 解析 设公比为 q ( q ), 因为 a, a, a成等差数列且 a =, 所以 q q, 即 q q 0, 解得 q 或 a 0. 等比数列 q ( 舍去 ), 所以 S 4 4 ( ) 5 5. 的前 项和为 4, 前 9 项和为 8, 则它的前 6 项和是 ( ) A. 8 B. C. 8 或 D.8 答案 C 解析 设等比数列 a 的公比为 q, 则 q. a 9 q a q 前 项和为 4, 前 9 项和为 8, 4, 8, 两式相除整理得 q q q 得 q 或 q, q 7, 解 6 08 艺考真题密卷文化课高分过 8 / 55

82 则它的前 6 项和 S 二 填空题 a. 若等差数列 答案 6 6 a q a q q 4 q q 中, a a 7 a 0 8, a a 4 4, 则 a7. a a a a a, a a a a, a. 解析 系列资料 BY 三好网汇编 或 4 8, 故选 C.. 已知等差数列 答案 a 的前 项和为 S, 若 a 6 a d 6, a, 解析 由已知得 解得 a d, d., S. 在等差数列 中, a a a a a a a 答案 a , 则公差 d 等于. 4 6, 则该数列的前 4 项和为. 4 6 得 4a4 4a 6, 解析 由 a a a a a a a ( a a4 ) 4 ( a4 a ) a4 a, S4. 4. 已知 a 是等比数列, 且 答案 5 a > 0, a a 4 a a 5 a 4 a 6 5, 那么 aa5. 解析 a 是等比数列, 且 a> 0, a a 4 a a 5 a 4 a 6 5, a a a a 5, ( a a), a a a 5. 在数列 中, 已知 a 4, a 5, 且数列 a 是等比数列, 则 a. 答案 解析 数列 a 中第二项为 a 6, 第三项为 a 8, 所以公比为, a a 6,. 三 解答题 6. 已知等差数列 {a } 中, 公差 d>0, 且满足 a a =45,a +a 4=4, 求数列 {a } 的通项公式. 答案 a =4 08 艺考真题密卷文化课高分过 8 / 55

83 aa 45, 解析 a +a 4=4, a +a =4. 由 a a 4, 解得 a a 9, 5 或 a a 5, 9. d>0, a a 5, 9. d=4, a =5+( ) 4=4. 7. 已知数列 log 答案 a. a, N 解析 设等差数列{log ( a )} 的公差为 d. 由 a, a 9得 (log d) log log 8, 即 d=. 为等差数列, 且 a, a 9. 求数列 a } 的通项式. { 所以 log ( a ) ( ). 即 a. a 8. 已知等比数列 a () 求数列 () 求数列 a 答案 () a 解析 () 方程 所以 的公比 的通项公式 ; 的前 项和 q, () S q, 所以数列 a () 由 () 知 a, 所以 S S. a, a 是方程 ( ) 68 0的两根. 68 0的两根分别为,4, 依题意得 a, a 4. 的通项公式为, a. ( ) S, 由 - 得 S, 即 S, 所以 S ( ). 高频考点十 函数 08 艺考真题密卷文化课高分过 8 / 55

84 知识讲解 0. 函数的概念 定义域与值域. 符号 f : A B 表示集合 A 到集合 B 的一个映射, 它有以下特点 : () 对应法则有方向性, f : A B 与 f : B A 不同 ; () 集合 A 中任何一个元素, 在 f 下在集合 B 中都有唯一的元素与对应 ;. 函数是特殊的映射, 它特殊在要求集合 A 和 B 都是非空数集. 函数三要素是指定义域 值域 对应法则. () 象不一定有原象, 象集 C 与 B 间关系是 C B. 注 : 同一函数必须满足 : 定义域相同 对应法则相同.. 分段函数是指函数由 个不同部分组成, 但是一个函数. 4. 函数解析式求法 : () 已知函数类型, 可设参, 用待定系数法 ; () 已知复合函数 f [( g( )] 的表达式, 求 f( ) 可用换元法 ; () 配凑法与方程组法. 5. 定义域 : 自变量的取值范围 常见表达式有意义的规定 : 分式分母有意义, 即分母不能为 0; 偶式分根的被开方数非负, 有意义集合是 { 0} ; 0 0 无意义 ; 4 指数式 对数式的底 a 满足 :{ a a 0, a }, 对数的真数 N 满足 :{ N N 0}. 6. 复合函数定义域求法 () 已知 f[g()] 的定义域为 (a,b) 求 f() 的定义域, 其方法是 : 利用 a< <b, 求得 g() 的范围, g() 的范围即是 f() 的定义域 ; () 若已知 f() 的定义域为 (a,b), 求 f[g()] 的定义域, 其方法为, 由 a< g()<b, 求得 范围, 即为 f[g()] 的定义域 0. 函数的单调性. 增函数和减函数定义 : 如果对于属于函数定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,, 当 08 艺考真题密卷文化课高分过 84 / 55

85 时, 都有 f ( ) f ( ), 那么就说 么就说 f( ) 在这个区间上是减函数.. 判断函数单调性的常用方法 : f( ) 在这个区间上是增函数 ; 当 () 定义法 ( 熟练利用定义法证明函数单调性的步骤 ); 系列资料 BY 三好网汇编 时, 都有 f ( ) f ( ), 那 () 两个增 ( 减 ) 函数的和仍为增 ( 减 ) 函数 ; 一个增 ( 减 ) 函数与一个减 ( 增 ) 函数的差是增 ( 减 ) 函数 ; () 奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性 ; 偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性 ; (4) 导数法 : 若当 ab 在 [, ] 上递减 ; [ a, b] 时, f ' ( ) 0 (5) 利用函数图象判断函数单调性 ;, 则 f( ) ab 在 [, ] 上递增 ; 若当 [ a, b] 时, f ' ( ) 0, 则 f( ) (6) 复合函数 y f [ g( )] 的单调性判断 : 如果 y f ( u) 和 u g( ) 单调性相同, 那么 y f [ g( )] 是 增函数 ; 如果 y f ( u) 和 u g( ) 单调性相反, 那么 y f [ g( )] 是减函数. 即 : 复合函数的单调性规 则是 同增异减.. 熟记以下几个结论 : () f( ) 与 f( ) 的单调性相同 ; () f( ) 与 f( ) 的单调性相反 ; () f( ) 与 f( ) 的单调性相反 ; (4) 函数的单调性是对某个区间而言的, 所以受到区间的限制, 如函数 y 分别在 (,0) 和 ( 0, ) 内 都是单调递减的, 但是不能说它在整个定义域即 (,0) (0, ) 内是单调递减的, 只能说函数 y 的 单调递减区间为 (,0) 和 ( 0, ). 0. 函数的奇偶性. 函数的奇偶性的定义 : 如果对于函数 f() 定义域内任意一个, 都有 f(-)=f(), 那么函数 f() 叫做偶函数 ; 如果对于函数 f() 定义域内任意一个, 都有 f(-)=-f(), 那么函数 f() 叫做奇函数.. 通常采用图象或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数, 其定义域关于原点对称 ( 也就是说, 函 08 艺考真题密卷文化课高分过 85 / 55

86 数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称 ) 如果奇函数 f() 在 =0 处有定义, 则 f(0)=0; 如果函数 f() 的定义域不关于原点对称, 那么 f() 一定是非奇非偶函数 ; 如果 f() 既是奇函数又是偶函数, 那么 f() 的表达式是 f()=0.. 奇函数的图象在关于原点对称的两个区间内单调性相同, 偶函数则相反 4. 奇偶函数图象的对称性 () 若 y f ( a ) 是偶函数, 则 f ( a ) f ( a ) f (a ) f ( ) f () 的图象关于直 线 a 对称 ; () 若 y f ( b ) 是奇函数, 则 f ( b ) f ( b ) f (b ) f ( ) f () 的图象关于点 (b,0) 中心对称 ; 0.4 函数的周期性. 定义 : 如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意, 都有 f(+t)= f(), 则称 f() 为周 期函数 ;T 为函数的周期 T T. 性质 :f(+t)= f() 常常写作 f ( ) f ( ), 若 f() 的周期中, 存在一个最小的正数, 则称 它为 f() 的最小正周期 ; 若周期函数 f() 的周期为 T, 则 f(ω)(ω 0) 是周期函数, 且周期为 0.5 指数与指数函数 T. 已知 a>0,m,n *, 且 >, 则 m a = a m, a p = p a.. 指数的运算性质 (a>0,b>0,r,sq) ()a r a s = r s a ;()a r s = rs a ;()(ab) r = r r ab. 指数函数 y= a ( a0, a, R), 在 a > 及 0< a < 这两种情况下的图象和性质总结如表 : 图象特征 函数性质 a 0a a 0a 向 y轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数 函数图象都在 轴上方 R 函数的值域为 08 艺考真题密卷文化课高分过 86 / 55

87 函数图象都过定点 (0,) a 0 = 自左向右看, 图象逐渐上升 自左向右看, 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 在第二象限内的图象纵坐标都小于 在第一象限内的图象纵坐标都小于 在第二象限内的图象纵坐标都大于 0, a 0, a 0, a 0, a 图象上升趋势是越 来越陡 图象上升趋势是越 来越缓 函数值开始增长较 慢, 到了某一值后 增长速度极快 函数值开始减小极 快, 到了某一值后 减小速度较慢 注 : 当底数 a 大小不确定时, 必须分 a 0 和 0 a 两种情况讨论函数的图象和性质 由指数函数 y a ( a 0, a, R) 的性质知, 指数函数 y a ( a 0, a, R) 的图象恒过点 (0,),(0, a),(, ), 只要确定了这三个点的坐标, 即可快速地画出指数函数 y a ( a 0, a, R) 的 a 图象 利用函数的单调性, 结合图象还可以看出 : ab, () 在上, f ( ) a ( a 0, a ) f ( a), f ( b) 的值域是或 () 若 0, 则 f( ) ; f( ) 取遍所有正数当且仅当 R; () 对于指数函数 f ( ) a ( a 0, a ), 总有 f (0), f () a ; (4) 当 a 时, 若 0.6 对数与对数函数. 对数的定义 一般地, 对于指数式 a. 指数式与对数式的互化 b f ( b), f ( a ) ;, 则 f ( ) f ( ) ; 当 0a 时, 若, 则 f ( ) f ( ) N, 我们把 以 a 为底 N 的对数 b 记作 log a N, 记 b log N( a 0, 且 a ) a a 由指对数的概念, 得到 b N log a N b ( a 0且 a ). 对数的性质 : 08 艺考真题密卷文化课高分过 87 / 55

