3. 引言 3. 连续时间 LI 系统的特征函数 3. 连续时间傅里叶级数 3.3 连续时间傅里叶变换 3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 3.5 连续时间傅里叶变换的性质 3.6 连续时间 LI 系统的频域分析 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
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1 第三章 连续时间信号与系统的频域分析 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
2 3. 引言 3. 连续时间 LI 系统的特征函数 3. 连续时间傅里叶级数 3.3 连续时间傅里叶变换 3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 3.5 连续时间傅里叶变换的性质 3.6 连续时间 LI 系统的频域分析 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
3 3. 引言 傅里叶的生平和主要贡献 傅里叶 :768 年 3 月 日生于欧塞尔,83 年 5 月 6 日卒于巴黎 9 岁父母双亡, 被当地教堂收养 岁由一主教送入地方军事学校读书 7 岁 785 回乡教数学,794 到巴黎, 成为高等师范学校的首批学员, 次年到巴黎综合工科学校执教 798 年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书,8 年回国后任伊泽尔省地方长官 87 年当选为科学院院士, 8 年任该院终身秘书, 后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席 主要贡献 :87 年向巴黎科学院呈交 热的传播 论文, 推导出著名的热传导方程, 并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示, 从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数 傅里叶级数 傅里叶分析等理论均由此创始 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 3
4 3. 引言 解热传导方程 傅里叶级数导引 傅里叶认为, 如果可以写成如下形式 : 或 那么热传导方程的解为 : f x B B cos x B cos x... C si x C si x... f x B B cos x C si x 信号与系统 第三讲 郝然 4
5 3. 引言 f x B B cos x C si x 需要解决的问题 :. 给定一个, 对于任意的 f x, 如何求上式中的 B C N? B. 何时 fx 可以表述为上式的展开 等号何时成立? 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 5
6 3. 引言 傅里叶变换的物理意义 : 自然界的大多数信号源, 本质上是遵循正弦和余弦的运动, 小的如分子之间的引力振动, 大的如弹簧 钟摆的振动, 甚至星球之间的引力振动, 只要作用力遵循平方反比定律, 那么其运动轨迹就是正弦和余弦 所以, 把大多数信号源看做无数正弦和余弦函数的叠加, 是合理的假设 那么, 傅里叶变换的物理意义就更加明显 将信号分解为正弦和余弦, 对于推断信号的产生机制, 无疑有着重大作用 有时间可适当展开 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 6
7 3. 引言 傅里叶变换的数学内涵 略讲 :. 傅里叶是第一个将一个函数写成一族函数的线性组合的人, 我们把一个函数写成一族函数的线性组合的过程叫做函数的线性变换 线性变换的思想, 深远的影响了信号处理领域的发展 当我们学习了拉氏变换 Z 变换 小波变换等内容后, 对线性变换的理解会更深入. 傅里叶变换的数学严格性 : 函数在什么情况下能表示为常数 正弦和余弦函数的线性组合? 狄里赫利的三个条件 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 7
8 3. 引言 复指数信号作为一类基本信号来表示一般任意信号, 建立变换域分析法 提供了一种非常方便的信号和 LI 系统的分析方法 : 傅里叶分析或频域分析法 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 8
9 3. 引言 信号的正交分解 线性系统分析方法, 是将复杂信号分解为简单信号之和 或积分, 通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应 在时域中, 近代时域法将信号分解为冲激信号的积分, 根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应 而在频域法中, 我们将信号分解为一系列正弦函数的和 或积分, 通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应 频域在工程中也有很重要的意义 很多信号的特性与频域都有很重要的关系 研究频域可以得到很多具有实用价值的结论 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 9
10 如上章所述, 通过信号分解的方法求解响应要研究下面几个问题 :. 如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和 或积分. 如何求系统对各个正弦子信号的响应, 这个内 容在电路分析课程中已经有详细介绍 ; 3. 如何将各子信号的响应相叠加, 从而合成系统 对激励信号的响应 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
11 本章将要研究的就是如何对连续时间 信号进行分解和合成 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
12 信号在正交函数集中的分解 为了形象地说明信号的分解, 首先我们讨论矢量的分解 一 矢量的分解. 矢量的定义. 矢量运算 : 加, 标量乘法, 矢量乘法 3. 矢量的分解 : 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
13 矢量的单矢量基的分解 : c A 可能小 A c A 近似矢量 A 误差尽 从几何或者解析角度, 都可以得到使误差最小的系数为 : c AA A A 其中的 c 称为矢量 A 和 A 的相似系数 如果 c 或 A 交 A, 则表明 A 和 A 相垂直 又称为正 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 3
14 矢量的多矢量基分解 : 将矢量表示成为一系列标准矢量 基 的线性组合 : A c A ca... c A cia i i 显然, 如果知道了标准矢量 可以确定任意矢量 A i 和相应的系数 c i, 就 如何确定最佳的系数 c i? 情况比较复杂, 对于特定 的 i 而言, c i 不仅与特定的 矢量也有关系 A i 有关, 与其它的标准 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 4
15 但是如果矢量 A i 两两正交, 可以证明 : c i AiA A A i i 4 标准矢量基的几个限制条件: 归一化 : 标准矢量的模等于 方便计算 正交化 : 标准矢量两两正交 3 完备性 : 可以不失真地组合出任意矢量 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 5
16 二 信号的分解与矢量分解相似, 我们也可以推导出信号分解 单个标准信号下的分解: 在时间区间, 内, 用 c f 近似任意函数 f, 并使误差进可 能小 如何衡量函数误差的大小? 可以采用方均误差 : d 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 6
17 最佳系数 : c 的相似系数 f f f f d d 也称为函数 f 和 f 如果 c 或 f f d, 则称 f 和 f 正交 3 如果 f 和 f 是复函数, 则其方均误差为 : * d d 最佳系数为 : c f f f f * * d d 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 7
18 8 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 多个标准信号下的分解 : 将信号表示为多个标准信号的线性组合 : i i i f c f c f c f c f... 这里的 i c 同样难以确定 但是如果标准函数 f i 之间两两正交, 则可以证明 : * * i i i i d f f d f f c
19 对标准信号集的要求 : 归一化 : f i fi d 正交化 : i f d * * f, i 3 完备性 : 可以用其线性组合表示任意信号 完备正交函数集一般都包含无穷多个函数, 例如 : 三角函数集, 沃尔什函数集等 但在实际应用中不可能用无穷多个, 只可能用有限个函数, 只能近似表示任意函数 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 9
20 7/4/ 附 : 矢量与函数的运算与分解比较 : 加法 标乘 乘法 矢量 A A 函数 A f f c c f A A A A 正交 A cos 信号与系统 第三讲 郝然 f f * d A * f f d 归一 A * f f d 误差 误差代价函数系数 A A f f d c A A A A c f f f f * * d d
21 3-3 信号表示为傅利叶级数 傅利叶级数是最常用的一种正交函数集 它 在工程中有很广泛的用途 一 三角函数形式的傅利叶级数这种正交函数集为 :,cos,si,cos,si,...,cos,si,.. 其中 : 7/4/ 或将正交函数集表示为 : cos,si,,,... 信号与系统 第三讲 郝然
22 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 可以证明该函数集满足 : 正交性 : 函数集中的函数两两相正交 si cos d m m d m d m si si cos cos 当 时 : si cos d d d
23 可以将任意函数 f 在这个正交函数集中展开 表示成该正交函数集函数的线性组合 : f b a a si cos b a si cos... b... a si cos a a cos b si 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 3
24 4 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 其中的系数可以根据前面的结果计算出 : cos cos cos d f d f d d f a si si si d f d d f b 形式一 :
25 5 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 其中 a 的表达不太方便 为了方便表达, 将分解式改写 : si cos b a a f 则系数为 : cos d f a si d f b 所以, 信号可以表示成为直流信号和一系列正弦信号之和
26 傅里叶展开式形式二 : 另外一种分解方式 : 令 : A a b, b arca a, 则上面的分解式可以表达成 : f a A cos 7/4/ 它可以看成是下列正交信号集 : cos,,,... 的平移后的线性组合 在上面的系数中, a 和 A 是 的偶函数 ; b 和 是 的奇函数 ; 如果 f 是实数信号 信号与系统 第三讲 郝然 6
27 上面的分解等式的左右两边的函数是否相等, 没有误差? 或者, 是否随着 趋向于无穷大, 等式右边的函数收敛于左边的函数? Dirchl 证明, 只要满足下面三个条件, 等式就收敛 : f 绝对可积, 即 : f d f 在区间内有有限个间断点 ; 3f 在区间内有有限个极值点 实际信号大都满足这个条件 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 7
28 等式右边是多个周期为 的函数的和, 它仍然是周期为 的函数 这种分解可以用在两个场合 : 研究函数在, 区间内的分解 研究周期为 的函数在整个时间区间内的分解 本课程中研究的是 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 8
29 如果 f 周期为 的函数, 为了方便讨论, 一般 函数的主值区间取, 在函数的分解中 : a 称为信号的直流分量 ; a cos a si 或 A cos 称为信 号的基波分量 ; a cos si 或 A cos a 称 为信号的 次谐波分量 ; 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 9
30 傅里叶展开式形式三 : 复指数形式的傅利叶级数另一种常用的级数展开式是从复指数正交函数集将函数展开为 : f c 7/4/ 其中使用的正交函数集为复指数函数 :,, 或者记为 :,,..., 3 I,... 根据前面的公式, 可以得到其中的系数为 : c * f d f * d 信号与系统 第三讲 郝然 d 3
31 3 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 复指数形式的傅利叶级数的另外一种推导方法是从三角函数函数形式的傅利叶级数入手 : cos A A a A a A a f 令 : A A,, 可以得到 : A A a f
32 , A a 令 : f A A A 通过上式也可以看出, 函数可以分解为一系列的线性组合, 其中的系数为 : A A a b cos si 而 : b arca a > a b a 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 3
33 33 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ cos b a a, si b a b si cos si cos d f d f d f d f b a A
34 两种推导过程得到的答案应该相同 对比两个系数计 算公式, 可以得到 : c A A a b 例如 : 根据前面推导的方波的傅里叶级数的计算 结果, 很容易得到复指数情况下的傅里叶级数为 : c b 当 为奇数 当 为偶数 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 34
35 I 表示一种复正弦信号 其中 可 以为正, 也可以为负, 这时就会出现频率 小于零的负频率 这在物理上并没有意义, 只是在数学上可以带来方便 复指数形式的傅利叶级数虽然在物理上难于理解, 但是它计算简单, 在数学上可以带来很多方便之处, 所以应用广泛 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 35
36 函数的奇偶性对于傅里叶级数的系数有一定的影响 掌握这些性质有利于傅里叶级数系数的计算 如果函数是偶函数, 则其傅利叶级数中只有直流和余弦分量 或 : 偶函数之和仍然是偶函数 如果函数是奇函数, 则其傅利叶级数中只有正弦分量 或 : 奇函数之和仍然是奇函数 任意的函数都可以分解为一个奇函数和一个偶函数的和 这一点可以从傅利叶级数展开式中看到, 也可以从下面的分解得到 : f f f o f f f f 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 36
37 奇谐函数的傅利叶级数中只有奇次谐波分量 奇谐函数的定义 : 满足 f f 的 周期为 的函数 ; 偶谐函数的傅利叶级数中只有直流和偶次谐 波分量 偶谐函数的定义 : 满足 f f 的周 期为 的函数 ; 偶谐函数实际上是周期为 的函数 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 37
38 3. 引言 3. 连续时间 LI 系统的特征函数 3. 连续时间傅里叶级数 3.3 连续时间傅里叶变换 3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 3.5 连续时间傅里叶变换的性质 3.6 连续时间 LI 系统的频域分析 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 38
39 3.. 连续时间傅里叶级数 如果某一连续时间信号 x 是周期的, 则存在着一个非零的正实数, 对任何 都满足 x x 式中 的最小值 称为该信号的基波周期, 称为该信号的基波频率 / 成谐波关系的复指数信号的集合为 是 中每个信号的周期, 它们的基波频率都是的整数倍 对应的三角函数形式的谐波信号集 :,,,,... {cos,si },,,,... 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 39
40 3.. 连续时间傅里叶级数 一个基波频率为 的周期信号, 可以表示成与其成谐波关系的复指数信号的线性组合, 即 其中 a 称为傅里叶级数系数 傅里叶级数的复指数形式为 三角函数形式为 x x a x B B x a cos B C cos si C si 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 4
41 4 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 两种表达式中系数的相互推算 si cos si cos si cos si cos si cos si cos si cos a a a a a a a a a a a a x 3.. 连续时间傅里叶级数
42 4 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/,, a a C a a B a B 显然, 从上式中, 我们也可以反推到用和来表示的关系 a B C C B a C B a B a 3.. 连续时间傅里叶级数
