2015 北师大附中高一 ( 上 ) 期末数学一选择题 : 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. 1.( 4 分 ) 下列四个式子中, 计算结果可能为负数的是 ( ) A.sin(arccosx) B.cos(arcsinx

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霓严
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1 2015 北师大附中高一 ( 上 ) 期末数学一选择题 : 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. 1.( 4 分 ) 下列四个式子中, 计算结果可能为负数的是 ( ) A.sin(arccosx) B.cos(arcsinx) C.sin(arctanx) D.cos(arctanx) 2.( 4 分 ) 记 sin35 =a, 则 tan2015 的值等于 ( ) A. B. C. D. 3.( 4 分 ) 下列函数中, 既是奇函数, 又在区间 [0,+ ) 上单调递增的函数是 ( ) A.y=tanx B.y=sinx C. D. 4.( 4 分 ) 将函数 y=cosx 的图象上的每个点的横坐标变为原来的 2 倍纵坐标不变, 再将所得图象向右平移个单位, 则最后得到的图象对应的函数解析式为 ( ) A. B. C. D. 5.( 4 分 ) 函数的相邻两个对称中心之间的距离是 ( ) A.2π B.π C. D. 6.( 4 分 ) 若空间向量, 满足, 则一定有 ( ) A.x=0 B.y=0 C.z=0 D. 7.( 4 分 ) 已知 A(cosx,0), B(0,1-cosx), 则的最小值是 ( ) A. B. C. D.1 8.( 4 分 ) 设函数 y=sinx 在区间上的最大值为 M(t), 最小值为 m(t), 则 M(t) -m (t) 的最小值和最大值分别为 ( ) A.1,2 B. C. D. 9.( 4 分 ) 已知直线 l 的方向向量是, 平面 α 的法向量是, 则下列命题正确的是 ( ) A. 若, 则 l α B. 若, 则 l α C. 若, 则 l α D. 若, 则 l α 10.( 4 分 ) 如图, 将矩形纸片 ABCD( 其中,BC=1) 沿对角线 AC 折起后, 使得异面直线 BC AD, 则此时异面直线 AB 和 CD 所成的角的余弦值是 ( ) 第 1 页共 16 页

2 A. B. C. D. 二填空题 : 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 共 24 分. 把答案填在答题纸上. 11.( 4 分 ) 计算 =. 12.( 4 分 ) 设,, 则 =. 13.( 4 分 ) 平面向量 =(1,2), =(4,2),, 且与的夹角等于与的夹角, 则 m=. 14.( 4 分 ) 如图,ABCD-A B C D 是棱长为 1 的正方体, 点 P 是 BC 上的动点,, 则的值是. 15.( 4 分 ) 在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,M,N 分别是 BC 和 AD 的中点, 则线段 MN 的长是. 16.( 4 分 ) 如图, 给定单位向量和, 它们的夹角为 120, 点 C 在以 O 为圆心的上运动. 若, 其中 x,y R, 则 x+2y 的最大值是. 三解答题 : 本大题共 3 小题,36 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17.( 12 分 ) 设 a R, 函数 f(x)=cosx(2asinx-cosx)+sin 2 x 的图象的一条对称轴是直线. (Ⅰ) 求的值和 a 的值 ; (Ⅱ) 求函数 f(x) 在上的最大值和最小值. 第 2 页共 16 页

