第 7 章向量代数与空间解析几何 0 0 a 取 c a a 例在四边形 ABCD 中, AB a, BC 4a,CD ABCD 为梯形分析 5a, 证明四边形若能利用向量关系证明四边形 ABCD 中的一组对边互相平行, 则可知四边形 ABCD 为梯形证明在四边形 ABCD 中, AD AB

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措华
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1 第 7 章向量代数与空间解析几何 7 向量及其线性运算 7 基本要求理解向量的概念掌握向量的线性运算理解向量的几何表示 7 答疑解惑向量与标量在表示方法上有什么区别? 答在手写体中, 向量的上方有箭头, 而标量没有 ; 在印刷体中, 若用单个字母表示向量, 则用粗体字母表示该向量, 或者不用粗体但是字母上方加箭头 ; 若用两个字母表示向量, 则上方加箭头, 而标量不用粗体, 也不加箭头例如 a,i,v,f,a,i, v,f, M M 等都可表示向量向量的起点都在坐标原点吗? 答本书讨论的向量都是自由向量, 它的起点不是固定的, 不一定在坐标原点, 可以根据需要移动当 A, B 为不同点时, AB 与 BA 相等吗? 答不相等, 因为向量 AB 与 BA 的大小相等, 但方向相反, 所以它们不相等本书讨论的是自由向量, 即只考虑向量的大小和方向, 而不考虑向量的起点, 因此, 我们把大小相等方向相同的向量称为相等的向量由于 AB 与 BA 的方向总是不同的, 所以它们不相等 4 向量在轴上的投影是不是向量? 答向量在轴上的投影是一个数量, 它可正可负可为零, 而不是一个向量 7 基本题型分析题型有关向量的运算问题 a 例化简 a 5 5 a 5 5 解 a5 ( ) a a 5 例已知非零向量 a 和, 求一个向量 c, 使之平分向量 a 和之间的夹角 0 解因为向量 a 和为非零向量, 所以其单位向量 a, 0 存在, 且 a 0 a a, 0 0 以 a, 0 为邻边所生成的平行四边形是一个菱形, 这个菱形的对角线平分对角, 于是可

2 第 7 章向量代数与空间解析几何 0 0 a 取 c a a 例在四边形 ABCD 中, AB a, BC 4a,CD ABCD 为梯形分析 5a, 证明四边形若能利用向量关系证明四边形 ABCD 中的一组对边互相平行, 则可知四边形 ABCD 为梯形证明在四边形 ABCD 中, AD AB BC CD ( a ) ( 4 a) ( 5a ) 8a BC, 所以向量 AD BC, 即四边形 ABCD 中的一组对边 AD 和 BC 互相平行, 于是四边形 ABCD 为梯形 74 习题全解设 A, BC, 为三角形的三个顶点, 求 ABBC CA 解 ABBC CA AC CA0 设 uac, v ac, 试用 ac,, 表示 u v 解 uv ( a c) ( a c) 5a7c 设向量 a 的模为 4, 它与轴 u 的夹角为 60, 求 a 在轴 u 上的投影解 a 在轴 u 上的投影为 Prj u a a cos 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明它是平行四边形解如图 7- 所示, 四边形 ABCD 中, 令点 M 为对角线 AC 与 BD 的交点, 则 AM MC, BM MD, 因为 AB AM MBMCDM DC, 所以 AB// DC且 AB DC, 即四边形 ABCD 中的一组对边 AB 和 DC 互相平行且相等, 于是四边形 ABCD 是平行四边形 7 空间直角坐标系与向量的坐标 7 基本要求掌握空间直角坐标系和空间点的直角坐标的概念掌握空间两点间的距离公式掌握向量的坐标表示法 4 掌握向量的模单位向量及方向余弦的坐标表达式 7 答疑解惑空间直角坐标系中的三个坐标轴的顺序是任意的吗? 答空间直角坐标系中的三个坐标轴的顺序是遵循右手规则的, 即以右手握住 z 轴, 当右 π 手的四指从 x 轴的正向以的角度转向 y 轴的正向时, 竖起大拇指的指向就是 z 轴的正向画坐标系的时候, 一般 z 轴向上, y 轴向右,x 轴向左下方为直观起见, 有时会旋转坐标轴

