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妥邰
5 years ago
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1 第七节函数的图象

3 1. 描点法作图方法步骤 : (1) 确定函数的定义域 ; (2) 化简函数的解析式 ; (3) 讨论函数的性质即奇偶性周期性单调性最值甚至变化趋势 ; (4) 描点连线, 画出函数的图象.

4 2. 图象变换 (1) 平移变换 f(x)+k f(x+h) f(x-h) f(x)-k

5 (2) 对称变换关于 x 轴对称 1y=f(x) y= ; -f(x) 关于 y 轴对称 2y=f(x) y= ; f(-x) 关于原点对称 3y=f(x) y= ; -f(-x) 4y=a x 关于 y=x 对称 (a>0 且 a 1) y= ; log a x(a>0 且 a 1)

6 (3) 伸缩变换 a>1, 纵坐标伸长为原来的 a 倍, 横坐标不变 2y=f(x) y=. af(x) 0<a<1, 纵坐标缩短为原来的 a 倍, 横坐标不变

7 (4) 翻折变换保留 x 轴上方图象 1y=f(x) y=. f(x) 将 x 轴下方图象翻折上去保留 y 轴右边图象, 并作其 2y=f(x) y=. f( x ) 关于 y 轴对称的图象

8 知识拓展 1. 函数对称的重要结论 (1) 函数 y=f(x) 与 y=f(2a-x) 的图象关于直线 x=a 对称. (2) 函数 y=f(x) 与 y=2b-f(2a-x) 的图象关于点 (a,b) 中心对称. (3) 若函数 y=f(x) 对定义域内任意自变量 x 满足 :f(a+x)=f(a-x), 则函数 y=f(x) 的图象关于直线 x=a 对称. 2. 函数图象平移变换八字方针 (1) 左加右减, 要注意加减指的是自变量. (2) 上加下减, 要注意加减指的是函数值.

9 1. 函数 y=x x 的图象的大致形状是 ( )

10 x 2,x>0, 解析 :y=x x = 0,x=0, 为奇函数, 奇函数图象关于原点对称. -x 2,x<0 答案 :A

11 2. 函数 f(x)= 1 x -x 的图象关于 ( ) A.y 轴对称 B. 直线 y=-x 对称 C. 原点对称 D. 直线 y=x 对称解析 : 函数 f(x) 的定义域为 (-,0) (0,+ ), f(-x)= 1 -x -(-x)=- 1 x -x =-f(x), 所以 f(x) 为奇函数, 所以其图象关于原点对称. 答案 :C

12 3. 已知图 1 中的图象对应的函数为 y=f(x), 则图 2 中的图象对应的函数为 ( ) A.y=f( x ) C.y=f(- x ) B.y= f(x) D.y=-f( x )

13 f(-x),x 0, 解析 :y=f(- x )= f(x),x<0. 答案 :C

14 x 4.(2018 兰州模拟 ) 为了得到函数 f(x)=log 2 x 的图象, 只需将函数 g(x)=log 2 8 的图象向平移个单位.

15 解析 :g(x)=log 2 x 8 =log 2x-3=f(x)-3, 因此只需将函数 g(x) 的图象向上平移 3 个单位即可得到函数 f(x)=log 2 x 的图象. 答案 : 上 3

16 5. 给出下列命题 : 1 函数 f(x)= x-1 与 g(x)= x-1 的图象相同. x-1 2 函数 y=f(x) 的图象关于原点对称与函数 y=f(x) 与 y=-f(-x) 的图象关于原点对称一致. 3 当 x (0,+ ) 时, 函数 y= f(x) 与 y=f (x) 的图象相同. 4 函数 y=af(x) 与 y=f(ax)(a>0 且 a 1) 的图象相同. 5 若函数 y=f(x+a) 是偶函数, 那么 y=f(x) 的图象关于直线 x=a 对称. 其中正确的是.( 写出所有正确命题的序号 )

17 解析 :1 错误, 因为两个函数的定义域不相同 ;2 错误, 前者是函数 y=f(x) 图象本身的对称, 而后者是两个图象间的对称 ;3 错误, 例如函数 y= log 2 x 与 y=log 2 x, 当 x>0 时, 它们的图象不相同 ;4 错误, 函数 y=af(x) 与 y=f(ax) 分别是对函数 y=f(x) 作了上下伸缩和左右伸缩变换, 故函数图象不同 ;5 正确, 由 y=f(x+a) 是偶函数可得 f(a+x)=f(a-x), 故 f(x) 的图象关于直线 x=a 对称. 答案 :5

19 考点一作函数的图象典例 1 作出下列函数的图象 (1)y= lg x ; (2)y=2 x+2 ; (3)y=x 2-2 x -1; (4)y= x+2 x-1.

20 lg x(x 1) 解 :(1)y= 图象如图 1. -lg x(0<x<1) (2) 将 y=2 x 的图象向左平移 2 个单位. 图象如图 2. x 2-2x-1(x 0) (3)y= x 2 +2x-1(x<0). 图象如图 3.