3 18.( 12 分 ) 如图, 直三棱柱 ABC-A B C, BAC=90,AB=AC=λAA, 点 M,N 分别为 A B 和 B C 的中点. (Ⅰ) 证明 :MN 平面 A ACC ; (Ⅱ) 若二面角 A -MN-C 为直二面角, 求 λ 的值. 19.( 12 分 ) 已知是 ( 空间 ) 非零向量, 构造向量集合, 记集合 P 中模最小的向量为. (Ⅰ) 对于, 求 t 的值 ( 用表示 ); (Ⅱ) 求证 : ; (Ⅲ) 若, 且, 构造向量序列, 其中 n N *,n 3, 请直接写出的值 ( 用 n 表示, 其中 n 3). 一填空题 : 共 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分. 把答案填在答题纸上. 20.( 4 分 ) 已知集合 A,B 都是数集,1,b,a+b 都是 A 中的元素,a-b,ab 都是 B 中的元素, 且 A B={ -1,0}, 则有序数对 (a,b)=. 21.( 4 分 ) 已知函数 f(x) 为 R 上的增函数, 且对于任意实数 x, 都有 f[f(x) -3 x ]=4, 则 f(2015) 的值为. 22.( 4 分 ) 函数的单调递增区间是. 23.( 4 分 ) 设函数, 且对任意 x R,x 0,f(ax)<f(x) 恒成立, 则实数 a 的取值范围是. 24.( 4 分 ) 若实数 x,y 满足 =, 则 =. 第 3 页共 16 页

4 二解答题 : 共 3 小题, 共 30 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 25.( 10 分 ) 函数称为双曲正弦函数, 类似地, 函数称为双曲余弦函数. (Ⅰ) 判断双曲正弦函数的奇偶性, 并证明你的结论 ; (Ⅱ) 双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式, 请判断下列等式恒成立的是.( 填写序号 ) 1sinh 2 x+cosh 2 x=1; 2sinh2x=2sinhx coshy; 3cosh2x=cosh 2 x-sinh 2 x. (Ⅲ) 请合理定义双曲正切函数 y=tanhx, 写出用 tanhx 表示 tanh2x 的恒等变形式, 并证明之. 26.( 10 分 ) 设 a 为常数, 记函数,x>1 的反函数为 f -1 (x). 已知 y=f -1 (x) 的图象经过点. (Ⅰ) 求实数 k 的值和反函数 f -1 (x) 的解析式 ; (Ⅱ) 定义函数, 其中常数 c>0 且 c 1, 求函数 F(x) 的值域. 27.( 10 分 ) 定义在 R 上的函数 f(x) 同时满足 :(i) f(1)=2;( ii) x,y R,f(x+y+1)=f(x- y+1) -f(x)f(y); (iii) f(x) 在区间 [0,1] 上是单调增函数. (Ⅰ) 求 f(0) 和 f( -1) 的值 ; (Ⅱ) 求函数 f(x) 的零点 ; (Ⅲ) 解不等式 f(x)>. 第 4 页共 16 页

5 参考答案与试题解析一选择题 : 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. 1. 解答 arccosx [0,π], sin(arccosx) [0,1]; arcsinx [ -, ], cos(arcsinx) [0,1]; arctanx ( -, ), sin(arctanx) ( -1,1); cos(arctanx) (0,1). 故选 :C. 2. 解答 sin35 =a, cos35 = =, tan2015 =tan35 =, 故选 :A. 3. 解答 y=tanx,y=sinx 是奇函数, 在 [0,+ ) 不单调, y= 是奇函数, 在 [0,+ ) 单调递增, y= 不是奇函数, 故选 :C. 4. 解答函数 y=cosx 的图象上的所有点的横坐标变为原来的 2 倍纵坐标不变, 得到 y=cos x, 把图象向右平移单位, 得到 y=cos[ (x - )]=cos( x - ). 故选 :D. 5. 解答函数 =cos(2x+π)= - cos2x 的相邻两个对称中心之间的距离为 =, 故选 :C. 6. 解答向量,, =(x+y+1,y+z+2,z+x+3), 第 5 页共 16 页