88 ⑴ 负数与零没有对数 ; ⑵ log 0 a, log a a ; ⑶ 对数恒等式 a 4. 两类特殊的对数 log a N N log a ; (4) a 以 0 为底的对数称为常用对数, log 0 N 常记为 以无理数 e =.788 为底的对数称为自然对数, 5. 对数的运算法则 如果 a 0, a, M 0, N 0 有 : () log ( MN) log M log N; a a a M () log loga M log a N; N () log M log M ( R) a 6. 对数函数 a lg N. log e N 常记为 l N 一般地, 我们把函数 y log ( a 0, 且 a ) 叫做对数函数, 其中是 自变量, 函数的定义域是 (0, ), 值域是 (, ) 7. 判断一个函数是否是对数函数的依据 () 形如 y log a ; () 底数 a 满足 a0, 且 a; a () 真数为, 而不是 a ; (4) 值域为 (, ). 注 : 对数符号前面的系数为 ; 自变量 出现在真数的位置上, 且 0 ; 由指数式与对数式的关系知, 对数函数的自变量 恰好是指数函数的函数值 恰好是指数函数的函数值 y, 所以对数函数的定义域是 (0, ) 8. 对数函数的图象和性质 0a a y, 所以对数函数的自变量 08 艺考真题密卷文化课高分过 88 / 55

89 图象 定义域 值域 性质 (0,+ ) () 过定点 (,0), 即 时, R y 0 () 在 (0,+ ) 上是减函数 () 在 (0,+ ) 上是增函数 补充性质一底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 轴对称 补充性质二 a 时, 底数越大, 其图象越接近 轴 0a 时, 底数越大, 其图象越远离 轴 0.7 幂函数. 幂函数的概念一般地, 函数. 幂函数的特征 : y 叫做幂函数, 其中 是自变量, 是常数. 的系数为 ; 的底数是自变量, 指数 为常数 ; 项数只有一项. 幂函数的定义域幂函数的自变量是底数, 指数是一个常数 () 对于不同的指数, 底数的取值范围是不同的 ; () 当指数是正整数时, 底数取值范围是全体实数 ; () 当指数是负整数时, 底数取值范围是除 0 外的实数, 因为如果底数为 0 则会出现除零的错误 ; (4) 当指数是 0 时, 底数取值范围是除 0 外的实数, 因为 0 的 0 次方是没有意义的 (5) 当指数是正有理数时, 注意到任意有理数都可以写成分数的形式, 分子和分母都是正整数, 当分子和分母不可约时, 即它们的最大公约数是, 此时看分母的奇偶性, 奇数分母的定义域是全体实数, 偶数分母的定义域是非负实数, 例如 的 / 方, 等于 的平方根, 底数必须为正 ; (6) 当指数是负有理数时, 除了考虑指数分母的奇偶性外, 还要把 0 剔除掉, 所以应该是 : 奇数分母的定义域是除 0 外的全体实数, 偶数分母的定义域是正实数 (7) 当指数是正无理数时, 老老实实地, 定义域是非负实数 ; (8) 当指数是负无理数时, 定义域是正实数 89 / 艺考真题密卷文化课高分过

90 4. 幂函数的图象和性质 () 所有的幂函数在 (0,+ ) 都有定义, 并且图象都过点 (,)( 原因 : ); () 0 时, 幂函数的图象都通过原点, 并且在 [0,+ ) 上, 是增函数 ( 从左往右看, 函数图象逐渐上 升 ). () 0 时, 幂函数的图象在区间 (0,+ ) 上是减函数. 在第一象限内, 当 向原点靠近时, 图象在 在 轴上方并无限逼近 轴的正半轴. 重点领悟 幂函数 y 幂函数 图象过定点 (,); y 探究提升, 当 0 时, 图象在第一象限单调递增 ; 当 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴, 当 慢慢地变大时, 图象 0 时, 图象在第一象限单调递减. y y y y y 定义域 R R R 0 0 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 在第 Ⅰ 象限 在第 Ⅰ 象限 在第 Ⅰ 象限 在第 Ⅰ 象限 在第 Ⅰ 象限 在第 Ⅰ 象限 单调增减性 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增 单调递减 定点 (,) (,) (,) (,) (,) 例 下列各组函数中, f( ) 与 g ( ) 典型例题 表示同一函数的是 A. f ( ) 与 g( ) B. f ( ) 与 g ( ) C. f ( ) 与 g( ) D. f( ) 4 与 g( ) 答案 C 解析 根据两个函数的定义域相同, 对应关系也相同, 即可判定它们是同一函数. 对于 A, f ( ) 与 g( ), 两个函数的解析式不同, 不是同一函数 ; 08 艺考真题密卷文化课高分过 90 / 55

91 对于 B, f ( ) ( R ) 与 g( ) ( 0), 两个函数的定义域不同, 不是同一函数 ; 对于 C, f ( ) ( R ) 与 g( ) = ( R ), 两个函数的定义域相同, 对应关系也相同, 是同 一函数 ; 4 对于 D, f ( ) ( ) 与 g( ) ( R ), 两个函数的定义域不同, 故不是同一函数. 故选 C. y 例 函数 A.(0,+ ) 0 的定义域是 ( ) B.(-,0) C.(0,) (,+ ) D.(-,-) (-,0) (0,+ ) 答案 C 0, 0 解析 由 得 0 且. 例 函数 f ( ) 的定义域是 A.[,) B.(, ) C.[,) (, ) D.(,) (, ) 答案 C 0 解析 要使函数式有意义, 需, 解得 且. 0 故函数 f ( ) f 例 4 函数 的定义域是 [,) (, ). 故选 C ( R) 的值域是 ( ) A.(0,) C.[0,) B.(0,] D.[0,] 08 艺考真题密卷文化课高分过 9 / 55

92 答案 B 解析 由于 R, 所以 +,0< 例 5 若函数 答案 0, f( ), 则 0, 即 0< f( ) 的定义域是 [0,], 则函数 f ( ) f ( ) 的定义域为. 0, 0, 0,, 解析 由 得 即 例 6 已知函数 A. 4 答案 C ) ( ) ( 4 ( 0) ( 0) 0,. f, 则 B. 8 C. 6 解析 因为 f ( ) ( ), 所以 f f ( ) D.4 f ( f ( )) f () ( ) 6 4, 故选 C.. 例 7 若 f( ), 那么 ( 0) f 等于 ( ) A. B.4 C.5 D.6 答案 C t 解析 解法一: 令 t, 则 ( t ), 4 f( t) t 解法二 : 令, 得 例 8 观察下表 :, f 艺考真题密卷文化课高分过, f f( ) g ( ) / 55

93 则 f [ g() f ( )] = ( ) A. B.4 C.- D.5 答案 D 解析 由题表可知 f( ), g() 4, 所以 g() f ( ) 4 ( ). 所以 f[ g() f( )] f (. ) 5 例 9 函数 f() 在 [-4,4] 上的图象如图所示, 则此函数的最小值, 最大值分别是 ( ) A.f(-4),0 C.f(-4),4 B.0,4 D.f(4),4 答案 C 解析 由函数最值的几何意义知, 当 =-4 时, 有最小值 f(-4); 当 = 时, 有最大 4. a a,, 例 0 若函数 f()= 是 R 上的减函数, 则实数 a 的取值范围是 ( ) a, A.( C.(-,] 答案 B,0) B.[ 08 艺考真题密卷文化课高分过 9 / 55,0) D.(-,0) 解析 由 时,f()=- +a-a 是减函数, 得 a, 由 < 时, 函数 f()=a+ 是减函数, 得 a<0, 分段点 处的值应满足 - +a -a a +, 解得 a, a<0. 例 已知函数 y=f() 是偶函数, 其图象与直线 y 有 4 个交点, 则方程 f 0的所有实根之 和是 ( ) A.4 B. C. D.0 答案 D

94 解析 偶函数 y=f() 的图象关于 y 轴对称, f() 与直线 系列资料 BY 三好网汇编 y 的四个交点也关于 y 轴对称. 因此, 设 y 轴右侧一交点的横坐标为, 则它关于 y 轴对称的交点的横坐标为 - ; 设 y 轴右侧另一交点的横坐标为, 则它关于 y 轴对称的交点的横坐标为 -. 故 f 0的四根之和为 +(- )+ +(- )=0. 从而 选 D. 例 设 f() 在 [-,-] 上为减函数, 最小值为, 且 f() 为偶函数, 则 f() 在 [,] 上 ( ) A. 为减函数, 最大值为 B. 为减函数, 最小值为 - C. 为增函数, 最大值为 - D. 为增函数, 最小值为 答案 D 解析 f() 在 [-,-] 上为减函数, 最大值为, f(-)=, 又 f() 为偶函数, f() 在 [,] 上为增函数, 且最小值为 f()=f(-)=. 例 下列运算结果中正确的为 ( ) A. a 6 B. a a a a C. 0 6 a D. a a 答案 D 解析 对于 A 选项 : a a a a 以 B 选项错误 ; 对于 C 选项 :0 的 0 次幂没有意义, 当 例 4 设 a b 满足 0<a<b<, 下列不等式中正确的是 ( ) 5 6, 所以 A 选项错误 ; 对于 B 选项 :, 而 a 时, 0 a a a 无意义. 故选 D. a = a 6, 所 A.a a <a b C.a a <b a B.b a <b b D.b b <a b 答案 C 解析 0<a<, y=a 是减函数, 又 a<b, a a >a b. 排除 A; 同理得 b a >b b, 排除 B. 在同一坐标系中作出 y=a 与 y=b 的图象. 由 >0 时 底大图高 知 >0 时,y=b 图象在 y=a 图象上方, 当 =b 时, 立得 b b >a b, 排除 D; 当 =a 时,b a >a a, 选 C. 例 5 若函数 ( ) a 0 f( ) a ( ) 0 是 R 上的增函数, 则实数 a 的取值范围为 08 艺考真题密卷文化课高分过 94 / 55

95 A.(,4) B.(, 4] C.(,+ ) D. (4,+ ) 答案 A a 解析 因为 f() 在 R 上是增函数, 故结合图象 ( 图略 ) 知 a 解得 <a<4. 0 例 6 log 50+log 50.5=( ) A.0 B. C. D.4 答案 C 解析 log 50+log 50.5=log 500+log 50.5=log 55=. 系列资料 BY 三好网汇编 log 例 7 函数 y 的定义域为 ( ) A.(, 答案 C ) B.(, ) C.(, 0, 解析 由题意得 解得 << 0, 例 8 设 f (5 ), log,, A.0 B. e C. D. e 答案 C 解析 由题意可知, ) D.[,, 所以所求函数的定义域为 (, ) ), 故选 C., 则 f[f()] 的值为 ( ) 0 f log, 所 f f f (5 ) (5 ). 故选 C 例 9 设 α {,,,,,,,}, 则使 f()= α 为奇函数, 且在 (0,+ ) 上递增的 α 的个数 是 ( ) A. B. C. D.4 答案 C 解析 f() 为奇函数, 则 α=,,,,f() 在 (0,+ ) 上递增, 则 α=,,, 故选 C.. 求函数的定义域必须注意以下四点 : 08 艺考真题密卷文化课高分过 技巧点拨 () 如果 f( ) 是整式, 那么函数的定义域是实数集 R ; () 如果 f( ) 是分式, 那么函数的定义域是使分母不等于零的实数 的集合 ; 95 / 55