43 3.. 连续时间傅里叶级数 系数 a 的确定 : x a 将上式两边从 到 对积分, 有 / x d a x d a d d 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 43
44 44 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 当时, 有 d 当时, 有 d d 3.. 连续时间傅里叶级数
45 3.. 连续时间傅里叶级数 于是有, d, 因此, 有 x d a 或者 a a x 的计算公式可表示为 a d x d 其中表示在任何一个间隔内的积分 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 45
46 3.. 连续时间傅里叶级数 连续时间信号的傅里叶级数 : 其中系数往往又称为 x 的频谱系数, 它对信号 x 中 a 的每一个谐波分量的大小和初始相位作出度量 系数 x x a x 是中的直流或常数分量, 也称为平均分量 : a x d a, d a 就 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 46
47 47 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 通常周期信号与其频谱系数间关系用以下符号形式表示 : s a x F 三角函数形式的傅里叶级数可定义为 : d /, si c cos b a si cos d x C d x B d x B C B B x 3.. 连续时间傅里叶级数
48 3.. 典型周期信号的傅里叶级数展开. 正弦信号 x si a si 可得频谱系数 a a a a, 图 3- si 信号傅里叶级数系数的幅度和相位 48
49 3.. 典型周期信号的傅里叶级数展开. 周期方波信号, 在一个周期内该信号定义为 : x, 基波频率为 / x / / 图 3- 周期方波 49
50 5 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ = 时, 有 / / d d x a 时, 有 / / d d x a 或重写为 a si 3.. 典型周期信号的傅里叶级数展开. 周期方波信号
51 3.. 典型周期信号的傅里叶级数展开. 周期方波信号 注意, 即, 上式可写为 a si Sa Sa 周期方波的傅里叶级数的系数是的规律收敛 衰减, 且 lim a 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 5
52 频谱图 周期性信号的频谱 周期性函数可以在傅利叶级数中展开 如果给定了各个频率分量的幅度和相位, 就可以确定信号 频谱是信号的一种图形表示方法, 它将信号各个频率分量上的系数关系用图形的方法表示出来 它可以说明信号的特性, 而且可以给信号的变换和处理计算带来很多方便之处 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 5
53 频谱图 频谱图有两个组成部分 : 振幅频谱 : 表示信号含有的各个频率分量的幅度 其横坐标为频率, 纵坐标各个对应频率分量的幅度 相位频谱 : 表示信号含有的各个频率分量的相位 其横坐标为频率, 纵坐标各个对应频率分量的相位 频谱图有两种形式 : 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 53
54 频谱图 如果用正弦函数展开式形式的傅里叶级数, 则相 应的表达式为 : a f A cos 的傅里叶 级数表达式, 则振幅频谱为 : A a b 相位频谱为 : b arca a 按照这种定义做出的频谱, 因为只有 或 有意义, 做出的图只有 时才 的一边, 所以又被称为单边频谱 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 54
55 周期性方波信号的单边频谱 x / / / a cos / cos x d d si si Sa Sa b = A Sa arca, x, 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 55
56 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 56
57 频谱图 例 : 周期性方波的单边频谱 f a b, 4 当 为奇数 当 为偶数 所以 : 4 当 为奇数 A a b 当 为偶数 b 当 为奇数 arca a 当 为偶数 由此可以作出其频谱图 按三角函数展开 =,,3 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 57
58 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 58
59 如果用复数正弦函数展开式形式的傅里叶级数, 则相应的表达式为 : c 的傅里叶级数表达 f 式, 则振幅为 c, 相位频谱为 : ag c 按照这种定义做出的频谱在 大于和小于 零的两边都有意义, 做出的图又被称为双边 频谱 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 59
60 3.. 典型周期信号的傅里叶级数展开, x. 周期方波信号, 固定, 取不同值时的周期方波傅里叶级数系数 a = /4/ 信号与系统 第三讲 郝然 6
61 3.. 典型周期信号的傅里叶级数展开. 周期方波信号 固定, 取不同值时的周期方波傅里叶级数系数 a.5..5 = /4/ 信号与系统 第三讲 郝然 6
62 3.. 典型周期信号的傅里叶级数展开. 周期方波信号 固定, 取不同值时的周期方波傅里叶级数系数 a.4.. = /4/ 信号与系统 第三讲 郝然 6
63 周期性信号的频谱有下面三个特点 :. 离散性 : 它有不连续的线条组成 ;. 谐波性 : 线条只出现在基波频率的整数倍点上 ; 3. 收敛性 : 实际信号的幅频特性总是随频率趋向无穷大而趋向于零 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 63
64 根据周期性方波的频谱, 我们可以得到关于信号特性的几个一般性结论 : 增加 >Sa 函数不变 > 频谱的包络不变, 收敛性不变 但是 : 谱线幅度降低 ; 谱线密度加大 信号周期加大, 对振幅的收敛性没有影响, 但会使谱线密度增加 当 趋向无穷大时, 信号成为非周期信号, 这时, 谱线幅度降低为无穷小, 谱线密度加大, 信号分量出现在所有频率上 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 64
65 下降 >Sa 尺度扩大 > 收敛性变差, 但是谱线间隔不变 信号时间宽度变小, 将使信号能量向高频扩散, 信号的频带增加 3 信号的边沿对信号频带的影响 信号的边沿变化越快, 信号的频带越宽 例 : 三角脉冲函数的频谱 : A Sa 4 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 65
66 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛 傅里叶级数与原周期信号的等效 用下列有限项级数来近似 x x N N a N, 令 N 为近似误差 x x x a N N 用一个周期内的误差能量 E N 度量近似程度 E N N N d N 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 66
67 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛 可以证明, 使 E N 最小的系数 a 的取值为 并有 a lim E N N x d 傅里叶级数是在 E N 的意义上, 为其所对应的原周期信号的最佳表示 两者没有任何能量上的差别, 但并不能保证它们在每个时刻上一定处处相等 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 67
68 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛 两类稍微有些不同的收敛条件. 根据信号功率. 狄里赫利收敛条件 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 68
69 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛. 根据功率的收敛条件 可以用傅里叶级数来表示周期内能量有限的信号, 即 x 的一类周期信号是在一个 x d 该收敛条件仅保证求得 a 是有限值 满足使 lim E x N N 与它的傅里叶级数两者没有任何能量上的差别 ; 但不能保证它们在每一个 值上都相等 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 69
70 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛. 狄里赫利收敛条件 条件 : 在任何周期内, x 必须绝对可积, 即 x d 这一条件保证了每一系数 a 都是有限值 不满足狄里赫利第一条件的周期信号可以举例如下 : x,, 周期 = 7
71 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛. 狄里赫利收敛条件 条件 : 在任意单个周期间隔内, x 的最大值和最小值的数目有限 满足条件 而不满足条件 的一个函数是 x si,, 周期 = 该函数满足 x d 然而, 它在一个周期内有无限多的最大点和最小点 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 7
72 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛. 狄里赫利收敛条件 条件 3: 在 x 的任何有限区间内, 只有有限个不连续点, 而且在这些不连续点上, 函数是有限值 不满足条件的信号 : 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 7
73 吉布斯现象 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛 x N N a N, 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 73
74 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛 收敛的含义与吉布斯现象 处处收敛 :, lim x x N 均方收敛 : lim x x d 考察图示的周期方波信号 x N N N 74
75 x a a 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛 a a 3 N 4, si a 3 有限项 FS: x a N N a 5 5 si x x cos 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 75
76 76 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ x 3 cos 3 cos 3 x 5 cos 5 3 cos 3 cos 5 lim N N d x x 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛
77 77 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ x 3 cos 3 cos 3 x 5 cos 5 3 cos 3 cos 5 lim N N d x x 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛
78 78 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ x 3 cos 3 cos 3 x 5 cos 5 3 cos 3 cos 5 lim N N d x x 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛
79 79 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ x 3 cos 3 cos 3 x 5 cos 5 3 cos 3 cos 5 lim N N d x x 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛
80 8 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ x 3 cos 3 cos 3 x 5 cos 5 3 cos 3 cos 5 lim N N d x x 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛
81 8 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ x 3 cos 3 cos 3 x 5 cos 5 3 cos 3 cos 5 lim N N d x x 3..3 连续时间傅里叶级数的收敛
82 Gibbs 现象 : 随 趋向于无穷, 在函数的间断 点附近至少存在一点, 其函数的分解误差收敛 于函数在这点上的跳变值的 %. Gibbs 现象与 Dirchl 条件是否矛盾? 这牵涉到函数的 均方收敛 与 逐点收敛 的概念 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 8
83 3. 引言 3. 连续时间 LI 系统的特征函数 3. 连续时间傅里叶级数 3.3 连续时间傅里叶变换 3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 3.5 连续时间傅里叶变换的性质 3.6 连续时间 LI 系统的频域分析 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 83
84 加分题 :. 为何相似系数中正交的定义用的是函数的共轭? c i f f i * i f f * i d d. 写出书本 89 页周期性锯齿脉冲信号的频谱系数的推导过程 3. 写出书本 89 页周期性三角脉冲信号的频谱系数的推导过程 4. 写出书本 89 页周期半波余弦信号的频谱系数的推导过程 5. 用 Fw 求 f 过程中, 多出 Ω 为什么变成 dw 而不是 dw/? 加分题不要求每个人必需做, 但提交后如正确考试成绩有加分 加分题要求提交电子版, 电子版注明学号 专业和姓名, 直接发送给 rhao@zu.du.c 特别优秀的可以挂在网站供人参考 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 84
85 周期性方波型号的频谱系数图 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 85
86 3.3. 非周期信号的傅里叶变换的导出 x x 考虑一个信号, 它具有有限时宽 :, 当 x ~ x a b a 非周期信号 x;b 由 x 构成的周期信号 x 进行周期延拓 : ~ x x 且 x lim ~ x 86
87 3.3. 非周期信号的傅里叶变换的导出 将 ~ x 展开成傅里叶级数有 ~ x a a / / / / ~ x x x d d d 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 87
88 一 从周期信号到非周期信号 从傅利叶级数到傅利叶变换根据周期信号傅利叶级数展开公式, 其各个频率分量的幅度为 : c 当 f d 时,, 此时 : 频谱间隔趋进无穷小, 信号在各个频率点上都有信号分量 > 频率取值变成连续的 在每一个频率点上的频率分量大小趋向零 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 88
89 其中第二点给计算带来了麻烦, 所以无法用傅利 叶级数表示非周期信号 这时, 为了消除系数公式 中趋向无穷小的部分, 定义 : c F c f 这时上式可以得到一个非零的值 令 d, 则, 而 成为一个连续的变量, 假设其表 示为连续的变量, 则可以得到傅利叶变换公式 : F f d 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 89
90 因为该式有 单位频带内信号幅度 的量纲, 所以被称为 频谱密度函数 它表示信号在该 频率点上的分量的相对大小, 而信号在此频率 点上的实际分量分量大小为零 与傅利叶级数一样, 如果 f 是实数函数, F 的幅度是 的偶函数, F 是 的奇函数 的相位 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 9
91 傅利叶反变换 怎样用 F 计算 f f lim lim F F c d lim F 这个公式实际上也表示了将信号分解为一系列复数三角函数的 子信号之和 积分 这个公式也可以表达成为一个在物理上更 容易理解的实数三角函数形式 : 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 9
92 9 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ d F d F d F d F d F d F d F f cos si cos si cos
93 正反傅利叶变换由此可以得到正反傅利叶变换公式为 : F F f f F: IF: f F F d F d 7/4/ f 和 F 之间是一一对应的, 根据其中的一 个可以确定另外一个 可以认为, 它们包含了相 同的信息, 只不过自变量不同, 它们是相同信号 的不同表达形式 正变换将以时间为自变量的函 数变成了以频率为变量的函数, 将信号从时域变 换到了频域 所以建立在这种变换上的系统分析 方法称为变换域法 这种变换通常经过积分计算 得出, 所以也称为积分变换 信号与系统 第三讲 郝然 93
94 3.3. 非周期信号的傅里叶变换的导出 定义包络 a 为 : X x d 有 a X X 代入傅里叶级数, 有 ~ x X 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 94
