一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一

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遇缔虞
7 years ago
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1 拉格朗日定理和函数的单调性中值定理是联系中值定理, 就可以根据质来得到 f 在该区间上的整体性质. f 一罗尔定理与拉格朗日定理二函数单调性的判别 f 与 f 的桥梁. 有了在区间上的性返回

2 一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一点, 使 f ( ) = 0.

3 () 几何意义据右图, 因为 y f (a) = f (b), 所以线段 AB 是水平 A B 的. 由几何直观可以看出, 曲线上至少有 O a 2 b 一点处的切线也是水平的. 点击上图动画演示

4 (2) 条件分析定理中的三个条件都很重要, 缺少一个, 结论不一定成立. (a) 函数 f ( ) = ì í î, 0, 0 = < y 在 [0, ] 上满足条件 (ii) 和 (iii), 但条件 (i) 不满足, 该函数在 (0, ) 上的导数恒为. O

5 (b) f ( ) =, Î[ -, ] y 满足条件 (i) 和 (iii), 但条件 (ii) 却遭到破坏 ( f 在 = 0 处不可导 ), 结论也不成立. (c) f ( ) =, Î[0, ] 满足条件 (i) 和 (ii), 但条件 (iii) y O - 却遭到破坏, 该函数在 (0, ) 内的导数恒为. O

6 注函数 f 2 ( ) = D( ) y 4 在区间 [-, 2] 上三个条件都不满足, 却仍有 f (0)=0. 这说明罗尔定理的三个条件是充分条件, 而不是必要条件 O 2

7 定理的证明因为 f () 在 [a, b] 上连续, 所以由连续函数的最大最小值定理,f () 在 [a, b] 上能取得最大值 M 和最小值 m. 下面分两种情形加以讨论. 情形 M = m. 此时 f () 恒为常数, 它的导函数恒等于零, 此时可在 (a, b) 内随意取一点, 就有 f () = 0.

8 情形 2 m < M. 既然最大然最大最小值不等最小值不等, 从而最大值与最小值至少有一个不在端点取到. 不妨设最大值不在端点取到, 故存在 Î ( a, b), 使得 f ( ) = M. 因为在区间内部取到的最大值一定是极大值, 所以由费马定理, 得 f ( ) = 0.

9 例设 p() 是一个多项式, 且方程 p'() = 0 没有实根, 则方程 p() = 0 至多有一个实根, 且这个根的重数为. 证设 p ( ) 有两个实根, 2, < 2, 是多项式, 所以 p( ) 在 [, ] 上满足罗尔定理 2 由于 p( ) 的条件, 从而存在 Î ( a, b) p ( ) =, 使得 0, 这与条件矛盾.

10 又若 p( ) 有一个 k 次重根 0, 则因为所以 p( ) = ( - 0 ) p( ), k ³ p ( ) = k( - ) p ( ) + ( - ) p ( ), p ( 0 ) = 0, k- k 0 0 矛盾. k 2.

11 定理 6.2 ( 拉格朗日中值定理 ) 设函数 f () 满足 : (i) f() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f() 在开区间 (a, b) 内可导. 那么在开区间 ( a, b) 内 ( 至少 ) 存在一点, 使得 f ( ) = f ( b) b - - f a ( a). 注当 f ( a) = f ( b) 时, 拉格朗日定理就是罗尔定理,

12 可见, 罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例. 几何意义如右图, 曲线 y = f () 的两个端点 A, B 连线的斜率为 k AB f ( b) - f ( a) =. b - a y B y = f ( ) A O a b 用平行推移的方法, 曲线上至少在一点 (, f ( )) 处的切线与 AB 平行, 其斜率 f ( ) 也等于. k AB

13 定理的证明设 f ( b) - f ( a) F( ) = f ( ) - ( - a) - f ( a) b - a f ( b) - f ( a) ( y = ( - a) + f ( a) 是直线 AB 的方程 ) b - a 可以验证 F() 满足罗尔定理的三个条件, 所以 $ Î ( a, b), 使 F ( ) = 0, f ( b) - f ( a) 即 f ( ) =. b - a