96 () 如果 (4) 如果 f( ) f( ) 域 ( 最值 ) 的求法有 : 直观法 : 图象在 为偶次根式, 那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数 系列资料 BY 三好网汇编 的集合 ; 是由几部分数学式子构成的, 那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数 配方法 : 适合一元二次函数 y 轴上的 投影 的范围就是值域的范围 ; 反解法 : 有界量用 y 来表示 如 0, a 0, si 等等 如, y 换元法 : 通过变量代换转化为能求值域的函数, 特别注意新变量的范围 注意三角换元的应用 如求 y 的值域 单调性 : 特别适合于指 对数函数的复合函数 如求 y log( )( ) 值域 基本不等式 : 要注意 一正 二定 三相等, 的集合函数值 判别式 : 适合于可转化为关于 的一元二次方程的函数求值域 如 y 反之 : 方程有解也可转化为函数求值域 如方程 si si a 0有解, 求 a 的范围 si 数形结合 : 要注意代数式的几何意义 如 y 的值域 ( 几何意义 斜率 ) cos. 恒成立和有解问题 a f ( ) 恒成立 a f ( ) 的最大值 ; a f ( ) 恒成立 a f ( ) 的最小值 ; a f ( ) 有解 a f ( ) 的最小值 ; a f ( ) 无解 a f ( ) 的最小值 4. 函数单调性的判断 定义法 : 取值 作差 变形 定号 下结论 复合法 : 同增异减, 即内外函数的单调性相同时, 为增函数, 不同时为减函数 图象法 : 利用图象研究函数的单调性 4 单调性法 : 利用已知函数的和 差 5. 求函数最值的方法 : () 利用函数的单调性求函数的最大 ( 小 ) 值的方法 : 利用二次函数的性质 ( 配方法 ) 求函数的最大 ( 小 ) 值. 利用图象求函数的最大 ( 小 ) 值. () 如果函数 y f ( ) 在区间 [ ab, ] 上单调递增, 在区间 [ bc, ] 上单调递减则函数 y f ( ) 在 b处有 96 / 艺考真题密卷文化课高分过

97 最大值 f() b ; 如果函数 y f ( ) ab bc 在区间 [, ] 上单调递减, 在区间 [, ] 上单调递增则函数 y f ( ) 在 b 处有最 小值 f() b. 6. 判断函数的奇偶性通常有三种方法 () 定义法 : 用定义法判断函数的奇偶性时, 必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称, 单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点, 需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质. () 图象法 : 偶函数的图象关于 y 轴对称 ; 奇函数的图象关于原点对称. () 性质法 : 奇函数 + 奇函数 = 奇函数 偶函数 + 偶函数 = 偶函数 奇函数 * 奇函数 = 偶函数 4 偶函数 * 偶函数 = 偶函数 5 奇函数 * 偶函数 = 奇函数. 7. 与分段函数有关的解题技巧 : () 求分段函数的函数值, 要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集, 然后代入该段的解析式 求值, 当出现 f f a 的形式时, 应从内到外依次求值. () 已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时, 应根据每一段的解析式分别求解, 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. () 应当特别注意 : 当分段函数自变量的范围不确定时, 应分类讨论. 8. 与指数函数相关问题的解题方法 () 对于有关指数型函数的图象问题, 一般是从最基本的指数函数的图象入手, 通过平移 伸缩 对称变换得到. 特别地, 当底数 a 与 的大小关系不确定时应注意分类讨论. () 有关指数方程 不等式问题的求解, 往往利用相应的指数型函数图象, 数形结合. 9. 利用指数函数的单调性比较大小的方法 () 比较两个指数幂大小时, 尽量化同底或同指, 当底数相同, 指数不同时, 构造一个指数函数, 然后比较大小 ; 当指数相同, 底数不同时, 构造两个指数函数, 利用图象比较大小 ( 或构造一个幂函数, 然后比较大小 ); 当底数不同, 指数不同时, 可借助中间值 0 或 比较大小, 再间接得出大小关系. 0. 解决与对数函数有关问题的方法 : () 研究对数型函数的图象时, 一般从最基本的对数函数的图象入手 三个关键点 ; 函数的定义域 值域 ; 97 / 艺考真题密卷文化课高分过

98 利用平移 伸缩 对称变换等手段. 特别地, 要注意底数 a> 和 0<a< 的两种不同情况. () 对数函数的图象比较在同一平面直角坐标系中, 分别作出对数函数 y=log a,y=log b,y=log c,y=log d(a>,b>,0<c<,0<d<) 的图象, 如图所示. 作出直线 y=, 分别与四个图象自左向右交于点 A(c,),B(d,),C(a,),D(b,). () 解决对数型函数的单调性 ( 单调区间 ) 问题的方法步骤 先求出函数的定义域 ; 判断对数函数的底数与 的关系, 当底数 a 的大小不确定时, 要判断函数单调性, 就必须对底数 a (0,) 和 a (,+ ) 进行分类讨论 ; 对于 y=log af(), 借助 同增异减 的规则, 其单调性与函数 f() 的单调性在 a> 时相同, 在 0<a< 时相反, 相应地, 单调区间是函数 f() 对应的单调区间与定义域的交集 ; 函数 y=f(log a) 的单调性一般用复合函数的 同增异减 规则来判定. 特别强调的是, 研究对数型复合函数的单调性, 一定要坚持 定义域优先 原则, 否则所得范围易出错.. 根据幂函数的单调性比较大小的方法 () 同底不同指 同指不同底的幂值 如果底数相同, 应利用指数函数的单调性 ; 如果指数相同, 可转化为底数相同后进行比较, 也可以利用幂函数的单调性, 还可借助函数图象. () 既不同底又不同指的幂值常找到一个中间值, 通过比较幂值与中间值的大小来判断 专项训练 一 选择题. 集合 A={ 0 4},B={y 0 y }, 下列不表示从 A 到 B 的函数是 ( ) A.f y= B.f y= 08 艺考真题密卷文化课高分过 98 / 55

99 C.f D.f y= y= 答案 C 解析 对于选项 C, 当. 下列四个说法 : 4 时, 8 y 若定义域和对应关系确定, 则值域也就确定了 ; 不合题意. 故选 C. 若函数的值域只含有一个元素, 则定义域也只含有一个元素 ; 若 f ( ) 5( R), 则 f ( ) 5 一定成立 ; 4 函数就是两个集合之间的对应关系. 其中正确说法的个数为 ( ) A. B. C. D.4 答案 B 解析 正确 ; 不正确, 如函数 f ( ) 0( R) 0, 值域为, 只含有一个元素, 但是定义域中可能 含有无数个元素 ; 正确 ;4 不正确, 函数是定义在两个非空数集上的对应关系.. 设集合 p 0, Q y 0 y, 能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的是 ( ) 答案 D 解析 选项 A B 中函数的定义域不是 P, 选项 C 不能构成函数, 选项 D 符合函数的定义, 故选 D. 4. 函数 f() 在 [-4,4] 上的图象如图所示, 则此函数的最小值, 最大值分别是 ( ) 08 艺考真题密卷文化课高分过 99 / 55

100 A.f(-4),0 C.f(-4),4 B.0,4 D.f(4),4 答案 C 解析 由函数最值的几何意义知, 当 =-4 时, 有最小值 f(-4); 当 = 时, 有最大 函数 y=f() 在 R 上为减函数, 且 f(a)<f(-a+5), 则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(-,-) B.(0,+ ) C.(,+ ) D.(-,-) (,+ ) 答案 C 解析 因为函数 y=f() 在 R 上为减函数, 且 f(a)<f(-a+5), 所以 a>-a+5, 即 a>. 6. 下列函数中是奇函数的是 ( ) A.f()= + B.f()=- C.f()= D.f()=+ 答案 C 解析 由奇 偶函数的定义得 f()= + 为偶函数,f()=- 为非奇非偶函数,f()= =+ 为非奇非偶函数. 7. 设 f() 是定义在 R 上的奇函数, 且当 >0 时,f()= -, 则 f(-) 的值等于 ( ) A.- B. 为奇函数,f() C. 4 D.- 4 答案 A 解析 >0 时,f()= -, f()= -=, 又 f() 为奇函数, f(-)=-f()=-. 8. 函数 f()=(a -a+)a 是指数函数, 则有 ( ) 00 / 艺考真题密卷文化课高分过

101 A.a= 或 a= C.a= B.a= D.a>0 且 a 答案 C 解析 由指数函数的定义得 : a -a+=, a>0 且 a. 解得 a=. a log 4, b log, c log 5, 则 ( ) 9. 设 A. a c b B.b c a C. ab c D.ba c 答案 D 解析 因为 0<(log 5) <log 5<log 54<,<log 45, 所以 b a c. 0. 下图是对数函数 y=log a 的图象, 已知 a 值取, 4, 5, 0, 则图象 C,C,C,C 4 对应的 a 值依次是 ( ) A. 4,, 0, 5 B., 4, 0, 5 C. 4,, 5, 0 D., 4, 5, 0 答案 D 解析 过 (0,) 作平行于 轴的直线, 与 C,C,C,C 4 的交点的坐标为 (a,),(a,),(a,),(a 4, ), 其中 a,a,a,a 4 分别为各对数的底数, 显然 a >a >a >a 4, 所以 C,C,C,C 4 对应的 a 值依次是, 4, 5, 0. 二 填空题 0 / 艺考真题密卷文化课高分过

102 f. 设函数 答案 解析 由题意知 4, 若 4 m f( m), 解得, 则实数 m. m.,( 0). 若函数 f( ) f ( ), 0 答案 解析 f f f. 已知函数 f( ), f( ) g ( ) 分别由下表给出., 则 f (). g ( ) 则 f[ g ()] 的值为 ; 当 g[ f ( )] 时,. 答案 ; 解析 f [ g()] f () ; g[ f ( )], f( ),. 4. 已知 f() 是定义在 R 上的增函数, 且 f(+5)<f(-), 则 的取值范围为. 答案, 解析 f() 是定义在 R 上的增函数, 且 f(+5)<f(-), +5<-, <, 即 的 取值范围是,. 5. 某超市将进货单价为 0 元的商品按 元一件的价格出售时, 每天可销售 80 件, 现在准 备采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润, 已知这种商品每涨 元, 其销售量就要减 少 0 件, 当该商品利润最大时, 售价应定为 元. 08 艺考真题密卷文化课高分过 0 / 55