6 满足,, 可得, 解得 y=0, 故选 :B. 7. 解答 =( -cosx,1-cosx), 则 = =, 当 cosx= 时取等号. 的最小值是. 故选 :B. 8. 解答函数 y=sinx 在区间上的最大值为 M(t), 最小值为 m(t), 区间的长度为, 正好为函数的周期的, 故当函数 y=sinx 在区间上单调时, 则 M(t) -m(t) 取得最大值. 不妨假设函数 y=sinx 在区间上单调递增, 则 M(t) -m(t) 取得最大值为 sin(t+ )-sint=cost-sint= cos(t+ ), 故 M(t) -m(t) 取得最大值为. 当区间关于它的图象的对称轴对称时,M(t)-m(t) 取得最小值, 此时,sin(t+ )=±1, 不妨设 sin(t+ )=1, 即 t+ =2kπ+,k Z, 即 t=2kπ+,k Z, 则 M(t) - m(t) 取得最小值为 sin(t+ ) - sint=1 - sin(2kπ+ )=1 -, 故 M(t) - m(t) 的最小值和最大值分别为 1 -,, 故选 :D. 9. 解答 A., 则 l α, 因此不正确 ; B. 由 A 可知正确 ; C. 由, 则 l α 或 l α, 因此不正确 ; 第 6 页共 16 页

7 D. 由 C 可知不正确. 故选 :B. 10. 解答设矩形纸片 ABCD 折起前 B 点为 B 1, 连结 BB 1,DB 1, BC AD,BC AB,AB AD=A, BC 平面 ABD, BC BD,,BC=1, BD= =, AD 2 +BD 2 =AB 2, AD BD, BD B 1 C, BB 1 BC=B, BD BB 1, BB 1 = = =, DC AB 1, BAB 1 是异面直线 AB 和 CD 所成的角 ( 或所成角的补角 ), cos BAB 1 = = =. 异面直线 AB 和 CD 所成的角的余弦值为. 故选 :C. 二填空题 : 本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 共 24 分. 把答案填在答题纸上. 11. 解答设 =θ, sin(arcsin )=,cos(arcsin )=, tan(arcsin )=, tanθ=tan[ ]= = = - 1. 由于 arcsin 和 arctan7 都是锐角, 故 θ= ( -, ), 可得 θ= -, 故答案为 : -. 第 7 页共 16 页

8 12. 解答设,, 则 1-2sinαcosα=, 2sinαcosα=. sinα+cosα= = =, = = = = -, 故答案为 : 解答 =, =, =, =m+2, =4m+2, 与的夹角等于与的夹角, =,, 解得 m=1. 故答案为 : 解答如图所示, D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C (0,1,1). =( -1,0,1). =λ( -1,0,1)=(-λ,0,λ). =(1 - λ,1,λ). =( - λ,1,λ). =(0,1,0). 则 =1. 故答案为 :1. 第 8 页共 16 页

9 15. 解答如图, 正四面体 ABCD 棱长为 1,M,N 分别是 BC 和 AD 的中点, 连结 MN BN CN, AB=BD=AC=CD=AD=1,N 是 AD 中点, BN AD,CN AD, BN=CN= =, BC=1, MN BC, MN= =. 故答案为 :. 16. 解答根据题意, 建立如图所示的坐标系, 则 A(1,0), B(cos120,sin120 ), 即 B( -, ); 设 AOC=α, 则 =(cosα,sinα),, (cosα,sinα)=(x,0)+( - y, y); 即 cosα=x- y,sinα= y, 解得 :x= sinα+cosα,y= sinα; x+2y= sinα+cosα= sin(α+θ), 其中 tanθ= ; 又 sin(α+θ) 1, 第 9 页共 16 页

