2013年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷

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绒侑扈
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1 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷题号一二三四总分得分考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整一选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分, 共分 ) 得分. 设 f ( ) si(cos ), (, ), 则此函数是 ( ) 阅卷人 A. 有界函数 B. 奇函数 C. 偶函数 D. 周期函数. 若函数 y f () 是区间 [,5] 上连续函数, 则该函数一定 ( ) A. 在区间 [,5] 上可积 B. 在区间 (,5) 上有最小值 C. 在区间 (,5) 上可导 D. 在区间 (,5) 上有最大值. cos d ( ) A. B. C. - D 由曲线 y, y 所围成的平面图形的面积为 ( ) A. B.

2 C. 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌 D. 5. 已知二阶微分方程 y y 6y si cos, 则设其特解形式为 ( ) A. ( cos b si ) B. ( cos b si ) C. ( cos bsi ) D. ( cos bsi ) 二. 填空题 :( 只须在横线上直接写出答案, 不必写出计算过程, 每小题 4 分, 共 4 分 ) 得分 6. 极限 lim l si( ). 阅卷人 7. 函数 y si 的定义域为. f ( ) f ( ) 8. 已知 f ( ), 则 lim 9. 若函数 y y() si y 由方程 y 所确定, 则 y. d.. l. 极限 lim (si si si si) 用定积分表示为.. 级数 ( ) 的收敛区间是.. 常微分方程 y P( ) y Q( ) y 的通解为. 4. 法向量为 (,,) 的过点 (,,) 的平面方程是. 5. 球面 y ( z ) 4 与平面 y z 6 之间的距离等于

3 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌三计算题 : 本大题共 8 小题, 其中 6-9 小题每小题 7 分,- 小题小题 8 分, 共 6 分. 计算题必须写出必要的计算过程, 只写答案的不给分. si ( ), 6. 设 f ( ) si, f () 是连续函数, 求的值. (7 分 ) < <, 若得分阅卷人 7. 设 f ( ),,, 求 f ().(7 分 ) 8. 求函数 y 的单调区间以及凹凸区间.(7 分 )

4 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌 9. 讨论方程 cos 的根的个数.(7 分 ). 求 si d (8 分 ) l( ). 计算 d.(8 分 ) d. 计算瑕积分.(8 分 ) ( ) 4

5 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌. 将函数 f ( ) 展开成的幂级数, 并指出其收敛域.(8 分 ) 6 四. 综合题 : 本大题共小题, 每题分, 共分. 4. 证明 : 若 f () 是 [, ] 上的连续函数, 则得分阅卷人 f ( ) d, f ( ) f ( ) d ( 分 ), f ( ). 5. 设 f () 是实的非负可积函数, 若可积函数 () 满足 ( ) f ( s) ( s) ds, 则 ( ).( 分 ) 5

6 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌 6. 若 f () 在的某个邻域中有连续的一阶导数, f ( ), f () f ( ) f (si ) 在. 证明 : lim f ( ). ( 分 ) 4 6 存 6

7 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌年高等数学真题试卷参考答案及评分标准一选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分, 共分 ). A 题号 4 5 答案 A A D 没正确答案 B 解析 : 因为 si(cos ), 所以函数 f ( ) si(cos ) 是有界函数, 容易验证 f ( ) si(cos ) 是非奇非偶函数, 非周期函数, 所以答案 A 正确. A 解析 : 由可积的充要条件可知, 函数 f () 在闭区间 [,5] 上连续 f () 闭区间 [,5] 上可积因此, 选项 A 正确. C 解析 : cos d d si si si d cos. 4. 在解析 : 据题意画图可知, d B 解析 : 特征方程为 r r 6, 解得 r, r, 而 λ 是特征方程的单根, 所以取 k, 所以 y y 6y si cos 的特解形 * 式可设为 y ( cos bsi ), 选项 B 正确二. 填空题 :( 只须在横线上直接写出答案, 不必写出计算过程, 每小题 4 分, 共 4 分 ) 6. 7

8 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌 l si( ) cos( ) 解析 : lim l si( ) lim lim ( ) si lim cos( ) 7. [ k,(k ) ]( k Z) 解析 : 由 si 解得 k (k ) ( k Z ) 8. 解析 : f ( ) f ( ) lim lim f ( ) f () lim f () f ( ) f ( ) f () lim lim 9. si y si y cos y f ( ) f () f (). si y si y 解析 : 隐函数方程求导, y y cos y, 解得. l l C si y y. si y cos y d d l 解析 : l l C l l. si d 解析 : 利用定积分的定义求极限, lim (si si si si) lim ( si si si si) 8

