5. 常用结论 (1) 若连续不断的函数 f( x ) 是定义域上的单调函数, 则 f( x ) 至多有一个零点 ; () 连续不断的函数, 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 ; (3) 函数 F( x) f ( x) g( x) 有零点方程 Fx ( ) 0 有实数根函数 y f ( x

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缠景
5 years ago
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Fz 考点 09 函数与方程凤中数学静雅斋 www.cnblogs.com/wanghai0666 高三数学组结合二次函数的图象, 了解函数的零点与方程根的联系, 判断一元二次方程根的存在性与根的个数. 一函数的零点 1. 函数零点的概念对于函数 y f ( x), x D, 我们把使 f( x) 0 成立的实数 x 叫做函数 y f ( x), x D 的零点.

1 Fz 考点 09 函数与方程凤中数学静雅斋高三数学组结合二次函数的图象, 了解函数的零点与方程根的联系, 判断一元二次方程根的存在性与根的个数. 一函数的零点 1. 函数零点的概念对于函数 y f ( x), x D, 我们把使 f( x) 0 成立的实数 x 叫做函数 y f ( x), x D 的零点.. 函数的零点与方程的根之间的联系函数 y f ( x) 的零点就是方程 f( x) 0 的实数根, 也就是函数 y f ( x) 的图象与 x 轴的交点的横坐标即方程 f( x) 0 有实数根函数 y f ( x) 的图象与 x 轴有交点函数 y f ( x) 有零点. 注并非所有的函数都有零点, 例如, 函数 f(x)=x +1, 由于方程 x +1=0 无实数根, 故该函数无零点. 3. 二次函数 y ax bx c ( a 0) 的零点二次函数 y ax bx c a ( 0) 的图象与 x 轴的交点 (x 1,0),(x,0) (x 1,0) 无交点零点个数零点存在性定理如果函数 y f ( x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f ( a) f ( b) 0, 那么, 函数 y f ( x) 在区间 ( ab, ) 内有零点, 即存在 c (a,b), 使得 f( c) 0, 这个 c 也就是方程 f( x) 0 的根. 注上述定理只能判断出零点存在, 不能确定零点个数. 凤中数学静雅斋 : 1

2 5. 常用结论 (1) 若连续不断的函数 f( x ) 是定义域上的单调函数, 则 f( x ) 至多有一个零点 ; () 连续不断的函数, 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 ; (3) 函数 F( x) f ( x) g( x) 有零点方程 Fx ( ) 0 有实数根函数 y f ( x) 与 y g( x) 交点 ; (4) 函数 F( x) f ( x) a有零点方程 Fx ( ) 0有实数根函数 y f ( x) 与 y a 二二分法 a{ y y f( x)}, 其中 a 为常数. 1. 二分法的概念的图象有的图象有交点对于在区间 [a,b] 上连续不断且 f ( a) f ( b) 0 的函数 y f ( x), 通过不断地把函数 f( x ) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.. 用二分法求函数 f( x ) 零点近似值的步骤给定精确度 ε, 用二分法求函数 f( x ) 零点近似值的步骤如下 : 1 确定区间 [a,b], 验证 f ( a) f ( b) 0, 给定精确度 ε; 求区间 (a,b) 的中点 c; 3 计算 f(c); a. 若 f(c)=0, 则 c 就是函数的零点 ; b. 若 f(a) f(c)<0, 则令 b=c( 此时零点 x 0 (a,c)); c. 若 f(c) f(b)<0, 则令 a=c( 此时零点 x 0 (c,b)). 4 判断是否达到精确度 ε: 即若 a b <ε, 则得到零点近似值 a( 或 b); 否则重复 34. 速记口诀定区间, 找中点 ; 中值计算两边看, 同号丢, 异号算, 零点落在异号间. 重复做, 何时止, 精确度来把关口. 函数零点的判定方法考向一函数零点 ( 方程的根 ) 所在区间的判断凤中数学静雅斋 :

3 (1) 定义法 ( 定理法 ): 使用零点存在性定理, 函数 y f ( x) 必须在区间 [a,b] 上是连续的, 当 f ( a) f ( b) 0 时, 函数在区间 (a,b) 内至少有一个零点. () 方程法 : 判断方程 f( x) 0 是否有实数解. (3) 图象法 : 若一个函数 ( 或方程 ) 由两个初等函数的和 ( 或差 ) 构成, 则可考虑用图象法求解, 如 f ( x) g( x) h( x), 作出 y gx ( ) 和 y h( x) 的图象, 其交点的横坐标即为函数 f(x) 的零点. 典例 1 1 函数 f( x) ln 的零点所在的大致区间是 x x1 A.(1,) B.(,3) C.(3,4) D.(1,) 与 (,3) 答案 B 规律总结判断函数零点所在区间的方法 : 一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值, 进行符号判断即可得出结论. 此类问题的难点往往是函数值符号的判断, 可运用函数的有关性质进行判断. 1. 方程 log 3 x+x=3 的解所在的区间为 A.(0,) C.(,3) B.(1,) D.(3,4) 考向二函数零点个数的判断判断函数零点个数的方法 (1) 解方程法 : 令 f(x)=0, 如果能求出解, 则有几个解就有几个零点. 学 % 科网 () 零点存在性定理法 : 利用定理不仅要求函数在区间 [a,b] 上是连续不断的曲线, 且 f(a) f(b)<0, 还必须结凤中数学静雅斋 : 3

