数字信号处理 Digital Signal Processing(DSP)
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- 翼永 酆
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1 数字信号处理 Digital Sigal ProcessigDSP 主讲 : 江铭炎 教授 / 博导 联系方式 : 山东大学中心校区信息科学与工程学院南楼 3 jiagmigya@sdu.edu.c 课程网址 : 信息学院网页 ---- 精品课程 ---- 数字信号处理 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
2 第三章 离散傅里叶变换 DFT JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
3 本章主要讨论 离散傅里叶变换的推导 离散傅里叶变换的有关性质 离散傅里叶变换逼近连续时间信号的问题 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 3 / 9
4 3. DFT 四种可能形式. 序列分类 对一个序列长度未加以任何限制, 则一个序列可分为 : 无限长序列 :=- ~ 或 =~ 或 =- ~ 有限长序列 : - 有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列 由于计算机容量的限制, 只能对过程进行逐段分析 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 4 / 9
5 . DFT 引入 由于有限长序列, 引入 DFT 离散傅里叶变换 DFT 它是反映了 有限长 这一特点的一种有用工具 DFT 变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示, 在理论上重要之外, 而且由于存在着计算机 DFT 的有效快速算法 --FFT, 因而使离散傅里叶变换 DFT 得以实现, 它使 DFT 在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 5 / 9
6 3. 傅里叶变换的几种形式 傅里叶变换 : 建立以时间 t 为自变量的 信号 与以频率 f 为自变量的 频率函数 频谱 之间的某种变换关系. 时间 或 频率 取连续还是离散值, 就形成各种不同形式的傅里叶变换对, 先概述四种不同形式的傅里叶变换对. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 6 / 9
7 四种不同傅里叶变换对 连续傅里叶变换 FT: 连续时间, 连续频率的傅里叶变换. 傅里叶级数 FS: 连续时间, 离散频率的傅里叶变换. 序列的傅里叶变换 DTFT: 离散时间, 连续频率的傅里叶变换. 离散傅里叶变换 DFT: 离散时间, 离散频率的傅里叶变换. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 7 / 9
8 . 连续傅里叶变换 FT 非周期连续时间信号通过连续傅里叶变换 FT 得到非周期连续频谱密度函数 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 8 / 9
9 例子 以下变换对可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱, 而时域的非周期造成频域是连续的谱. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 9 / 9
10 . 傅里叶级数 FS 周期连续时间信号 FS 离散非周期频谱密度函数 周期为 T 的周期性连续时间函数 t 可展成傅里叶级数 XjΩ, 是离散非周期性频谱, 表示为 : JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
11 例子 通过以下变换对可以看出时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数, 而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数对应. 频域采样, 时域周期延拓 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
12 3. 序列的傅里叶变换 DTFT 非周期离散的时间信号 经过单位园上的 Z 变换 DTFT 得到周期性连续的频率函数 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
13 例子 可看出, 时域的离散造成频域的周期延拓, 而时域的非周期对应于频域的连续. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 3 / 9
14 4. 离散傅里叶变换 DFT 上面讨论的三种傅里叶变换对, 都不适用在计算机上运算, 因为至少在一个域 时域或频域 中, 函数是连续的. 因为从数字计算角度, 我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况, 这就是离散傅里叶变换. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 4 / 9
15 可以推断 表 3.: 周期性时间信号可以产生频谱是离散的 离散时间信号可以产生频谱是周期性的 离散周期信号 -- 其频谱为周期性离散的 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 5 / 9
16 总之, 一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 6 / 9
17 四种傅里叶变换形式的归纳 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 7 / 9
