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銮查
5 years ago
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1 第一章函数的极限与连续一函数及其性质二极限三函数的连续性分析基础函数极限连续研究对象研究方法研究桥梁

2 第一节函数及其性质一函数的概念二函数的性质

3 一函数的概念 ( 一 ) 区间与邻域 1. 区间研究函数时, 常常要用到区间的概念. 设 a, br 且 a b, 规定 : 开区间 ( a, b ) a b 闭区间 [ a, b ] a b 右半开区间左半开区间 [ a, b ) ( a, b ] a b a b 实数 a,b 叫相应区间的端点, 数 b - a 称为区间的长度. 3

4 无限区间 [ a, ) a ( a, ) a (, b] b (, b) b (, ) R 4

5 N ( 0). 邻域以 0 为中心的任何开区间称为点的邻域, 记作点的邻域 0 a 0 N ( 0, ) N( a, ) a a 点的去心邻域 0 0 ( ) a a a 其中, 称为邻域中心, 正数称为邻域半径. 0 0 (, ) 0 0 点的左邻域 : ( 0, 0), 右邻域 : 0 0 N( 0 ) (, ) (, ) (, ). 5

6 ( 二 ) 函数的概念 1. 函数的定义定义设, 是两个变量,D 是 R 的非空子集, 任意 D, 变量按照某个对应关系 f, 有唯一确定的实数与之对应 ( 记作 =f () ), 则称 f 是定义在 D 上的函数, 称为自变量, 称为因变量. D 称为函数 f 的定义域, 数集 f (D)={ f () D } 称为函数 f 的值域. 6

7 定义域 : 是指使表达式及实际问题都有意义的自变量集合. 确定函数的两要素 :(1) 对应关系 ; () 定义域. 两个函数只有当两要素都相同时, 才是同一个函数. 如, 绝对值函数定义域值域与函数 g () =, 定义域 D = R, 值域 f ( D ) = R, 在 < 0 时对应关系不相同, 所以, 是两个不同的函数. 但 f () 与 h( ) 则是同一个函数. 7

8 例 1 确定函数的定义域, 并求解 0, f 3 0, ( ) 3 ln( ) (3), f ( t ). 该函数的定义域应为满足不等式组故该函数的定义域为 4 f 解之得 : D (, 3 ]. f (3) ln(3 ) 0, f ( t ) 3 t t ln( t ), t

9 . 函数的表示方法常用的方法有 : 表格法图示法和公式法 (1) 以表格形式表示函数的方法称为函数的表格表示. () 以图形表示函数的方法称为函数的图示法. (3) 用数学式表示函数的方法称为函数的公式表示法, 也称解析法. 9

10 3. 反函数定义设有函数 = f (), 其定义域为 D, 值域为 M. 如果对于 M 中的每一个值 ( M), 都可以从关系式 =f () 确定唯一的值 ( D) 与之对应, 那么所确定的以为自变量的函数 ( ), 叫做函数 =f () 的反函数, 它的定义域为 M, 值域为 D. 习惯上, f ( ), D 的反函数记成 f 1 ( ), M 10

11 反函数性质 : (1) =f () 单调递增 ( 减 ), 其反函数存在, 且反函数也单调递增 ( 减 ). () 函数 = f () 与其 f 1 ( ) 反函数的图形关于直线 = 对称. Q( b, a) o P( a, b) f ( ) 11

12 4. 基本初等函数及其图象 : 幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数 ( R), a ( a 0, a 1), log ( a 0, a 1), a sin, cos, tan, cot, arcsin, arccos, arctan, arccot 以上五类函数称为基本初等函数. 1

13 基本初等函数 1 幂函数 ( 是常数 ) 1 (1,1) 1 o 1

14 指数函数 a ( a 0, a 1) e 1 ( ) a a ( a 1) (0,1)

15 a ln 3 对数函数 log ( a 0, a 1) log a (1,0) ( a 1) log 1 a

16 4 三角函数正弦函数 sin sin

17 余弦函数 cos cos

18 正切函数 tan tan

19 余切函数 cot cot

20 6. 反正弦函数 : sin 在 [, ] 上的反函数叫反正弦函数, 记作 : arcsin, 它的定义域 :[ 1,1], 值域 :[, ], 函数单调增加且有界. sin( arcsin ), arcsin( ) arcsin [ 1, 1] 0