95 3.3. 非周期信号的傅里叶变换的导出 随着 或者 ~, x 趋近于 x : x ~ x ~ lim lim x lim X x X d x 表示成了复指数信号的线性组合形式 X 用来表示信号所包含不同频率复指数信号组成成份的度量, 通常称为 x 的频谱 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 95
96 3.3. 非周期信号的傅里叶变换的导出 F x X 其中 x 和 X 表示一傅里叶变换对, 它们间关系为 和 X x x 频谱 X 极坐标形式 : X X X d d 其模 X 称为信号幅度谱, 其相位 称为信号的相位谱 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 96
97 3.3. 连续时间傅里叶变换的收敛 傅里叶变换对相当广泛的一类信号是适用的, 特别是对一些实际有用的信号 但并不是对所有信号都是适用的, 傅里叶变换也存在着收敛条件 令 xˆ 表示傅里叶反变换 xˆ X d x ˆ 和 x 之间的误差 : xˆ x 均方误差定义为 E d 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 97
98 3.3. 连续时间傅里叶变换的收敛 与周期信号的傅里叶级数相类似, 傅里叶变换通常有两个收敛条件 x x 条件 若能量有限, 也即平方可积 : x d 那么 X 就保证是有限的, 且有 E 条件 狄里赫利条件 : 该条件保证了傅里叶反变换除了那些不连续点外, 在任何其他的值上都等于原信号, 而在不连续点处, 它等于原信号在不连续点两侧值的平均值 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 98
99 3.3. 连续时间傅里叶变换的收敛 狄里赫利条件 : x. 绝对可积, 即 x d. 在任何有限区间内, x 只有有限个最大值和最小值 3. 在任何有限区间内, x 只有有限个不连续点, 并且在每个不连续点上信号都必须是有限值 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 99
100 3.3. 连续时间傅里叶变换的收敛 吉布斯现象 : 当傅里叶变换综合公式 反变换 用有限频宽来近似表示原信号, 即 xˆ w w X d 在不连续点处同样存在吉布斯现象 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
101 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 典型连续时间信号的傅里叶变换对 u x a a d d x X a a a, a a X u a F, 得单边指数信号 :
102 3.3.3 典型连续时间信号的傅里叶变换对 a F u X, a a 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
103 3 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 典型连续时间信号的傅里叶变换对, a x a 该信号可表示为 u u x a a 其傅里叶变换 d d d X a a a a a a a F a a a 得双边指数信号 :
104 3.3.3 典型连续时间信号的傅里叶变换对 a F a a 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 4
105 3.3.3 典型连续时间信号的傅里叶变换对 单位冲激信号 单位冲激信号 的傅里叶变换是 得 X d F X 单位冲激信号的频谱 所包含各种频率分量是相等的 5
106 3.3.3 典型连续时间信号的傅里叶变换对 冲激偶信号 因为 F 可得 d 上式两边对 求微分, 得 d d d 上式表示为 ' 的傅里叶反变换, 所以得 F 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 6
107 7 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 典型连续时间信号的傅里叶变换对考虑一信号, 其傅里叶变换为 X 其它,, c X 傅里叶反变换 c c d x c c d si cos c d cos c c c c si si 其它,, si c c c c F 得抽样函数
108 3.3.3 典型连续时间信号的傅里叶变换对 c c si c F,, 其它 c 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 8
109 3.3.3 典型连续时间信号的傅里叶变换对 当, X 的极限为 c 因为 所以 lim c lim c X c c si c lim c F c c si c F 可看作是 的另一种数学模型形式 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 9
110 3.3.3 典型连续时间信号的傅里叶变换对 矩形窗函数 : 其傅里叶变换为, x, 其它 X d cos si d si cos d si c 得, F x si c sa, 其它 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
111 3.3.3 典型连续时间信号的傅里叶变换对, F x si c sa, 其它 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
112 3.3.3 典型连续时间信号的傅里叶变换对 当 时, 信号 x 为一常数 : lim x F lim si c lim si c 因为 lim c c c si c 可得傅里叶变换对 F 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
113 3 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 典型连续时间信号的傅里叶变换对高斯脉冲 : E x 其傅里叶变换为 d E d x X ] si [cos d E cos 积分后得 F E E
114 3.3.3 典型连续时间信号的傅里叶变换对 E F E 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 4
115 MALAB: 计算信号的傅里叶变换 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 5
116 MALAB: 计算信号的傅里叶变换 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 6
117 MALAB: 计算信号的傅里叶变换 图 3-7 方波的频谱 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 7
118 3. 引言 3. 连续时间 LI 系统的特征函数 3. 连续时间傅里叶级数 3.3 连续时间傅里叶变换 3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 3.5 连续时间傅里叶变换的性质 3.6 连续时间 LI 系统的频域分析 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 8
119 第二次加分题 :. 当 x 为实且奇函数时,x 的频谱是纯虚且为奇函数. 证明傅里叶变换的频域积分特性 3. 证明傅里叶变换的时域卷积特性 4. 求高斯脉冲信号的傅里叶变换 推导过程 5. 求抽样函数信号 f c si c 的傅里叶变换 推导过程 c 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 9
120 3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 证法一 : 利用 d 的傅里叶变换 板书 证法二 : 考虑一个信号 x, 其傅里叶变换为应用反变换公式得 X 即 F 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
121 周期信号只是一个相对的概念 如果忽略其周期性, 它应该也可以被 看成是非周期信号处理, 进行傅里叶变换 但周期信号是功率信号, 不 满足绝对可积条件 但是通过引入冲激函数, 一样可以找到傅里叶变换 复正弦信号的傅里叶变换 : c c 周期性信号的傅里叶变换 周期性信号可以展开成傅里叶级数 : f c 由此可以得到周期性信号的傅里叶变换为 : F c 可见, 周期性信号的傅里叶变换是一系列间隔均匀的冲激序列 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
122 求解步骤 : 给定某一周期信号 x c x 可求出它的傅里叶级数为 c x d 可得周期信号 x 的傅里叶变换为 F x c X 对周期性信号的傅里叶变换的理解 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
123 例 3. 例 3. 考虑图 3.8 的周期方波, 求其傅里叶级数变换 图 3-8 周期对称方波的傅里叶变换 =4 傅里叶级数系数为 a si 因此, 该信号的傅里叶变换 X, 是 si X 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 3
124 例 3.3 例 3.3 求正弦和余弦信号的频谱 x cos 余弦信号展开为傅里叶级数形式 x cos x si 因此, 有 cos F F 正弦信号 si x si 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 4
125 例 3.4 例 3.4 求周期冲激串的傅里叶变换 周期冲激串定义为 该信号的傅里叶级数系数 a / d /, 因此, 可得冲激串的傅里叶变换 F 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 5
126 例 3.4 周期性的冲激信号, 其间隔和幅度都是 图 3- 冲激串频谱 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 6
127 3. 引言 3. 连续时间 LI 系统的特征函数 3. 连续时间傅里叶级数 3.3 连续时间傅里叶变换 3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 3.5 连续时间傅里叶变换的性质 3.6 连续时间 LI 系统的频域分析 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 7
128 傅里叶变换的性质. 傅里叶变换的线性性质 若 和 x X F x X F 则 F ax bx ax bx 其中 a b 为任意常数 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 8
129 9 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ X x F X x F 根据傅里叶反变换, 有若则 d X x 在上式中以取代, 可得 d X d X x 显然, 上式是的傅里叶反变换式, 所以得证 x 反向证明 :. 傅里叶变换的时移 延时 性质
130 . 傅里叶变换的时移 延时 性质 正向证明 : x F X 对于傅里叶级数, 有 : 若 则 x F x F a a 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 3
131 例 3.5 例 3.5 信号 x cos 的频谱 将信号 x 已知 改写为 x cos / cos, / cos F 根据延时性质, 有 F cos 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 3
132 3. 傅里叶变换的频移性质 若 则 x X F F x X 利用傅里叶变换公式, 有 [ x ] f d f. d 所以 F x X F 同理 x X 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 3
133 3. 傅里叶变换的频移性质 cos si 如 x X F 那么, 可以导出 : F x cos X X F x si X 该性质也适用于傅里叶级数 X 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 33
134 4. 傅里叶变换的尺度变换特性 时间域 f a a F a 信号的宽度 沿时间轴压缩 a 倍, 信号的频率宽度 B 沿频率轴扩展 a 倍 脉冲信号的宽度 和频带宽度 B 的乘积等于常数 数据传输中总希望信号的脉冲宽度尽可能小, 占用的信号频带同时也尽可能小 但从该性质可以看出, 信号脉冲宽度的频带宽度是一对矛盾 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 34
135 4. 傅里叶变换的尺度变换特性 傅里叶变换公式 置换 a, 可得 F x a F F x a xa a a x a x x d / a / a d, d, a a a 上式中, 由于 a 时,, 因此, 上式可化简为 F x a a x a d a X a 一个特例 : 如 a =, 则有 x X F 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 35
136 4. 傅里叶变换的尺度变换特性 频率域 a f a F F a 式中 a 是一个实常数 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 36
137 例 3.9 a a 例 3.9 证明 a, 为实数 证明 : 因为 F 所以, 根据尺寸变换性质, 有 a F a a F a 因此, 可得 a a 当 a 即 a a 时, 根据以上所证明的结果, 有 也就是说 是偶函数 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 37
138 5. 傅里叶变换的共轭对称性 若 x X F 则 x * F X * 因为 X x d X * [ x d] x * * d 以 替代, 得 若 那么 x x x * 为实数, 即有 X X * x 就具有共轭对称性, 即 X X x * *, 为实数 d 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 38
139 5. 傅里叶变换的共轭对称性 同理可证 : x- X- x*- X* 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 39
140 5. 傅里叶变换的共轭对称性. x 为实信号 若将 若 X X ImX X R x 为实数, 则有 R{ X } Im R{ X } X ImX 即实数信号傅里叶变换的实部是偶函数, 虚部是奇函数 类似地, 若 用直角坐标表为 X 用极坐标表示为 对变化量 x 引入一定的限制 X X 信号的幅度谱 X 是偶函数, 相位谱 是奇函数 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 4
141 5. 傅里叶变换的共轭对称性. x 为实且偶函数 根据信号傅里叶变换, 可以写出 X x d 用 替换, 可得 X x d 因为 x x, 所以有 X x d X 又由 X * 可得 * X X X * 故有 X X, 所以 X 只能是实值函数, 因此, 当 x 为实且偶函数时, 其频谱为实值偶函数 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 4
142 5. 傅里叶变换的共轭对称性 3. x 为实且奇函数同样可以证明, 此时, x 的频谱是纯虚且为奇函数 4. 若一个实函数用其偶部和奇部表示, 即 x x x 其中 x x d v x x 根据傅里叶变换的线性, 有 x x x x F{ x } F{ x } F{ x } R{ X } Im{ X } o 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 4
143 5. 傅里叶变换的共轭对称性 根据上面的讨论, F{ x } 是一实值偶函数, F{ x } 是 一个纯虚数且为奇函数, 于是可得出以下结论 F x X R X Im X 其中, x 为实值函数 F X F x R F F x Im o X 偶函数部分的傅里叶变换对应于频谱的实部 ; 奇函数部分的傅里叶变换对应于频谱的虚部 ; 上述结果, 完全适用于周期信号的傅里叶级数 o 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 43
144 5. 傅里叶变换的共轭对称性 比较傅里叶变换中的正变换和反变换关系, X x d 和 x X.. 和 si x c F c F sa c x c c si sa F 和 F d 若角色互换, 有何规律? 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 44
145 对称特性如果 f F, 则 : F f 信号与系统 第三讲 郝然 45
146 例 3. 例 3. 求下面信号的傅里叶变换 x 我们已知双边指数信号的傅里叶变换为 取 a=, 则有 a F a a F 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 46
147 6. 时域微分特性若 x 的傅里叶变换是 X, 可得 dx d X d dx 也就是 F X 时域微分 d d x 将微分性质进一步推广, 有 F X d 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 47
148 7. 时域积分特性 时域内的积分有 F x d X X 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 48
149 例 3.6 x u 例 3.6 求单位阶跃信号的傅里叶变换 我们已得到 F 因为 u d 利用时域积分特性, 有 u F 若 则 Y X X Y X 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 49