18 3. 离散傅里叶级数 DFS 先从周期性序列的离散傅里叶级数 DFS 开始讨论, 然后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换 DFT. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 8 / 9
19 DFS 离散傅里级数的推导意义 用数字计算机对信号进行频谱分析时, 要求信号必须以离散值作为输入, 而且上面讨论可知 : 只有第四种形式 DFS 对数字信号处理有实用价值 但如果将前三种形式要么在时域上采样, 要么在频域上采样, 变成离散函数, 就可以在计算机上应用 所以我们要先了解如何从以上三种形式推出 DFS. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 9 / 9
20 . 由非周期连续时间信号推出 DFS Xt 经过抽样为 T, 对离散的时间信号进行 DTFT 得到周期连续频谱密度函数 再经过抽样, 得到周期性离散频谱密度函数即为 DFS. t Xe jw 取样 t 采样 w t t Xe jωt JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9 D T F T Ω
21 . 周期性连续时间信号函数 周期性连续时间信号函数经采样后, 得到周期性的离散时间函数 ->DFS t 采样 Xe jw t w JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
22 3. 非周期离散时间信号 非周期离散时间信号经过序列付里时变换 即单位园上的 Z 变换 DTFT, 得到周期连续谱密度函数, 再经采样为周期离散频谱密度函数 DFS t DTFT Xe jωt t Xe jw JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9 w Ω 采样
23 推导 DFS 正变换 以下由第三种傅里叶级数形式为例推导出离散傅里叶级数变换 非周期信号, 其 DTFT 单位园上 Z 变换 为 ~ jw X e 其为周期连续频谱密度函数, 对其进行采样, 使其成为周期性离散频谱函数 设在一周期内采样 个点, 则两采样点间距为 : 得到频间距为 : 代入 DTFT 式子中得 : ~ X ~ X e jw ~ w JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 3 / 9 e e jw j w,,
24 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 4 / 9 DFS 的反变换 即证 : 证明 : 已知 两边同乘以, 并对一个周期求和 用 置换 r 得 : ~ ~ X IDFT ~ ~ j e X,, r j e ~ ~ ~ ~ r e e e e X r j r j j r j 根据正交定理 r r ~ ~ j e X,,
25 回顾 DFS 设 为周期为 的周期序列, 则其离散傅里叶级数 DFS 变换对为 : 正变换 反变换 其中 : ~ X DFS[ ~ ] ~ ~ IDFS[ X ] W e j ~ e ~ X e j j ~ W ~ W JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 5 / 9
26 例,,3 对相同信号信息,DFT 变换样本点数的影响 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 6 / 9
27 3.. 离散傅里叶级数性质 可以由抽样 Z 变换来解析 DFS, 它的许多性质与 Z 变换性质类似 它们与 Z 变换主要区别为 : ~ ~ 与 X 两者具有周期性, 与 Z 变换不同 DFS 在时域和频域之间具有严格的对偶关系 它们主要性质分为 : 线性 序列移位 循环移位 调制性 周期卷积和 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 7 / 9
28 . 线性 DFS ~ ~ a ~ b ~ ] ax bx [ JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 8 / 9
29 . 序列移位 循环 移位 时域 DFS 频域 ~ [ ~ m] W m X IDFS ~ [ X l] W l ~ JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 9 / 9
30 3. 调制性 ~ DFS[ W ~ l ] X l JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 3 / 9
31 4. 对偶性 DFS[ ] X DFS[ X ] JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 3 / 9
32 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 3 / 9 5. 时域卷积 周期卷积和与以前卷积不同, 它的卷积过程限在一个周期内称为周期卷积 时域卷积等于频域相乘 频域 : ~ ~ ~ X X Y ~ ~ ~ ~ ] ~ [ ~ m m m m m m Y IDFS y
33 6. 频域卷积 时域 : ~ y ~ ~ Y DFSy X lx l l [ ] l X l X l JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 33 / 9
34 3.3 离散傅里叶变换 DFT -- 有限长序列的离散频域表示 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 34 / 9
35 一 由 DFS 引出 DFT 的定义 周期序列实际上只有有限个序列值才有意义, 因而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列, 这就得到有限长序列的傅里叶变换 DFT. 将 时域周期序列看作是有限长序列 的周期延拓 ; 把频域周期序列看作是有限长序列 X 的周期延拓. 3 只要把 DFS 的定义式两边取主值区间, 就得到关于有限长序列的时频域的对应变换对 ---- 离散傅里叶变换 DFT. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 35 / 9
