高三数学 ( 文 ) 第一学期第一周第一学期第一周 [ 课程内容 ] 三角函数概念同角三角函数关系诱导公式天津市立思辰网络教育有限公司版权所有 1 / 8

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鹭杆悟韶
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1 第一学期第一周 [ 课程内容 ] 三角函数概念同角三角函数关系诱导公式 / 8

2 准备知识要点: 三角函数的概念同角三角函数的基本关系式和诱导公式本阶段知识要点: 理解三角函数概念, 熟练使用同角三角函数的基本关系式和诱导公式进行相关计算三角函数的概念知识要点. 角的有关概念 : () 正角负角和零角终边相同的角象限角等概念. () 角的度量 : 包括角的角度制与弧度制及换算关系.. 任意角的三角函数 : 包括三角函数的定义, 三角函数线的意义, 任意角的三角函数值在各象限中的符号特殊角的三角函数值, 同角的三角函数的基本关系式及诱导公式. 进一步的, 应掌握两角和差倍半的公式. 详细内容如下 : () 设 P(,) 是角 α 终边上任一点, 且 PO (>0), 则有 csc α cs α sec α () 三角函数的符号如下表象限 tan α ct α 符号函数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ, csc α cs α, sec α tan α, ct α 弧度制以及弧度与角度的互换公式圆周上弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小为弧度, 因此周角的大小为 π 弧度, 依 80 π 此建立起角度与弧度之间的换算 : π 360, π 80, ad ( ), ad π 80 / 8

3 4. 弧长扇形面积的公式设扇形的弧长为 l, 圆心角大小为 α (ad), 半径为, 则 lα 扇形的面积为 S l α 同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识要点. 同角三角函数的三个基本关系式 sin α + cs α tan α cs α tan α ct α 说明 : 新教材对于同角三角函数只有这三个基本关系式, 而老教材除此之外, 还有如下五个关系式 : + tan α sec α + ct α csc α cs α ct α cs α sec α sin a csc α 可见, 新教材在三角部分降低了难度, 但是, 若能掌握这补充的五个关系式, 对做题肯定是有帮助的, 这五个关系式, 用定义很容易给予证明, 在此略. 诱导公式诱导公式是指角 α 的三角函数与诸如 α,80 ± α,90 ± α,70 ± α, 360 α,360 k+α 等同角的三角函数之间的关系, 其内容相似, 极易混淆 0 k α, -α, 80 0 ±α, α 的三角函数值等于 α 的同名三角函数值前面加上一个把 α 看作锐角时原函数在相应象限的符号 ; ±α, 70 0 ±α 的三角函数值等于 α 的相应余函数的值, 前面加上一个把 α 看作锐角时, 原函数在相应象限的符号 ; k π 综合记之 : ± α ( k Z ) 其记忆规律是 : 奇变偶不变符号看象限利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是 : 任意角的三角函正角的三角函数 0 ~360 的角的三角函数锐角三角函 3 / 8

4 . 函数 A.{-,4} sin sin C.{-,0,,4} cs tan ct 的值域是 ( ) cs tan ct B.{-,0,4} D.{-4,-,0,,4} [ 解 ] 当在第一象限时, 各种三角函数值均为正值 : sin cs tan ct sin cs tan ct 当在第二象限时, 只有 sin>0, 其他函数值为负值 : sin cs tan ct sin cs tan ct 同理, 当分别在第三四象限时, 函数值分别为 0 和 -; 函数值域为 {-,0,4} 故选 B. 已知一扇形的周长是 c(c>0), 当扇形的中心角为多大时, 它有最大的面积? [ 分析 ] 首先将扇形的面积表示成中心角的函数, 然后求该函数取得最大值时的中心角即可 [ 解 ] 设扇形的半径为, 中心角为 θ, 扇形的面积为 S, 则 c c+θ, + θ S θ c θ c c c θ + 8 θ θ θ + 8 θ θ 8 c 当 θ, 即扇形中心角 θ ad 时, 扇形有最大面积 S ma θ 6 3. 若角 θ 的终边与函数 - 的图象重合, 求 θ 的各三角函数值 [ 解 ] 角 θ 的终边与函数的图象重合 θ 为第三四象限的角若 θ 为第三象限的角, 取终边上一点 P(-,-), OP, 则 θ 的各三角函数值分别为 : sin θ tan θ sec θ cs θ ct θ csc θ 若 θ 在第四象限, 可取点 P(,-), 易得 θ 的各三角函数值 : 4 / 8