103 答案 5 系列资料 BY 三好网汇编 解析 设商品售价定为 元时, 利润为 y 元, 则 y=(-0)[80-(-) 0] =-0[(-5) -5]=-0(-5) +50(0<<0), 当且仅当 =5 时,y 有最大值 50, 即售价定为 5 元时可获取最大利润 50 元. 6. 设函数 f()= 答案 a 8 08 艺考真题密卷文化课高分过 为奇函数, 则实数 a=. 解析 解法一 : f() 为奇函数, f(-)=-f(), 即 a 8 a 8 =, 得 a=. 解法二 : 由 f(-)=-f(), 可得 a= 7. 若函数 y=(a -) 在 R 上为增函数, 则实数 a 的取值范围是. 答案 (-,- ) (,+ ). 解析 由 y=(a -) 在 R 上为增函数, 得 a ->, a >, 即 a< 或 a>. 8. 若函数 y f ( ) 是函数 y a ( a 0, 且 答案 解析 函数 y a ( a 0, 且 因为 f( ) 的图象经过点 9. 已知幂函数 f()= 答案 (,5) 解析 f()= a ) 的反函数, 且 ( ) a ) 的反函数是 log a 0 / 55 f 的图象经过点 y f ( a 0, 且 a ), 4,, 则 a =. 4,, 所以 = log a 4, 所以 a = 4, 又 a 0,, 所以 a= =., 若 f(a+)<f(0 a), 则实数 a 的取值范围是. = (>0), 易知 f() 在 (0,+ ) 上为减函数, 又 f(a+)<f(0 a), a 0, a, 0 a 0, 解得 a 5, <a<5. a 0 a, a, 0. 比较下列各组数的大小 : () 5. 与 5.09 的大小关系是 ;

104 () 答案 (), 解析 () 0 7, 4. 的大小关系是 (). 7 y () 在 (0,+ ) 上为减函数, 且 5.>5.09, , 7 7. y 且 7, 0. 又. =, 在 (0,+ ) 上为增函数, 高频考点十一 导数 知识讲解. 导数的概念及运算. 导数的概念 ()f() 在 =0 处的导数就是 f() 在 =0 处的瞬时变化率, 记作 : f ( 0 ) f ( 0) lim 0 08 艺考真题密卷文化课高分过. 04 / 55 y / 0 或 f / (0), 即 f / (0)= () 当把上式中的 0 看作变量 时, f / () 即为 f() 的导函数, 简称导数, 即 ' y f '( ) = lim 0 f ( ) f ( ).. 导数的几何意义 : 函数 f() 在 =0 处的导数就是曲线 y=f() 在点 P(0,f(0)) 处的切线的斜率 k= f / (0), ' 切线方程为 y y f ( )( ) 基本初等函数的导数公式 ( ) ( ); (si ) cos ; (cos ) si ; ( e ) e ; ( a ) a l a ( a 0, 且 a ) ; (l ) ; (log a ) log ae ( a 0, 且 a ) 4. 两个函数的四则运算法则 若 u(),v() 的导数都存在, 则

105 u( ) v( ) u( ) v( 法则 : ) u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( 法则 : ) u( ) u( ) v( ) u( ) v( ) 法则 : ( ( ) 0) ( ) v v v ( ).. 导数的应用.( 函数单调性的充分条件 ) 设函数 y=f() 在某个区间内可导, 如果 f / ()>0, 则 f() 为增函数 ; 如果 f / ()<0, 则 f() 为减函数..( 函数单调性的必要条件 ) 设函数 y=f() 在某个区间内可导, 如果 f() 在该区间上单调递增 ( 或递减 ), 则 在该区间内 f / () 0( 或 f / () 0).. 利用导数判断函数单调性的一般步骤 : () 求导数 f ' ( ) ;() 在定义域内解不等式 f ' ( ) 0 或 f ' ( ) 0 ;() 确定单调区间. 4. 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值越大, 那么函数在这个范围内变化越快, 这时, 函数的图象就越 陡峭. 5.() 函数的极值的概念 : 函数 y=f() 在点 =a 的函数值 f(a) 比它在 =a 附近的其他点的函数值都小, f / (a)=0; 而且在点在 =a 附 近的左侧 f ' ( ) 0, 右侧 f ' ( ) 0, 点 a 叫做函数 y=f() 的极小值点, f(a) 叫做函数 y=f() 的极小值. 函数 y=f() 在点 =b 的函数值 f(b) 比它在 =b 附近的其他点的函数值都大, f / (b)=0; 而且在点在 =b 附 近的左侧 f ' ( ) 0, 右侧 f ' ( ) 0, 点 b 叫做函数 y=f() 的极大值点, f(b) 叫做函数 y=f() 的极大值. 极 小值点, 极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值. () 求函数极值的步骤 : 求导数 f ' ( ); 求方程 f ' ( ) 0 的根 ; 检查 f / () 在方程根左右的值的符号, 如果左正右负, 那么 f() 在这个根处取极大值, 如果左负右正, 那 么 f() 在这个根处取极小值. 6. 函数的最大值与最小值 在闭区间 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导.f() 在 [a,b] 上, 求最大值和最小值的步骤 : () 求 f ' ( ) 在区间 ( ab, ) 内的极值 ; () 将 f( ) 的各极值与 f ( a), f ( b ) 比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值. 08 艺考真题密卷文化课高分过 05 / 55

106 例 已知 f a, 若 A. 9 答案 B B. 0 C. 典型例题 解析 由题意知 f a 6, 所以 f 例 函数 y f 4, 则 a 的值等于 ( ) 6 的导函数是 ( ) D. a 6 4, 解得 A. y B. y C. y l D. y l 答案 D = l, 故选 D. 解析 y 例 已知 f e f, 则 0 f 等于 ( ) A. e B. e C. e D. e 答案 B 解析 由题意得 f e f, 所以 f e f, 所以 f 0 e e e. 故选 B. 0 所以 f 5在 例 4 曲线 A. π 6 答案 D B. π 处的切线倾斜角是 ( ) 解析 f f f 故选 D. C. π 4 D. π 4 a 0 f e, 5,,, 所以切线的斜率为 例 5 曲线 y 上一点, 处的切线方程为 ( ) A. y 0 B. y 0 C. 4y5 0 D. 4y5 0 答案 B. π, 倾斜角为 艺考真题密卷文化课高分过 06 / 55

107 解析 对 y 求导得, y, 把 代入 率为, 又切点为,, 所以切线方程为 y 系列资料 BY 三好网汇编 得, y, 即切线的斜 y, 即 y 0, 故选 B. y f 例 6 已知函数 f, g al,ar, 若曲线 点处有相同的切线, 求 a 的值及该切线的方程. 答案 解析 f a e, ey e 0, g 0 0 a l 0, 由已知得 a 解得, 0 0 e,e a, 设两曲线交点的横坐标为 a e, 0 e., 切线的斜率为 k fe 所以两曲线交点坐标为, e 所以切线方程为 y e e, 即 ey e 0. e 例 7 函数 y= -l 的单调减区间是 ( ) 与曲线 0, y g 相交, 且在交 A.(0,) C.(-,) B.(0,) (-,-) D.(-,+ ) 答案 A 解析 因为 y= -l 的定义域为 (0,+ ), 所以 y =-, 令 y <0, 即 - <0, 解得 :0<< 或 <-. 又因为 >0, 所以 0<<. 例 8 函数 f e 的单调递增区间是 () A.0, B.,4 C., D., 答案 C 解析 f e e e, 令 f 单调增区间为,. 故选 C. e 0, 解得, 所以函数 f 的 08 艺考真题密卷文化课高分过 07 / 55

108 例 9 已知定义在 R 上的函数 f, 其导函数 f 的大致图象如图所示, 则下列叙述正确的是 ( ) A. f b f c f d B. f b f a f e C. f c f b f a D. f c f e f d 答案 C 解析 由 f 图象可知函数 f,c ce, e, 在 上单调递增, 在 上单调递减, 在 上单调递 增, 又 a, b, c, c 例 0 函数, 且 a b c, 故 f c f b f a. f al 在 处取得极值, 则 a 等于 ( ) A. B. C. 4 D. 4 答案 B 解析 f, 由题意可得 f a a a 0, a. 故选 B. 例 已知函数 f a b c, 其导函数 f 的图象如图, 则函数 f 的极小值为 () A. c B. ab c C.8a 4b c D.a b 答案 C 解析 由导函数的图象可知, 例 函数 f ()= -l 的最小值为 ( ) f 在 处取得极小值, f 8a 4b c. A. B. C. 不存在 D.0 答案 A 08 艺考真题密卷文化课高分过 08 / 55

109 解析 f ()=- - =, 且 >0, 令 f ()>0, 得 >; 令 f ()<0, 得 0<<. 所以 f() 在 = 时取最小值 f()= -l =. 技巧点拨. 求函数的导数的具体方法 : 将函数划分为基本初等函数的和 差 积 商, 再求导 ; 遇到连乘积的形式, 先展开化为多项式形式, 再求导 ; 遇到根式形式, 先化为分数指数幂, 再求导 ; 4 遇到复杂分式, 先将分式化简, 再求导 ; 5 遇到不符合求导法则的函数形式, 应利用代数 三角恒等变换等手段对函数变形, 再求导.. 复合函数的求导, 要选择恰当的中间变量, 分清复合关系, 切记复合函数的求导法则按 由内向外 的原则处理.. 求曲线 y=f() 在点 P 处的切线方程的步骤 () 求出 P 点的坐标 ( 0,f( 0)); () 求出函数在点 ( 0,f( 0)) 处的导数 f ( 0)= lim 0 的斜率 ; f ( ) f ( ) =k, 得到曲线在点 P( 0,f( 0)) 处的切线 () 利用点斜式写出切线方程 y-f( 0)=f ( 0)(- 0). 4. 利用导数的几何意义求曲线的切线方程时需要注意两类问题 求曲线在点 P 处的切线方程 ( 此时点 P 为切点 ); 求曲线过点 P 的切线方程, 此时点 P 不一定是切点. 对于过点 P 作曲线的切线 ( 或曲线 y=f() 过点 P( 0, f( 0)) 的切线 ) 这类问题, 无论点 P 在曲线上, 还是不在曲线上, 我们都要设出切点, 否则极易漏解. 5. 求切点坐标的步骤 () 设切点坐标 ( 0,y 0);() 求导函数 f ();() 求切线的斜率 f ( 0);(4) 由斜率间的关系列出关于 0 的方程, 解方程求出 0;(5) 根据点 ( 0,y 0) 在曲线 y=f() 上, 将 0 代入求出 y 0, 从而得到切点坐标. 6. 确定函数的单调性的方法 () 确定函数 f() 的定义域 ; () 求导函数 f (), 并求 f ()=0 的实数根. () 结合 () 中的根讨论 f () 的正负, 其中 f ()>0 对应的 所在的区间内, 函数 f() 单调递增 ;f () <0 对应的 所在的区间内, 函数 f() 单调递减. 7. 求函数单调区间的步骤 09 / 艺考真题密卷文化课高分过