14 推论设 f () 在区间 I 上的导函数 f ( ) º 0 f () 是一个常值函数., 则证 2 2 对于区间 I 上的任何两点与, <, f () 在 [, 2 ] 上满足拉格朗日定理的条件, 则有 f ( 2) - f ( ) = f ( )( 2 - ) = 0, Î(, 2). 这就是说, f () 在区间 I 上的任何两个值都相等, 所以为常值函数. 推论 2 若函数 f 和 g 均在区间 I 上可导, 且

15 f ( ) º g ( ), Î I, 则在区间 I 上 f ( ) 与 g( ) 只差某一常数, 即 f ( ) = g( ) + c ( c为某一常数 ). 推论 3 ( 导数极限定理 ) 设函数 f 在点的某邻域 U( ) 内连续, 在 U ( ) 内可导, 且极限 lim f ( ) 0 0 存在, 则 f 在点 0 可导, 且 f ( ) = lim f ( ) 0 证分别按左右极限来证明

16 () 任取 ÎU ( ), f ( ) 在 [, ] 上满足拉格朗日定理条件, 则存在 Î 0 (, ), 使得 f ( ) - f ( ) = f ( ). 由于 < <, 因此当时, 随之有, 对上式两边求极限, 便得 f ( ) - f ( ) 0 lim = lim f ( ) = f ( 0 + 0)

17 (2) 同理可得 f -( 0) = f ( 0-0). 因为从而 lim f ( ) = k, 所以 f ( + 0) = f ( - 0) = k, f ( ) = f ( ) = k, 即 f ( ) = k.

18 例 2 设 f() 在区间 I 上可微, 且 f ( ) K, 则函数 f() 在区间 I 上一致连续. e 证对于任意正数 e, 取 d =, 对任意的 K + Î, <, 只要 - < d, 便有, 2 I 2 2 f ( 2) - f ( ) f ( ) 2 - Ke < e,, < < K + 2 故 f () 在 I 上一致连续.

19 例 3 求证 : arctanb - arctana b - a, ( a < b). 证设 f ( ) = arctan. 显然 f () 在区间 [ a, b] 上满足拉格朗日定理的条件, 故有 arctanb - arctana = ( b - a) b - a, a < < b. 2 + 注例 3 中的不等号可以成为严格的. 事实上, 当 0 a < b 和 a < b 0时, 显然不为零, 严格不等式成立. 当 a < 0 < b 时,

20 存在 Î 0, b), Î (, 0), ( 2 a 使得 arctanb - arctana = = arctanb - arctan0 + arctan0 - arctana + 2 b + 2 (-a) < b a.

21 例 4 设 f () 在区间 [ a, + ) 上可微, 且 f ( ) ³ c > 0, 求证 : lim f ( ) = +. + 证任取 > a, 由中值定理, f ( ) - f ( a) = f ( )( - a) ³ c( - a), 从而 f ( ) ³ f ( a) + c( - a). 因为 lim + ( f ( a) + c( - a)) = +, 所以 lim f ( ) = +. +

22 中值点的讨论. a + b. 一般来说, 中值点, 仅指 Î( a, b), 而不是 = 若 f () 在 ( a, + ) 上可微, [ a, + ) 上连续, 则对任意的 Î ( a, + ), f ( ) - f ( a) = f ( )( - a). 显然, 与有关, 当 + 时, 却未必也趋向于.

23 例 5 设 f ( ) = ( - )e -, f ( ) - f (0) = f ( )( - 0), 由拉格朗日中值定理 - 因 f ( ) = e, Î [0, + ) - - f ( ) - f (0) = f ( )( - 0), 变为 e = ( - )e. 当趋于 + 时, 不趋于 +, 而是趋于. y O

24 3. 若 f() 在 (a, b) 上可微, [a, b] 上连续, 则对于任意 Î ( a, b], 存在 Î( a, ), 使 f ( ) - f ( a) = f ( )( - a), 当 a 时, 必有 a. 从等式 f ( ) - - f a ( a) = f ( ) 容易猜测 lim f ( ) = f ( a). a + 这实际上是不成立的. 请看下面的例题.

