() C : cos cos sin sin cos () tan π kπ π T : tan ( π, ) k 且 kz tan. 公式的常用变形 tan tan tan tan () tan tan tan( )( tan tan ) ; tantan tan( ) tan( ) cos co

Size: px

Start display at page:

Download "() C : cos cos sin sin cos () tan π kπ π T : tan ( π, ) k 且 kz tan. 公式的常用变形 tan tan tan tan () tan tan tan( )( tan tan ) ; tantan tan( ) tan( ) cos co"

玲卞
5 years ago
Views:

1 考点 6 三角恒等变换. 和与差的三角函数公式 () 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. () 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦正切公式. () 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦余弦正切公式, 导出二倍角的正弦余弦正切公式, 了解它们的内在联系.. 简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换 ( 包括导出积化和差和差化积半角公式, 但对这三组公式不要求记忆 ). 一两角和与差的三角函数公式. 两角和与差的正弦余弦正切公式 C () ( ) : cos( ) cos cos sin sin C () ( ) : cos( ) cos cos sin sin S () ( ) : sin( ) sin cos cos sin S () ( ) : sin( ) sin cos cos sin tan tan π () T ( ) : tan( ) (,, π, ) tantan k k Z tan tan π (6) T ( ) : tan( ) (,, π, ) tantan k k Z. 二倍角公式 () S : sin sincos 凤中数学静雅斋 :

2 () C : cos cos sin sin cos () tan π kπ π T : tan ( π, ) k 且 kz tan. 公式的常用变形 tan tan tan tan () tan tan tan( )( tan tan ) ; tantan tan( ) tan( ) cos cos () 降幂公式 : sin ; cos ; sin cos sin () 升幂公式 : cos cos ; cos sin ; sin (sin cos ) ; sin (sin cos ) () 辅助角公式 : asin x bcos x b tan a 二简单的三角恒等变换. 半角公式 cos () sin cos () cos a b sin( x ), 其中 cos sin cos () tan cos cos sin 注此公式不用死记硬背, 可由二倍角公式推导而来, 如下图 : cos a b,sin a b a b, 凤中数学静雅斋 :

3 . 公式的常见变形 ( 和差化积积化和差公式 ) () 积化和差公式 : cos cos [cos( ) cos( )] ; sin sin [cos( ) cos( )]; sin cos [sin( ) sin( )] ; cos sin [sin( ) sin( )]. () 和差化积公式 : sin sin sin cos ; sin sin cos sin ; cos cos cos cos ; cos cos sin sin. 考向一三角函数式的化简. 化简原则 () 一看角之间的差别与联系, 把角进行合理的拆分, 正确使用公式 ; () 二看函数名称之间的差异, 确定使用的公式, 常见的有切化弦 ; () 三看结构特征, 找到变形的方向, 常见的有遇到分式要通分, 遇到根式一般要升幂等.. 化简要求 () 使三角函数式的项数最少次数最低角与函数名称的种类最少 ; () 式子中的分母尽量不含根号.. 化简方法 () 切化弦 ; () 异名化同名 ; () 异角化同角 ; () 降幂或升幂. 凤中数学静雅斋 :

4 π π sin sin 典例化简 : =. π π cos cos 答案方法技巧 () 三角化简的常用方法 : 异名三角函数化为同名三角函数, 异角化为同角, 异次化为同次, 切化弦, 特殊值与特殊角的三角函数互化. 学. 科 * 网 () 三角化简的标准 : 三角函数名称尽量少, 次数尽量低, 最好不含分母, 能求值的尽量求值. () 在化简时要注意角的取值范围.. cos8 sin8 的化简结果为. 考向二三角函数的求值问题. 给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角, 从表面上来看是很难的, 但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系. 解题时, 要利用观察得到的关系, 结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数, 从而得解.. 给值求值已知三角函数值, 求其他三角函数式的值的一般思路 : () 先化简所求式子. () 观察已知条件与所求式子之间的联系 ( 从三角函数名及角入手 ). () 将已知条件代入所求式子, 化简求值.. 给值求角凤中数学静雅斋 :