110 () 确定函数 f() 的定义域. () 求导数 f (), 并求 f ()=0 的实数根. () 解 f ()>0 得到 所在的区间, 即为函数 f() 的递增区间 ; 解 f ()<0 得到 所在的区间, 即为函数 f() 的递减区间. 8. 求函数 y=f() 的极值的方法 解方程 f ()=0, 当 f ( 0)=0 时 : () 如果在 0 附近的左侧 f ()>0, 右侧 f ()<0, 那么 f( 0) 是极大值 ; () 如果在 0 附近的左侧 f ()<0, 右侧 f ()>0, 那么 f( 0) 是极小值. 9. 求可导函数极值的步骤 () 确定函数的定义区间, 求导数 f (); () 求方程 f ()=0 在函数定义域内的所有根 ; () 用 f ()=0 的根将定义域分成若干个小区间, 列表 ; (4) 由 f () 在各个小区间内的符号, 判断 f ()=0 的根处的极值情况. 0. 设函数 f() 在 [a,b] 上连续且在 (a,b) 内可导, 求 f() 在 [a,b] 上的最大值和最小值的步骤如下 : 求 f() 在 (a,b) 内的极值 ; 将 f() 的各极值与 f(a),f(b) 比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值. 一 选择题. 函数 y 的单调递减区间是 ( ) A.,0 B.0, C., 答案 C 08 艺考真题密卷文化课高分过 专项训练 D.,, 解析 易知定义域为 R, 可得导函数为 y 函数的单调递减区间为,. 故选 C.. 若函数 f si, 则函数 f 在区间 A. 0, 答案 D 解析 f cos 故选 D. B.,, 由 f 0 得 cos. 由 y 0 得,, 所以 0, 上的单调增区间为 ( ) C. 0, 0 / 55 D. 0,, 在区间 0, 上, 当 0 时, 满足 cos,

111 . 函数 y= - -9(-<<) 有 ( ) 系列资料 BY 三好网汇编 A. 极大值 5, 极小值 -7 B. 极大值 5, 极小值 - C. 极大值 5, 无极小值 D. 极小值 -7, 无极大值 答案 C 解析 由 y = -6-9=0, 得 =- 或 =, 当 <- 或 > 时,y >0; 当 -<< 时,y <0. 故当 =- 时, 函数有极大值 5; 取不到, 故无极小值. 4. 函数 f 5 在 0, 上最大值和最小值分别是 ( ) A.5, -5 B.5,-4 C.-4,-5 D.5,-6 答案 A 解析 f, ( ) 6 6 f 在 0, 上单调递减, 在, 上单调递增, f ( ) mi f () 5, f ( ) ma ma{ f (0), f ()} f (0) 5. 5.y=- 在点,- 处的切线方程是 ( ) A.y=- B.y=- C.y=4-4 D.y=4- 答案 C 解析 先求 y=- 的导数 :Δy=- +Δ + = Δ (+Δ),Δy Δ = (+Δ), lim 0 Δy Δ = lim 0 以切线方程是 y+=4 -, 即 y=4-4. 二 填空题 6. 若曲线 y a l (+Δ) =, 即 y, 所以 y=- 在点,- 处的切线斜率为 k=y = =4. 所 在点, a 处的切线平行于 轴, 则 a. 答案 解析 由题意得 y a, 因为曲线在点, a 处的切线平行于 轴, 所以 a 0, 解得 a. 7. 已知函数 f e, 则函数 f 08 艺考真题密卷文化课高分过 的递减区间为. / 55

112 ,0 答案, 即 e, 解析 f e, 令 f e 0 0, 所以函数 f,0 的递减区间为. 8. 若函数 f a 在 e 0 处取得极值, 则 a 的值为. 答案 0 6 ae ae 6 a a 解析 f, e e 由题意得 f 0 a 已知函数 f 在 e, 答案 / 艺考真题密卷文化课高分过 l a l l al 解析 f ( ) e 上恒成立, l l a,, 由题意得 0. 已知函数, 则 f 6 y 5 0 答案 4 上为减函数, 则实数 a 的取值范围是. f 0 恒成立, mi, 在 上恒成立, 即 l a e l l 0 a, e 即 a 0 a 且, a e. f a b 在 处有极值, 其图象在 的极大值与极小值之差为. 解析 f 6a b, 因为 知 f 线平行于直线 6 y 5 0 f 在 处有极值, 所以 l 0, 在 处的切线平行于直线 f 0, 由图象在 处的切 f a b 0,, 联立得解得 a, b 0, 所 f 6a b, 以 f 6, 所以极大值为 f 0 0, 极小值为 f 4, 则 f 极小值之差为 4. 三 解答题 C : f.. 已知曲线 () 试求曲线 C 在点, f 处的切线方程 ; () 试求与直线 y5 平行的曲线 C 的切线方程. 答案 () y 0 ()5 y 4 0 或 5 y 4 0 的极大值与

113 解析 () f, 切线的斜率为 k f, 所求切线方程为 y () 设与直线 f 0, 即 y 0. y5 则切线的斜率为 又 所求切线与直线 解得 y 0 平行的切线的切点为 k f. 0 0 y5 f,, 求导数得, y 0 0 平行, 5,, 代入曲线方程 f 5 或 y 5, 即 5 y 4 0 或 5 y 已知函数 答案 递减区间是 f l, 求函数 0, 得切点为 f 0,, 递增区间是, 解析 f l 的定义域为, 令 f 0 f 当 0 时, f 0, f 的单调区间. 0,,,, 则 或 ( 舍去 ). 递减, 当 f 的递减区间是 0,, 递增区间是,. 时, 0. 已知函数 f l a, ar. 当 a 时, 求函数的极值 ; 答案 极大值为 解析 当 令 0 f, 无极小值 系列资料 BY 三好网汇编 或,, 所求切线方程为 f, f 递增,, a 时, f l, f 0 f, 解得 0, 所以函数, 解得, 所以函数 令 f 0 所以当 时取极大值, 极大值为 f 在 (0,) 上单调递增 ; f 在, 上单调递减 ; f, 无极小值. 08 艺考真题密卷文化课高分过 / 55

114 f a. 若 l 4. 已知函数, 答案 a 4 l f 系列资料 BY 三好网汇编 在, 上单调递减, 求实数 a 的取值范围 ; l l 解析 函数 f a,, 则 f a, 由题意可得 f 0 在, 成立, a, l l l 4,, l 0,, 0 时, 函数 t 取最小值, a l l 4 4 f ( 4 )( a. 5. 已知 a 为实数, ) () 求导数 f ; () 若 f 0, 求 f 在 答案 (), 上的最大值和最小值. 9 f a 4 () f ma( ), f mi 50 ( ) 7 f. ' ()()4 a a 解析 () 4 () 由 f 0得 a, 故 f ()( 4)( ) 4, 则 4 f ' 4, 或 4, 由 f ( ) f )( 0, f ( ), 4. f 故 f ma( ), f mi( ). 7 高频考点十二. 任意角和弧度制及任意角的三角函数 三角函数与解三角形 知识讲解 上恒 4. 终边相同的角的集合 : 所有与角 终边相同的角, 连同角 在内, 可构成一个集合 S ={ = + o k 60, Z k }, 即任一与角 终边相同的角, 都可以表示成角 与整数个周角的和. 4 / 艺考真题密卷文化课高分过

115 . 角度与弧度的互化 : o =. 弧长公式 :l = r. 4. 扇形面积公式 : S = lr rad rad 80 = r 5. 任意角的正弦 余弦 正切 : 如图所示,. 是任意角, 以 的顶点 O 为坐标原点, 以 的始边为 轴的非负半轴, 建立平面直角坐标系. 设 P (, y ) 是 的终边与单位圆的交点, 则有 : 的三角函数定义记法形式 正弦 余弦 正切 y y si cos si = ( 0) ta ta = y cos = y ( 0). 诱导公式 诱导公式一 si k = 诱导公式二 si =- 诱导公式三 si =- 诱导公式四 si - = 诱导公式五 si, k 08 艺考真题密卷文化课高分过 cos = cos =- si ; cos = si ; si ; cos, ta k cos ; cos ; cos =- si - = cos, cos - =si. 诱导公式六 5 / 55 = ta ( k Z ). ta = ta. ta =- ta. cos ; si = cos, cos =-si.. 三角恒等变形及应用 ta =- ta.

116 . 两角和与差的三角函数 si( cos( ; ) si cos cos si ; ) cos cos si si ta ta ta( ) tata. 二倍角公式 si si cos ; cos ; cos si cos si ta ta ta. 降幂公式 cos cos si cos si ; si ; cos 4. 辅助角公式 asi bcos a b si, b a 其中 si, cos a b a b.4 三角函数的图象和性质 性质 函数 y=si y=cos y=ta 定义域 R R { kπ+ π, k Z} 图象 值域 [-,] [-,] R 对称性 对称轴 : =kπ+ π 对称轴 : =kπ(k Z); 对称中心 : kπ,0 (k Z); 对称中心 : (k Z) 08 艺考真题密卷文化课高分过 6 / 55

117 对称中心 : (kπ,0)(k Z) (kπ+ π,0) (k Z) 系列资料 BY 三好网汇编 周期 π π π 单调增区间 单调性 [kπ - π, kπ + π ](k Z); 单调减区间 [kπ + π, kπ + 单调增区间 [kπ - π, kπ] (k Z) ; 单调减区间 [kπ, kπ + π](k Z) 单调增区间 (kπ- π,kπ+ π )(k Z) π ] (k Z) 奇偶性奇函数偶函数奇函数.5 函数 y=asi(ω+φ) 的图象及性质 函数 Asi y = (A>0,ω>0) 的有关性质 名称 定义域 值域 性质 R [-A,A] 周期性 对称性 对称轴 T= π ω 对称中心 ( kπ-φ ω,0)(k Z) = kπ ω +π-φ ω (k Z) 奇偶性 当 φ=kπ (k Z) 时是奇函数 当 φ=kπ+ π (k Z) 时是偶函数 单调性 由 kπ- π ω+φ kπ+π,k Z, 解得单调递增区间 由 kπ+ π ω+φ kπ+π,k Z, 解得单调递减区间.6 正弦定理与余弦定理. 正弦定理 : 7 / 艺考真题密卷文化课高分过

118 a b c R si A si B sic (R 为 ABC 的外接圆半径 ), 即三角形的各边长与它所对角的正弦的比相等, 等于该三角形的外接圆直径.. 正弦定理的变形公式 : () a Rsi A, b Rsi B, c Rsi C ; a b c () si A, si B, si C ;() a : b: c si A:si B:siC ; R R R a b a b c a (4) R. si A si B si A si B si C si A. 余弦定理 : 在 ABC 中, c a b ab cos C ; 系列资料 BY 三好网汇编 b a c ac cos B ; a b c bc cos A 即三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 4. 余弦定理的变形公式 : b c a a c b a b c cos A ; cos B ; cos C. bc ac ab 例 把 5 典型例题 化成 kπ 0 π, k A. π 6π 4 B. 7π 4 答案 D Z 的形式是 ( ) 6π C. π 8π 4 D. 7π 4 7π 解析 π, 故选 D. 4 例 已知弧度数为 的圆心角所对的弦长也是 8π, 则这个圆心角所对的弧长是 ( ) A. B. si C. si D. si 答案 B 解析 设圆的半径为 l r, 故选 B. si si r, 由弦长为 r si 可得, 即 r si, 再由弧长公式得 08 艺考真题密卷文化课高分过 8 / 55

119 π 例 为了得到函数 ycos 的图象, 只要将函数 6 y si 系列资料 BY 三好网汇编 的图象 ( ) A. 向右平移 C. 向右平移 π π 6 个单位长度 个单位长度 B. 向左平移 D. 向左平移 π π 6 个单位长度 个单位长度 答案 D π 解析 y si cos, π π π π π =, 根据左加右减的原则, 可知 6 6 向左平移 π 6 个单位长度, 故选 D. y f 例 4 先使函数 轴向左平移 π 6 π A. ysi 4 π C. ysi 4 答案 D 08 艺考真题密卷文化课高分过 图象上每一点的纵坐标保持不变, 横坐标缩小到原来的 个单位得到的曲线与 y si 解析 解法一 : 正向变换 原来的 的图象相同, 则 π B. ysi 6 π D. ysi 沿 轴向左平 π 移个单位 6 9 / 55 f 的表达式为 ( ) 横坐标缩小到 π π y f y f y f ( ) 6, 即 y f, π π 所以 f si. 令 t, 则 解法二 : 逆向变换 π π t, f t sit, 即 π 向右平移个单位 6 π π 横坐标伸长到原来的 倍据题意, y si y si si 纵坐标不变 6 π ysi. 例 5 在 ABC 中, A =60, a =4, b 4 6, 则 B 等于 ( ) A.45 或 5 B.5, 然后将其图象沿 π f si.