150 例 3.7 例 3.7 求三角脉冲的傅里叶变换 三角脉冲信号的表达式 x E,, 其它 将 x 取一阶和二阶导数, 得 d d x E 令 X X 和 X 分别表示 x 及其一 二阶导数的傅里叶变换, 则它们有以下关系 X X X X 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 5
151 例3.7 d x E X F d E [ cos ] 8E si 4 因此 有 X 8E si 4 所以 故可得 7/4/ X E Sa 4 信号与系统 第三讲 郝然 5
152 例 3.7 图 3- 三角脉冲信号的波形和频谱 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 5
153 8. 频域微分特性 考查时域微分性质 : dx F X d 我们可以证明它存在着对偶性质, 即频域微分性质 证明 : 因为 F x x X X F F 根据对偶性, 则有 X x dx F d dx 频域微分 d 根据微分性质, 有 x 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 53
154 8. 频域微分特性 再次运用对偶性, 有 F dx x d 上式改写为 F dx x d 利用尺度变换性质 取 a, 对左边时域信号进行反转操作, 则有 F dx dx dx x d d d 9. 频域积分特性 用同样方法, 可以从时域积分性质推出频域积分性质 7/4/ F x x 信号与系统 第三讲 郝然 X d 54
155 例 3. 例 3. 求所给频谱的反变换 X 已知指数信号傅里叶变换对利用频域微分性质, 则有 a a u a a F u d F a u d 所以得 : a 因此, X 的反变换为 a u F a a 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 55
156 例 3. 作为例 3. 的推广, 可得下面更一般关系! a F u a 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 56
157 例 3.8 例 3.8 求符号函数 sg 的傅里叶变换 单位阶跃信号可以表示为 其中 { u } v O d { u } x sg u u u u u u u v { u } O { u } d 即 O d { u } sg 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 57
158 例 3.8 已知 F u 根据实信号的共轭对称性,u 奇部的傅里叶变换应为其频谱的虚部, 即 F { u } 因此有 Od sg F 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 58
159 59 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 例 3.8 将符号函数的频谱表示为极坐标形式, 有 X X X,, 图 3- 符号函数波形和频谱
160 帕斯瓦尔定理 : 帕斯瓦尔定理 x X F x d X d 证明如下 : x d x x d * * x X d d 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 6
161 3.5.8 帕斯瓦尔定理 变换右边的积分次序有 * x d X x d d * X X d X d 信号的总能量既可以按照每单位时间内的能量在整个时间内的积分计算出来, 也可以按照每单位频率内的能量在整个频率范围内的积分而得到 周期信号的帕斯瓦尔定理为 7/4/ x 信号与系统 第三讲 郝然 d a 6
162 MALAB: 指数信号的能量密度谱 图 3-3 两相加指数信号的能量密度谱 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 6
163 . 傅里叶变换的卷积性质 时域卷积性质 : 若 x X F 和 h H F 则 x * h X H F 证明 : x X d lim X H h d 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 63
164 . 傅里叶变换的卷积性质 利用 LI 系统的叠加性, 系统对 x 的响应可表示为 x lim X lim X H 因此, 该系统对 y x 的响应就可表示为 lim X H X H 该式为 y 的傅里叶反变换, 因此有 F d y x * h X H 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 64
165 . 傅里叶变换的卷积性质 由于两周期信号的卷积是无穷大的, 因此, 傅里叶级数的卷积性质在形式上稍有不同 设两周期都 的周期信号 x 和 y, 有 : 若 x 和 FS a y FS b 则 FS x y d a b 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 65
166 . 调制性质 频域卷积 调制性质 : 若 x F X x X F 则 x x F X * X 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 66
167 . 调制性质 频域卷积 调制性质表明 : 时域上的相乘对应于频域上的卷积 可以利用傅里叶变换的对偶性, 直接从卷积性质推出调制性质 F 根据对偶性, 有 X x F X x 利用卷积性质, 可得到 X * X 4 x x F 再次利用对偶性, 有 F 4 x x X * X 由于 F x X, 从上式我们可得到 x x F X * X 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 67
168 . 调制性质 频域卷积 将该性质直接用于周期信号的傅里叶变换, 可得傅里叶级数的调制特性 若 x FS a 和 y FS b 则 x FS y l a l b l 式中 x 和 y 为同一周期 如将它们的系数 a 和 b 看作是离 散信号, 则 a l b l 就是 a 和的卷积和 l b 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 68
169 3. 引言 3. 连续时间 LI 系统的特征函数 3. 连续时间傅里叶级数 3.3 连续时间傅里叶变换 3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 3.5 连续时间傅里叶变换的性质 3.6 连续时间 LI 系统的频域分析 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 69
170 3.6. 连续时间 LI 系统的频率响应 根据卷积性质, 一个冲激响应为 h 的 LI 系统可表示为 其中 H : F h H 称为 LI 系统频率响应, 显然它也是特征函数 的特征值 根据卷积性质, 输出信号的频谱 Y 满足以下关系 Y X H 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 7
171 3.6. 连续时间 LI 系统的频率响应 LI 系统的频率响应另一种定义可表示为 H Y X 在 LI 系统分析中, 与 h 一样, 频率响应 H 可以完全表征它所对应的 LI 系统,LI 系统的很多性质也能够很方便地借助 于 H 来反映 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 7
172 7 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 3.6. 连续时间 LI 系统的频率响应级联系统总的频率响应为各单个子系统频率响应的乘积, 总的频率响应与各子系统的级联顺序无关 H X W H W Y H H X H H X 图 3- 三种相等的系统
173 3.6. 连续时间 LI 系统的频率响应 通常将系统频率响应表示为极坐标形式 : H H 其中 H 称为系统的幅频特性, 它表征了系统对输入信号的放大特性 ; 称为系统的相频特性, 它表征了系统对输入信号的延时特性 利用傅里叶变换方法分析 LI 系统时, 仅局限于系统的冲激响应存在傅里叶变换的情况 : h d 一般说来,LI 系统的频域分析法适用于稳定系统 已知 LI 系统的频率响应, 可以借助卷积性质, 在频域上求解对任何输入信号的零状态响应 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 73
174 例 3. 例 3. 试求微分器的频率响应 H 描述微分器的方程为 y dx d 根据微分性质, 有 Y X 微分器的频率响应 : H Y X 微分器的冲激响应是 h ' 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 74
175 例 3.3 例 3.3 试求积分器的频率响应 H 积分器由下列方程给出 y x d y x * u = x u d 积分器的冲激响应 h u 因此, 积分器的频率响应就是 H 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 75
176 例 3.4 例 3.4 考查一延时系统 : y x, 为实常数 若 F x X 则 F y X 因此, 延时器的频率响应 : H Y X 延时器的冲激响应为 h 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 76
177 例 3.4 回音系统即为一延时系统 发送信号 :x 接受到的回波信号 : y x a x 回音 77
178 MALAB: 系统的频率响应 H
179 MALAB: 系统的频率响应 图 3-5 系统频率响应的幅频特性和相频特性 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 79
180 3.6. 零状态响应的频域求解 可以利用傅里叶变换的卷积性质求解 LI 系统的零状态响应 一般思路 : 通过卷积性质求得输出信号的频谱, 然后对该频谱作反变换求得其时域表达式 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 8
181 例 3.5 例 3.5 某一因果 LI 系统的冲激响应为 a a h u b b 该系统的输入为 x u 可求得系统的频率响应为 H a 和输入信号的傅里叶变换 X b 由卷积性质可得输出信号 Y y 零状态响应 的傅里叶变换为 X H a b 8
182 8 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 时, 的部分分式展开为 将看作为一变量 b a Y b B a A Y a b a Y A a a b b Y B b 因此 ] [ b a a b Y ] [ u a b y a b 例 3.5
183 例 3.5 a = b 时 Y a 可得 y 为 y a u 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 83
184 84 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 例 3.6 已知某一因果 LI 系统对输入信号的零状响应为 u x 3 u y 问该系统的频率响应和 H h X 3 3 Y 频率响应为 H 3 X Y H 例 3.6
185 85 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 将上式展开为部分分式 B A H 3 H A 3 3 H B 因此, 系统的冲激响应为 3 u h 例 3.6
186 86 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 用线性常系数微分方程表征的 LI 系统线性常系数微分方程 M N d x d b d y d a M N d x d b d y d a F F M N d x d b d y d a F F 根据傅里叶变换线性性质, 上式变为两边求傅里叶变换
187 87 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 由微分性质 X d x d F 可得 M N X b Y a 即 M N b X a Y 因此, 系统的频率响应为 N M a b X Y H 用线性常系数微分方程表征的 LI 系统
188 88 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 例 3.7 某一因果 LI 系统 3 x d dx y d dy d y d 可直接写出该系统的频率响应 3 H 将展开为部分分式 : H B A H 3 例 3.7
189 例 3.7 解得 A H B H 3 求得冲激响应为 h 3 u 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 89
190 9 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 例 3.8 已知某一因果 LI 系统 3 4 x d dx y d dy d y d 和输入信号, 且系统初始静止, 求输出信号 u x 3 4 H X 输出信号的频谱为 y H X Y 例 3.8
191 例 3.8 其部分分式展开式为 Y A A A 3 A d d Y 4 A Y A Y /4/ 信号与系统 第三讲 郝然 9
192 9 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 于是 Y 上式的反变换为 u y 例 3.8
193 3.6.4 周期信号激励下的系统响应 假设某稳定的 LI 系统的频率响应为 H 输入信号 x 为一周期信号, 其傅里叶级数展开式为 x a 系统对该周期信号的响应为 输出 y a H y 也为相同的基波周期的周期信号, 其傅里叶级数系数 b a H 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 93
194 3.6.4 周期信号激励下的系统响应 在工程中应用较多的是三角函数形式的傅里叶级数形式 x B B cos C si si 只要求得系统对和 cos 的响应特性, 就可求得系统对一般周期信号的响应 理解 : 三角函数可看作 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 94
195 95 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ LI 系统对的响应 周期信号激励下的系统响应假设 LI 系统的冲激响应是实函数 根据共轭对称性, 有 cos h H H H H cos F x 因为因此, 输出的傅里叶变换 y H H H H H Y H
196 3.6.4 周期信号激励下的系统响应 上式的反变换为 y H cos 同理, 对 x si 的响应是 y H si 上述结果进一步推广为 Acos A H cos Asi A H si 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 96
197 97 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 周期信号激励下的系统响应我们可求得,LI 系统对 si cos C B B x 的响应为 si cos H C H B H B y cos H D H B
198 98 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 电路系统的频域求解电阻电容电感 RI U Ri u R R R R 在频域上定义复阻抗 I U R ] [ I C I C U d i C u C C C C C LI U d di L u L L L L 电阻电容电感复阻抗分别为 : R R C R L R 换路定律指出 : 电容两端的电压是不能发生跃变的, 只能连续变化
199 例 3.9 例 3.8 如图所示的 RC 低通网络,, 其输入端 的信号为单位阶跃信号,x=u 用傅里叶分析法求该 电路的输出信号 v C RC x a + v R c b + v c 图 3-6 例 3-9 的图 99
200 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 例 3.9 如图所示, 输出 v C 的傅里叶变换为 X R C C V C 所以, 系统的频率响应为 H, RC RC RC CR R C C X V H C
201 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 例 3.9 输入信号 x 的傅里叶变换为 u x F 因此, 可得 V C ] [ ] [
202 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 例 3.9 求上式的傅里叶反变换, 可得 u v C 当输入信号 x 为矩形脉冲时, 由于输入信号可以表示为移位阶跃信号的线性组合, 即 ] [ u u E x 因此, 根据 LI 系统的叠加性和时不变性原理, 可求得输出信号 y 为 : ] [ u E u E y
203 MALAB: 计算对矩形脉冲的响应 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 3
204 MALAB: 计算对矩形脉冲的响应 图 3-7 RC 低通网络对矩形脉冲的响应,E=.,=3. 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 4
205 3.6.6 信号的不失真传输 无失真传输 : 输出信号与输入信号相比, 只是大小与相对时间轴的位置不同, 而无波形上的变化 无失真传输条件 y Kx 式中 K 为增益常数, 为滞后时间 傅里叶变换为 : Y K X 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 5
206 信号的不失真传输系统的幅频特性和相频特性分别为 H K X Y H K H K ω a 幅频特性 ω b 相频特性图 3-8 无失真传输系统的频率响应特性 H 无失真系统的频率响应
207 例 3. 例 3. 电路如图所示, 为得到无失真传输, 元件参数 R R C C 应满足什么关系 图 3-9 无失真传输系统电路图 当 R C =R C 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 7