5 通过求角的某种三角函数值来求角, 在选取函数时, 有以下原则 : () 已知正切函数值, 则选正切函数. π () 已知正余弦函数值, 则选正弦或余弦函数. 若角的范围是 (0, ), 则选正余弦皆可 ; 若角的范 π π 围是 (0,π), 则选余弦较好 ; 若角的范围为 (, ), 则选正弦较好.. 常见的角的变换 () 已知角表示未知角例如 :,,, ( ), ( ),,. () 互余与互补关系例如 : ( π ) ( π ) π, ( π ) ( π ) π. 6 () 非特殊角转化为特殊角例如 : = 0,7 = +0. 典例 cos cos0 cos0 sin0 的值是 A. C. B. D. 答案 A 名师点睛把所求式子中的角 0 变为 90 +, 利用诱导公式 cos(90 +α)= sinα 化简后, 再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简, 即可求出值. 给角求值, 一般给出的角都是非特殊角, 观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系, 如和或差为特殊角, 必要时运用诱导公式. 凤中数学静雅斋 :

6 sin 7 sin7 cos0. 计算的值等于 cos7 A. B. C. D. 典例已知 tan(α β)=,tan β=, 且 α,β (0,π), 则 α β= A. π B. π C. π D. π 或答案 C π 凤中数学静雅斋 : 6

7 又 α (0,π), 所以 0<α<. 又 <β<π, 所以 π<α β<0, 所以 α β=. 故选 C. 名师点睛在解决给值求角问题时, 不仅要注意已经明确给出的有关角的范围, 还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.. 已知 cos,cos( ), 且 0. 7 () 求 tan 的值. () 求的值. 典例已知, cos( ), sin( ), 则 sin = B A. 6 6 C. 6 答案 B D. 6 6 名师点睛解给值求值型问题的一般思路是 : 先看公式中的量, 哪些是已知的, 哪些是待求的, 再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值, 注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角, 合理拆配角. 凤中数学静雅斋 : 7

8 . 已知角 α,β 均为锐角, 且 cos,tan(α β)=, 则 tanβ= A. B. C. D. 考向三三角恒等变换的综合应用. 与三角函数的图象及性质相结合的综合问题 () 利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成 y=asin(ωx+φ)+t 或 y=acos(ωx+φ)+t 的形式. π () 利用公式 T ( 0) 求周期. () 根据自变量的范围确定 ωx+φ 的范围, 根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值, 另外求最值时, 根据所给关系式的特点, 也可换元转化为二次函数的最值. () 根据正余弦函数的单调区间列不等式求函数 y=asin(ωx+φ)+t 或 y=acos(ωx+φ)+t 的单调区间.. 与向量相结合的综合问题三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题, 一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件, 并结合简单的向量运算, 往往是两向量平行或垂直的计算, 即令 a=(x,y ),b=(x,y ), 则 a b=x x +y y,a b x y =x y,a b x x +y y =0, 把向量形式化为坐标运算后, 接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数解三角形等知识的运用. 学科 * 网. 与解三角形相结合的综合问题 () 利用正弦定理把边的关系化成角, 因为三个角之和等于 π, 可以根据此关系把未知量减少, 再用三角恒等变换化简求解 ; () 利用正余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解. 注此类题中的角是在三角形中, 每个角范围限制在 (0,π) 内, 如果是锐角三角形, 则需要限制各个 π 角均在 (0, ) 内. 角的范围在解题中至关重要, 做题时要特别注意. 凤中数学静雅斋 : 8

9 典例设函数 f(x)= sin ωx sin ωxcos ωx(ω>0), 且 y=f(x) 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. () 求 ω 的值 ; () 求 f(x) 在区间 [π, ] 上的最大值和最小值. 答案 ();( )f(x) 在区间 [π, ] 上的最大值和最小值分别为,. 解析 ()f(x)= sin ωx sin ωxcos ωx= sin ωx= cos ωx sin ωx= sin(ωx ). 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为, 且 ω>0, 所以 =, 因此 ω=. () 由 () 知 f(x)= sin(x ). 当 π x 时, x. 凤中数学静雅斋 : 9