9 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌 i i lim si d si. i. (, ) u ( ) 解析 : 利用比值判别法的思想, lim lim ( ) <, u 解得 < <. ) ( ) (. p d p d [ Q( ) d C] y dy 解析 : 伯努利方程, 令 z, 则 y, y z d dz, 所以 z d dz dz P( ) Q( ) P( ) z Q( ), 由一阶线性微 z d z z d ( ) ( ) 分方程的通解公式可知, z P d P d [ Q( ) d C], ) ( ) ( 即 P d P d [ Q( ) d C] y. 4. y z 解析 : 由点法式可知, 所求平面方程为 ( ) ( y ) ( z ), 即 y z 解析 : 球心坐标为 (,,), 半径 R, 球心到平面 y z 距离为 4 6 ( ) 6, 故所求距离为 4 6. 三计算题 :( 计算题必须写出必要的计算过程, 只写答案的不给分, 共 6 分 ) 的 9

10 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌 6. 解 : 因函数 f () 是连续函数, 所以 f () 在处连续, 所以 lim f ( ) f () lim f ( ) 分 si ( ) si ( ) 由左连续可 lim f ( ) lim lim si si cos lim f () lim f ( ) 5 分 lim( si cos ), 可得 7 分 7. 解 : 当时, f ( ) 分 f () lim f ( ) f () lim lim lim lim 6 分 f ( ),, 7 分 8. 解 : 易知函数 y 的定义域为 (,) (, ) ( ) y 分且令 y, 得 ( 驻点 )

11 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌当 > 时, y > ; 当 < 时, y <, 故 y 在处取极小值单调增区间为 (, ), 单调减区间为 (,),(, ). 5 分 (4 4 ) 又因 y, 所以当 > 时, y > ; 当 < 时 y <, 故函数 y 的凹区间为 (, ), 凸区间为 (,) 7 分 9. 解 : 令 f ( ) cos, f ( ) <, f ( ) >, 4 ( ) f >, 且 f () 在 [,] 和 [, ] 上连续 4 所以由零点定理知, 至少存在一点 ξ (,) 和 ξ (, ) 使得 f ( ξ ) 且 f ( ξ ). 4 分又因 f ( ) 6 si, f ( ) 6 cos >, 所以 f () 是增函数所以当 < 时, f ( ) < f (), 即 f ( ) < 当 > 时, f ( ) > f (), 即 f ( ) > 所以, 函数 f () 在 (,) 上严格单调递减, 在 (, ) 上严格单调递增因此, 综上可知方程 cos 共有个根 7 分. 解 : si d d cos 4 分 [ cos cos d] cos cos d 6 分

12 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌 cos si C 4 8 分 l( ). 解 : d l( ) d l( ) l ( ) (l ) 8 分. 解 : 是瑕点, 分 d d sc ( ) ( ) 4 scd l sc C l C 所以 d ( ) [l ] l( ) 6 分 8 分. 解 : f ( ) [ ] 6 ( )( ) 5 分又因, (, ) 所以 ( ) ( ), <, < 所以 f ( ) ( ) [ ], (,) 5 6 分当时, f ( ) 5 ( ) [ ] 发散

13 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌当时, f () 5 [ ( ) ] 发散所以收敛域为 (,) 8 分四综合题 : 本大题共小题, 每小题分, 共分. 4. 证明 : 因为 f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( )( d) f ( ) d 4 分 (ⅰ) 若函数 f () 为偶函数, 则 f ( ) d f ( ) d 所以 f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d ; (ⅱ) 若函数 f () 为奇函数, 则 f ( ) d f ( ) d 所以 f ( ) d f ( ) d f ( ) d 综合 i 和 ii 可知 f ( ) d, 若 f ( ) 为偶函数, f ( ) d, 若 f ( ) 为奇函数. 分 5. 证明 : 令 F( ) f ( s) ( s) ds, 则 F ( ) f ( ) ( ) F ( ) 所以 ( ), F( ) f ( ) 又 ( ) f ( s) ( s) ds, 且 f () 是实的非负可积函数 F ( ) F( ) F ( ) F( ) f ( ) f ( ) F ( ) F( ) f ( ) 5 分 f ( s) ds [ F( )]

14 文亮教育 ( 浙江专升本辅导第一品牌 f ( s) ds 函数 G( ) F( ) 单调递减 f ( s) ds 当时, G( ) G(), 即 F( ), 所以 F( ) ( ) 分 6. 证明 : 函数 f () 在的某个邻域中有连续的一阶导数所以由拉格朗日中值定理可知, 至少存在一点 ξ (si, ) (, δ ), 其中 < σ < 使得 f ( ) f (si ) f ( ξ )( si ) si ξ ξ 所以 < <, 所以 lim ( 利用夹逼准则可得 ) 所以当时, ξ ~ 5 分 f ( ) f (si ) f ( ξ )( si ) 所以 lim lim 4 4 si lim f ( ξ ) si f ( ξ ) lim lim cos f ( ξ ) f () lim lim ξ 6 f () 4

2014年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷

2014年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷 4 年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷题号一二三四总分得分考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整一选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分, 共分 ) 得分阅卷人. 当时, 若 f () 存在极限,