第一天 核心考点 极限的概念, 极限的计算, 连续性, 间断点的分类, 闭区间上连续函数的性质 巩固练习 一 选择题 设 时, e cos n e 与 是同阶无穷小, 则 n 为 ( ) ( A) 4 ( B) 5 ( C ) 5 ( ) 设 时, 下列 4 个无穷小量中比其它 个更高阶的无穷小量是

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1 目录 第一天... 第一天参考答案... 4 第二天... 7 第二天参考答案... 9 第三天... 第三天参考答案... 4 第四天... 7 第四天参考答案... 9 第五天... 第五天参考答案... 4 第六天... 6 第六天参考答案... 8 第七天... 第七天参考答案... 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

2 第一天 核心考点 极限的概念, 极限的计算, 连续性, 间断点的分类, 闭区间上连续函数的性质 巩固练习 一 选择题 设 时, e cos n e 与 是同阶无穷小, 则 n 为 ( ) ( A) 4 ( B) 5 ( C ) 5 ( ) 设 时, 下列 4 个无穷小量中比其它 个更高阶的无穷小量是 ( ) ( A) ln( ) ( B) e ( C ) tan sin ( ) cos 已知 lim( a b), 其中 a 与 b 是常数, 则 ( ) ( A ) a, b ( B) a, b ( C) ab ( ) a b 4 设 lim f( ) 与 lim g ( ) f( ) 均存在, 则 lim ( ) g ( ) ( A ) 存在 ( B ) 不存在 ( C ) 存在但非零 ( ) 不一定存在 二 填空题 5 已知 f sin, f, 则 6 lim ( n ( n)). n a 7 设 lim( ) 8, 则 a a. e cos 8 lim ln cos. 的定义域为. 三 计算题 9 设 f( ) 的定义域是 [,], 试求 f ( a) f ( a) 的定义域 ( a ). n n 7 n 计算极限 lim( ). n lim sin 计算极限 tan. 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

3 计算极限 lim arccos. sin sin ln e cos sin 计算极限 lim. arctan 4 cos cos e 4 计算极限 lim. 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

4 第一天参考答案. B cos cos 解析 : 因为 e e e e, 而当 e ~ cos ~. C cos 4 5 解析 : 当. A 时,, 所以 n 5. ln ~, e ~, tan sin ~, cos ~ 时, a a b a 解析 : I lim a, b a b 4. 解析 : 令 f g I 存在 ; 令 5.,,,, 解析 : 依题意得, f, g, I 不存在. sin, 所以 arcsin,, 6. 解析 : lim ( n ( n)) 7. ln n n( n ) n( n ) lim( ) n lim n a n n( n ) n( n ) + lim lim 解析 : n a n a a I e e e 8 a ln 8. a 4 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

5 e cos e cos e sin e sin 解析 : I lim lim lim lim lim cos 9. a, a a a a 解析 : a a a a a a a. n n n n 7 7 lim n lim n InIn7 lim n In n n 解析 : I e e n e n e. sin cos lim lim cos sin tan Insin 解析 : I lim e e e e. 解析 : lim lim, 故 I sin. 4 sin sin sin ln e cos e cos I lim lim lim lim 4 cos 4 cos 4 cos 4 lim 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

6 cos e (cos ) ( e ) (cos ) ( e ) lim lim lim lim 解析 : lim lim 6 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

7 第二天 核心考点 导数的定义, 微分的定义, 导数的计算 巩固练习 一 选择题 设 f( ) 在 处可导, F( ) f ( )( ), 则 f () 是 F ( ) 在 处可导的 ( ) ( A ) 必要条件但非充分条件 ( B ) 既非必要也非充分条件 ( C ) 充分必要条件 ( ) 充分条件但非必要条件 设函数 f( ) 对任意的 均满足 f ( ) af ( ), 且有 f () b, 其中 ab, 为非零常数, 则 ( ) ( A ) f( ) 在 处可导, 且 ( B ) f( ) 在 处可导, 且 ( C ) f( ) 在 处可导, 且 ( ) f( ) 在 处不可导 f () a f () b f () ab 若 f ( ) f ( )( ), 在 (,) 内 f ( ), 且 f ( ), 则在 (, ) 内有 ( ) ( A ) f ( ), 且 ( C ) f ( ), 且 sin, 4 已知 f( ) f ( ) ( B ) f ( ), 且 f ( ) ( ) f ( ), 且 A 极限不存在 C 连续但不可导 f ( ) f ( ), 则 f( ) 在 处 ( ) B 极限存在但不连续 可导 二 填空题 5 已知 f ( ), 则 lim f ( ) f ( ) t 6 设 f ( t) lim t( ), 则 f () t. t. d 7 设函数 ( ) 由方程 e cos( ) 所确定, 则 d. 7 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