3 7 空间直角坐标系与向量的坐标引入向量的坐标对向量的运算有什么作用? 答引入向量的坐标以后, 就可将向量的运算转化为代数运算, 计算起来比较方便向量的坐标是如何建立的? 答在空间直角坐标系中, 向量的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组例如, 设 MN 为空间直角坐标系中的一个向量, 点 M 的坐标为 ( x, y, z ), 点 N 的坐标为 ( x, y, z ) 向量 MN 在三个坐标轴上的投影分别为 x x, y y, z z, 于是向量 MN { x x, y y, z z } 7 基本题型分析题型一空间直角坐标的概念例在空间直角坐标系 Oxyz 中, 画出点 A (0, 0, ), B (,, 0), C (,, ) 解根据点 A 的坐标可知, A 点在 z 轴上, B 点在 xoy 坐标面上画点 C 时, 先在 x 轴的正方向上取个单位的点, y 轴的正方向上取个单位的点, 过这两点在 xoy 坐标面上分别作 y 轴与 x 轴的平行线, 交于点 M, 过 M 作 z 轴的平行线 MN, 在直线 MN 上, 点 M 的上方取个单位便得到点 C, 如图 7- 所示例求点 A (,, ) 分别关于下列条件对称点的坐标 :() 各坐标面 ;() 各坐标轴 ;() 坐图 7- 标原点解 () 点 A (,, ) 关于 xoy 坐标面的对称点为 (,, ), 关于 yoz 坐标面的对称点为 (,,), 关于 zox 坐标面的对称点为 (,, ) ;() 点 A (,, ) 关于 x 轴的对称点为 (,, ), 关于 y 轴的对称点为 (,, ) ; 关于 z 轴的对称点为 (,,) ;() 点 A (,, ) 关于坐标原点的对称点为 (,, ) 例从点 A(,,7) 沿着向量 a i 5jk 的方向取 AB 8, 求点 B 的坐标解设点 B 的坐标为 ( x, yz, ), 则向量 AB x, y, z 7 a i 5jk 的一个方 x y z7 向向量为 s,5,, 于是向量 AB 和向量 s 互相平行且方向一致, 可得 5 x y z7 令 kk 0, 则 5 AB ( x ) y z 7 k 5k k 8, 解得 k, 于是 x k 5, y 5k 4, z k 7 5, 所以 B 点的坐标为 (5,4,5) 题型二有关方向角和方向余弦的运算例 4 已知向量 a 的模为, 且其方向角为 60, 45, 求向量 a 本书沿用主教材中的花括号形式表示向量, 而用圆括号形式表示点的坐标

4 4 第 7 章向量代数与空间解析几何解根据已知条件, 可得向量 a 的方向余弦为 cos, cos, cos, 于是 a axi ay jazk a cosi a cos j a cosk i j k 例 5 已知两点 M (4,,) 和 M (,0,), 求向量 MM 的模方向余弦和方向角解由 M 和 M 两点的坐标可知 MM,,, 于是 MM ( ) ( ) MM, 与 MM 同方向的单位向量为,,, 所以方向余弦 cos, MM π cos, cos, 方向角, π, π 4 74 习题全解在空间直角坐标系中, 指出下列各点所在的卦限 : A(,,), B(7,, ), C(,, ), D(,, ) 解 A(,,) 在第 Ⅳ 卦限, B(7,, ) 在第 Ⅷ 卦限, C(,, ) 在第 Ⅶ 卦限, D(,, ) 在第 Ⅵ 卦限指出下列各点所在的坐标面或坐标轴 : A(,,0), B(0,,), C (, 0, 0), D(0,,0) 解 A(,,0) 在 xoy 坐标面上, B(0,,) 在 yoz 坐标面上, C (, 0, 0) 在 x 轴上, D(0,,0) 在 y 轴上求点 (,, 5) 分别关于下列各条件的对称点的坐标 : () xoy 坐标面 ;() y 轴 ;() 坐标原点解 () 点 (,, 5) 关于 xoy 坐标面对称点的坐标为 (,,5) ;() 点 (,, 5) 关于 y 轴对称点的坐标为 (,,5);() 点 (,, 5) 关于坐标原点对称点的坐标为 (,,5) 4 求点 (4,,5) O 0,0,0 z 轴及 zox 坐标面的距离 A 到坐标原点 A 到坐标原点 O 0,0,0 解点 (4,,5) 的距离为 4 ( ) 5 5 ; 点 A(4,,5) 到 z 轴的距离为 4 ( ) 5; 点 A(4,,5) 到 zox 坐标面的距离为 5 在 yoz 坐标面上, 求与 A (,,), B(4,, ), C (0,5,) 三点等距离的点解因为所求点在 yoz 坐标面上, 所以可设它的坐标为 M (0, yz, ) 又因为该点到 A (,, ), B(4,, ), C (0,5,) 三点的距离相等, 所以 AM CM, BM CM, 即 (0 ) ( y) z 0 0 ( y5) z, (0 4) ( y) z (0 0) ( y5) z, 由以上两等式解得 y, z, 于是所求点的坐标为 (0,, ) 6 已知点 A (, 0, ), B (4,5,0), C (0,,), D(,,6) 和 m 5i j4k, 求 :() 向量 a 4AB CD m 在三个坐标轴上的投影及分向量 ;() a 的模 ;() a 的方向余弦 ; (4) 与 a 平行的两个单位向量