21 (4) 因为 y=1+ 3 x-1, 先作出 y= 3 x 的图象, 将其图象向右平移 1 个单位, 再向上平移 1 个单位, 即得 y= x+2 的图象, 如图 4. x-1

22 反思归纳画函数图象的一般方法 (1) 直接法. 当函数表达式 ( 或变形后的表达式 ) 是熟悉的基本初等函数时, 就可根据这些函数的特征直接作出. (2) 图象变换法. 若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移翻折对称得到, 可利用图象变换作出, 但要注意交换顺序. 对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形, 并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

23 即时训练作出下列函数的图象 : (1)y=sin x ;(2)y= x+2 x+3. 解 :(1) 当 x 0 时,y=sin x 与 y=sin x 的图象完全相同, 又 y=sin x 为偶函数, 其图象关于 y 轴对称, 其图象如图.

24 (2)y= x+2 x+3 =1-1 x+3, 该函数图象可由函数 y=- 1 x 的图象向左平移 3 个单位再向上平移 1 个单位得到, 如图所示.

25 考点二函数图象的识别典例 2 (1)(2018 杭州模拟 ) 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数, 则函数 y =f( x-1 )-1 的图象可能是 ( )

26 -2x,-1 x 0, (2) 已知 f(x)= 则下列函数的图象错误的是 ( ) x,0<x 1.

27 解析 :(1) 根据题意, 由于函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数, 那么可知函数 y=f( x -1 )-1 的图象先是保留在 y 轴右侧的图象不变为增函数, 再作关于 y 轴对称的图象, 再整体向右平移一个单位, 再整体向下平移一个单位, 那么可知为先减后增, 同时关于直线 x=1 对称, 故选 B. (2) 先在坐标平面内画出函数 y=f(x) 的图象, 再将函数 y=f(x) 的图象向右平移 1 个单位长度即可得到 y=f(x-1) 的图象, 因此 A 正确 ; 作函数 f=(x) 的图象关于 y 轴的对称图形, 即可得到 y=f(-x) 的图象, 因此 B 正确 ;

28 y=f(x) 的值域是 [0,2], 因此 y= f(x) 的图象与 y=f(x) 的图象重合,C 正确 ; y=f( x ) 的定义域是 [-1,1], 且是一个偶函数, 当 0 x 1 时,y=f( x )= x, 相应这部分图象不是一条线段, 因此选项 D 不正确. 综上所述, 选 D. 答案 :(1)B (2)D

29 反思归纳知式选图的策略 (1) 从函数的定义域, 判断图象的左右位置 ; 从函数的值域, 判断图象的上下位置 ; (2) 从函数的单调性 ( 有时可借助导数判断 ), 判断图象的变化趋势 ; (3) 从函数的奇偶性, 判断图象的对称性 ; (4) 从函数的周期性, 判断图象的循环往复 ; (5) 从函数的特殊点 ( 与坐标轴的交点经过的定点极值点等 ), 排除不合要求的图象.

30 即时训练函数 y= 2x cos 2x 2 2x 的部分图象大致为 ( ) -1

31 解析 : 依题意, 注意到当 x>0 时,2 2x -1>0, 2 x cos 2x 0, 此时 y 0; 当 x<0 时,2 2x -1<0, 2 x cos 2x 0, 此时 y 0, 结合各选项知, 故选 A. 答案 :A

32 考点三函数图象的应用 ( 高频考点 ) 命题点 1: 研究函数的性质典例 3 已知函数 f(x)=x x -2x, 则下列结论正确的是 ( ) A.f(x) 是偶函数, 递增区间是 (0,+ ) B.f(x) 是偶函数, 递减区间是 (-,1) C.f(x) 是奇函数, 递减区间是 (-1,1) D.f(x) 是奇函数, 递增区间是 (-,0)

33 解析 : 将函数 f(x)=x x -2x 去掉绝对值得 f(x)= x 2-2x,x 0, -x 2 画出函数 f(x) 的图象, 如图, 观察图象可知, -2x,x<0, 函数 f(x) 的图象关于原点对称, 故函数 f(x) 为奇函数, 且在 (-1, 1) 上单调递减. 答案 :C

34 反思归纳知图选式或选性质的策略 (1) 从图象的左右上下分布, 观察函数的定义域值域 ; (2) 从图象的变化趋势, 观察函数的单调性 ; (3) 从图象的对称性方面, 观察函数的奇偶性 ; (4) 从图象的循环往复, 观察函数的周期性 ; (5) 从图象与 x 轴的交点情况, 观察函数的零点. 利用上述方法, 排除筛选错误与正确的选项.

35 命题点 2: 确定函数零点 ( 方程根 ) 的个数 lg x,x>0, 典例 4 (2018 日照一模 ) 已知 f(x)= 2 x 则函数 y=2f 2 (x)-3f(x)+1,x 0, 的零点个数是.

36 解析 : 方程 2f 2 (x)-3f(x)+1=0 的解为 f(x)= 1 2 或 f(x)=1. 作出 f(x) 的图象, 由图象知零点的个数为 5. 答案 :5

37 反思归纳构造函数, 转化为两函数图象的交点个数问题, 在同一坐标系分别作出两函数的图象, 数形结合求解.