10 x+2y. 故答案为 :. 三解答题 : 本大题共 3 小题,36 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17. 解答 (Ⅰ) 解法一 : 函数图象关于直线对称, =f(0)= -cos 2 0= -1, 即 (-- )+ = -1, 解得 :a=, 故 f(x)=cosx(2 sinx - cosx)+sin 2 x =2 sinxcosx - cos 2 x+sin 2 x = sin2x - cos2x =2sin(2x - ) 解法二 : f(x)=cosx(2asinx - cosx)+sin 2 x=2asinxcosx - cos 2 x+sin 2 x=asin2x - cos2x= sin(2x -φ) 的图象的一条对称轴是直线. 故当时,asin2x-cos2x=, 或 asin2x-cos2x= -, 即- a- =, 或- a- = -, 解得 :a=, 故 f(x)= sin2x-cos2x=2sin(2x- ), 故 =2sin( - )=-1, (Ⅱ) 当 x 时,2x- [, ], 故当 2x- =, 即 x= 时, 函数 f(x) 取最大值 2; 第 10 页共 16 页

11 当 2x - =, 即 x= 时, 函数 f(x) 取最小值 1; 18. 解答 (I) 证明 : 连接 AB AC, 由已知 BAC=90,AB=AC, 三棱柱 ABC-A B C 为直三棱柱, 所以 M 为 AB 中点, 又因为 N 为 B C 的中点, 所以 MN AC, 又 MN 平面 A ACC, 因此 MN 平面 A ACC ; 法二 : 取 A B 的中点 P, 连接 MP NP, M N 分别为 A B B C 的中点, 所以 MP AA,NP A C, 所以 MP 平面 A ACC,PN 平面 A ACC, 又 MP NP=P, 因此平面 MPN 平面 A ACC, 而 MN 平面 MPN, 因此 MN 平面 A ACC. (II) 以 A 为坐标原点, 分别以直线 AB AC AA 为 x,y,z 轴, 建立直角坐标系, 如图, 设 AA =1, 则 AB=AC=λ, 于是 A(0,0,0), B(λ,0,0), C(0,λ,0), A (0,0,1), B (λ,0, 1), C (0,λ,1). 所以 M( ), N( ), 设 =(x 1,y 1,z 1 ) 是平面 A MN 的法向量, 由, 得, 可取, 设 =(x 2,y 2,z 2 ) 是平面 MNC 的法向量, 由, 得, 第 11 页共 16 页

12 可取, 因为二面角 A' -MN-C 为直二面角, 所以, 即-3+( -1) (-1)+λ 2 =0, 解得 λ=. 19. 解答 (I) 解 : 对于, =, 当 t= -时, 其模取得最小值. t= -. (II) 证明 : 由 (I)k 可得 : = - + =0, 因此 :. (III) 解 : 不妨取 =(1,0), =. 向量序列, 其中 n N *,n 3, =. =, =, 当且仅当 t= -时取等号. =, =, 同理可得 : =, =,, =. 第 12 页共 16 页

13 一填空题 : 共 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分. 把答案填在答题纸上. 20. 解答集合 A={1,b,a+b},B={a-b,ab}, 且 A B={ -1,0}, b= -1,a+b=0 或 b=0,a+b= -1, 解得 :b=-1,a=1 或 b=0,a= -1, 将 a=1,b= -1 代入得 :B={2,-1}, 不合题意舍去 ; 将 a= -1,b=0 代入得 :B={-1,0}, 符合题意, 则 a,b 的值为-1,0. 故答案为 :( -1,0). 21. 解答任意的 x 属于 R 都有有 f ( f (x)-3 x )=4, 而函数是单调的, 所以对任何的 x,f (x)-3 x 为定值 c, 即 f(x)=3 x +c, f(f(x) -3 x )=f(c)=4 而 f(c)=3 c +c, 所以 3 c +c=4, 解得 :c=1, f(2015)= , 故答案为 : 解答设 t=2x-x 2, 则 t 0, 解得 0 x 2, 函数 t=2x-x 2 = -(x-1) 2 +1 在 [0,1] 上为增函数, 在 (1,2] 上为减函数, 且 0 t 1, y=cost 在 [0,1] 上为减函数, 的单调递增区间为 [1,2], 故答案为 :[1,2]. 23. 解答当 a=0 时,f(ax)=f(0)=0, 显然不成立, 故 a 0; 当 a>0 时, 函数 f(ax)=, 且 f(ax)<f(x) 恒成立, ax<x,1 - ax<1 - x 恒成立, 第 13 页共 16 页