120 C.45 D. 以上答案都不对 答案 C 4 a b 6 解析 由 得, 4 4 si A si B, si B si 60 si, 6 4, B B 45. 例 6 在 ABC 中, 已知 A 0, AB, BC, 则 AC 的长为 ( ) A. B. C. 或 D.4 答案 C 解析 由余弦定理可知 AC AC AC AC 0, 所以 AC 或, 故选 C.. 利用诱导公式求任意角三角函数的步骤 : () 负化正 用公式一或三来转化 ; 技巧点拨 () 大化小 用公式一将角化为 0 到 60 间的角 ; () 小化锐 用公式二或四将大于 90 的角转化为锐角 ; (4) 锐求值 得到锐角的三角函数后求值.. 正弦定理适用解三角形的类型范围 : () 已知两角和任一边, 求另一角和其他两条边 ; () 已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其他两角 注意 : 已知两边及其一边的对角, 解三角形,, 解的情况可分别为几种情况. 在 ABC 中, 已知 a b 和解 A B, 解的情况如下 : A 为锐角 A 为钝角或直 角 图 形 关 a=bsia bsia<a<b a b a b 0 / 艺考真题密卷文化课高分过

121 系 式 解 一解两解一解一解 个数上图中 A 为锐角时, 若 a<bsia, 无解 ;A 为钝角或直角时, 若 a=b,a<b, 均无解.. 余弦定理适用解三角形的类型范围 : () 已知三边, 求各角 ; () 已知两角和它们的夹角, 求第三边和其他两个角 4. 三角形的面积公式 : () S ABC absi C bcsi A ac si B ( 经常用 ); () S ABC ( a b c ) r ( 其中 r 是 5. 三角形中的一些常用结论在 ABC 中, 设角 A B C 的对边长度分别为 () 三角形内角和定理 A+B+C=π () 三角形中的诱导公式 Si(A+B)=siC,cos(A+B)=-cosC,ta(A+B)=-taC, ABC 的内切圆半径 ). () 三角形中的边角关系三角形中等边对等角, 大边对大角, 反之亦然 ; 三角形中任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边 专项训练 一 选择题. 若 是第一象限的角, 则下列各角中属于第四象限角的是 ( ) A. 90 o - B. 90 o + C. 60 o - D. 80 o + 答案 C 08 艺考真题密卷文化课高分过 / 55

122 解析 因为 是第一象限角, 所以 - 为第四象限角, 所以. 与 A 角终边相同的角的集合是 ( ) = k60 457, kz B. = k6000, kz C. = k60 60, kz D. = k60 60, kz 答案 C 解析 ,. 把 8π 化成角度是 ( ) o 系列资料 BY 三好网汇编 - 为第四象限角. 460 与 60 是终边相同的角, 故选 C. A. 960 o B. 480 C. 0 D. 60 答案 B 解析 π , 8π 8π π 4. 若 rad 的圆心角所对的弧长为 4cm, 则这个圆心角所对的扇形面积是 ( ) A.4 cm B.cm C.4 答案 A cm D. cm 解析 r = l = 4 5π 5π 5. 已知点 P si,cos A. π 答案 C B. =(cm), S = 5π lr = 4 =4(cm ). 落在角 的终边上, 且 0, C. 5π 6, 则 的值为 ( ) 5π cos y 解析 由任意角三角函数的定义, 得 ta. 5π si D. π 6 si 5π 0, cos 5π 0, 点 P 在第二象限. 5π. 故选 C 已知 si =, ta =, 则 cos =( ) 5 A. B 艺考真题密卷文化课高分过 / 55

123 C. 7 D. 5 5 答案 B 解析 cos = si ta = 5 = 5 m 7. 已知 si m 5, 4 m cos m 5 A. B. C. 5 答案 D 5, 其中 π π D., 则 5 ta ( ) m 4 m 解析 由 si cos 得 m5 m5 π π 4 cos 5 时, si,, 不满足 5 5 满足, ta, 故选 D. π π 8. 设 si60 = a, 则 cos 40 的值是 ( ), 当, 解得 m 8 时, m 0 或 m 8, 当 m 0 5 si, cos a B. a A.- C.- 答案 B a D.± a 解析 因为 si60 = a, 所以 si(80 0 ) =si 0 = a, 而 cos 40 = cos(60 9. 将函数 A. 0 ) = cos 0 = y = cos y = a. 的图象向左平移 4 cos B. 4 个单位长度, 所得函数的解析式是 ( ) cos 4 y = C. y =cos D. y =cos 4 4 答案 D 解析 y = cos 的图象向左平移个单位长度得 y=cos =cos 故选 D. 08 艺考真题密卷文化课高分过 / 55

124 0. 在 ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 π abc, 已知 A, a, b, 则 B ( ),, A. π 6 B. π 4 C. π D. π 答案 D b π 解析 在 ABC 中, 由正弦定理可得 si B si A si, 又因为 0 π, 所以 B a 故选 D. 二 填空题. 给出下列说法 : () 弧度角与实数之间建立了一一对应 ; () 终边相同的角必相等 ; () 锐角必是第一象限角 ; (4) 小于 90 的角是锐角 ; (5) 第二象限的角必大于第一象限角, 其中正确的是 ( 把所有正确说法的序号都填上 ). 答案 ()() 解析 角的弧度数是与实数一一对应的,() 正确 ; 终边相同的角有无数个, 它们的关系可能相等, 也可能不等,() 不正确 ; 锐角一定是第一象限角, 但第 一象限角不一定是锐角,() 正确 ; 小于 90 的角可能是负角,(4) 不正确 ; 象 限角不能比较大小,(5) 不正确. ()() 是正确的.. 若角 的终边经过点,5 答案 7 r 5 =, 解析 5 7 所以 si cos = =.. ta 690 的值为. P, 则 sicos. cos = 5 =, si =, B π, 答案 08 艺考真题密卷文化课高分过 4 / 55

125 ta 690 ta 70 0 ta 0. 解析 π ta 4. 不等式 4 的解集是. kπ kπ π Z 8 答案, k π π π 解析 由 kπ kπ 若函数 答案 f kπ kπ π Z. 8, k Z, 解得 k = si 解析 由于周期 T = 6. 若函数 f = ( >0) 的周期为, 则 =., 所以 si (0< <) 在区间 [0, 上单调递减, 则 等于. 答案 解析 根据题意知 6 k + f 在 =, k Z. 又 0< <, = =, 解得 =. 7. 为得到函数 y cos 的图象, 可以把 y si. 答案 π ] 上单调递增, 在区间 [ 处取得最大值, si =,., = ] k +, k Z, 即 = 的图象向右平移 个单位得到, 那么 的最小正值是 π π π 解析 y si cos cos 的图象向右平移 个单位后得 y cos 的图 象, π π,, = π π k k Z k, k Z. 的最小正值是 π. 8. 化简 cos(α+45 )cosα+si(α+45 )siα=. 答案 解析 cos(α+45 )cosα+si(α+45 )siα=cos(α+45 -α)=. 9. 已知函数 y = si ( >0,- < ) 的图象如图所示, 则 =. 08 艺考真题密卷文化课高分过 5 / 55

126 答案 9 0 解析 由题意得 - 5 < 5 + < T 8 5 = -, 5 4, T = + = 5, =, = 在 ABC 中, 若 a =b +bc+c, 则 A=. 答案 0. 又由 = 解析 a =b +bc+c, b +c -a =-bc, cos A= b +c -a = -bc bc bc =-, 又 A 为 ABC 的内角, A=0. 三 解答题. 已知函数 f si 0,0 π π 在区间 0, π 答案, 或 解析 k k. 4 时,y =- 得 -= si, 5 是 R 上的偶函数, 其图象关于点 M 上是单调函数, 求 和 的值. f 是 R 上的偶函数, f π π Z, 又 0 π, π π π π si 0, kk 4 4 又 f π 在 0, 0 si. π π 上是单调函数, T π, 即 当 k 时,. 当 k= 时,. π 综上, 可知, 或.. 由图象关于点 M π,0 4 4k Z. Z, 解得 k π, 0<. 对称, 知 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边长, 且 a bc cos A b c. 在 ABC 求角 A 的大小.. π,0 4 对称, 且 08 艺考真题密卷文化课高分过 6 / 55

127 答案 A π a bc cos A b c, a b c bc cos A, 解析 b c bc cos A bc cos A b bc c, 4bc cos A bc. π cos A. 0 A π, A. 高频考点十三 统计概率 知识讲解. 随机抽样. 简单随机抽样 () 定义 : 设一个总体含有 N 个个体, 从中逐个不放回地抽取 个个体作为样本 ( N), 如果每次抽取时 总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. () 最常用的简单随机抽样的方法 : 抽签法和随机数法.. 系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 的样本. () 编号 : 先将总体的 N 个个体编号 ; N () 分段 : 确定分段间隔 k, 对编号进行分段, 当 ( 是样本容量 ) 是整数时, 取 k= N ; () 确定首个个体 : 在第 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l k); (4) 获取样本 : 按照一定的规则抽取样本, 通常是将 l 加上间隔 k 得到第 个个体编号 (l+k), 再加 k 得 到第 个个体编号 (l+k), 依次进行下去, 直到获取整个样本.. 分层抽样 () 定义 : 在抽样时, 将总体分成互不交叉的层, 然后按照一定的比例, 从各层独立地抽取一定数量的个 体, 将各层取出的个体合在一起作为样本, 这种抽样方法叫做分层抽样. () 分层抽样的应用范围 : 当总体是由差异明显的几个部分组成时, 往往选用分层抽样.. 用样本估计总体. 频率分布直方图 () 通常我们对总体作出的估计一般分成两种 : 一种是用样本的频率分布估计总体的分布 ; 另一种是用样 本的数字特征估计总体的数字特征. () 作频率分布直方图的步骤 求极差 ( 即一组数据中最大值与最小值的差 ); 08 艺考真题密卷文化课高分过 7 / 55