4 合函数的图象与性质 ( 如单调性奇偶性周期性对称性 ) 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质. (3) 数形结合法 : 转化为两个函数的图象的交点个数问题, 先画出两个函数的图象, 看其交点个数, 其中交点的横坐标有几个不同的值, 就有几个不同的零点. 典例函数 f(x)= x +lg(x+1) 的零点有 A.0 个 B.1 个 C. 个 D.3 个答案 B 解法二 : 在同一坐标系中作出 h(x)= x 和 g(x)=lg(x+1) 的图象, 如图所示, 由图象可知 h(x)= x 和 g(x)=lg(x+1) 有且只有一个交点, 即 f(x)= x +lg(x+1) 与 x 轴有且只有一个交点, 即函数 f(x) 仅有一个零点.. 函数 x x x 3, 0 f( x)= 的零点个数为 ln xx, 0 A.0 B.1 C. D.3 考向三函数零点的应用问题高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现, 有时也会出现在解答题中. 常与函数的图象及性质相结合, 且主要有以下几种常见类型及解题策略. 1. 已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围凤中数学静雅斋 : 4

5 根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件, 此时应分三步 : 1 判断函数的单调性 ; 利用零点存在性定理, 得到参数所满足的不等式 ; 3 解不等式, 即得参数的取值范围. 在求解时, 注意函数图象的应用.. 已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下, 常利用数形结合法, 把此问题转化为求两函数图象的交点问题. 3. 借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较 f(a) 与 f(b) 的大小, 通常先比较 f(a) f(b) 与 0 的大小. 若直接比较函数零点的大小, 则可有以下三种常用方法 : 1 求出零点, 直接比较大小 ; 确定零点所在区间 ; 3 同一坐标系内画出函数图象, 由零点位置关系确定大小. b, a b 1 典例 3 对任意实数 a,b 定义运算 : ab, 设 a, a b 1 ( 1) (4 ), 若函数 f x x x 点, 则实数 k 的取值范围是 y f x k 恰有三个零 A.(,1) C.[,0) B.[0,1] D.[,1) 答案 D 解析由新定义可得 4 x,( x 1) (4 x) 1 4 x, x 或 x 3 f( x), 即 f( x). 其图象 x 1,( x 1) (4 x) 1 x 1, x 3 如图所示, 所以由 y f x k 恰有三个零点可得, 1< k, 所以 k<1. 故选 D. f x x, g x x ln x, h x x x 1的零点分别为 x1, x, x3, 则 x1, x, x3 的大小 3. 已知函数 x 关系是. 凤中数学静雅斋 : 5

6 1. 若函数 f(x) 的图象在 R 上连续不断, 且满足 f(0)<0,f(1)>0,f()>0, 则下列说法正确的是 A.f(x) 在区间 (0,1) 上一定有零点, 在区间 (1,) 上一定没有零点 B.f(x) 在区间 (0,1) 上一定没有零点, 在区间 (1,) 上一定有零点 C.f(x) 在区间 (0,1) 上一定有零点, 在区间 (1,) 上可能有零点 D.f(x) 在区间 (0,1) 上可能有零点, 在区间 (1,) 上一定有零点 1. 函数 f ( x) ln x 的零点的个数是 x 1 A.0 B.1 C. D.3 1 f x 1 log x 3. 已知函数 x, 若 x 0 是方程 f x 0 的根, 则 x0 A. 0, 1 C. 1, 3 B. 1,1 D. 3, 4. 若定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 f(x+)=f(x), 且 x [0,1] 时,f(x)=x, 则方程 f(x)=log 3 x 的解有 A. 个 B.3 个 C.4 个 D. 多于 4 个 f x x x, g x x 1, h x log x x 的零点依次为 abc,,, 则 5. 已知三个函数 3 A. ab c B. ba c C. c a b D. a c b 6. 若函数 f(x)=x 3 +ax +bx+c 有极值点 x 1,x, 且 f(x 1 )=x 1, 则关于 x 的方程 3(f(x)) +af(x)+b=0 的不同实根个数是 A.3 B.4 C.5 D.6 凤中数学静雅斋 : 6