14 0<a<1; 当 a<0 时,f(ax)=, 1 - ax<x,ax<1 - x 恒成立, 显然不成立 ; 故答案为 0<a< 解答 =, y=. = = =. 故答案为 :. 二解答题 : 共 3 小题, 共 30 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 25. 解答 (Ⅰ) sin(-hx)= = -sinhx, 双曲正弦函数是奇函数 ; (Ⅱ)1sinh 2 x+cosh 2 x= + 1, 不正确 ; 2sinh2x =2sinhx coshy, 正确 ; 3cosh 2 x-sinh 2 x= - cosh2x, 不正确. (Ⅲ)y=tanhx=, e 2x = tanh2x= = = -. 故答案为 : 解答 (Ⅰ), 且 y=f - 1 (x) 的图象经过点,, 解得 k=1, (x>1), 则,. 第 14 页共 16 页

15 (0<x<1); (Ⅱ) = = (0<x<1). 要使该函数有意义, 则 c -恒成立, 0<x<1, c>1. 由 t= =, 0<x<1, 0,,,. 函数 F(x) 的值域为 [ ]. 27. 解答 (Ⅰ) 令 x=y=0, 可得 f(1)=f(1) -f(0)f(0), f(0)=0; 令 x=y= -1 代入 f(x+y+1)=f(x-y+1) -f(x)f(y), 可得 f( -1)=f(1)-f(-1)f(-1), 即 f 2 (-1)+f(-1)-2=0, 则 f( -1)=-2 或 f( -1)=1. 若 f( -1)=1, 令 y=1,x= -1, 可得 f(1)=f( -1)-f(1)f(-1)=f(-1)-2f(-1)=-f(-1)=-1, 矛盾, 故 f( -1)=2; f( -1)=-f(1)=-2. (Ⅱ) f(-x)=f(-1-x+1)=f(-1+x+1)-f(-1)f(-x)=f(x)+2f(-x), f( -x)=-f(x), 即 f(x) 是奇函数 ; 令 x=0, 有 f(1+y)=f(1-y)= -f(y-1), 即 f(2+y)= -f(y), 则 f(4+y)= -f(y+2)=f(y), 且函数关于 x=1 对称, 同时 f(x) 为周期函数, 周期为 4. 函数在 [-1,1] 上有一个零点 0, 此时函数 f(x) 的零点是 4n(n N +); 函数在 [1,3] 上有一个零点 2, 此时函数 f(x) 的零点是 4n+2(n N +); 综上函数的零点为 2n. (Ⅲ) f(x) 在区间 [0,1] 上是单调增函数, 且 f(x) 是奇函数 f(x) 在区间 [-1,1] 上是单调增函数, 在 [1,3] 上是单调减函数, 第 15 页共 16 页

16 令 x=y=, 可得 f( + +1)=f( - +1) -f( )f( ), 即为 f(2)=f(1) -f 2 ( )=0, 即为 f( )= ; f(x)>, 当 0<x<1 时, 即为 f(x)>f( ), 解得 <x<1, 当 1<x<3 时, 可得 1<x<. 则有-1<x<3 时,f(x)> 的解为 (, ). 综上可得,f(x)> 的解集为 (4n+,4n+ ),n 为整数. 第 16 页共 16 页

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于

2015 北师大附中高一 ( 上 ) 期末数学 一 选择题 : 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. 1.( 4 分 ) 下列四个式子中, 计算结果可能为负数的是 ( ) A.sin(arccosx) B.cos(arcsinx

2015 北师大附中高一 ( 上 ) 期末数学一选择题 : 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. 1.( 4 分 ) 下列四个式子中, 计算结果可能为负数的是 ( ) A.sin(arccosx) B.cos(arcsinx