5 解 () 由已知, 得 AB,5,8, CD, 4,5 7 空间直角坐标系与向量的坐标 5, 所以向量 a 的坐标表示为 a 4AB CD m 4,5,8, 4,5 {5,, 4},7,5, 可得向量 a 在三个坐标轴上的投影分别为 a, a 7, a 5 ; 向量 a 在三个坐标轴上的分向量分别为 ax i i, a y j 7 j, a z k 5k () 向量 a 的模为 a () 向量 a 的方向余弦为 cos a x, cos a 89 a x y z a a a x y z a y 7, cos 89 a a 0 (4) 与向量 a 平行的两个单位向量为 a,7,5 a 89 a z 设向量的方向余弦分别满足 () cos 0 ;() cos ;() cos cos 0 则这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何? π 解 () 由 cos 0 可知, 该向量与 x 轴夹角为, 即垂直于 x 轴, 并且平行于 yoz 坐标面 ; () 由 cos 可知, 该向量与 y 轴夹角为 0, 于是该向量的指向与 y 轴正向一致, 并且垂直于 xoz 坐标面 ; () 由 cos cos 0 可知, 该向量与 y 轴和 z 轴夹角均为, 于是该向量平行于 x 轴, 并且垂直于 yoz 坐标面 8 已知 A(,,7), B(4,5, ), 线段 AB 交 xoy 坐标面于点 P, 且 AP PB, 求的值解由于点 P 在 xoy 坐标面上, 可设点 P 的坐标为 ( x, y,0), 则 AP x, y, 7, x y 7 7 PB 4 x,5 y,, 又因为 AP PB, 即, 于是 4x 5 y 9 一个向量的终点在点 B(,,7), 且其在 x 轴 y 轴和 z 轴上的投影依次为 4, 4 和 7, 求这个向量的起点 A 的坐标解设此向量的起点 A 的坐标为 ( x, yz, ), 则向量 AB x, y,7z, 于是向量 AB 在三个坐标轴上的投影分别为 Pr j i AB x 4, Pr j j AB y 4, Pr j k AB 7z 7, 由这三个等式解得 x, y, z 0, 所以 A 点的坐标为 (,,0) 0 从点 A (,4,7) 沿着 a 8i9jk 方向取 AB 4, 求点 B 的坐标解设点 B 的坐标为 ( x, y, z ), 则向量 AB x, y 4, z 7, 又 a 8i9jk 的 x y4 z7 一个方向向量为 s 8, 9,, 于是向量 AB 和向量 s 互相平行, 可得, 8 9 x y4 z7 令 k, 则 8 9 AB ( x ) ( y 4) ( z 7) (8 k) (9 k) ( k) 4,

6 6 第 7 章向量代数与空间解析几何解得 k, 于是 x 8k 8, y 9k 4, z k 7 7, 所以点 B 的坐标为 (8,, 7) 7 向量的数量积向量积 7 基本要求熟练掌握用坐标表达式进行向量的数量积与向量积的运算掌握两个向量夹角的求法熟练掌握两个向量互相垂直和平行的条件 7 答疑解惑给出向量 a 和, 如何求以向量 a 和为邻边的平行四边形的面积? 答以向量 a 和为邻边的平行四边形的面积为 asin( a, ) a, 这也是向量积的模的几何意义 ; 同时可知, 以向量 a 和为邻边的三角形的面积为 asin( a, ) a 向量的数量积是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的余弦, 向量的向量积是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的正弦, 这两种说法正确吗? 答第一种说法是正确的 ; 第二种说法是不正确的因为向量的向量积的结果是一个向量, 这个向量的模是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的正弦, 其方向与这两个向量符合右手法则, 且与这两个向量都垂直在空间直角坐标系中,i,j,k 分别表示沿 x 轴,y 轴,z 轴正向的单位向量, 它们的坐标表示式分别为 i =, 0, 0,j =0,,0,k =0,0,, 为什么 i i j j kk 0, 而 ii j j kk? 答两种乘法的意义不一样因为 i i i i sin 0 0, 所以 i i 0, 同理 j j kk 0 ; 而 ii i i cos0 i, 同理 j j kk 4 向量的乘法有几种? 答向量的乘法主要有如下三种 : () 向量与数的乘法 () 向量与向量的数量积, 两个向量的数量积是一个数, 满足交换律和结合律 () 向量与向量的向量积, 两个向量的向量积仍然是一个向量, 满足结合律但不满足交换律注意, 向量没有除法运算! 5() 若向量 a 0, 且 aac, 能否由此推出 c, 为什么? () 若向量 a 0, 且 aac, 能否由此推出 c, 为什么? () 若向量 a 0, 且 aac, aac, 能否由此推出 c, 为什么? 答 () 不能推出 c 这是因为, 当 a 0 时, 由已知条件 aac, 可得 a( c ) 0, 即 a ( c), 这里的向量 c 不一定是零向量