10 所以 sin(x ). 因此 f(x). 故 f(x) 在区间 [π, ] 上的最大值和最小值分别为,.. 已知向量 a= cos x,,b=( sin x,cos x),x R, 设函数 f(x)=a b. () 求 f(x) 的最小正周期 ; π () 求 f(x) 在 0, 上的最大值和最小值..cos cos cos ( ) = A. 8 C. 6. 已知 sin cos, 则的值为 A. C. B. 6 D. 8 B. D.. 已知锐角, 0 满足 sin,cos, 则的值为 0 A. π C. π 6. 设,, 且, 则 B. π D. π 或 π 凤中数学静雅斋 : 0

11 A. B. C. D.. 已知向量 a=(sin( ),),b=(,cosα ), 若 a b, 则 sin ( ) = 6 A. B. C. D. π 6. 已知 0 π, 且 sin, cos A.0 B. C 已知 sin, 则 cos π, 则 sin D. 6 或 A. B. C. D. π 8. 已知为锐角, 若 cos, 则 sin A. C. 7 6 B. D 若 sin 60 cos 90, 则 tan. 0. 在斜三角形 ABC 中, tana tanb tanatan B, 则 C. f x sin x sin x cos x sin x sin x, 若 x x00 x0. 已知函数 π π π 为函数 f x 的一个零点, 则 cosx0. 凤中数学静雅斋 :

12 π π. 已知 0 π, cos () 求 sin 的值 ; π () 求 cos 的值., sin.. 已知函数. () 求的最小正周期和最值 ; () 设是第一象限角, 且求的值..(06 年高考新课标 Ⅱ 卷 ) 若 cos( α)=, 则 sin α= 凤中数学静雅斋 :

13 A. 7 B. C. D. 7.(06 年高考新课标 Ⅲ 卷 ) 若 tan, 则 cos sin A. 6 B. 8 C. D. 6.(07 年高考北京卷 ) 在平面直角坐标系 xoy 中, 角 α 与角 β 均以 Ox 为始边, 它们的终边关于 y 轴对称. 若 sin, 则 cos( ) =. π.(07 年高考江苏卷 ) 若 tan( ), 则 tan. 学 & 科 * 网 6 π π.(06 年高考四川卷 )cos 8 sin 8 =. 6.(06 年高考浙江卷 ) 已知 cos x sin x Asin( x ) b( A 0), 则 A=,b=. 变式拓展. 答案 sin. 答案 C 解析由 sin7 sin0 7 sin0cos7 sin7 cos0 知, 原式 = 填. 8. 答案 () tan ;( ). 7 sin0cos7, 故 cos7 凤中数学静雅斋 :

14 解析 () 由 cos,0, 得 sin cos ( ) sin 7 tan, cos 7 tan 8 于是 tan. tan ( ) 7 () 由 0, 得 0. 又 cos( ), sin( ) cos ( ) ( ). 由 ( ) 得 cos cos[ ( )] cos cos( ) sin sin( ) 答案 D π. 答案 ()π;()f(x) 在 0, 上的最大值是, 最小值是. 解析 f(x)= cos x, sin x,cos x) ( = cos xsin x cos x = sin x cos x 凤中数学静雅斋 :

15 π π = cos sin x sin cos x 6 6 π = sin x 6. π π ()f(x) 的最小正周期为 T π, 即函数 f(x) 的最小正周期为 π. () 0 x π π π π, x 由正弦函数的性质, π π π 当 x, 即 x 时,f(x) 取得最大值. 6 π π 当 x, 即 x=0 时,f(0)=, 6 6 π π 当 x π, 即 x 时, f π, 6 6 f(x) 的最小值为. π 因此,f(x) 在 0, 上的最大值是, 最小值是. 考点冲关. 答案 A. 答案 C 解析由题意得, 两边同时平方得故选 C.. 答案 B 凤中数学静雅斋 :