8 8 已知 f( ) d f ( ) arctan, 则 d,. 三 计算题 a 9 设 f ( ) g( )sin ( )( a ), 其中 g ( ) 在 处连续, 证明 f( ) 在 处可导. 求 ab, 的值, 使函数, f( ) a b ln d 设 sin ( ), 求 d. 设, 求 d,. d 设 e sin, 求 d. 4 设 ( ) 是由方程组 在 (, ) 内连续, 可导. ( t) t t d 所确定的隐函数, 求 e sin t d t. 8 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

9 . C 第二天参考答案 解析 : 记 g f, 显然 F f g, 因此 F 的存在性等价于 g g g g g 性, 而 lim f, lim f 存在, 故选 C.. C 的存在, 所以, 当且仅当 f 时, g 解析 : 因为对任意 都有 : f af, 令, 得 f af f f a f f 所以 f lim lim af ab. A 解析 : 举例子 : f 4. 解析 : 因为有界量乘以无穷小仍为无穷小, 故 lim sin f 5. f f lim lim sin, 故, f 存在, 应选., f 在 处连续 ; 解析 : I lim lim f f f t e 6. 解析 : 7. t t lim e f t te t sin e e sin t t, 故 f t t e t 解析 : 方程两边同时对 求导, 得 : e d d sin, 解出 d d d 即所求. d 9 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

10 8. 4 解析 : d arctan f d 4 9. 解析 : 因为 f, 所以 f a sin g f f g, a,, a lim lim 因为 g 在 处连续, 故. a, b f 在 处可导. 解析 : 由右极限等于函数值可得 : b ; 由左右导数相等得 a.. ln ln sin ln ln ln ln ln 解析 : sin cos sin., d d 7 7 解析 : 由原式得 : e cos e 解析 : 两边同时对 求导, 得 : e cos cos 4. e 4 e 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

11 d d e cost e cos t d 解析 : 6t,, 故 t dt dt e sin t dt d dt dt 6 e d e cos t, d 6t d d e cost e sin t 6t e cost 6 6t, d t d e e t d 4. 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

12 第三天 核心考点 切线法线方程, 单调性, 极值点, 凹凸性, 拐点, 渐近线 巩固练习 一 选择题 设常数 k, 函数 f ( ) ln k 在 (, ) 内的零点个数为 ( ) e ( A) ( B) ( C ) ( ) f ( ) f ( a) 设 lim a ( a), 则在点 a ( A ) f( ) 处的导数存在, 且 f ( a) ( B ) f( ) 取得极大值 ( C ) f( ) 取得极小值 ( ) f( ) 的导数不存在 设 处 ( ) f 有一阶连续导数, F f sin ( A ) 必要非充分条件 ( B ) 充分但非必要条件 ( C ) 充分必要条件 ( ) 既非充分也非必要条件 4 设 f ( ) 为正整数, 则关于函数 A 有极小值 C 既无极大值, 也无极小值 f( ) 是否有极值依赖于 n 的具体取值, 则 f 是 F 存在的 ( ) n f ( ) ( ) e 的极值问题是 ( )! n! B 有极大值 f( ) 是否有极值依赖于 n 的奇偶性 二 填空题 n 5 已知曲线 f ( ) 在点 (,) 处的切线与 轴的交点为 (,), 则 lim f ( n). f () f ( ) 6 设 f( ) 可导, 且 lim, 则 f ( ) 在点 (, f ()) 处的切线斜率为 函数 f ( ) ( ) ( ) ( ) 的极值点为. 8 曲线 三 计算题 的拐点为. 中公教育考研学员专用资料报名专线 : n n