36 主值 主值区间 主值序列 主值区间 : 设有限长序列, -, 将其延拓为周期序列 ~, 周期序列长度为, 则第一个周期 = 到 =- 的区间称为主值区间. 主值序列 : 设有限长序列, -, 将其延拓为周期序列 ~, 周期为, 则 ~ 主值区间内的序列 =, -, 即为主值序列 ~ JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 36 / 9
37 离散傅立叶变换 定义 : j j / DFT X X e e / W X 为 点有限长序列, W e j / IDFT: X W 证明 : W XW W XW l XW Xl l l l JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 37 / 9
38 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 38 / 9 次复加 次复乘, 的运算量 : 和例 : 例 : / / / cos / / / IDFT DFT otherwise r r W W X W W e e r r W X otherwise m X otherwise otherwise r l e e e W r r r r r j r j m DFT DFT l j l j l j l
39 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 39 / 9 矩阵关系 * 4 4 T T D W W W W W W W W W D IDFT W W W W W W W W W D X X X DFT 其中 : 其中, 则,,,,,,, : 令 X D D X X
![用 MATLAB 计算 DFT =iput' 输入序列的长度 ='; M=iput' 输入离散傅立叶变换长度 ='; u=[oes,]; U=fftu,M; t=::-;](/docs-images/88/115114508/images/40-3.jpg "stemt,u; title' 原始时域序列 '; label' 时间序号 ';ylabel' 振幅 '; pause; subplot,,; =::M-;")
40 用 MATLAB 计算 DFT =iput' 输入序列的长度 ='; M=iput' 输入离散傅立叶变换长度 ='; u=[oes,]; U=fftu,M; t=::-; stemt,u; title' 原始时域序列 '; label' 时间序号 ';ylabel' 振幅 '; pause; subplot,,; =::M-; stem,absu; title'dft 抽样点的幅度 '; label' 频率序号 ';ylabel' 幅度 '; subplot,,; stem,agleu; title'dft 抽样点的相位 '; label' 频率序号 ';ylabel' 相位 '; JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 4 / 9
41 例 K=iput' 输入离散傅立叶变换长度 ='; =iput' 输入离散傅立叶逆变换长度 ='; =:K; U=-/K; u=ifftu,; =:K; stem-,u; title' 原 DFT 抽样点 '; label' 频率序号 ';ylabel' 振幅 '; pause; subplot,,; =::-; stem,realu; title' 时域抽样点实部 '; label' 时间序号 ';ylabel' 幅度 '; subplot,,; stem,imagu; title' 时域抽样点虚部 '; label' 时间序号 ';ylabel' 振幅 '; JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 4 / 9
42 插值 DFT DTFT e DTFT 与 DFT 的关系 X e e XW e j j / Xe e j j j si e e si j j / j / / e j / X si e X e si j j / / JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 4 / 9
43 采样 DTFT DFT j j l l / Y X e X e l W l l y YW lww l W l l m l W otherwise r mm 当 长度小于或等于 时, y JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 43 / 9
44 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 44 / 9 DFT 用于 DTFT 的数值计算 X e e X M e e e X M M M e X e M M j e j e M j j j j / / /, 则定义,, 在, 需计算,
45 注意 在离散傅里叶变换关系中, 有限长序列都作为周期序列的一个周期来表示, 都隐含有周期性意义. 数字频率与模拟频率关系 : w T 例 3.4,3.5 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 45 / 9
46 3.4 离散傅里叶变换 的性质 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 46 / 9
47 在由 DFS 引出 DFT 的过程中我们知道, DFT 本质上是和周期序列的 DFS 概念紧密相关的, 因而它们在性质上有着极大的相似, 并由 DFT 隐含周期性 对应于 DFS 的显式周期性 所保证 假定, 都是列长为 的有限序列, 它们的离散傅里叶变换分别为 : X =DFT[ ] X =DFT[ ] JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 47 / 9