7 xx, 0 7. 已知函数 f( x), 若函数 g(x)=f(x) m 有三个不同的零点, 则实数 m 的取值范围为 x x, x 0 A. [ 1,1] B. [ 1,1) C. ( 1,0) 4 D. ( 1,0] 4 8. 已知 1, x x 是函数 f x sin x cos x m 在 0, π 内的两个零点, 则 sin x x 1 A. 1 B. 3 5 C. 4 5 D 若函数 f ( x) ( a ) x ax 1有零点, 但不能用二分法求其零点, 则 a 的值为已知函数 f x x x, 函数 g x 满足 g x g x 0, 若函数 h x g x f x 1 个零点, 则所有零点之和为. 有 10 1.(017 年高考新课标 Ⅲ 卷 ) 已知函数 x1 x1 f ( x) x x a(e e ) 有唯一零点, 则 a= A. 1 B. 1 3 C. 1 D.1.(015 年高考安徽卷 ) 下列函数中, 既是偶函数又存在零点的是 A.y=ln x B. yx 1 C.y=sin x D.y=cos x x, x 3.(015 年高考天津卷 ) 已知函数 f( x), 函数 g( x) 3 f ( x), 则函数 ( x), x y f ( x) g( x) 的零点个数为 A. B.3 C.4 D.5 π 4.(015 年高考湖北卷 ) 函数 f ( x) sin xsin( x ) x 的零点个数为. 凤中数学静雅斋 : 7

8 x, x D, 5.(017 年高考江苏卷 ) 设 f() x 是定义在 R 上且周期为 1 的函数, 在区间 [0,1) 上, f( x) 其中 x, x D, n 1 集合 D { x x, nn *}, 则方程 f ( x) lg x 0的解的个数是. n x, x m 6.(016 年高考山东卷 ) 已知函数 f( x) x mx 4m, x m 于 x 的方程 f ( x) b 有三个不同的根, 则 m 的取值范围是., 其中 m 0. 若存在实数 b, 使得关变式拓展 1. 答案 C. 答案 C x 0 x 0 解析由得 x 3, 又得 x=e, f(x) 的零点个数为. x x 3 0 ln x 0 3. 答案 x 1 x x 3 解析令 x+ x =0, 得 x = x; 令 x+ln x=0, 得 ln x= x; 在同一坐标系内画出 y= x,y=ln x,y= x 的图象. 如图可知 x 1 <0<x <1. 令 hx x x 1 0, 则 ( ) x 1 0 x, 所以 x, 即 x3 1. 所以 x1 x x3. 考点冲关 1. 答案 C 凤中数学静雅斋 : 8

9 解析由零点存在性定理易知 C 正确.. 答案 C 解析如图所示, 易知 y=lnx 与 y 1 的图象有两个交点. x 1 3. 答案 B 4. 答案 C 解析函数 f(x) 满足 f(x+)=f(x), 则函数 f(x) 是以为周期的周期函数, 在同一坐标系中画出函数 y=f(x) 与函数 y=log 3 x 的图象, 如图所示 : 由图可知函数 y=f(x) 与函数 y=log 3 x 的图象共有 4 个交点, 即方程 f(x)=log 3 x 的解有 4 个, 故选 C. 5. 答案 D 解析 f x, g x, hx 均为 R 上的增函数, 有唯一零点, 因为 f , 0 1 0, f , 1 1 0, 所以所以 1 a 0. 由 g x 0 可得 x 1, 所以 b 1. 因为 h h c, 所以 a c b, 故选 D. 6. 答案 A 凤中数学静雅斋 : 9

10 若 x <x 1, 如图所示 : 由图象可知 f () x x1 有个解, f ( x) x 有 1 个解, 因此 3( f ( x)) af ( x) b 0的不同实根个数为 3. 名师点睛本题的关键是把求方程 3( f ( x)) af ( x) b 0的根的个数转化成求解方程 f () x x1 或 f ( x) x 的根的个数. 7. 答案 C 解析由 g(x)=f(x) m=0 得 f(x)=m, 作出函数 y=f(x) 的图象当 x>0 时, f x x x ( x ), 所以要使函数 g(x)=f(x) m 有三个不同的零点, 则 4 <m<0, 即 m ( 1,0), 故选 C 答案 C 凤中数学静雅斋 : 10