13 9 曲线 ( t) t ( t) t, 求 t 处的切线方程. sin 求函数 f ( ) ( ) 的值域. 证明不等式 e, 其中 h h 曲线 e 在 a处有拐点, 计算正参数 h. 求函数 的极小值点. 4 计算曲线 e 的凹凸区间. 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

14 第三天参考答案. B 解析 : 因为, 所以 f 在,e 内严格单增, 在, f e, 所以 f 在 lim f, lim f, f e k. B a, f 解析 : 举例子, 令. C e 内严格单减, 另外, 有两个不同的零点. 解析 : 记 g f sin, 显然 F f g, 因此 F 的存在性等价于 g, 所以, 当且仅当 g g g g 在性, 而 lim f, lim f g 存在, 故选 C. 4. n 解析 : 因为 f e n!, 所以, 当 n 为偶数时, f 值 ; 而当 n 为奇数时, 是 f 的极大值点, 综合起来, 应选. 的存 f 时, 是严格单减函数, 既无极小值也无极大 5. e 解析 : 切线方程为 n 6. n, 令, 则 n, lim f n lim e n n n n f f 解析 : lim f f ,, 解析 : 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

15 8., 4 " 解析 : 4,,, " 令, 得 9. 7, 故拐点为, 4. 解析 : 当 d d d d d t 时, 5, 8, t, t, dt t, t dt dt d d d dt 故切线方程为., 解析 : 令 f sin cos sin, 则 f, 令 g cos sin, g sin, 即 sin f 在, 上为单调递减函数, fmin f, lim, 故 f 的值域 为,. 解析 : 令 f e, f e, e f, f e, 当 时, f, 即. h a " h 4 h 解析 : 由 e 4h h h a. ln 5 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

16 解析 : 由 ln 可求得极小值点与极小值. 4. 凹区间 : (, ), (, ) ; 凸区间 : (, ) 解析 : 由 4e 得, 当 时, 为凹函数, 对应的区间为 : (, ) (, ) ; 当 时, 为凸函数, 对应的区间为 : (, ). 6 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

17 第四天 核心考点 基本积分公式, 换元积分法, 分布积分法 巩固练习 一 选择题. 设 f 是连续函数, F 是 A 当 B 当 C 当 当 f 是奇函数时, F 必是偶函数 f 是偶函数时, F 必是奇函数 f 是周期函数时, F 必是周期函数 f 是单调增函数时, F 必是单调增函数 f 的原函数, 则下列结论正确的是 ( ). 若 f 的导函数是 sin, 则 f 有一个原函数为 ( ) A sin B sin C cos cos f d C, 则. 若 f ( ) A C B C C C C e d ( ) e C, e C, e C, e C, e C, e C, e C, e C, A B C 二 填空题 5. tan d. cos 6. arctan d. 7. 设 f ln ln, 则 f. 7 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

18 8. 设 sin d C arctan cos, 则 f f 三 计算题 9. 计算不定积分 d. d. 计算不定积分. e d. 计算不定积分 sin cos d. 计算不定积分 a. 计算不定积分 4. 已知 f a tan d 的一个原函数是 e, 求 f d. d 8 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

19 . A 解析 : 排除法, 举反例, 如 B f cos, F sin C f cos, F sin 第四天参考答案 f, F. B 解析 : 由原题知 sin, 则 f cos C, f d sin C C f, 令 C, C, 右端为 sin.. C 解析 : 由 f d C 知 5 9 f u u du u C 5 4. B 解析 : 函数在 处要连续. 5. C cos dcos 解析 : I C cos cos cos arctan C 6. 解析 : 由分部积分法得 : f, 令 u, 则 f u u, I arctan d arctan d arctan C e C 7. 解析 : 令 ln t t, 则 f t e t t t t, f t e tdt e t C 9 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

20 8. sin C 4 sin 解析 : 由原题知 : sin arctan cos f cos f cos f d cos d sin C C 解析 : 令 t t t t I t dt C C 4 7. ln e C e e e I d d d e C e e 解析 : ln. tan ln tan C sin 解析 : cos sin tan I d d cot d ln tan C sin cos cos cos. a C a 解析 : 令 a tan t, 则 d asec tdt, asec t cos t a I dt dt C C. a tan tasect a sin t a sin t a tan ln cos C I sec d d tan tan tan d tan ln cos C 解析 : 4. e e C 解析 : I f f d e e C e e C 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