21 7. 反余弦函数 : cos 在 [0, ] 上的反函数叫反余弦函数, 记作 : arcc os, 它的定义域 :[-1,1], 值域 :[0, ], 函数单调减少且有界. cos(arccos ), arccos( ) arccos, arcsin arccos [ 1, 1] 1

22 8. 反正切函数 : tan 在 (, ) 内的反函数叫反正切函数, 记作 : arct an, 它的定义域 : (, ), 值域 : (, ), 函数单调增加且有界. tan(arctan ), arctan( ) arctan, (, ) 渐近线渐近线

23 9. 反余切函数 : cot 在 (0, ) 内的反函数叫反余切函数, 记作 : arcc ot, 它的定义域 : (, ), 值域 :(0, ), 函数单调减少且有界. cot(arccot ) cot, arccot( ) arccot, arctan arccot, (, ). (0, ) 0 o 3

24 5. 复合函数定义设函数 f ( u) 的定义域为 U, 函数 u ( ) 的定义域为 X, 若 D { X ( ) U}, 则对任意 D, 通过 u ( ), 变量总有确定的值 f( u ) 与之对应, 这样就确定一个以为自变量, 为因变量的函数, 该函数称为 f ( u) 和 u ( ) 的复合函数, 记作 f [ ( ) ], D 是它的定义域, u 称为中间变量. 4

25 如, 1 是由 u, u 1 复合而得的. 说明 : 1. 不是所有函数都能构成复合函数. 例如 :1. 函数 u u arcsin,. 因为 u = + 的值域为 [, ), =arcsinu 的定义域为 [-1,1], 由于 [, ) [ 1,1], 所以 arcsin u, u 不能构成复合函数. 5

26 . 复合函数还可以由两个以上函数的复合而成. 例如 : 函数 u, u sin v, v 复合而成的函数为 sin 3. 对于复合函数要会分解. 分解复合函数原则 : 由处层向内层逐层分解, 并观察各层函数是否为基本初等函数或简单函数. 注 : 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算构成的函数叫简单函数. 6

27 例试将下列函数复合成一个函数 : (1) u 与 () 解 u 1 ; u u v v arcsin,, 1. (1) 所求的复合函数为 1, 它的定义域为 :[-1,1] () 所求的复合函数为 arcsin 1, 它的定义域为 :, 1 1,. 7

28 例 3 指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的 : (1) cos ; () ln sin. 解 (1) cos 是由 u, u cos 复合而成. () ln sin 是由 u, u ln v, v sin 复合而成. 8

29 6. 初等函数定义由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成, 且可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 如 1 1 cos 3 3 ln[1 arcsin( )] 表面形式复杂, 但依然是初等函数. 9

30 a a a 是初等函数 0 1 n n a a a 0 1 e sin 1 n n 不是初等函数是初等函数, 0, 1, 0. 不是初等函数 30

31 7. 分段函数对定义域的某些不同部分, 对应关系用不同的式子表示的函数, 称为分段函数. 例如 : 注意 : f( ) sin, 0, 1, 0. 分段函数一般不是初等函数. 分段函数不可认为是若干函数的和, 也不是几个函数, 而是一个函数! 只是随着自变量取不同范围的值, 函数对应的表达式不同. 31

32 例 4 设 1, 0, f ( ) 0, 0, 1, 0. 求其定义域值域及 f () f (0) 和 f (-). 解定义域 D = R, 值域 M={-1,0,1} f () = 1, f (0) = 0, f (-) = o 1 f () 叫符号函数, 记为 : sgn 3

33 例 5 取整函数 =[], [] 表示不超过的最大整数 o 阶梯曲线

34 例 6 狄利克雷函数 D( ) 1 0 当是有理数时当是无理数时 1 无理数点 o 有理数点

35 例 7 取最值函数 ma{ f ( ), g( )} min{ f ( ), g( )} f () f () o g() o g()