25 ì 2 ï sin, ¹ 0 例 6 设 f ( ) = í. ïî 0, = 0 易见 f 满足拉格朗日中值定理的条件, f () = 2 sin - cos, ¹ 0. 因此对每个 > 0, 存在使 2 sin - 0 = (2 sin - cos ), 约去, 我们得到 sin - 0 = 2 sin - cos.

26 由于 lim 2 sin + 0 lim f ( ) = = 0, 有 lim (2 sin - + cos ) 因 lim 2sin = 0, + 0 = 0. 而 lim cos 不存在, + 0 所以 lim 0 + f ( ) = lim (2sin cos ) 不存在.

27 二函数单调性的判别若函数 f ) 在区间 I 上对任意, Î, <, ( 2 I 2 必有 f ( ) f ( 2) ( f ( ) ³ f ( 2)), 则称函数 f () 在区间 I 上单调增 ( 单调减 ). 若 (³) 改为严格不等号, 则相应地称它为严格增 ( 减 ). 下面的定理是本节中的两个主要定理, 今后将不断地使用.

28 定理 6.3 设 f ( ) 在区间 I 上可导, 则 f ( ) 在区间 I 上单调增 ( 减 ) 的充要条件是 : f ( ) ³ 0 ( 0). 证 f,, 0 Î I, ¹ 0 若为递增函数则当时, 有令 0 0 f ( ) - f ( 0) -, 即得 f ( ) ³ 0. 0 ³ 0. 反之, 若 f ( ) ³ 0, Î I. ", Î I,( 设 < ) 2 2 由拉格朗日中值定理, $ Î(, ), 2

29 f 2 ) - f ( ) = f ( )( 2 - ) ³ ( 0, 即 f ) ³ f ( ), 这就证明了函数 f ( ) 递增. ( 2 定理 6.4 可微函数 f () 在区间 I 上严格递增的充要条件是 : f ( ) ³ 0, 满足 f ( ) = 0 的点集不含一个区间. 证充分性由定理 6.3 可知 f ( ) 递增. 若 f ( ) 不是严格递增, 则存在 f ( 2 )., Î I, <, 使 f ( ) = 2 2 这就得到 f ( ) 在区间 (, ) 上恒为常数, 故 2

30 f ( ) º 0, Î (, 2) 矛盾. 充分性得证. 必要性请读者自证. 注请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理. 推论设函数在区间 I上可微, 若 f ( ) > 0( f ( ) < 0), 则 f 在 I上严格递增 ( 严格递减 ). 在实际应用中我们经常会用到下面这个事实. 性质若 f ( ) 在 [ a, b] 上连续,( a, b) 上 ( 严格 ) 递增 ( 减 ),

31 则 f ( ) 在 [ a, b] 上 ( 严格 ) 递增 ( 减 ). 作为应用, 下面再举两个简单的例子. 例 7 求证 e > +, > 0. 证设 F( ) = e - -, 则 F ( ) = e -. 所以 F ( ) ³ 0, Î [0, + ), 且当 > 0 时, F ( ) > 0 ( F ( ) = 0 的点不含一个区间 ). 故 F( ) 在 [0, + ) 上严格递增, 所以对任意 > 0, 恒有 F( ) > F(0) = 0,

32 即 e > +, > 0. 例 8 设 f () = 3 -. 讨论函数 f 的单调区间. 解由于 2 f ( ) = 3 - = ( 3 + )( 3 - ), 因此当当当 Î ( -, - ) 时, f ( ) > 0, f 递增, 3 Î (-, ) 时, f ( ) < 0, f 递减, 3 3 Î (, + ) 时, f ( ) > 0, f 递增. 3

33 y y = O

34 复习思考题罗尔定理证明的主要方法是什么? 试与达布定理的证明相比较.

35 作业 P27-28:2;5;7(2)

定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)

柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理是比拉格朗日定理更一般的中值定理, 本节用它来解决求不定式极限的问题. 一柯西中值定理二不定式极限返回定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g()

一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一

一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一