5 sin θ, cs θ, tan θ ct θ, sec θ, csc θ α 4. 已知角 α 为第一象限的角确定角所在的象限, 并画出其变化区别 [ 解 ] 首选写出角 α 的一般形式 :kπ <α < k π + π ( k Z ), 两边同时除以, 得 kπ < α < k π + π ( k Z ), 运用分类讨论的数学思想, 讨论 k 为奇数和 k 为偶数两种情况 4 () 当 k 奇数时, 设 km+(m Z), 则 (m+)π < α π <(m+) π + 4 (m Z), 此 α 时角是第三象限的角 ; α π () 当 k 为偶数时, 设 km(m Z), 则 mπ < <mπ + ( m Z ), 此时角 4 α 是第一象限的角 α 综上, 角的第一象限或第三象限的角其变化区域如图 6 中阴影部分, 这样的区域称为一三象限的前半区域. 解答下列问题 : () 若 θ 在第四象限, 试判断 sin(csθ ) cs(sinθ ) 的符号 ; () 若 tan(csθ ) ct(sinθ )>0, 试指出 θ 所在象限 [ 解 ] 显然要用到三角函数在各象限内取值符号的结论, 其中还应注意 csθ sinθ 本身的取值限制 () θ 在第四象限 0<csθ << π π, <-<sinθ <0 sin(csθ )>0,cs(sinθ )>0, sin(csθ ) cs(sinθ )>0 tan(cs θ ) () 即 >0 ct(sin θ ) >0 0<csθ <, 0<sinθ <; tan(cs θ ) 或 ct(sin θ ) 或 -<csθ <0 -<sinθ <0 <0 <0 即 θ 在第一或第三象限 / 8

6 6. 学科内综合已知角 α 的顶点与直角坐标系的原点重合, 始边在轴的正半轴上, 终边 π 经过点 P(-,), 求 sin( α + ) 的值 3 [ 解 ] P(-,) 是角 α 终边上一点, 由此求得 OP ( ) + sinα csα 4 sin α cs α ( ) 3 cs α cs α ( ) ( ) 那么 π π π sin( α + ) sin α cs + cs α sin ( ) + ( ) 0 同角三角函数的基本关系式与诱导公式. 化简 : ( + ) ( + sec α + sec α sec α ) sec α + [ 分析 ] 脱去根号是我们的目标, 这就希望根号下能成为完全平方式, 注意到同角三角函数的平方关系式, 利用分式的性质可以达到目标 (sec ) (sec ) [ 解 ] 原式 ( ( + ) ( ) α + α )( ) cs α cs α tan α tan α + sec α + sec α ( )( ) cs α cs α tan α tan α + cs α cs α ( ) cs α cs α cs α cs α 4 ( α 在第一三象限时 ) 4 ( α 在第二四象限时 ) 3 π sin( π a ) cs( π α ) tan( α + ). 已知 f(α ) ct( a π ) sin( π α ) () 化简 f(α ); 3 () 若 α 是第三象限的角, 且 cs( π ) (3) 若 α 860, 求 f(α ) 的值 cs α ct α [ 解 ]()f(α ) cs α ( ct α ) α, 求 f(α ) 的值 ; 6 / 8

7 3 π () Q cs( α ),,cs α (3) Q , f ( 860 ) cs( 860 ) cs( , f ( α ) ) cs 已知 sin( π + α ), 求 sin( π α ) ct( α π ) cs α 的值 [ 解 ] Q sin( π + α ), sin( π α ) ct( α π ) cs α + ct( π α ) cs α ct α cs α cs α + cs α 4. 已知 tanα, 则 3 cs α () 4 9 cs α 3 cs α () 4 9 cs α (3)4sin α -3sinα csα -cs α [ 解 ]() 注意到分式的分子与分母均关于 sinα csα 的一次齐次式, 将分子分母同除以 csα ( Q cs α 0 ), 然后整体代入 tanα 的值 3 cs α tan α cs α 4 tan α 应填 () 注意到分子分母都是关于 sinα csα 的二次齐次式,Qcs α 0, 分子分母同除以 cs α, 有 sin 4 sin 应填 α 3 cs α 9 cs 7 α tan α α 4 tan α (3) 要注意到 sin α +cs α 4sin α -3sinα csα -cs α 7 / 8

8 4 sin α 3 cs α cs α sin α + cs α 4 tan α 3 tan α tan α 应填 [ 点评 ] 这是一组在已知 tanα m 的条件下, 求关于 sinα csα 的齐次式之问题, 解这类问题须注意以下两点 : () 一定是关于 sinα csα 的齐次式 ( 或能化为齐次式 ) 的三角函数式 ; () Q cs α 0, 可用 cs n α (n N +) 除之, 这样可以将被求式化为关于 tanα 的表达式, 可整体代入 tanα m 的值, 从而完成被求式的值. 学科内综合如图 7,ABCD 是一块边长为 00m 的正方形地皮, 其中 AST 是一半径为 90m 的扇形小山, 其余部分都是平地一开发商想在平地上建一个矩形停车场, 使矩形的一个顶点 P 在 ST 上, 相邻两边 CQ CR 落在正方形的边 BC CD 上求矩形停场 PQCR 面积的最大值和最小值 (00 年西安市联考试题 ) [ 解 ] 设 PAB θ (0 θ 90 ), 延长 RP 交 AB 于 M, 则 AM90csθ,MP90sinθ PQ MB cs θ PR MR MP sin θ S 矩形 PQCRPQ PR (00-90csθ )(00-90sinθ ) (sinθ +csθ )+800sinθ csθ t 令 tsinθ +csθ ( t ), 则 sinθ csθ t S 矩形 PQCR t ( t ) 故当 t 时,S 矩形 PQCR 的最小值 90m 9 当 t 时,S 矩形 PQCR 有最大值 ( )m 8 / 8

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于

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