208 8 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 例 3. 可以求出该电路的频率响应 H 3 C R C R C R C R R C C R Z Z Z V V H C C R R R R R C C C C H 化简为
209 例 3. 从上式可以看出, 为使电路成为无失真传输系统, 必须 满足下列条件 化简可得 RC RC R R RC RR C C 此时, H 可重新写成 H C C C R R R 该 H 为一常数, 满足无失真的幅频特性和相频特性 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 9
210 3.6.7 信号的滤波与理想滤波器 滤波 : 改变信号中各频率分量的大小 滤波器 : 完成滤波功能的系统 频率选择性滤波器 : 无失真地通过某些频率范围的信号, 而衰减掉另一些频率范围内的信号 理想滤波器 : 将滤波器的某些特性理想化而定义的滤波器系统 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
211 3.6.7 信号的滤波与理想滤波器 理想滤波器是指将滤波器的某些特性理想化而定义的滤波器系统 最常用的是具有矩形幅度特性和线性相移特性的理想低通滤波器 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
212 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 信号的滤波与理想滤波器理想低通滤波器的频域特性可以表示为 其它,, c H 对作傅里叶反变换, 可得低通滤波器的单位冲激响应 : 注意到, 当时,, 因此理想低通滤波器是个非因果系统, 因而在时域上它是物理不可实现的 h H ] si[ d d H h c c c c c. 理想低通的频域特性和冲激响应
213 3.6.7 信号的滤波与理想滤波器 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 3
214 4 理想低通 u s 阶跃信号的傅里叶变换为 u F 其它 F,, c s 于是 信号的滤波与理想滤波器. 理想低通滤波器的阶跃响应
215 5 信号与系统 第三讲 郝然 7/4/ 求上式的傅里叶反变换可得阶跃响应 s d d s c c c c c c c c d si cos 信号的滤波与理想滤波器
216 3.6.7 信号的滤波与理想滤波器 上式作变量替换 x, 于是有 s si dx x c x si x 对函数的积分称为 正弦积分 以符号 Si y 表示 x Si y y si x dx x 阶跃响应可写成 s Si c 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 6
217 3.6.7 信号的滤波与理想滤波器 定义输出由最小值到最大值所需时间为上升时间 r, 其值为 r c f c 阶跃响应的上升时间与系统的截止频率 带宽 成反比 该结论具有普遍意义, 适用于各种实际滤波器 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 7
218 3.6.7 信号的滤波与理想滤波器 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 8
219 3.6.7 信号的滤波与理想滤波器 吉布斯现象 : 一个信号通过理想低通滤波器, 其实质是用信号的有限频率分量近似原信号 : y c c X d 根据傅里叶变换的物理意义, 在布斯现象 u 的断点处, 其输出必存在吉 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 9
220 3.6.7 信号的滤波与理想滤波器 实际情况 : 第一个峰值在 处, 有 s max Si c 利用函数 Si.854, 可计算出该峰值 上冲 s max 即, 第一个峰值的上冲为跳变值的 8.95%, 近似为 9%, 该值与 c 无关 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
221 3.6.7 信号的滤波与理想滤波器 3. 理想低通对矩形脉冲的响应矩形脉冲的表示式为 x u u 理想低通对矩形脉冲 y 响应为 y Si c c Si 时, 脉冲的宽度远远大于系统的上升时间,y 波 c 形接近矩形脉冲信号 接近或小于, y 波形将严重失真于矩形脉冲信号 c 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
222 MALAB: 理想低通对矩形脉冲的响 应 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
223 MALAB: 理想低通对矩形脉冲的响 应 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 3
224 MALAB: 理想低通对矩形脉冲的响 应 图 3-33 理想低通对矩形脉冲的响应 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 4
225 MALAB: RC 低通网络对矩形脉冲的 响应 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 5
226 MALAB: RC 低通网络对矩形脉冲的 响应 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 6
227 MALAB: RC 低通网络对矩形脉冲的 响应 图 3-35 RC 低通网络对矩形脉冲的响应 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 7
228 作业 3.3 并试用 Malab 验证,3.3, 3.53, 3.6, 3.7, 并试用 Malab 验证, 3.9, 3.4 并试用 Malab 验证, 3.3, 3.4, 3.6, 3.7, 3.8, 3., 3., 3., 3.3, 3.6, 3.3, 3.33, /4/ 信号与系统 第三讲 郝然 8
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第三章 傅里叶变换 3. 引言 时域分析 -> 变换域分析, 要讨论的变换 傅氏变换 复频域分析 L 离散信号的 Z 域变换 信号的分解 - 正交基底函数 的发展 965 年 的内容 周期的模拟信号 S 非周期的模拟信号 离散的非周期序列 今后讨论 3. 周期信号的傅氏级数分析 狭利赫利条件 一个周期内, 周期信号绝对可积 一个周期内, 周期信号的极值数目有限 一个周期内, 周期信号只有有限个间断点
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信号与系统 Signls n Sysms 第三章连续时间信号与系统的频域分析 Chpr 3 h rquny Domin Anlysis of Coninuous Signl n Sysm 控制系网络课程平台 :hp://www.s.zu.u.n/lss/signl_sysm/ 浙江大学控制科学与工程学系 本章主要内容 连续时间 LI 系统的特征函数 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3 非周期信号的表示
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信号与系统 Sigls d Sysms 第四章离散时间信号与系统的频域分析 Chpr 4 h Frqucy Domi Alysis of Discr Sigl & Sysm 控制系网络课程平台 :hp://www.cs.zu.du.c/clss/sigl_sysm/ 浙江大学控制科学与工程学系 概述 7 世纪开始离散时间信号的研究 世纪 4 年代, 微电子技术的发展和数字计算机的出现扩展了离散时间信号与系统的应用范围
大理大学 2019 年自命题科目考试大纲 科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统 一 目标要求 信号与系统 是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学 公平 有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念 基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用
大理大学 2019 年自命题科目考试大纲 科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统 一 目标要求 信号与系统 是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学 公平 有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念 基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用的需求建立信号与系统的数学模型, 通过时间域与变换域的数学算法, 分析系统性能, 求解输出信号的能力,
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
图所示 ), 请确定并画出 y( 的频谱 Y(j ) x( cos(5m -5m -3m 3m 5m cos(3m -3m 3m y( X(jω) -m m ω 4 ( 分 ) 一个离散 LTI 系统, 其输入 x [n] 和输出 y[n] 满足下列差分方程 : y [ n] y[ n ] x[ n
![图所示 ), 请确定并画出 y( 的频谱 Y(j ) x( cos(5m -5m -3m 3m 5m cos(3m -3m 3m y( X(jω) -m m ω 4 ( 分 ) 一个离散 LTI 系统, 其输入 x [n] 和输出 y[n] 满足下列差分方程 : y [ n] y[ n ] x[ n](/thumbs/92/110009702.jpg "图所示 ), 请确定并画出 y( 的频谱 Y(j ) x( cos(5m -5m -3m 3m 5m cos(3m -3m 3m y( X(jω) -m m ω 4 ( 分 ) 一个离散 LTI 系统, 其输入 x [n] 和输出 y[n] 满足下列差分方程 : y [ n] y[ n ] x[ n")
计算题 ( 3) 图 4- 所示的系统中, 输入信号及带通滤波器的特性如下, 求输出信号及其频谱 sin( 函数已知 f (, s( cos( H( ) j ( ) f( s( f ( s( 带通滤 y( ) 波器 - - -999 图 4-(a) 图 4-(b) 999 (rad/s) 某 LTI 连续时间系统如图 4- 所示, 已知当 f ( u( 时, 系统的全响应为 y( ( 5e 5e 3
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第 5 讲 离散时间傅里叶变换 Discrt T Fourir Trsform 主讲 : 金连文 wi@scut.du.c 数字信号处理 Digit Sig Procssig 本讲主要内容 连续时间傅里叶变换 (CTFT 离散时间傅里叶变换 ( LTI 系统的频率响应及频率特性 课本第三章内容 频率的概念 频率的概念是什么?( 从哪里来? 正弦信号 频率概念 震动 一 连续时间傅里叶变换 对频率的定义
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第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
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03 年秋季学期 3 教 05 数字信号处理 第三章离散时间信号和系统的频域分析 第三章离散时间信号和系统的频域分析 3. 周期序列 DFS 的定义 3. 周期序列 DFS 的基本性质 3.3 非周期序列 DTFT 的定义 3.4 序列 DTFT 的基本性质 3.5 周期序列 DTFT 3.6 序列的频域采样 本章主要学习 对于离散时间系统 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则用 Z 变换或傅里叶变换这一数学工具
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信号的时域分析 连续时间信号的时域描述 连续时间信号的基本运算 离散时间信号时域描述 离散时间信号的基本运算 确定信号的时域分解 连续时间信号的时域描述 典型普通信号 正弦信号 实指数信号 虚指数信号 复指数信号 抽样函数 奇异信号 单位阶跃信号 冲激信号 斜坡信号 冲激偶信号 一 典型普通信号 正弦信号 Asin ω ϕ A: 振幅 ω : 角频率弧度 / 秒 ϕ: 初始相位 sin ω ϕ A
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第五章连续系统的 域分析 点击目录 5. 拉普拉斯变换一 从傅里叶变换到拉普拉斯变换二 收敛域三 ( 单边 拉普拉斯变换 5. 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析一 微分方程的变换解二 系统函数三 系统的 域框图四 电路的 域模型五 拉普拉斯变换与傅里叶变换, 进入相关章节 第 4- 页 第五章连续系统的 域分析 频域分析以虚指数信号 e jω 为基本信号, 任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和
<4D F736F F F696E74202D20D0ECBEB22DD0C5BAC5D3EBCFB5CDB3422DB5DA33D5C25F312DB4D3D6DCC6DAD0C5BAC5B5C4B8B5C0EFD2B6BCB6CAFDB1EDCABEB
第 3 章 从连续时间周期信号的 傅里叶级数 表示到连续时间 傅里叶变换 徐静 XI AN JIAOONG UNIVERSIY 你所知道的信号与系统 信号与系统究竟是何物? 工程数学? 傅里叶变换 傅里叶分析傅? 一种方法 一种思想? 2 傅里叶分析方法 连续和离散时间的傅里叶分析方法 第 3 章连续周期信号的傅里叶级数 (CFS) 连续时间傅里叶变换 (CF) 第 4 章离散周期信号的傅里叶级数
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为
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平稳过程的功率谱密度 在无线电 通信技术等领域的一些问题中, 通常需要分析 平稳过程的频域结构. 为此引入平稳过程的功率谱密度 随机过程引论 西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋 定义 5.4.1 设 ={ t, -
《数字电路与系统》
一 课程基本信息 信号与系统 A 课程编号 :2020193 大纲编号 :201601 课程名称 : 信号与系统 A 课程类别 : 专业基础课学分 :4 学时 :68 课堂讲授 :56 上机实验 :12 适用范围 : 电子信息工程专业 通信工程专业预修课程 : 电路 二 课程性质与任务 本课程是电子信息工程专业 通信工程专业所必修的一门重要的专业基础课 课程主要学习确定信号的特性, 线性时不变系统的特性,
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第三章 DFT 离散付氏变换 DFS 和 DFT DFS 和 DFT 的性质 Z 变换与 DFS 的关系 FFT IDFT 频谱分析 傅里叶 Fourir, 768-83 法国数学家 物理学家 法国著名数学家 物理学家,87 年当选为科学院院士,8 年任该院终身秘书, 后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席, 主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论 傅立叶在 87 年就写成关于热传导的基本论文
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
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LN htm
kaoyan.om 线性系统 一线性系统的概念 1. 线性系统是什么? 线性时不变系统的定义 : (1) 线性 : 若 1 2 产生的输出分别是 y 1 y 2 a1 + b2 产生的输出是 ay ( t 1 ) + by 2( t ) (2) 时不变 : 若 y 产生的输出是 即 ( t τ ) y 的输出是 ( t τ ) 若非特别指出 以后 线性系统 一词总指线性时不变系统 则对任意的常数 a
《高等数学》 CAI课件
第四部分 : 定积分 一 重点 难点与例子 第五部分定积分 共 6 例 : 定积分的存在定理 定积分性质 3 用定积分的定义求极限 关于积分限为变元的函数 5 Newo Leibiz 公式的重要意义 6 计算定积分 N L 公式 7 定积分常用公式与例子 8 广义积分二 判断题 下列运算对吗? 共 6 个 三 练习题 共 个 练习题解答 一 重点 难点与例子 定积分的存在定理 若 在闭区间 [,b]
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
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中国地质大学研究生院 硕士研究生入学考试 电路 信号与系统 考试大纲 ( 包括电路分析 信号与系统两部分 ) 一 试卷结构 ( 一 ) 内容比例 电路分析 信号与系统 全卷 约 60 分 约 90 分 150 分 ( 二 ) 题型比例 填空题 约 40% 综合题 约 60% 二 考试内容及要求电路分析 ( 一 ) 集总参数的基本概念与基本定律考试内容电路中电流 电压及功率等变量的定义 参考方向的概念,