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22 第五天 核心考点 定积分的性质, 积分中值定理, 比较定理, 积分上限函数及其求导, 定积分计算, 反常积分 巩固练习 一 选择题 In. 设 f 为连续函数, 且 F f tdt, 则 F 等于 ( ) A f f B f f C f f f f ln ln ln ln a. 设 F f tdt, 其中 f 为连续函数, 则 lim a A a B a f a C 不存在 5 6, 则当 cos. 设 f sin t dt, g 5 6 a F 时 f 是 等于 ( ) g 的 ( ) A. 低阶无穷小 B. 高阶无穷小 C. 等价无穷小. 同阶但非等价无穷小 du du u u, 则 ( ) 4. 设 F A F B F C F arctan F arctan 二 填空题 d. d. sin 7. 设 f 有一个原函数为, 则 f 8. 设 f 连续, 且 f tdt, 则 f 8 三 计算题 d.. 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

23 9. 求极限 lim n n n n n. 求极限 lim. 求定积分 sin ln t dt 4 cos d a. 求定积分, a. 求定积分 d a d " " 4. 设 f, f, f 5, 求 f d ( 设 f 连续 ) 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

24 第五天参考答案. A F f f f f 解析 : ln ln ln. B 解析 : 由积分中值定理知, lim f tdt lim a f c a f a a a a a. a. B cos 5 f sin sin cos sin t dt 解析 : lim lim lim lim g B 解析 : 因为 F 所以 F 5. ln 解析 : 由于为奇函数, 为偶函数, 则 6. 解析 : 7. 4, 所以 F d d arctan du C, 又 F, u d d ln sin 4 解析 : f d df f f d f 8. 9 解析 : 原式两边同时求导得 : 9. f, 令 9 f, 8 4 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

25 n 解析 : I lim d n n n n n. 解析 :. 4 ~ 解析 : 4 4, sin tdt ln sin cos ln sin I cos 为偶函数, lim lim 4 为奇函数, 故 : I d 4 d 4 d d d 4 解析 : 令 cos t, I dt, 令 t u, 则 sin t cos t asin t cos t sin u du sin t cos t sin u cos u dt cos t sint 故 : I dt dt dt sint cos t sin t cos t 4. arctan sec t cos t 解析 : 令 tan t, I dt dt arctan sint arctan tan t sect sin t 4. " 5 4 解析 : I f d df f f d f 5 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

26 第六天 核心考点 二重连续及连续, 偏导数, 全微分, 偏导数及高阶偏导数的计算, 复合函数求导, 隐函数求 导, 无条件极值, 条件极值 巩固练习 一 选择题. lim ( ) A. B. C.. 不存在 cos, f. 设,,, f f f f A., 不存在 B., 连续 C. 可微. 不连续, 则 f, 在点, 处 ( ). 若函数 z f (, ) z 满足, 且 f (,), 又 f (,), 则 f(, ) 等于 ( ) A B C 4. 已知 ( cos ) ( sin ) a d b d 是某一函数的全微分, 则 ab, 取值分别为 ( ) A B C,,,, 二 填空题 5. lim. 6. 设 u f g u u, 其中函数 f, g 具有二阶连续导数, 则. 7. 设 z 是方程 z e z 所确定的 与 的函数, 则 z. 6 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

27 8. 由方程 z z 所确定的函数 z z, 在点 (,, ) 处的全微分 dz. 三 计算题 9. 设 f, 求 f,, f,, arcsin z z, 求.. 若 z ln. 若 u e sin, u 求. 设, 确定了函数 u u u f,, z,, e, z, sin du 导数, 且, 求 z d.. 已知 f,, z z z, 求 f 在第一卦限内的驻点. 4. 设 f, sin cos cos, 求, 最小值., 其中 f, 都有一阶连续偏 f 在区域, 内的最大值与 7 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