7 7 向量的数量积向量积 7 例如, 当 a {,0,0}, {0,,0} 和 c {0,0,} 时, a ac 0, 但是 c () 不能推出 c 这是因为, 当 a 0 时, 由已知条件 a ac, 可得 a( c ) 0 即 a//( c ), 这里的向量 c 不一定是零向量例如, 当 a {,0,0}, {,,0} 和 c {,,0} 时, a ac {0,0,}, 但是 c () 可以推得 c 这是因为 aac, 所以 a( c ) 0, 即 a 垂直于 c 又因为 aac, 所以 a ( c ) 0, 即 a 平行于 c 这样, a 既垂直于 c, 又平行于 c, 且 a 0, 只有 c 0, 即 c 成立由 () 和 () 可知, 向量的数量积和向量积运算不同于数的运算, 不满足消去律 7 基本题型分析题型有关向量的数量积与向量积的运算 4 例设向量 a,,,,, k, 若 a 与垂直, 则 k ; 若 a 与平行, 则 k 6 解应分别填和 4 因为若 a 与垂直, 则 a 0, 即 k 0, 从而 6 解得 k ; 若 a 与平行, 则对应坐标成比例, 即 4 k, 从而解得 k 例求向量 a i jk 在向量 i jk 上的投影 a ( ) 5 解向量 a 在向量上的投影为 Pr j a ( ) 例求向量, 使得它与向量 a i jk 平行, 且 a 8 解设向量的坐标为 x, yz,, 由已知可得 a x yz 8 又因为向量和 x y z a 平行, 所以令 k, 则 x k, y k, z k, 将它们代入到 x yz 8 中, 得到 k 于是 x 4, y, z 4, 所以向量的坐标为 4,, 4 例 4 已知向量 a,,c 两两垂直, 且 a,, c, 求向量 d ac 的模和它与向量的夹角 d dd ac ac a c acca 4, 可解由得 d 4 又因为 d cos d ac a c d d 4, 4 4 所以 arccos 4 例 5 已知两点 A (,0,0) 和 B (0,,), 试在 z 轴上求一点 C, 使得三角形 ABC 的面积最小解设 z 轴上的一个点 (0,0, ) AB,, AC, 0, z, 因此 C z, 则,

8 8 第 7 章向量代数与空间解析几何 i j k AB AC z, z,, 0 z 于是三角形 ABC 的面积为 4 S AB AC sin( AB, AC) ABAC 4 z ( z) 4 5z, 5 5 当 z 时, S 最小, 故所求点为 0,0, 5 C 5 74 习题全解求向量 a {4,, 4} 在向量 {,,} 上的投影 a 4 ( ) 4 解向量 a {4,, 4} 在向量 {,,} 上的投影为 Prja 设 a i jk, i jk, 求 : () a 及 a ;() ( a) 及 a ;() a 与夹角的余弦解 () a, a i j k i j k 5i j7k; () ( a) ( 6i j4 k) (i6j k ) ( 6) 64 ( ) 8, i j k a (i j k) (i 4j k) 4 i j k 0i j4 k; 4 4 () a 和夹角的余弦为 a ( ) ( ) ( ) cos( a, ) a ( ) ( ) ( ) 已知 OA i k, OB j k, 求三角形 OAB 的面积解法一根据向量积的定义可知, 三角形 OAB 的面积为 S sin, OAB OA OB OA OB OAOB i j k 9 又因为 OAOB 0 i jk, 所以 S OAB ( ) ( ) 0 OA, 0, OB 0,, 的夹角余弦为解法二在三角形 OAB 中, 与