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信号与系统 Sigal ad Sym 第六章信号与系统的复频域分析 Chapr 6 Th Complx Frqucy Domai Aalyi of Sigal ad Sym 控制系网络课程平台 :hp://www.c.zju.du.c/cla/igal_ym/ 浙江大学控制科学与工程学系 7/4/4 复习与概述 将输入信号表示成基本信号的线性组合 系统的输出 时域 : 频域 : x x d 时域 a
2013Ä긣½¨Ê¦·¶´óѧ839ͨѶÓëÐÅϢϵͳרҵ×ۺϿ¼ÊÔ´ó¸Ù
福建师范大学硕士研究生入学考试 通讯与信息系统专业综合通讯与信息系统专业综合 考试大纲 一考查目标通信与信息系统专业综合考试涵盖信号与系统和数字电路两门学科基础课程 要求考生系统掌握上述学科的基本理论 基本知识和基本方法, 能够运用所学的基本理论 基本知识和基本方法分析和解决有关理论问题和实际问题 二 考试形式和试卷结构 1. 试卷满分及考试时间本试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟
数字信号处理 第五章04 IIR数字滤波器-脉冲响应不变变换法.ppt [兼容模式]
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数字信号处理 周治国 2015.11 第五章数字滤波器 IIR 数字滤波器 脉冲响应不变变换法 1 从模拟低通滤波器设计数字低通滤波器 (1) 脉冲 / 阶跃响应不变法 (2) 双线性变换法 一 从模拟滤波器设计数字滤波器 2 IIR 数字低通滤波器的频率变换 ( 高通 带通 带阻数字滤波器的设计 (1) 直接由模拟原型到各种类型数字滤波器的转换 (2) 从数字低通滤波器到各种类型数字滤波器的转换
§3 Fourier级数
Fourier 级数 周期为 的函数的 Fourier 展开 以下总设函数 f 在 [, ] 上有定义,Riem 可积, 并已按它在 [, 上的值周 期延拓到,, 换句话说,f 是定义在整个实数范围的以 为周期的周期函数 但 在实际计算时, 对 f 的延拓可以仅仅是观念上的 Fourier 展开的基础是三角函数的正交性 容易证明, 函数族 {,si,cos,si,cos,,si,cos, } 按内积
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
实验一 信号、系统及系统响应
实验 信号及系统基本特性分析. 实验目的 学习 Mtlb 编程的基本方法 ; 掌握常用函数用法 2 了解不同信号的频域特性, 理解时域特性与频域特性之间的关联性 3 掌握典型信号序列的时域和频域基本特性 4 熟悉理想采样的性质, 了解信号采样前后的频谱变化, 加深对采样定理的理解 5 了解离散系统的时域 / 频域特性及其对输出信号的影响, 掌握系统分析方法.2 实验原理.2. 连续时间信号的采样 采样是从连续时间信号到离散时间信号的过渡桥梁,
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信号与系统 Sigls d Sstes 第七章 Z 变换 Chpter 7 Z Trsfortio 控制系网络课程平台 :http://www.cse.ju.edu.c/eclss/sigl_sste/ 浙江大学控制科学与工程学系 主要内容 双边 变换 变换的收敛域 变换的性质 常用信号的 变换对 反变换 单边 变换及其性质 LTI 系统的 域分析 单边 变换及其性质 -- 定义 实际问题中常遇到的是因果序列
考试要求 1. 理解离散信号的时域特性, 掌握差分方程的经典法解法, 掌握零输入和零状态响应的时域解法 2. 理解并掌握单位序列响应与单位阶跃响应的概念与意义, 掌握单位序列响应与单位阶跃响应的求解方法 ; 3. 理解并掌握卷积和的定义, 掌握卷积和的定义求解方法和图示求解方法 ; 掌握卷积和的性质
信号与系统 考试大纲 一 考试的总体要求 要求考生熟练地掌握本课程所讲述的基本概念 基本理论和基本分析方法, 并利用这些经典理论分析 解释和计算一些相关的问题 二 适用专业 电子信息工程 三 考试内容和考试要求 ( 一 ) 信号与系统考试内容信号与系统的基本概念, 信号和系统的描述方法和分类方法, 信号的基本运算, 阶跃函数和冲激函数的定义和性质, 系统模型及其划分, 系统的特性和分析方法 考试要求
器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 ３ 电势与电势差 １ 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 Ｅ ｐ 与电荷量 ｑ Ｅｐ 的比值叫做该点处的电势 表达式为 Ｖ 电场中两点之间的 ｑ 电势之差叫做电势差 表达式为 ＵＡＢ Ｖ Ａ ＶＢ ２ 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量
Ａ
工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录 工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录 A. 复数与复变函数 ( 第一章 ).... 复数.... 复变函数...4 A. 导数 ( 第二章 )...6. 解析函数...6.4 调和函数...8 A. 积分 ( 第三章 )...9. 柯西积分公式解析函数的导数...9 A.4 级数 ( 第四章 )... 4. 泰勒级数... 4.4 罗朗级数...
矩阵函数
矩阵函数 矩阵分析 - 研究生课程 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义 1: 已知 和关于变量 的多项 式 那么我们称 为 的矩阵多项式 n x n 1 n 1 1 0 f( x) a x + a x + L + a x+ a n n n 1 n 1 1 0 f( ) a + a + L + a + a I n n n C 设为一个阶矩阵, 为其 Jordan 标准形, 则 n J 于是有 1
<4D F736F F F696E74202D204C C0EBC9A2CAB1BCE4D0C5BAC5B5C4CAB1D3F2B7D6CEF62E BD6BBB6C15D>
第 讲 离散时间信号的时域分析 Discrete-Time Signals in the Time-Domain 主讲 : 金连文 eelwjin@scut.edu.cn 数字信号处理 Digital Signal Processing 本讲主要内容 离散时间信号的时域表示 离散时间信号的分类 离散时间信号的运算 典型离散信号及其性质 信号的相关分析 概念 一 离散时间信号的时域表示 离散信号 :
内容简介 本书系统地论述了信号与线性系统分析的基本理论和方法 全书共分 7 章, 主要内容包括 : 信号与系统的基本概念, 连续时间信号与系统的时域 频域和复频域分析, 离散时间信号与系统的时域和 z 域分析, 系统的状态空间分析 第二版在继承原书编写思想的基础上, 对全书内容进行了全面修订和完善
信 号 与 系 统 ( 第二版 ) 王颖民郭爱 西南交通大学出版社 成都 内容简介 本书系统地论述了信号与线性系统分析的基本理论和方法 全书共分 7 章, 主要内容包括 : 信号与系统的基本概念, 连续时间信号与系统的时域 频域和复频域分析, 离散时间信号与系统的时域和 z 域分析, 系统的状态空间分析 第二版在继承原书编写思想的基础上, 对全书内容进行了全面修订和完善 本书可作为高等院校电气信息类专业
8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( )
高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 一. 选择题. 当 时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点 极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f
作业 2.3,2.5(3)(5)(6) 2.6(2)(3) 2.8(3)(7)(8) 2.9(1)(3) 2.10 (2)(4)(8) (C),2.16(2), 自己仿真 2.29,2.30
第二章 离散时间信号和系统的时域分析 作业 2.3,2.5(3)(5)(6) 2.6(2)(3) 2.8(3)(7)(8) 2.9(1)(3) 2.10 (2)(4)(8) 2.11 2.13(C),2.16(2), 自己仿真 2.29,2.30 主要内容 离散时间信号的表示 典型离散信号 序列基本运算 离散时间系统时域分析 因果稳定性分析 线性和时不变分析 输入输出关系 线性卷积求解 差分方程求解
数据一样, 为何图模糊了, 精度降低? 如何补救?
加分题四 hp://pan.zju.du.cn/har/ 49455455a8db4c97779c7b 数据一样, 为何图模糊了, 精度降低? 如何补救? 托盘没放正, 在 z 平面是倾斜的, 如何处理? 第六章 信号与系统的复频域分析 6. 引言 6. 拉普拉斯变换 6. 常用信号的拉氏变换对 6.3 双边拉氏变换的性质 6.4 周期信号与抽样信号的拉氏变换 6.5 拉氏反变换 6.6 单边拉氏变换及性质
矩阵论 第三章：矩阵分析
矩阵论 第三章 : 矩阵分析 马锦华 数据科学与计算机学院 中山大学 第三章 : 矩阵分析 3.1 矩阵序列 3.2 矩阵级数 3.3 矩阵函数 3.4 矩阵的微分与积分 3.5 矩阵分析应用举例 2 矩阵序列 定义 3.1: 设有中的矩阵序列 其中 若 m n C lim a a i 1, 2,, m; j 1, 2,, n, ij ij, 收敛于 记为 或 a ij mn 不收敛的矩阵序列称为发散.,
数字信号处理 第三章05.ppt [兼容模式]
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数字信号处理 周治国 25.9 第三章 离散傅里叶变换 3-6 频域采样 问题 : 采用 DFT 实现了频域取样, 对于任意一个频率特性能否用频率取样的方法去逼近? 研究 :, 限制? 2, 经过频率取样后有什么误差? 3, 如何消除误差? 4, 取样后所获得的频率特性怎样? 一 取样点数的限制 3-6 频域采样 x(n, X( z X( e X( X( e 任一非周期序列 ( 绝对可和 jω jω
第八章 拉普拉斯变换
第八章拉普拉斯变换 拉普拉斯变换理论 ( 又称为运算微积分, 或称为算子微积分 ) 是在 19 世纪末发展起来的. 首先是英国工程师亥维赛德 (O.Heaviside) 发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题, 但是缺乏严密的数学论证. 后来由法国数学家拉普拉斯 (P.S.Laplace) 给出了严密的数学定义, 称之为拉普拉斯变换方法. 拉普拉斯 (Laplace) 变换在电学 光学 力学等工程技术
f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是
![f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是](/thumbs/93/111302294.jpg "f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是")
高等数学 第五章 - 定积分 练习题 (A) 一 判断正误题 :( 判断下列各题是否正确, 正确的划, 错误的划 ) n () + + + d n + = n n n () f ( d ) = f( udu ) () 若函数 f ( ) 在区间 (, + ) 上连续, c,, 为任意三个常数, 则 c f ( d ) = ( ) f d+ c f( d ) (5). () (6) sin d (7)
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模拟电子技术 主讲教师 : 王庆凤 Emal:wangqf@jlu.edu.cn 模拟电子技术参考资料 参考教材 康华光电子技术基础模拟部分 ( 第五版 ) 高等教育 童诗白模拟电子技术基础 ( 第四版 ) 高等教育 华成英模拟电子技术基本教程清华大学出版社 习题集 模拟电子技术基础解题指南清华大学 模拟电子技术常见题型解析及模拟题西北工业大学 模拟电子技术基础学习与解题指南华中科技大学 电子技术的发展
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西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
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第一章函数的极限与连续 一 函数及其性质二 极限三 函数的连续性 分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 第一节函数及其性质 一 函数的概念 二 函数的性质 一 函数的概念 ( 一 ) 区间与邻域 1. 区间 研究函数时, 常常要用到区间的概念. 设 a, br 且 a b, 规定 : 开区间 ( a, b ) a b 闭区间 [ a, b ] a b 右半开区间 左半开区间 [
第二节 换元积分法
第二节 换元积分法 一 第一类换元法 二 第二类换元法 三 小结 思考题 一 第一类换元法 问题 cos d ( )sin C, 解决方法利用复合函数, 设置中间变量. 过程令 cos d d d, sin cos d C sin C. 在一般情况下 : 设 F ( u) f ( u), 则 f ( u)d u F( u) C. 如果 u () ( 可微 ) d F[ ( )] f [ ( )] (
第一章 信号与系统的基本概念
信号与系统 信息与电子工程学院郝然 1 课程简介 : 课程性质 : 专业基础课程 涉及专业 : 信息与通信, 电子技术, 自动控制, 计算机技术, 海洋 先修课程 : 高等数学, 线性代数, 复变函数, 物理, 电路分析 后续课程 : 数字信号处理, 通信原理, 自动控制, 控制技术, 统计信号处理, 移动通信, 2 课程简介 : 课程特点 : 专业课程中的数学课 ; 体系严密 ; 以工程应用为目标,
任春平 邹志利 在坡度为 的平面斜坡上进行了单向不规则波的沿岸流不稳定运动实验 观测到了沿 岸流的周期性波动 波动周期约为 利用最大熵方法和三角函数回归法求得这种波动的主 频率以及幅值 分析了波动幅值在垂直岸线方向的变化 结果表明该变化与沿岸流变化类似 即在 沿岸流最大值附近这种波动强度最大 为了分析波动的机理 利用线性沿岸流不稳定模型对模型实验结果进行了分析 求得了不稳定运动增长模式和波动周期 并与对应实测结果进行了比较
数字信号处理在航空航天、遥测遥感、生物医学、自动控制、振动工程、通信雷达、水文科学等许多领域有着十分广泛的应用
第一章离散时间信号与系统. 数字信号处理系统的基本组成 我们来讨论模拟信号的数字化处理系统, 此系统先把模拟信号变化为数字信号, 然后用数字技术进行处理, 最后再还原成模拟信号 这一系统的方框图见图所示 X a (t) 前置滤波器 A/D 变换器 X ( 数字信号 Y ( D/A 模拟 (t) 处理器变换器滤波器 Y a 数字信号处理系统的简单方框图当然实际的系统并不一定要包括它的所有框图, 例如有些系统只需数字输出,
一 根据所给图表，回答下列问题。
09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷 数学专业知识 一 选择题 ( 本大题共 题 每题 分 共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故 故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由 可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时 因为 z i R 而 z i R 知 故 p
5.0 引言 本章将介绍傅里叶变换的典型应用 : 采样与调制 根据采样定理, 在一定的条件下, 连续时间信号可由其样值来表示, 并可恢复原来的信号 在离散时间情况下也有类似结果 在满足采样定理的条件下, 可以用离散化的方法来处理和产生连续时间信号 将某一个载有信息的信号嵌入另一个信号的过程一般称为调
第五章 采样与调制 信号与系统第五章 1 5.0 引言 本章将介绍傅里叶变换的典型应用 : 采样与调制 根据采样定理, 在一定的条件下, 连续时间信号可由其样值来表示, 并可恢复原来的信号 在离散时间情况下也有类似结果 在满足采样定理的条件下, 可以用离散化的方法来处理和产生连续时间信号 将某一个载有信息的信号嵌入另一个信号的过程一般称为调制 调制也可理解为用一个信号去控制另一个信号的某一参量, 如幅度
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二 多 重 選 擇 題 : 1. 下 列 何 種 情 形, 有 我 國 刑 法 之 適 用? (A) 菲 律 賓 人 甲 在 航 行 於 釣 魚 台 海 域 之 我 國 國 籍 的 漁 船 上 打 傷 印 尼 人 乙 (B) 台 灣 人 甲 與 大 陸 人 乙 在 日 本 通 姦 (C) 韓 國 人 甲 在 美 國 殺 死 台 灣 人 乙 (D) 越 南 人 甲 在 越 南 販 賣 海 洛 因 給
RBDO of Mechanical Systems
动态测试与分析技术 Dynamic Measurement and Analysis Technology http://cc.sjtu.edu.cn/vibt.html 余征跃 33476347 yuzy@sjtu.edu.cn 上海交通大学工程力学实验中心 第 2 章动态信号特性分析 被测对象 ~ 测量系统 ~ 分析系统 ~ 激振系统 ~ 反馈系统 ~ 信号是信息的载体 广义的说, 信号是随着时间变化的某种物理量
数学分析考研辅导班讲义4.doc
数学分析考研辅导讲义第四章 - 9 - 第四章 不定积分 积分学是微积分的主要部分之一 积分运算是微分运算的逆运算. 而不定积分为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具 又是今后计算重积分 曲线积分 曲面积分的基础. 本章的重点是不定积分的换元积分法与分部积分法. 难点是第二换元法 三角函数有理式及简单无理式积分. 要点是不定积分的各种积分方法. 通过本章的学习 应掌握不定积分的概念 性质 基本积分公式及积分方法.