48 二 DFT 的性质和定理分类 线性 时间移位 3 频率移位 4 对称性质 5 DFT 的奇, 偶, 虚, 实关系 6 DFT 形式的帕赛瓦尔定理能量计算公式 7 圆周相关定理 8 圆周卷积定理 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 48 / 9
49 假设条件 设, 都是两个有限列长为 的有限序列, 它们的离散傅里时变换分别为 X DFT [ ] X DFT [ ] JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 49 / 9
50 3.4. 线性 则, 的线性组合有 : DFT [ a b ] ax bx 其中 a,b 为任一常数, 本性质可由定义直接证明 证 : DFT[ a b ] a e j b [ a b ] e e j j ax bx JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 5 / 9
51 线性说明 如果 和 长度皆为, 即 - 范围有值, 则 ax+bx 的长度也是 ; 若 和 长度不等, 设 长度为, 长度为, 则 a+b 的长度应为 =ma[,], 故 DFT 必须按长度 计算 若 <, 则 =, 那么需将 补上 - 个零值点后变成长度为 序列, 然后都作 点的 DFT. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 5 / 9
52 3.4. 移位 线性移位 : 序列沿坐标轴的平移. 圆周移位 : 将有限长序列 以长度 为周期, 延拓为周期序列, 并加以线性移位后, 再取它的主值区间上的序列值, m 点圆周移位记作 : m R m 其中... 表示 点周期延拓. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 5 / 9
53 有限长序列圆周移位的 实现步骤 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 53 / 9
54 3.5 例子 周期延拓 :=5 时 周期延拓 :=6 时, 补零加长 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 54 / 9
55 3.5 例子 3M= 时, 左移 取主值 3.5 4M=- 时, 右移 取主值 3.5 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 55 / 9
56 时移 -- 设 点有限长序列 DFT[]=X 则 DFT[+m R ]=W -m X 说明 : 本性质描述了有限长序列时域移位后频域的变化规律. 只有采用圆周移位这一能体现 DFT 的隐含周期性的移位方式, 才能得到本性质所描述的结果. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 56 / 9
57 时移 ---- 复习 平移 FT t t X j e jt t t X s e L st m X z Z Z DFT m m X W m JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 57 / 9
58 3 频移 -- 设频域 点, 有限长序列 X 则 IDFT[ X ] IDFT [ X l R ] W l JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 58 / 9
59 3 频移 ---- 说明 本性质与时域移位性质成对偶关系. 本性质又称调制特性, 时域的调制等效于频域移位. 注意是圆周移位. 由此性质可得出时域 频域调制的两个公式 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 59 / 9
60 3 频移 应用 : 时域调制公式 时域调制频域移位 l DFT[ cos ] [ X l X l ] R l DFT[ si ] [ X l X l ] R j JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 6 / 9
61 3.4.3 对称性质. 圆周对称中心. 定义 圆周共轭对称序列 ep 圆周反共轭对称序列 op 图 3.6 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 6 / 9
62 有关对称概念 分为 : 序列的对称性 序列的对称分量 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 6 / 9
63 . 序列的对称性 a 奇对称 序列 和偶对称 序列 b 圆周奇对称 序列 和圆周偶对称 序列 c 共轭对称 序列 和共轭反对称 序列 d 圆周共轭对称 序列 和圆周共轭反对称 序列 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 63 / 9
64 a 奇对称 序列 和偶对称 序列 称 与 -- 互为奇对称 满足 =- - 的序列 称为奇对称序列. 称 与 - 互为偶对称 满足 e = e - 的序列 e 称为偶对称序列. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 64 / 9
65 互为偶对称 例子 - e 为偶对称序列 o 互为奇对称 - 为奇对称序列 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 65 / 9
66 b 圆周奇对称 序列 和圆周偶对称 序列 长度为 的有限长序列 与 -- R 互为圆周奇对称 长度为 的有限长序列, 若满足 =- - R, 则 是圆周奇对称序列. 长度为 的有限长序列 与 - R 互为圆周偶对称 长度为 的有限长序列 e,, 若满足 e =- e - R, 则 e 是圆周偶对称序列. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 66 / 9