28 第六天参考答案. A 解析 :, 由夹逼定理取极限得 lim.. C f, f, f f 解析 : lim lim cos, 说明在, 存在且为, 同理可得在 f, f,, 存在且为, 且 lim lim cos. C 解析 : 由 z 得 : z f, 得 : z ; 由 ; 故 ; 由 f, 得 :, z ( ) ( ) z 4. B u u 解析 : 由 得 : cos a b cos 6, 对应系数相等, 故得 : b a, b a 6 5. 解析 : I lim 6. u " " u " " 解析 : 由 f g 及 f g, 可得 u u 7. e z z e 8 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

29 解析 : 记,, F z z e z, 则 : z z e 从而 z e e 8. d d z z F z F, z F e F e d d zdz 解析 : 在原方程的两边求微分, 可得 : zdz zd zd, z 将,, z 代入上式, 化简后得到 : dz d d 9. f,, f, 解析 : f,, f, ; f,, z f,. z z. z 解析 :, 故 z, 同理可得 ; z, 因此 I.. e 解析 : u e cos, u e u cos sin, 故 e,. f du f f z d. cos e cos 解析 : du f f f dz cos f d z d du f f cos z e cos dz d e cos d.,, 解析 : 9 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

30 4. 最大值为, 最小值为 解析 : 首先将区域内的驻点解出来, 从 f z z f z z,, z f z 4z z,, z f cos sin sin cos sin f, sin sin 由, 得 :, 故 f cos cos, 解得 :,, 即驻 6 点为, 6, f, 6 域, 内 f,, 在边界上, f, 的最小值为, 最大值为, 故在区 的最大值为, 最小值为 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

31 第七天 核心考点 二重积分的概念与性质, 利用直角坐标及极坐标计算二重积分, 对称性 巩固练习 一 选择题 k k,, 围成的闭区域, 且. 若 是由 A B C. 设 是第二象限的一个有界闭区域, 且, 记, 则 k ( ) dd 5,,,,, I d I d I d I I I 的大小顺序是 ( ) A I I I B I I I C I I I I I I t t. 设 f 为连续函数, F t d f d, 则 F () ( ) ( A) f () ( B) f () ( C) f () ( ) 4. 设区域, 4,,, a f b f d ( ) f f f 为 上正值连续函数, ab, 为常数, 则 ab a b Aab B Ca b 二 填空题 5. 已知 是长方形域 : a b, 6. 设 由 轴和 sin, 7. 积分 b, 则, 且 f d 所围成, 则积分 dd. d e d d e d 8. 积分. 中公教育考研学员专用资料报名专线 : d. f d. a

32 三 计算题 9. 计算积分 I d e d.. 设 是由点,,,,,. 计算积分 I O A B 为顶点构成的三角形区域, 计算 dd.. 计算积分. 计算积分 4. 计算 dd, 其中 是圆 R.. I dd dd, 其中 由 a dd 围成的闭区域, 其中,,,. a. 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

33 第七天参考答案. k k k 4 k 解析 : I d d d k 5 5. C 解析 : 因为, 故, 而, 从而, 应选 C.. B t t 解析 : 原积分交换积分顺序得 :, F t t f t F f 4., 则 F t d f d f d 解析 : 由于积分区域 关于直线 对称, 则 a f b f a f b f d d f f f f, 故 : a f b f a f b f a f b f d d d f f f f f f a b a bd 5. f d f d d f d f d a a a b b b 解析 : 6. 4 解析 : sin dd d d sin d 4 7. 解析 : 由区域奇偶性, 得 I d, 因为积分区域关于直线, I d 4 d d I d d 对称, 故 中公教育考研学员专用资料报名专线 :

34 8. e 解析 : 交换积分顺序, I d e d e d e 9. e 4 4 解析 : I d e d d e d e d e e.,,,,,, 解析 : 令 则. dd d d d d d d R 4 R 解析 : I 4 d r sin cos dr R. 解析 : 令 u, v. 9 a 解析 : 4, I u v dudv dudv u v u v 8a 8a cos dd d d d a 9 asin sin cos 4 4. ln 4 e 解析 : 由极坐标法得 : r r tr 4 4 r t dd d dr d r dt r r t 4 dt ln 4 t 4 e 4 中公教育考研学员专用资料报名专线 :