第六章 二阶电路的瞬态分析
第六章 二阶电路的瞬态分析 主要内容 : ) 二阶电路的零输入响应 ; ) 二阶电路的零状态响应和全响应 ; 3) 应用举例 例 : 6. 二阶电路零输入响应 U ( ) = U, i ( ) = 电路方程 (KV) : 以 U ( ) 为变量, k i U U i U i = u = i = u = = Uc,, 得 : U U + + U = 齐次方程的特征根 : s + s + = s + s
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数字信号处理 教学内容 掌握离散时间系统的基本特性和离散信号的变换 数字信号的定义和特点 离散系统的普遍关系 线性 时不变 稳定性 因果性 离散卷积 离散信号的 Z 变换和离散时间傅氏变换 DTFT 离散系统的描述 时域 : 差分方程 yn 脉冲响应 hn 变换域 : 传输函数 Hz 频率响应 He jw 掌握离散傅里叶变换原理, 能够应用 DFT 分析信号频谱 离散傅氏级数 DFS 有限长度离散傅氏变换
类脑计算(神经形态计算)
第 2 章离散时间信号与系统 1 2.1 离散时间信号 : 序列 在数学上表示成数值的序列一个序列 x 的第 n 个数, 记作 x(n) x = x(n), < n < 其中 n 为整数 可通过对模拟信号的周期 采样来得到 x a t t=nt = x nt, < n < 常称 x(n) 为序列的 第 n 个样本 1 x(n) 仅在 n 为整数时才有定义 2 常将序列 {x(n)} 简记为 x(n)
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第九章 多采样率数字信号处理 王柯俨 kwang@mail.idian.edu.cn http://web.idian.edu.cn/kwang/teach.html d /k /t h 1 91 9.1 引言 需要多采样率的场合 : 需求不同 ( 数字电视 数字电话等 非平稳信号的分析 冗余数据的存在 采样率转换 多采样率数字信号处理 2 采样率转换方法 : 方法一 : 间接转换 把离散时间信号
2. 简答题 20% 3. 综合应用题 33% 4. 设计分析题 13% III. 考查范围 信息光学与工程光学技术方向 : 一. 总论 1. 光的本性 ; 2. 光学的研究对象与内容 ; 3. 光学的发展史 ; 二. 几何光学 4. 几何光学三定律 ( 包括全反射 光路可逆性和自准直原理 ); 5
850 光学工程专业综合考试大纲 适用于光学工程 ( 专业学位 ) I. 考查目标 信息光学与工程光学技术方向考查目标 : 包括几何光学 波动光学 要求考生系统掌握本课程的基本理论和方法, 并能够运用所学理论和方法分析和解决有关的光学问题和现象 光电信息处理与网络通信技术方向考查目标 : 包括信号与系统和数字电路两门学科基础课程 要求考生系统掌握上述学科的基本理论 基本知识和基本方法, 能够运用所学的基本理论
高等数学 积分表 公式推导
高等数学 积分表 公式推导 目 录 一 含有 的积分 ~9 二 含有 的积分 ~ 5 三 含有 的积分 9~ 9 四 含有 的积分 ~ 五 含有 的积分 9~ 六 含有 的积分 ~ 5 七 含有 的积分 5~5 八 含有 的积分 59~7 7 九 含有 的积分 7~7 十 含有 或 的积分 79~ 5 十一 含有三角函数的积分 ~ 55 十二 含有反三角函数的积分 其中 ~ 6 十三 含有指数函数的积分
作者 : 闫浩 (4 年 月 ) 将这个解代入原方程得到于是原方程的通解为 A 9 a ( c cos a c sin a) c 9 a ) c cos c sin 4) 求 '' ' 的通解 解 : 二阶线性变系数齐次 观察出 u '' u' 设 u( ) 代入方程 得 u' 二阶可降阶 解出 通
作者 : 闫浩 (4 年 月 ) 微积分 B() 第七次习题课答案 ( 第十六周 ). 求下列方程的通解 : ) 求微分方程 cos 的通解. 解题思路 : 在用比较系数法求该方程的特解时 注意此方程右端是两个函数 和 cos 之和 所以需要分别求出方程 程的一个特解. 的特解 和 解 : 首先求出对应的齐次方程的通解 : 然后用比较系数法求非齐次方程 程具有形如 cos 的特解. 然后得到原方 c
f () 的幅度频谱为 F ( ) ; 开关信号 () 为周期矩形脉冲, 其脉宽 相对于周期 T 非常 小, 故将其视为冲激序列, 所以 () 的幅度频谱 S ( ) 亦为冲激序列 ; 抽样信号 () 的幅 度频谱为 F ( ) ; f ( ) 的幅度频谱为 F ( ) 如图 7-1 所示 观察抽样
仿真实验四 信号的抽样与恢复 一 实验目的 1. 验证抽样定理 2. 熟悉信号的抽样与恢复过程 二 实验原理与说明 抽样定理指出 : 一个有限频宽的连续时间信号 f (), 其最高频率为, 经过等间隔抽 样后, 只要抽样频率 不小于信号最高频率 的二倍, 即满足 2, 就能从抽样信 号 f () 中恢复原信号, 得到 f ( ) f ( ) 与 f () 相比没有失真, 只有幅度和相位的差异 一般把最低的抽样频率
Homework9 答案 1. 粒子在一维势场 V (x) = k x ν 中运动,k, ν > 0. 利用测不准关系估算基态能级和 x. 解 : 粒子在某个态下的能量期望值可以写成 : p 2 E = 2m + k x ν (1) 考虑 x ν x 2 ν/2 V (x) = k x ν 是偶函数
Homework9 答案 1. 粒子在一维势场 V (x) = k x ν 中运动,k, ν > 0. 利用测不准关系估算基态能级和 x. 解 : 粒子在某个态下的能量期望值可以写成 : p E = m + k x ν (1) 考虑 x ν x ν/ V (x) = k x ν 是偶函数, 因而 Schrodinger 方程的解必然具有宇称对称性, 从而可以得到 : 所以 < x >= 0, < p
提纲提纲 1 系统及其性质系统的描述系统的性质 2 时域法分析线性时不变因果系统线性时不变系统的单位冲激响应线性时不变系统的时域法分析 Ji Xiang ( 系统系 ) 第四章信号处理基础 May 8, / 42
第四章信号处理基础项基 Department of System Science and Engineering Zhejiang University Email: jxiang@zjueducn http://personzjueducn/jxiang May 8, 2018 Ji Xiang ( 系统系 ) 第四章信号处理基础 May 8, 2018 1 / 42 提纲提纲 1 系统及其性质系统的描述系统的性质
2016考研数学三线性代数题目及试题答案
6 考研数学三真题及答案解析 来源 : 文都教育 () 设函数 f ( ) 在 ( ) 内连续 ; 其导数如图所示 则 ( ) (A) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (B) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (C) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (D) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 解析 : 导函数图形如图极值的怀疑点为 : a b
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
2013年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷
文亮教育 (www.wligdu.com) 浙江专升本辅导第一品牌 年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷 题号一二三四总分 得分 考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔 圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整 一 选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分,
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北京邮电大学 202 年硕士研究生入学考试试题参考答案 注 : 本参考答案为邮学考研原创, 免费提供给广大考生复习参考, 未经允许, 请勿用于其他用途 北邮考研专业课线上专项课程 线下高端集训服务咨询 北邮考研复习 / 报考指导等信息可参见邮学 考研微信公众号及邮学网官方网站 一 选择题 每题 分, 共 30 分 ) 2 3 4 5 B B 7 8 9 D A A B 0 B A D D A 2 3
Haar小波分析
构造小波的几种不同策略. 利用多分辨分析构造正交小波 ϕ φ h g ψ. 从滤波器序列出发构造尺度函数与小波 3. 构造双正交小波的提升方案 (liftig scheme) 4. 构造小波滤波器的代数方法 双正交小波构造的基本思路 hhgg %,, %, % φ, φ ψ %, ψ ) 在 % φ, φψψ, %, 存在的情况下, hhg %,, %, g 满足的必要条件 ) % 满足什么条件下,
Microsoft PowerPoint - 第1章.ppt
电子技术基础 (2) 2010 年 3 月 5 日 1 课程内容 电子技术基础 (2)- 模拟电路部分 (40 学时 ) 教材 : 1. 电子技术基础, 康华光考试 : 考一次 分数 : 考试占 80%, 作业占 20% 作业 : 在每章结束后下一堂课时交, 具体安排请各班学习委员同辅导老师商量 辅导教师 : 梁福田 3606495 2 第一章 绪 论 3 1-1 电子系统 电子系统是指由若干相互联接
就称之为该系统的状态矢量 状态空间 : 状态矢量所在的空间称为状态空间 状态矢量所包含的状态变量的个数称为状态空间的维数, 也是系统的阶数 状态轨迹 : 在状态空间中状态矢量端点随时间变化而在状态空间中描出的路径或轨迹称为状态轨迹 状态轨迹形象地表明了系统状态随时间的变化规律 对于三维以上的状态矢量
第八章 系统的状态变量分析 主要内容 : 本章介绍状态 状态变量的概念以及描述方法, 并分别给出连续和离散时间系统状态方 程和输出方程的建立和求解方法, 重点论述了其变换域求解方法 重点 : 1. 状态变量与状态方程的基本概念 2. 连续时间系统和离散时间系统状态方程和输出方程的建立与求解变换域的求解 方法 8.1 系统的状态变量分析 状态 : 对于一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量, 被称为状态变量,
4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
第二章 线性时不变系统的时域分析
信号与系统 Signals and Sysems 第五章采样 调制与通信系统 Chaper 5 Sampling,Modulaion and Communiaion Sysems 控制系网络课程平台 :hp://www.se.zu.edu.n/elass/signal_sysem/ 浙江大学控制科学与工程学系 本章主要内容 引言 连续时间信号的时域采样定理 P78,5. 3 欠抽样与频谱混叠 P85,5.