67 c 共轭对称 序列 和共轭反 对称 序列 序列 与 *- 互为共轭对称. 共轭对称序列是满足 e = * e - 的序列 e, 对于实序列来说, 这一条件变成 e = e -, 即为偶对称序列. 序列 与 -*- 互为共轭反对称. 共轭反对称序列是满足 e =- * o - 的序列, 对于实序列来说, 即为 o = o - 奇对称序列. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 67 / 9
68 d 圆周共轭对称 序列 和圆 周共轭反对称 序列 点有限长序列 与 * - R 互为圆周共轭对称. 圆周共轭对称序列是满足 ep = ep* - R 的序列即 ep 的模是圆周偶对称, 辐角是圆周奇对称 或说实部圆周偶对称, 虚部圆周奇对称. 即把 ep 看成分布在 等分的圆上, 在 = 的左半圆与右半圆上, 序列是共轭对称的 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 68 / 9
69 圆周共轭对称 序列 的例子 实部 虚部 实部圆周偶对称, 虚部圆周奇对称 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 69 / 9
70 圆周共轭反对称 序列 圆周共轭反对称序列是满足 op =- op* - R 的序列即 op 的模是圆周奇对称, 辐角是圆周偶对称 或说实部圆周奇对称, 虚部圆周偶对称. 即把 op 看成分布在 等分的圆上, 在 = 的左半圆与右半圆上, 序列是共轭反对称的 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 7 / 9
71 圆周共轭反对称 序列 例子 实部 虚部 实部圆周奇对称, 虚部圆周偶对称 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 7 / 9
72 . 序列的对称分量 a 奇对称分量和偶对称分量 b 圆周奇对称分量和圆周偶对称分量 c 共轭对称分量和共轭反对称分量 d 圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 7 / 9
73 a 奇对称分量和偶对称分量 为任一序列 实或纯虚序列, 总能表示成一个奇对称序列 o 和一个偶对称序列 e 之和, 即 = o + e. 其中, o 奇对称序列称为 的奇对称分量 ; e 偶对称序列称为 的偶对称分量. o e [ [ 看出这样得到的 o 和 e 分别满足奇对称和偶对称的条件, 且二者之和为 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 73 / 9 ] ]
74 说明 若 为有限长序列且 -, 则 o 与 e 点数均为 -. 区别于奇对称 序列 和偶对称 序列. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 74 / 9
75 b 圆周奇对称分量和圆周偶对称分量 设 是一长度为 的有限长序列, 总能表示成一个圆周奇对称序列 op 和一个圆周偶对称序列 ep 之和, 即 = ep + op. 其中 op 称为 的圆周奇对称分量 ; ep 称为 的圆周偶对称分量. ep [ ] R op [ ] R 看出满足圆周奇对称和圆周偶对称的条件, 且二者之和为. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 75 / 9
76 c 共轭对称分量和共轭反对称分量 任一序列 总能表示成一个共轭对称序列 o 和一个共轭反对称序列 e 之和, 即 = o + e. 其中, o 共轭反对称序列称为 的共轭反对称分量 ; e 共轭对称序列称为 的共轭对称分量. o e [ [ 看出 o 和 e 分别满足奇对称和偶对称的条件, 且二者之和为 * * ] ] JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 76 / 9
77 d 圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量 设 是一长度为 的有限长序列, 总能表示成一个圆周共轭反对称序列 op 和一个圆周共轭对称序列 ep 之和, 即 = ep + op. 其中 op 称为 的圆周共轭反对称分量 ; ep 称为 的圆周共轭对称分量. R R * ep [ ] * op [ ] 看出满足圆周奇对称和圆周偶对称的条件, 且二者之和为. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 77 / 9
78 3.4.4 圆周翻褶序列及其 DFT 设 为 点有限长序列, - 若 DFT[ ] X 则 DFT[ R ] X R 即 DFT[ ] X JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 78 / 9
79 3.4.5 对偶性 若 DFT [ ] X 则 DFT [ X ] JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 79 / 9
80 3.4.6 DFT 中圆周共轭对称性 DFT [ * ] X * R X * R X * 时域 取共轭, 对应于频域 X 取圆周共轭对称. 若 本身是实序列, 对应于频域 X 就是圆周共轭对称序列 ; 反之亦然. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 8 / 9
81 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 8 / 9 证明 } { ] [ * * * * * X X W W DFT
82 DFT [ * ] X * DFT [ * R ] X * 此关系与关系 成对偶关系. 频域 X 取共轭, 对应于时域 取圆周共轭对称. 若 X 是实序列, 则对应时域 是圆周共轭对称序列 ; 反之亦然. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 8 / 9