9 7 向量的数量积向量积 9 OAOB 00 9 cos OA, OB, OA OB 于是 sin OA, OB, 所以三角形 OAB 的面积为 S OAB OA OB sin OA, OB 试用向量证明直径所对的圆周角是直角证明如图 7- 所示, 给定一个圆 O, AMB 是直径 AB 所对的圆周角又 MAMB OA OM OB OM OB OM OB OM OB OM 0, 所以 AMB 是直角 5 已知 a {,,}, {,, },c {,, 0}, 计算图 7- 下列各式 : () ( a) c( ac) ;() ( a ) ( c );() ( a ) c;(4) ( a) c 解 () ( a) c( ac) ( ( ) ( ) ) c( ( ) ( ) 0) 8( c ) 8 {0,, } 0, 8, 4 ; i j k () ( a) ( c ) {, 4,4} {,,} ,, 0,, ; () ( a) c ( ) ; (4) ( a) c ({,,} {,, }) {,, 0},, {,, 0} { 8, 5,} {,,0},,,, 已知 ( a ) ( a ), ( a ), 求 a 与的夹角解因为 ( a ) ( a ), 所以 ( a ) ( a ) a a6 0 又 ( a ), 从而 ( a) a 0, 即 a, 因此 a 7, 于是 a cos( a, ) a 7 7 7, 7 即向量 a 与的夹角为 arccos 7

10 0 第 7 章向量代数与空间解析几何 7 已知三个点 M (,, ), M (,,) 和 M (,,), 求与 MM, M M 同时垂直的单位向量, 4, 0,,, 于是与向量 MM, M M 4 4 MM MM,, 6, 4, 4, 因此与向量 0 0 解由题意可知向量 MM, MM 同时垂直的向量为 a MM, M M a a 同时垂直的单位向量为 6, 4, 4,, ( ) 6 ( 4) ( 4) a i j k 74 空间平面及其方程 74 基本要求熟练掌握平面的方程会讨论平面之间的位置关系 74 答疑解惑在平面的一般方程 Ax By Cz D 0 中, 如何通过 A, B, C, D 的取值判断平面的特殊位置? 答若 D 0, 则平面过原点 ; 若 A, B, C 中有一个为零, 则平面平行于相应的坐标轴, 若再加上 D 0, 则平面过相应的坐标轴例如, A 0 表示平面平行于 x 轴, A D 0 表示平面过 x 轴 ; 若 A, B, C 中有两个为零, 则平面平行于相应的坐标面, 若再加上 D 0, 则平面与相应的坐标面重合例如, A B 0 表示平面平行于 xoy 坐标面, A B D 0 表示平面与 xoy 坐标面重合求平面的方程主要有几种方法? 答求平面的方程主要有如下四种方法 : () 利用平面的点法式方程找出平面上的一个点 0, 0, 0 Ax x By y Cz z x y z 和平面的一个法向量 A, BC,, 则平面的点法式方程为 ( 0) ( 0) ( 0) 0, 这是求平面方程的基本方法 () 利用平面的一般方程假设平面的一般方程为 Ax By Cz D 0, 再根据已知条件确定方程中的未知量 A, B, C, D, 从而得到平面的一般方程 () 利用平面的截距式方程找出平面在三个坐标轴上的截距, 假设分别为 acac,, ( 0), x y z 则平面的截距式方程为 a c (4) 也可利用过直线的平面束方程 ( 在 75 节中将具体介绍 ) 建立平面的一般方程需要几个条件? 答在平面的一般方程 Ax By Cz D 0 中, A, BCD,, 四个常数只有三个是相互独

习题10-1

习题10-1 第七章空间解析几何与向量代数 1. 求点 (,-3,-1) 关于 :(1) 各坐标面 ;() 各坐标轴 ;(3) 坐标原点的对称点. 解答 :(1)xOy 面 : (, 3,1),yOz 面 : (, 3, 1),zOx 面 : (,3, 1) ()x 轴 :(,3,1 ),y 轴 :(, 3,1),z 轴 :(,3, 1) (3) (,3,1 ). 所属章节 : 第七章第一节 ; ;. 求点 (4,-3,5)

第 7 章向量代数与空间解析几何 0 0 a 取 c a a 例 在四边形 ABCD 中, AB a, BC 4a,CD ABCD 为梯形 分析 5a, 证明四边形 若能利用向量关系证明四边形 ABCD 中的一组对边互相平行, 则可知四边形 ABCD 为梯形 证明在四边形 ABCD 中, AD AB

第 7 章向量代数与空间解析几何 0 0 a 取 c a a 例在四边形 ABCD 中, AB a, BC 4a,CD ABCD 为梯形分析 5a, 证明四边形若能利用向量关系证明四边形 ABCD 中的一组对边互相平行, 则可知四边形 ABCD 为梯形证明在四边形 ABCD 中, AD AB