16 0 解析因为锐角,, 所以 cos,sin, cos coscos sinsin, 0 0 因此 π, 所以, 选 B. 因为 0, π. 答案 B 解析根据三角函数的基本关系可得,, 因为,, 所以, 所以 ( 舍 ) 或, 得, 故选 B.. 答案 B 6. 答案 B π 解析因为 0 π, 所以 cos, sin, 当 sin 时, sin sin sin cos cos sin 0, 不合题意, 舍去 ; 当 sin 时, sin sin sin cos cos sin, 应选 B. 7. 答案 D π 解析因为 cos cos sin π cos cos sin sin, 应选 D. 所以 8. 答案 C, 凤中数学静雅斋 : 6

17 π π 解析为锐角且 cos, sin, π π π π π π 7 则 sin sin sin cos cos sin, 故本 6 题选 C. 9. 答案解析由题设可得 sin cos sin, 即 sin cos tan, 应填. 0. 答案 π 解析在 ABC 中, tana tanb tana tanb, 则 tan A tan B tan A tan B, tana tanb tana tanb tanc tan π A B tan A B, tana tanb tana tanb π π 0 C π, C, 故答案为. 学 & 科网. 答案 8. 答案 () 7 ;( ) 8. 9 π π 7 解析 () sin cos cos. 9 π π π () 因为 0 π, 所以, 凤中数学静雅斋 : 7

18 8. 名师点睛在三角化简求值类题目中, 常常考给值求值的问题, 遇见这类题目一般的方法是配凑角 : 即将要求的式子通过配凑, 得到与已知角的关系, 进而用两角和与差的公式展开求值即可.. 答案 () 的最小正周期是, 最大值为, 最小值为 ;( ). 解析 (). 的最小正周期是, 最大值为, 最小值为. (), 则, 即, 又为第一象限的角, 则,. 直通高考. 答案 D 凤中数学静雅斋 : 8

19 7 解析 cos cos, 又 cos cos 7 sin, 所以 sin, 故选 D. 名师点睛对于三角函数的给值求值问题, 关键是把待求角用已知角表示 : () 已知角为两个时, 待求角一般表示为已知角的和或差. () 已知角为一个时, 待求角一般与已知角成倍的关系或互余互补关系.. 答案 A 方法点拨三角函数求值 : 给角求值将非特殊角向特殊角转化, 通过相消或相约消去非特殊角, 进而求出三角函数值 ; 给值求值关键是目标明确, 建立已知和所求之间的联系.. 答案 7 9 解析因为和关于 y 轴对称, 所以 π kπ, kz, 那么 sin sin, cos cos ( 或 cos cos ), 7 所以 cos cos cos sin sin cos sin sin. 9 名师点睛本题考查了角的对称关系, 以及诱导公式, 常用的一些对称关系包含 : 若与的终边关于 y 轴对称, 则 π kπ, kz, 若与的终边关于 x 轴对称, 则 kπ, kz, 若与的终边关于原点对称, 则 π kπ, kz. 凤中数学静雅斋 : 9

20 . 答案 7 tan( ) tan 7 解析 tan tan[( ) ] 6 tan( ) tan 6 名师点睛三角函数求值的三种类型 7. 故答案为. () 给角求值 : 关键是正确选用公式, 以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. () 给值求值 : 关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. 一般有如下两种思路 : 适当变换已知式, 进而求得待求式的值 ; 变换待求式, 便于将已知式的值代入, 从而达到解题的目的. () 给值求角 : 实质是转化为给值求值, 先求角的某一函数值, 再求角的范围, 进而确定角.. 答案名师点睛本题也可以看作来自于课本的题, 直接利用课本公式解题, 这告诉我们一定要立足于课本. 有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值转化为特殊角的三角函数求值而得解. 6. 答案, 解析 cos x sin x sin( x ), 所以 A, b. 思路点睛解答本题时先用降幂公式化简 cos x, 再用辅助角公式化简 cosxsin x, 进而对照 Αsinx b可得 Α 和 b 的值. 凤中数学静雅斋 : 0

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于