128 决定组距与组数 ; 系列资料 BY 三好网汇编 将数据分组 ; 4 列频率分布表 ; 5 画频率分布直方图. 频率 () 在频率分布直方图中, 纵轴表示, 数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示. 各小长方组距形的面积总和等于.. 频率分布折线图和总体密度曲线 () 频率分布折线图 : 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点, 就得频率分布折线图. () 总体密度曲线 : 随着样本容量的增加, 作图时所分组数增加, 组距减小, 相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线, 即总体密度曲线.. 茎叶图的优点用茎叶图表示数据有两个突出的优点 : 一是统计图上没有原始数据信息的损失, 所有数据信息都可以从茎叶图中得到 ; 二是茎叶图中的数据可以随时记录, 随时添加, 方便记录与表示. 4. 样本方差与标准差设样本的元素为,,,, 样本的平均数为, () 样本方差 :s = [(- ) +(- ) + +(- ) ]. () 样本标准差 : s= [ ]. 5. 独立性检验 () 用变量的不同 值 表示个体所属的不同类别, 这种变量称为分类变量. 例如 : 是否吸烟, 宗教信仰, 国籍等. () 列出的两个分类变量的频数表, 称为列联表. () 一般地, 假设有两个分类变量 X 和 Y, 它们的值域分别为 {,} 和 {y,y}, 其样本频数列联表 ( 称为 列联表 ) 为 : 列联表 y y 总计 a b a+b c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d K = ad-bc a+b a+c c+d b+d ( 其中 =a+b+c+d 为样本容量 ), 可利用独立性检验判断表来 08 艺考真题密卷文化课高分过 8 / 55

129 判断 与 y 的关系. 这种利用随机变量 K 来确定在多大程度上可以认为 两个分类变量有关系 的方法称为两个分类变量的 独立性检验.. 随机事件的概率. 随机事件和确定事件 () 在条件 S 下, 一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的必然事件. () 在条件 S 下, 一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的不可能事件. () 必然事件与不可能事件统称为确定事件. (4) 在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件, 叫做随机事件. (5) 确定事件和随机事件统称为事件, 一般用大写字母 A,B,C 表示.. 频率与概率 () 在相同的条件 S 下重复 次试验, 观察某一事件 A 是否出现, 称 次试验中事件 A 出现的次数 A 为事 件 A 出现的频数, 称事件 A 出现的比例 f(a)= A 为事件 A 出现的频率. () 对于给定的随机事件 A, 如果随着试验次数的增加, 事件 A 发生的频率 f(a) 稳定在某个常数上, 把这 个常数记作 P(A), 称为事件 A 的概率, 简称为 A 的概率.. 互斥事件与对立事件 () 互斥事件 : 若 A B 为不可能事件 (A B= ), 则称事件 A 与事件 B 互斥, 其含义是 : 事件 A 与事件 B 在任何一次试验中不会同时发生. () 对立事件 : 若 A B 为不可能事件, 而 A B 为必然事件, 那么事件 A 与事件 B 互为对立事件, 其含义 是 : 事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生. 4. 概率的几个基本性质 () 概率的取值范围 :0 P(A). () 必然事件的概率 :P(A)=. () 不可能事件的概率 :P(A)=0. (4) 互斥事件的概率加法公式 : P(A B)=P(A)+P(B)(A,B 互斥 ). P(A A A)=P(A)+P(A)+ +P(A)(A,A,,A 彼此互斥 ). (5) 对立事件的概率 :P( A )=-P(A)..4 古典概型. 基本事件的特点 () 任何两个基本事件是互斥的. () 任何事件 ( 除不可能事件 ) 都可以表示成基本事件的和.. 古典概型 9 / 艺考真题密卷文化课高分过

130 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型, 简称古典概型. 系列资料 BY 三好网汇编 () 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. () 每个基本事件出现的可能性相等.. 古典概型的概率公式 P(A)= A 包含的基本事件的个数. 基本事件的总数.5 几何概型. 几何概型 事件 A 理解为区域 Ω 的某一子区域 A,A 的概率只与子区域 A 的几何度量 ( 长度 面积或体积 ) 成正比, 而 与 A 的位置和形状无关. 满足以上条件的试验称为几何概型.. 几何概型中, 事件 A 的概率计算公式 构成事件 A 的区域长度面积或体积 P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.. 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 () 无限性 : 在一次试验中, 可能出现的结果有无限多个 ; () 等可能性 : 每个结果的发生具有等可能性. 典型例题 例 有 0 位同学, 编号为从 至 0, 现在从中抽取 4 人进行问卷调查, 若用系统抽样方法, 则所抽 的编号可能为 ( ) A.5,0,5,0 B.,6,0,4 C.,4,6,8 D.5,8,9,4 答案 A 解析 根据系统抽样的特点, 可知所选号码应是等距的, 且每组都有一个,B C 中的号码虽然等距, 但没有后面组中的号码 ;D 中的号码不等距, 且有的组没有被抽到, 所以只有 A 组的号码符合要求. 例 某市对大 中 小学生的视力进行抽样分析, 其中大 中 小学生的人数比为 5, 若采用 分层抽样的方法抽取一个样本, 且中学生中被抽到的人数为 50, 则抽取的样本容量 等于 ( ) A. 500 B. 000 C.500 D.50 答案 C 解析 设抽到的大 中 小学生的人数分别为,,5, 由 =50, 得 =50, 所以 = =500. 例 某班的全体学生参加英语测试, 成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组依次为 :[0,40),[40, 60),[60,80),[80,00]. 若低于 60 分的人数是 5, 则该班的学生人数是 ( ) 08 艺考真题密卷文化课高分过 0 / 55

131 A.45 B.50 C.55 D.60 答案 B 解析 根据频率分布直方图的特点可知, 低于 60 分的频率是 ( ) 0=0., 所以该班的学生人 数是 5 = 例 4 已知 0 名工人生产同一零件, 生产的件数分别是 6,8,5,,6,8,8,7,5,, 设其平均数为 a, 中位数为 b, 众数为 c, 则有 ( ) A.a>b>c C.c>a>b B.a>c>b D.c>b>a 答案 D 解析 由题意得 a= 0 ( )=57 0 =5.7, 中位数为 6, 众数为 8, 即 b=6,c=8, c>b>a. 例 5 已知一个样本中的数据为,,,4,5, 则该样本的标准差为 ( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 样本容量 =5 = 5 (+++4+5)= s= 5 [ ]= 例 6 将某选手的 9 个得分去掉 个最高分, 去掉 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 9. 现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 个数据模糊, 无法辨认, 在图中以 表示, 则 7 个剩余分数的方差为 ( ) A. 6 9 答案 B B. 6 7 C.6 D 解析 由题图可知去掉的两个数是 87,99, 所以 =9 7, 解得 =4. 故 s = / 艺考真题密卷文化课高分过

132 7 [(87-9) +(90-9) +(9-9) +(94-9) ]= 6 7. 系列资料 BY 三好网汇编 例 7 口袋中装有大小 材质都相同的 6 个小球, 其中有 个红球 个黄球和 个白球, 从中随机摸 出 个球, 那么摸到红球或白球的概率是 ( ) A. 6 答案 D B. C. D. 解析 口袋中有 6 个球, 红球和白球共有 4 个, 故从中随机摸出 个球, 那么摸到红球或白球的概率是 4 6, 故选 D. 例 8 一个红绿灯路口, 红灯亮的时间为 0 秒, 黄灯亮的时间为 5 秒, 绿灯亮的时间为 45 秒. 当你到 达路口时, 恰好看到黄灯亮的概率是 ( ) A. B. 8 C. 6 D. 5 6 答案 C 解析 设看到黄灯亮为事件 A, 构成事件 A 的 长度 等于 5, 试验的全部结果所构成的区域长度是 =80, 所以 P(A)= 5 80 = 6.. 分层抽样的步骤 技巧点拨 () 分层 : 将总体按某种特征分成若干部分 ; () 确定比例 : 计算各层的个体数与总体的个体数的比 ; () 确定各层应抽取的样本容量 ; (4) 在每一层进行抽样 ( 各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取 ), 综合每层抽样, 组成样本.. 求概率的步骤是 : 第一步, 确定事件性质 ( 等可能性事件 互斥事件 相互独立事件 独立重复试验 ), 即所给的问题归结为四类事件中的某一种 ; 第二步, 判断事件的运算 ( 和事件 积事件 ), 即是至少有一个发生, 还是同时发生, 分别运用相加或相乘事件 ; 第三步, 运用相应的公式求解 ; 第四步, 答, 即给提出的问题有一个明确的答复. 专项训练 一 选择题 / 艺考真题密卷文化课高分过

133 . 一个单位有职工 800 人, 其中具有高级职称的有 60 人, 具有中级职称的有 0 人, 具有初级职称的有 00 人, 其余人员有 0 人. 为了解职工收入情况, 决定采用分层抽样的方法, 从中抽取容量为 40 的样本. 则 从上述各层中依次抽取的人数分别是 ( ) A.,4,5,9 B.9,,,7 C.8,5,,5 D.8,6,0,6 答案 D 40 解析 由题意, 得抽样比为, 所以高级职称抽取的人数为 60 8, 中级职称抽取的人 数为 0 6, 初级职称抽取的人数为 00 0, 其余人员抽取的人数为 0 6, 所以 各层中依次抽取的人数分别是 8 人,6 人,0 人,6 人, 故选 D..00 辆汽车通过某一段公路时, 时速的频率分布直方图如图所示, 则时速在 [50,70) 的汽车大约有 ( ) A.60 辆 B.40 辆 C.70 辆 D.80 辆 答案 B 解析 时速在 [50,70) 的频率为 0 ( )=0.7, 从而频数为 =40. 二 填空题. 某学员在一次射击测试中射靶 6 次, 命中环数如下 :9,5,8,4,6,0, 则 :() 平均命中环数为 ;() 命中环数的方差为. 答案 ()7 () 4 解析 () 平均命中环数为 6 () 方差 s = 6 ( )=4. ( )=7. 4. 从甲, 乙, 丙, 丁 4 个人中随机选取两人, 甲乙两人中有且只一个被选取的概率为. 答案 08 艺考真题密卷文化课高分过 / 55