36 例 8 设, 0 1, f ( ) 1, 1. 求其定义域值域及解定义域 D = [0,+ ), 值域 M = [0,+ ) 1 1. f t 0 时, 无意义 ; t >0 时, f 1 t f (1 ), f (1 t). f (1 t) 1 1, 0 t 1, t, t 1 t 36

37 二. 函数的性质 ( 一 ) 奇偶性定义设函数 =f () 的定义域关于原点对称, 如果对于定义域中的任何, 都有 f ( ) f ( ), 则称 =f () 为偶函数. 如果对于定义域中的任何, 都有 f ( ) f ( ), 则称 =f () 为奇函数. 不是偶函数也不是奇函数的函数, 称为非奇非偶函数. 37

38 奇函数与偶函数图象的对称性如果一个函数是奇函数, 则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之, 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形, 则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数, 则它的图形是以轴为对称轴的轴对称图形 ; 反之, 如果一个函数的图象关于轴对称, 则这个函数是偶函数. 38

39 例 9 判断函数的奇偶性. 解定义域 D = (, ), f ( ) ln( 1) 且有 f ( ) l n( 1) 1 l n l n( 1) 1 f( ) 所以该函数是奇函数. 39

40 ( 二 ) 单调性定义设函数 =f (), 1, 为区间 (a,b) 内任意两个数, 若当 1 < 时, 有 f ( 1 ) < f ( ), 则称函数 f () 在区间 (a, b) 内是单调增加的 ; 若当 1 < 时, 有 f ( 1 )> f ( ), 则称函数 f () 在区间 (a, b) 内是单调减少的. 40

41 几何特征单调增加单调减少 41

42 ( 三 ) 有界性定义设函数 = f () 在区间 I 上有定义, 当任意 I, 恒有 f () M 成立, 则称函数 =f () I 上的有界函数 ; 如果不存在这样的正数 M, 则称函数 = f () 为 I 上的无界函数. 4

43 几何特征我们说一个函数是有界的或是无界的, 应同时指出其自变量的相应范围. 43

44 ( 四 ) 周期性定义对于函数 =f (), 如果存在一个不为零的正数 L, 使得对于定义域内的一切, 等式 f ( +L)= f () 都成立, 则 = f () 叫做周期函数,L 叫做这个函数的周期. 周期函数若存在最小正周期, 通常将最小正周期简称为周期. 44

45 五双曲函数与反双曲函数 1 双曲函数双曲正弦 sinh e e cosh D : (, ), 奇函数. 1 e 双曲余弦 cosh e e 1 e D : (, ), 偶函数. sinh

46 双曲正切 tanh sinh cosh e e e e D : (, ) 奇函数, 有界函数,

47 双曲函数常用公式 ; sinh cosh cosh sinh ) sinh( ; sinh sinh cosh cosh ) cosh( 1; sinh cosh ; cosh sinh sinh. sinh cosh cosh

48 反双曲函数反双曲正弦 arsinh ; arsinh ar sinh ln( 1). D : (, ) 奇函数, 在 (, ) 内单调增加.

49 反双曲余弦 ar cosh arcosh arcosh ln( 1). D :[1, ) 在 [ 1, ) 内单调增加.

50 反双曲正切 ar tanh artanh 1 1 ln. 1 artanh D : ( 1,1) 奇函数, 在 ( 1,1) 内单调增加.

51 内容小结 : 一. 函数的概念函数的定义及表示法反函数复合函数基本初等函数初等函数分段函数二. 函数的性质奇偶性单调性有界性周期性 51

52 课后作业课程网站 5

1-2

1-2 第二节微积分的研究对象函数主要内容 : 函数基本初等函数与复合函数一函数常量 : 保持不变的量. 如常数 1-50 e π 变量 : 可以取不同值的量. 如 sin 中的, sin ln(1+ ) 中的, ln(1+ ) 定义 ( 传统定义 ) 如果在变化过程中有两个变量 y, 在某个变化范围 X 内的每一确定的值, 按照某个对应法则 f, y 都有唯一确定的值与它对应, 那么 y