38 命题点 3: 求参数的取值范围典例 5 已知函数 f(x)= x-2 +1,g(x)=kx. 若方程 f(x)=g(x) 有两个不相等的实根, 则实数 k 的取值范围是 ( ) A. 0, 1 2 C.(1,2) B. 1 2,1 D.(2,+ )

39 解析 : 在同一坐标系中分别画出函数 f(x),g(x) 的图象如图所示, 方程 f(x)=g(x) 有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点, 结合图象可知, 当直线 y=kx 的斜率大于坐标原点与点 (2,1) 连线的斜率且小于 1 直线 y=x-1 的斜率时符合题意, 故 2 <k<1. 故选 B. 答案 :B

40 反思归纳由函数零点的个数或由方程根的个数确定参数的取值 ( 范围 ), 常常转化为两函数图象交点个数问题 ; 利用数形结合可求出参数取值 ( 范围 ).

41 命题点 4: 求不等式的解集 -x 2 +2x,x 0, 典例 6 (2016 高考全国卷 ) 已知函数 f(x)= 若 f(x) ax, ln(x+1),x>0. 则 a 的取值范围是 ( ) A.(-,0] C.[-2,1] B.(-,1] D.[-2,0]

42 解析 : 先画出函数的图象, 数形结合求解. 作出函数 y= f(x) 的图象, 如图, 当 f(x) ax 时, 必有 k a 0, 其中 k 是 y=x 2-2x(x 0) 在原点处的切线斜率, 显然, k=-2. a 的取值范围是 [-2,0]. 故选 D. 答案 :D

43 反思归纳当不等式问题不能用代数法求解, 但其对应函数的图象可作出时, 常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题, 从而利用数形结合求解.

44 即时训练 (1) 使 log 2 (-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是. -x 2-2x,x 0, (2)(2018 广州五校联考 ) 已知函数 f(x)= x 2 若 f(3-a 2 )<f(2a), 则 -2x,x<0, 实数 a 的取值范围是.

45 解析 : 利用函数图象解题. 设 y 1 =log 2 (-x),y 2 =x+1, 在同一坐标系中画出 y 1, y 2 图象, 如图所示. 易知当 x=-1 时,y 1 =y 2 =0, 再由图易知 x (-1,0).

46 (2) 如图, 画出 f(x) 的图象, 由图象易得 f(x) 在 R 上单调递减, f(3-a 2 )<f(2a), 3-a 2 >2a, 解得 -3<a<1. 答案 :(1)(-1,0) (2)(-3,1)

47 思想方法函数图象应用的常见题型与求解方法高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别, 函数图象的变换及函数图象的应用等, 多以小题形式考查, 难度不大, 常利用特殊点法排除法数形结合法等解决. 函数图象应用的常见题型与求解策略 (1) 研究函数性质 : 1 根据已知或作出的函数图象, 从最高点最低点, 分析函数的最值极值. 2 从图象的对称性, 分析函数的奇偶性.

48 3 从图象走向趋势, 分析函数的单调性周期性. 4 从图象与 x 轴的交点情况, 分析函数的零点等. (2) 研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值 ( 范围 ): 构造函数, 转化为两函数图象的交点个数问题, 在同一坐标系中分别作出两函数的图象, 数形结合示解. (3) 研究不等式的解 : 当不等式问题不能用代数法求解, 但其对应函数的图象可作出时, 常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题, 从而利用数形结合求解.

49 一已知函数解析式确定函数图象典例 1 函数 f(x)= x- 1 x cos x(-π x π 且 x 0) 的图象可能为 ( )

50 答案 :D

51 ( ) 二函数图象的变换问题典例 2 若函数 y=f(x) 的图象如图所示, 则函数 y=-f(x+1) 的图象大致为

52 答案 :C

53 三函数图象的应用典例 3 (2018 吉林三校联考 ) 若函数 f(x)= (2-m)x x 2 的图象如图所示, 则 m +m 的取值范围为 ( ) A.(-,-1) C.(0,2) B.(-1,2) D.(1,2)

54 解析 : 根据图象可知, 函数图象过原点, 即 f(0)=0, m 0. 当 x>0 时,f(x)>0, 2-m>0, 即 m<2, 函数 f(x) 在 [-1,1] 上是单调递增的, f (x)>0 在 [-1,1] 上恒成立, f (x)= (2-m)(x2 +m)-2x(2-m)x (x 2 +m) 2 = (m-2)(x2 -m) (x 2 +m) 2 >0,

55 m-2<0, 只需要 x 2 -m<0 在 [-1,1] 上恒成立, (x 2 -m) max <0, m>1, 综上所述,1<m<2, 故选 D. 答案 :D

凤中数学静雅斋

凤中数学静雅斋第三节函数的奇偶性与周期性 1. 奇函数偶函数的概念及图象特征定义奇函数偶函数定义域函数 f(x) 的定义域关于原点对称 x 对于定义域内任意的一个 x f(x) 与 f(-x) 的关系都有 f(-x) =-f(x) 都有 f(-x)=f(x) 结论函数 f(x) 为奇函数函数 f(x) 为偶函数图象特征关于原点对称关于 y 轴对称 2. 周期性 (1) 周期函数 :