134 解析 从甲, 乙, 丙, 丁 4 个人中随机选取两人, 共有 ( 甲乙 ),( 甲丙 ),( 甲丁 ),( 乙丙 ),( 乙丁 ),( 丙丁 )6 种选法, 其中甲乙两人中有且只一个被选取, 有 ( 甲丙 ),( 甲丁 ),( 乙丙 ),( 乙 丁 ), 共 4 种选法, 故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为三 解答题 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计, 随机抽取 M 名学生作为样本, 得到这 M 名学生参加 社区服务的次数, 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图. 分组 频数 频率 [0,5) [5,0) 4 [0,5) m p [5,0] 0.05 合计 M. () 求出表中 M,p 及图中 a 的值 ; () 若该校高三学生有 40 人, 试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 [0,5) 内的人数 ; () 估计这次学生参加社区服务人数的众数 中位数以及平均数. 答案 见解析 0 解析 () 由分组 [0,5) 内的频数是 0, 频率是 0.5, 知 M =0.5, 所以 m 4 M=40. 因为频数之和为 40, 所以 0+4+m+=40, 解得 m=4,p= M 40 =0.0. 因为 a 是对应分组 [5,0) 的频率与组距的商, 所以 a= =0.. () 因为该校高三学生有 40 人, 在 [0,5) 内的频率是 0.5, 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60. () 估计这次学生参加社区服务人数的众数是 0.6, 所以样本中位数是 5+ 数的中位数是 7.. 样本平均人数是 / 艺考真题密卷文化课高分过 5 0 =7.5. 因为 = 4 40 = , 估计这次学生参加社区服务人 a

135 =7.5, 估计这次学生参加社区服务人数的平均数是 7.5. 系列资料 BY 三好网汇编 6. 在一个不透明的箱子里装有 5 个完全相同的小球, 球上分别标有数字 4 5. 甲先从箱子中摸出一个小球, 记下球上所标数字后, 将该小球放回箱子中摇匀后, 乙再从该箱子中摸出一个小球. () 若甲 乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜 ( 数字相同为平局 ), 求甲获胜的概率 ; () 规定 : 两人摸到的球上所标数字之和小于 6, 则甲获胜, 否则乙获胜, 这样规定公平吗? 答案 () 5 () 不公平 解析 用 (,y)( 表示甲摸到的数字,y 表示乙摸到的数字 ) 表示甲 乙各摸一球构成基本事件, 则 基本事件为 (,),(,) (,) (,4) (,5) (,) (,) (,) (, 4) ( 5) (,) (,) (,) (,4) ( 5) (4,) (4,) (4,) (4,4) (4,5) (5,) (5,) (5,) (5,4) (5,5), 共 5 个. () 设甲获胜为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件有 (,) (,) (,)(4,) (4,) (4,) (5,) (5,) (5,) (5,4), 共有 0 个, 则甲获胜的概率为 0 P A. 5 5 () 设甲获胜的事件为 B, 乙获胜的事件为 C. 事件 B 所包含的基本事件有 (,),(,) (,), (,4),(,),(,),(,),(,),(,),(4,), 共有 0 个, 则. 5 5 所以 PC PB 因为 PB PC, 所以这样规定不公平. 0 P B, 5 5 高频考点十四 立体几何 知识讲解 4. 空间几何体的结构特征. 一些特殊棱柱 棱锥 棱台的概念和主要性质 名称棱柱直棱柱正棱柱 图形 08 艺考真题密卷文化课高分过 5 / 55

136 有两个面互相平 行, 而其余每相 侧棱垂直于底面 的棱柱 系列资料 BY 三好网汇编 底面是正多边形的 直棱柱 定义 邻两个面的交线 都互相平行的多面体 侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形 对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形 平行于底面的截面 与底面全等的多 与底面全等的多 与底面全等的正多 的形状 边形 边形 边形 名称棱锥正棱锥棱台正棱台 图形 有一个面是多 底面是正多边 用一个平行于 由正棱锥截得 边形, 其余各面 形, 且顶点在底 棱锥底面的平 的棱台 定义 是有一个公共顶点的三角形 面的射影是底面的射影是底 面去截棱锥, 底面和截面之间 的多面体 面和截面之间 的部分 的部分 侧棱 相交于一点但不一定相等 相交于一点且相等 延长线交于一点 相等且延长线交于一点 侧面的 三角形 全等的等腰三 梯形 全等的等腰梯 形状 角形 形 对角面三角形等腰三角形梯形等腰梯形 08 艺考真题密卷文化课高分过 6 / 55

137 的形状 平行于 与底面相似的 与底面相似的 与底面相似的 与底面相似的 底的截 多边形 正多边形 多边形 正多边形 面形状 高过底面中心 ; 两底中心连线 其他性质 侧棱与底面 侧面与底面 相邻两侧面所成角 即高 ; 侧棱与底面 侧面与底面 相邻两侧面 都相等 所成角都相等. 几种特殊四棱柱的特殊性质 名称平行六面体直平行六面体长方体正方体 特殊性质底面和侧面都是平行四边行 ; 四条对角线交于一点, 且被该点平分侧棱垂直于底面, 各侧面都是矩形 ; 四条对角线交于一点, 且被该点平分底面和侧面都是矩形 ; 四条对角线相等, 交于一点, 且被该点平分棱长都相等, 各面都是正方形四条对角线相等, 交于一点, 且被该点平分 4. 空间几何体的表面积和体积. 多面体的面积和体积公式 名称侧面积 (S 侧 ) 全面积 (S 全 ) 体积 (V) 棱 柱 棱柱直截面周长 l S 底 h=s 直截面 h S 侧 +S 底直棱柱 ch S 底 h 棱 锥 棱锥 正棱锥 各侧面积之和 ch S 侧 +S 底 S 底 h 08 艺考真题密卷文化课高分过 7 / 55

138 棱 台 棱台 正棱台 各侧面面积之和 (c+c )h S 侧 +S 上底 +S 下底 h(s 上底 +S 下底 S S ) + 下底下底 表中 S 表示面积,c c 分别表示上 下底面周长,h 表斜高,h 表示斜高,l 表示侧棱长. 旋转体的面积和体积公式 名称圆柱圆锥圆台球 S 侧 πrl πrl π(r+r)l S 全 πr(l+r) πr(l+r) π(r+r)l+π(r +r ) 4πR V πr h( 即 πr l) 08 艺考真题密卷文化课高分过 πr h 8 / 55 πh(r +rr+r ) 4 πr 表中 l h 分别表示母线 高,r 表示圆柱 圆锥与球冠的底半径,r r 分别表示圆台上 下底面半径, R 表示半径 4. 空间中的平行关系. 平面概述 () 平面的两个特征 : 无限延展 平的 ( 没有厚度 ) () 平面的画法 : 通常画平行四边形来表示平面 () 平面的表示 : 用一个小写的希腊字母 等表示, 如平面 平面 ; 用表示平行四边形的两 个相对顶点的字母表示, 如平面 AC. 三公理三推论 : 公理 : 若一条直线上有两个点在一个平面内, 则该直线上所有的点都在这个平面内 : A l,b l,a,b l 公理 : 如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他公共点, 且所有这些公共点的集合是一条过这个 公共点的直线 公理 : 经过不在同一直线上的三点, 有且只有一个平面 推论一 : 经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面 推论二 : 经过两条相交直线, 有且只有一个平面 推论三 : 经过两条平行直线, 有且只有一个平面. 空间直线 : () 空间两条直线的位置关系 : 相交直线 有且仅有一个公共点 ;

139 平行直线 在同一平面内, 没有公共点 ; 异面直线 不同在任何一个平面内, 没有公共点 相交直线和平行直线也称为共面直线 异面直线的画法常用的有下列三种 : () 平行直线 : 在平面几何中, 平行于同一条直线的两条直线互相平行, 这个结论在空间也是成立的 即公理 4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行 () 异面直线定理 : 连结平面内一点与平面外一点的直线, 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推 理模式 : A, B, a, Ba AB 与 a 是异面直线 4. 直线和平面的位置关系 () 直线在平面内 ( 无数个公共点 ); () 直线和平面相交 ( 有且只有一个公共点 ); () 直线和平面平行 ( 没有公共点 ) 用两分法进行两次分类 它们的图形分别可表示为如下, 符号分别可表示为 a, a A, a // 线面平行的判定定理 : 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行 推理模式 : a, b, a // b a //. 线面平行的性质定理 : 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行 推理模式 : a //, a, b a // b. 08 艺考真题密卷文化课高分过 9 / 55

140 5. 两个平面的位置关系有两种 : 两平面相交 ( 有一条公共直线 ) 两平面平行 ( 没有公共点 ) () 两个平面平行的判定定理 : 如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面, 那么这 两个平面平行 a 定理的模式 : b a b P // a // b // a b c 推论 : 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线, 那么这两个平面互相平行 推论模式 : a b P, a, b, a b P, a, b, a // a, b// b // () 两个平面平行的性质 () 如果两个平面平行, 那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 ;() 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行 4.4 空间中的垂直关系. 线线垂直判断线线垂直的方法 : 所成的角是直角, 两直线垂直 ; 垂直于平行线中的一条, 必垂直于另一条 三垂线定理 : 在平面内的一条直线, 如果它和这个平面的垂直, 那么它也和这条斜线垂直 P 一条斜线的射影 三垂线定理的逆定理 : 在平面内的一条直线, 如果和这个垂直, 那麽它也和这条斜线的射影垂直 A O a 平面的一条斜线 推理模式 : PO, O PA A a AO a, a AP 新疆王新敞奎屯注意 :⑴ 三垂线指 PA,PO,AO 都垂直 α 内的直线 a 其实质是 : 斜线和平面内一条直线垂直的判定和性 新疆王新敞奎屯质定理 ⑵ 要考虑 a 的位置, 并注意两定理交替使用. 线面垂直 08 艺考真题密卷文化课高分过 40 / 55

141 定义 : 如果一条直线 l 和一个平面 α 相交, 并且和平面 α 内的任意 一条直线 王新敞奎屯都垂直, 我们就说直线 l 和平面 α 互相垂直新疆其中直线 l 叫做平面的垂线, 平面 α 叫做直线 l 的垂面, 直线与平面的交点叫做垂足 直线 l 与平面 α 垂直记作 : l α 直线与平面垂直的判定定理 : 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这 个平面 直线和平面垂直的性质定理 : 如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行. 面面垂直 两个平面垂直的定义 : 相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面 两平面垂直的判定定理 :( 线面垂直 面面垂直 ) 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直 两平面垂直的性质定理 :( 面面垂直 线面垂直 ) 若两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们 的交线的直线垂直于另一个平面 典型例题 例 在正三棱柱 ABC A BC 中, 若 AB= BB, D 是 CC 的中点, 则 CA 与 BD 所成 角的大小是 ( ) A.60 B.75 C.90 D.05 答案 C 解析 取 AC 的中点 E, 连接 DE, BE, 设该棱柱的棱长为 a, 则有 5 BD a, DE a, BE 7a, 所以 BD DE BE, 所以 EDB 90, 根据异面直线所成角的定义, 可知 CA 与 BD 所成角的大小是 90, 本题是将其中一条直线 CA 平移, 利用三角形中位线定理, 完成了找异面直线所成 角的要求, 同时, 将平移后的两条直线放在三角形 BDE 中, 分别求出三角形的三边的长, 符合勾股定理 的逆定理, 进一步判定了三角形是直角三形, 求出异面直线所成的角, 完成了题的要求. 故选 C. 08 艺考真题密卷文化课高分过 4 / 55