幻灯片 1
3 年秋季学期 3 教 5 数字信号处理 第四章 Z 变换 第四章 Z 变换 4. Z 变换定义 4. Z 变换收敛域 4.3 Z 变换的基本性质 4.4 Z 反变换 4.5 几种变换的对应关系 4.5 系统函数与频率特性 本章主要学习 Z 变换的正变换和逆变换定义, 以及收敛域与序列特性之间的关系 Z 变换的定理和性质 : 移位 反转 域微分 共轭序列的 Z 变换 时域卷积定理 初值定理 终值定理
2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C
9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为
电子技术基础 ( 第 版 ) 3. 图解单相桥式整流电路 ( 图 4-1-3) 电路名称电路原理图波形图 整流电路的工作原理 1. 单相半波整流电路 u 1 u u sin t a t 1 u 0 A B VD I A VD R B
直流稳压电源 第 4 章 4.1 整流电路及其应用 学习目标 1. 熟悉单相整流电路的组成, 了解整流电路的工作原理. 掌握单相整流电路的输出电压和电流的计算方法, 并能通过示波器观察整流电路输出电压的波形 3. 能从实际电路中识读整流电路, 通过估算, 能合理选用整流元器件 4.1.1 认识整流电路 1. 图解单相半波整流电路 ( 图 4-1-1) 电路名称电路原理图波形图 4-1-1. 图解单相全波整流电路
第4章 级 数
第 4 章级数 4. 收敛序列与收敛级数 4. 幂级数 4. 泰勒级数 4.4 罗朗级数习题课 4. 收敛序列与收敛级数 收敛序列 收敛数项级数 函数项级数 收敛序列 复数序列 : 指按一定法则有 依次序排成 的一列数. { } L L 定义 4. 若对任意给定的 ε > 总存在着正整数 当 > 时 不等式 成立 则称复数序列 { } < ε { } 否则 称是发散的. 那么 定理 4. 设序列 的充要条件是
基础物理甲型光学课
第五章傅里叶变换光学 第二节正弦光栅的衍射 5. 正弦光栅的衍射 5.. 空间频率的概念 5.. 正弦光栅及其衍射图样 5..3 任意光栅的屏函数及其傅里叶展开 5..4 夫琅禾费衍射的再认识 5.. 空间频率的概念 时间频率 时间频率指信号随时间的周期性变化 ( 简谐振动 ) f ( t T ) f ( t) 时间周期 : T T 时间频率 : T T 时间角频率 : T T 频谱展开 周期信号
数量积的应用举例 0804 向量的向量积 (40 分钟 ) 向量积的概念 向量积的运算规律 向量积的坐标表示 两向量平行的充要条件 向量积的应用举例 *0805 向量的混合积 (20 分钟 ) 混合积的
注 :(1) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内 高等数学 ( 下册 ) 知识点的细分目录 第八章向量代数与空间解析几何 (08) 0801 向量及其线性运算 (35 分钟 ) 080101 向量的概念 080102 向量的加减法 080103 向量与数的乘法
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9 数学全真模拟测试卷解析 ( 数学二 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 l( si t) cos f( )= dt g ( )= tatdt t 则当 时 f( ) 是 的低阶无穷小 g ( ) 是 的高阶无穷小 则正整数 的值为
2013年考研数学一试题答案.doc
年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一 选择题 :-8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. -arcta () 已知 lm = c, 其中 k, c 为常数, 且 c, 则 ( ) Æ k - (A) k=, c= (B) 答案 D 解析 因为 c k=, c = (C) - k=, c=
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第 讲 Z 变换 -Trasform 主讲 : 金连文 wi@scut.u.c 数字信号处理 Diita Sia Procssi 本讲主要内容 Z 变换基本概念 有理 Z 变换 Z 变换收敛域 逆 Z 变换 利用 变换来分析和表征 LTI 系统 LTI 系统的传输函数 ( 系统函数 ) 一 概念和性质 3 什么是 变换?() Z 变换是离散时间信号与离散时间系统分析与综合的重要工具, 其作用相当于连续时间信号与系统的拉氏变换分析方法
LN htm
kaoya.om Leure Noes 7 4/9/8 随机过程 一随机过程. 随机过程的描述 () 是一簇随机变量, 给定一个时间, 就是一个随机变量 () 以函数为样本的随机事件 因为是无限个随机变量, 所以需要任意 N 维分布才能完全描述其分布特性. 平稳 平稳的意思就是与绝对时间无关 如果一维 二维特性与绝对时间无关, 称宽平稳或广义平稳 以后说的平稳都指宽平稳 定义 : 随机过程的自相关函数定义为
类脑计算(神经形态计算)
复习 数字滤波器从功能上可分为低通 高通 带通 带阻 理想滤波器的频率响应 数字滤波器的系统函数与冲激响应 3 IIR 滤波器 ( ) 4 第 8 章 IIR 数字滤波器设计 5 8. -z 变换设计 从 S 平面映射到 Z 平面三种常用的方法 : 冲激响应不变法: 从时域的角度出发进行映射 ; 双线性不变法: 从频域角度出发进行映射 ; 3 匹配 z 变换法 : 频域直接映射 6 4 ( 注意 :
第 期 曹 源 等 形式化方法在列车运行控制系统中的应用
第 卷 第 期 年 月 交通运输工程学报 曹 源 唐 涛 徐田华 穆建成 为了确保列车运行控制系统设计和开发的正确性 比较了仿真 测试和形式化 种能够验证 系统设计正确性的方式 根据列车运行控制系统对安全的苛求性 提出了 个与系统安全相关的重要特性 即实时性 混成性 分布 并发 性 反应性 并分析了与这些特性相关的具体形式化方法 通 过对每种形式化方法的数学基础和应用范围的分析和归类 给出了各种方法的优势和不足
Microsoft Word 新1-2（信号）.doc
第 章连续信号与系统的时域分析 本章学习目标 本章详细介绍连续信号时域基本特性, 特别是单位冲激信号的特性 ; 详细介绍连续系统的基本特性 时域经典法求解 LTI 连续系统的零输入响应和冲激响应, 时域卷积解法求解 LTI 连续系统的零状态响应 ; 给出信号的基本运算及系统的响应仿真分析方法和结果 通过本章的学习, 读者应该达到以下要求 : 掌握典型信号的特性, 熟悉信号的基本运算与变换 掌握 LTI
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中值定理题型 题型一 : 中值定理中关于 θ 的问题 例题 设 rt C[ ] θ 求 limθ 解答 由 θ 得 rt rt θ 解得 θ rt rt rt lim θ lim lim lim rt 于是 lim θ 例题 设 二阶连续可导 且 又 h θh h < θ < 证明 : lim θ h 解答 由泰勒公式得 h h h! 其中 位于 与 h 之间 于是 θh h h h! 或 θh θh
Born to win 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. k (1) 当 x 0 时, 若 x tan x与
9 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 当 时, 若 t 与 是同阶无穷小, 则 (A). (C). (B). (D)4. 答案 C 解析 t ( o( )) ~, 故.,, () 设函数 f ( ) l,, 则 是 f (
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IIR DF 设计 Prt 数字信号处理面向专业 : 自动化系授课教师 : 刘剑毅 Buttrworth 模拟低通滤波器设计 幅度平方函数 : H( ) 为滤波器的阶数 为通带截止频率 当 称 H ( ) /时 H( 0) 0lg 3dB H ( ) 为 Buttrworth 低通滤波器的 3 分贝带宽 ) 该型滤波器函数特点 : H( ) 0 H( ) ( ) / 3 H db 3dB 不变性
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8- 试求下列函数的 变换 t t t t t 解 t 由移位定理 : t t 8- 试分别用部分分式法 幂级数法和反演积分法求下列函数的 反变换 解 部分分式法 幂级数法 : 用长除法可得 7 δ δ 7 δ Λ * t t t t 反演积分法 [ ] R R [ ] * t δ t 部分分式法 t t t * t δ t δ t 幂级数法 : 用长除法可得 7 9 Λ * t t t 7 t 9
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9 数学全真模拟测试卷解析 ( 数学一 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 3 分 下列每小题给出的四个选项中 只有 一项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. l( si t) cos () 设 f( )= dt g ( )= tatdt t 则当 时 f( ) 是 的低阶无穷小 g ( ) 是 的高阶无穷小 则正整数 的值为
吉林大学学报 工学版 ２４４ 第 ４ 卷 复杂 鉴于本文篇幅所限 具体公式可详见参考文 献 ７ 每帧的动力学方程建立及其解算方法如图 ３ 所示 图４ 滚转角速度与输入量 η 随时间的变化波形 Ｆｉｇ ４ Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ｒａｔｅ ａｎｄ ｉｎｐｕｔ η ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｃｈａｎｇｉｎｇ 图５ Ｆｉｇ ５ 滚转角随时间的变化波形 Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ａｎｇｌｅ ｗｉｔｈ
Microsoft PowerPoint - Chapter II 5.6 Linearization and other model form
Principle o Automatic Control System Representation 浙江大学控制科学与工程学系 状态空间模型 negative eedback A Bu A By y C Du y C Dy u r y rt () u () t y( t) yt () ( A, B, C, D ) y () t ( A, B, C, D ) u () t y CD( r y) CD(
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卡西欧杯 0 年全国高中数学图形计算器应用能力测试 试题参考答案及评分标准 ( 使用 CG0 图形计算器 ) 一 填空题 ( 共 小题, 每小题 7 分, 满分 84 分 ). a b. 提示 : 利用 计算 矩阵 功能模块, 进行运算. 非图形计算器环境 : 利用科学计算器求解, 比较大小.. 8. 提示 : 利用 解方程 ( 组 ) 功能模块. 易得 :, y, z 4, 所以 yz 8. 非图形计算器环境
凤中数学静雅斋
第三节函数的奇偶性与周期性 1. 奇函数 偶函数的概念及图象特征 定 义 奇函数 偶函数 定义域 函数 f(x) 的定义域关于 原点对称 x 对于定义域内 任意的一个 x f(x) 与 f(-x) 的关系 都有 f(-x) =-f(x) 都有 f(-x)=f(x) 结论 函数 f(x) 为奇函数 函数 f(x) 为偶函数 图象特征 关于 原点对称 关于 y 轴对称 2. 周期性 (1) 周期函数 :
数字信号处理 Digital Signal Processing(DSP)
数字信号处理 Digital Sigal ProcessigDSP 主讲 : 江铭炎 教授 / 博导 联系方式 : 山东大学中心校区信息科学与工程学院南楼 3 Email: jiagmigya@sdu.edu.c 课程网址 : 信息学院网页 ---- 精品课程 ---- 数字信号处理 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9 第三章 离散傅里叶变换
第 5 期 方彩云 : 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 17 H.X.Yi [3~5],P.Li,C.C.Yang [6],G.Frank 和 M.Reinders [7] 讨论了亚纯函数的情况, 证明了 定理 B 存在一个集合 S,#S=11, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条
![第 5 期 方彩云 : 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 17 H.X.Yi [3~5],P.Li,C.C.Yang [6],G.Frank 和 M.Reinders [7] 讨论了亚纯函数的情况, 证明了 定理 B 存在一个集合 S,#S=11, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条](/thumbs/91/105979404.jpg "第 5 期 方彩云 : 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 17 H.X.Yi [3~5],P.Li,C.C.Yang [6],G.Frank 和 M.Reinders [7] 讨论了亚纯函数的情况, 证明了 定理 B 存在一个集合 S,#S=11, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条")
东南大学学报 ( 自然科学版 ) JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY(NaturalScienceEdition) 第 31 卷第 5 期 Vol 31 No 5 2001 年 9 月 Sept.2001 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 方彩云 ( 南京师范大学数学系, 南京 210097) 摘要 : 应用值分布理论研究了涉及极点重数的亚纯函数的唯一性问题. 得到了下述结论
一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f
![一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f](/thumbs/91/105953711.jpg "一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f")
含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一 含参量正常积分的定义二 含参量正常积分的连续性三 含参量正常积分的可微性四 含参量正常积分的可积性五 例题 返回 一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [
. 0 C.1 8. 设, 则 ( ). A.-1 2 C.0 不存在.9. ( ). A.0 1 C 在时为 ( ). A. 无穷大量 ; 无穷小量 ; C. 极限存在, 但极限值不为零 ; 极限不存在, 但不为无穷大量 ; 11. 下面各组函数中表示同一个函数的是 ( ) A. ;
专升本高等数学复习题库 ( 一 ) 一 单项选择题 1. 求的极限 () A.24 12 2. ( ). A.1 3. 函数是 ( ). A. 偶函数 ; 奇函数 ; C. 单调函数 ; 有界函数 4. 函数是 ( ) 函数. A. 单调 有界 C. 周期 偶 5. 设, 则 ( ). A.-1 2 C.0 不存在 6. 求的极限 () A.1 C.0 2 7. 求的极限 ( ) . 0 C.1 8.