11 9. 答案或 1 解析二次函数不能用二分法求零点, 则 4a 4( a ) 0, a 或 a 答案 10 解析易知函数 f( x ) 为奇函数, 其对称中心为 (0,0), 所以函数 y f ( x 1) 的对称中心为 (1,0). 由函数 g x 满足 g x g x 0, 知函数 g x 的对称中心为 (1,0), 函数 h x g x f x 1 有 10 个零点, 即函数 y g x 与 y f ( x 1) 的图象有 10 个交点, 并且关于点 (1,0) 对称, 所以函数 g x 1 h x f x 有 10 个零点, 则所有零点之和为 10. 直通高考 1. 答案 C 时, x 1; 当 1 当 g x 0 x 时, g x 0, 函数当 1 当 x 1时, 函数设 x 时, g x 0, 函数 g x 单调递增, 1 g x 取得最小值, 为 g. g x 单调递减 ; h x x x, 当 x 1时, 函数 h x 取得最小值, 为 1, 若 a 0, 函数若 a 0 ag x h x 与函数没有交点 ;, 当 ag 1 h1 时, 函数 1 即 a 1, 解得 a. 故选 C. ag x h x 和有一个交点, 名师点睛利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法 : (1) 利用零点存在性定理构建不等式求解. () 分离参数后转化为函数的值域 ( 最值 ) 问题求解. (3) 转化为两个熟悉的函数图象的上下关系问题, 从而构建不等式求解.. 答案 D 凤中数学静雅斋 : 11

12 解析选项 A: y ln x 的定义域为 (0,+ ), 故 y ln x 不具备奇偶性, 故 A 错误 ; 选项 B: x y 1是偶函数, 但 y x 1 0无解, 即不存在零点, 故 B 错误 ; 选项 C: y sin x 是奇函数, 故 C 错 ; 选项 D: y cos x 是偶函数, 且 y cos x 0 x k, k Z, 故 D 项正确. 3. 答案 A 解析方法一: 分别画出函数 f ( x), g( x ) 的草图, 观察发现有个交点. 方法二 : 当 x 0 时, x, 所以 f x x x, f x x 此时函数 f x g x 当 0 x, f x f x 3 x x 的小于零的零点为 x ; 时, f x x x, f x x x, 函数 f x g x x x 3 1无零点 ; x 时, f x x, f x x 4 x, 函数当 f x g x x 4 x 5 5 大于的零点为 x. 3 x 5x 5 综上可得函数 y f ( x) g( x ) 的零点的个数为. 故选 A. 4. 答案 5. 答案 8 解析由于 f( x) [0,1), 则需考虑 1 x 10 的情况, 凤中数学静雅斋 : 1

13 q * 在此范围内, xq 且 x D时, 设 x, p, qn, p, 且 pq, 互质, p 若 lg x Q, 则由 lg x (0,1) n m 因此 10 q n q, 则 10 ( ) p p n *, 可设 lg x, m, nn, m, 且 mn, 互质, m m, 此时左边为整数, 右边为非整数, 矛盾, 因此 lg x Q, 因此 lg x 不可能与每个周期内 x D 对应的部分相等, 只需考虑 lg x 与每个周期 x D 的部分的交点, 画出函数图象, 图中交点除外 (1,0) 其他交点横坐标均为无理数, 属于每个周期 x D 的部分, 1 1 且 x 1处 (lg x) 1, 则在 x 1 附近仅有一个交点, xln10 ln10 因此方程 f ( x) lg x 0的解的个数为 8. 名师点睛对于方程解的个数( 或函数零点个数 ) 问题, 可利用函数的值域或最值, 结合函数的单调性草图确定其中参数范围. 从图象的最高点最低点, 分析函数的最值极值 ; 从图象的对称性, 分析函数的奇偶性 ; 从图象的走向趋势, 分析函数的单调性周期性等. 6. 答案 (3,+ ) 解析函数 f x 的大致图象如图所示, 根据题意知只要 m m m 4 即可, 又 m>0, 解得 m>3, 故实数 m 的取值范围是 (3,+ ). 凤中数学静雅斋 : 13

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凤中数学静雅斋第三节函数的奇偶性与周期性 1. 奇函数偶函数的概念及图象特征定义奇函数偶函数定义域函数 f(x) 的定义域关于原点对称 x 对于定义域内任意的一个 x f(x) 与 f(-x) 的关系都有 f(-x) =-f(x) 都有 f(-x)=f(x) 结论函数 f(x) 为奇函数函数 f(x) 为偶函数图象特征关于原点对称关于 y 轴对称 2. 周期性 (1) 周期函数 :

5. 常用结论 (1) 若连续不断的函数 f( x ) 是定义域上的单调函数, 则 f( x ) 至多有一个零点 ; () 连续不断的函数, 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 ; (3) 函数 F( x) f ( x) g( x) 有零点 方程 Fx ( ) 0 有实数根 函数 y f ( x

5. 常用结论 (1) 若连续不断的函数 f( x ) 是定义域上的单调函数, 则 f( x ) 至多有一个零点 ; () 连续不断的函数, 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 ; (3) 函数 F( x) f ( x) g( x) 有零点方程 Fx ( ) 0 有实数根函数 y f ( x