83 . 实 虚 部与圆周共轭对称 反对称 分量在时频域的对应关系 设 为 点有限长序列 - DFT[ ] DFT{Re[ ] j Im[ ]} X 则有关系, 关系, 关系 3: JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 83 / 9
84 关系 时域 取实部, 对应频域取 X 的圆周共轭对称分量. 若 本身是实序列, 那么由于 DFT[Re ] DFT[] X X 因而对应频域 X 是圆周共轭对称序列 ; 反之亦然. ep JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 84 / 9
85 关系 DFT X op { j Im } [ X X * ] R 时域 取虚部并加权 j, 对应频域取 X 的圆周共轭反对称分量. 若 本身是纯虚序列, 那么 X DFT { DFT j Im [ ] } X X op JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 85 / 9
86 关系 3 D FT{ } Re[ X ] ep D FT{ } j Im [ X ] op 说明 : 对时域 取圆周共轭对称分量 ep, 即对频域 X 取实部 ; 对时域 取圆周共轭反对称分量 op, 即对频域 X 取虚部加权 j; 若 X 本身是实序列, 则时域 是圆周共轭对称序列 ; 若 X 本身是纯虚序列, 则时域 是圆周共轭反对称序列 ; 反之亦然 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 86 / 9
87 3. 时域是实序列时对应 DFT 特征 设 为长度为 的有限长实序列, -,DFT[]=X 有以下几个特征 :5 个 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 87 / 9
88 特征 X=X*- R 说明 : 的 DFT X 是圆周共轭对称序列 是实 虚 部与圆周共轭对称 反对称 分量在时域 频域的对应关系 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 88 / 9
89 特征 Re[X]=Re[X- ]R 说明 : X 的实部是圆周偶对称序列 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 89 / 9
90 3 特征 3 Im[X]=-Im[X- ]R 说明 : X 的虚部是圆周奇对称序列 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 9 / 9
91 4 特征 4 X = X- R 说明 : X 的模是圆周偶对称序列 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 9 / 9
92 5 特征 5 arg[x]=-arg[x- ]R 说明 : X 的相角是圆周奇对称序列 例 3.6,3.7,3.8 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 9 / 9
93 序列及其 DFT 的奇偶虚实关系 由上对称性质基础上, 可归纳总结出 与 X 的奇 偶 ; 虚 实关系, 利用这些关系, 可以减少计算 DFT 的运算量 下面总结归纳出有限长序列及其 DFT 的奇 偶 ; 虚 实关系 这一关系清晰地展示了时域序列的奇 偶 ; 虚 实特性与频域序列的奇 偶 ; 虚 实特性是如何对应的 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 93 / 9
94 奇 偶 ; 虚 实的含义 所谓奇, 偶, 虚, 实的含义如下 : 奇 ---- 指序列是圆周奇对称序列 偶 ---- 指序列是圆周偶对称序列 虚 ---- 指序列是纯虚序列 实 ---- 指序列是实序列 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 94 / 9
95 奇偶虚实关系表 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 95 / 9
96 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 96 / DFT 形式下的帕塞瓦尔定理 * * ] [, ] [ Y X y Y y DFT X DFT y 则点有限序列为 设说明 : 这是 DFT 形式下的帕塞瓦尔定理 Parseval s,theorem 只需令 y=, 再两边取模, 便得到明确物理意义的能量计算公式
97 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 97 / 9 证明 Parseval 定理与在频域计算能量是相等的 表明 : 一个序列在时域计算的能量即 : 则若令 * * * * * *, X X X y Y X W Y W Y y
98 3.4.8 卷积 卷积主要介绍 : 线性卷积 圆周卷积 3 圆周卷积与线性卷积的性质对比 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 98 / 9
99 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 99 / 9. 线性卷积 线性卷积定义 : 有限长序列, -;, - 则线性卷积为 注意 : 线性卷积结果长度变为 +-. m m m m m m y *
100 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9. 圆周卷积 令 则圆周卷积结果长度不变, 为. m m m m m m y
101 圆周卷积的实现步骤 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
102 线性卷积与圆周卷积步骤比较 5 4 =5 3 线性卷积 : h =3 3 圆周卷积 :=7 补零加长 = =7 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
103 线性卷积与圆周卷积步骤比较 线卷积无需周期延拓, 而圆周卷积需进行周期延拓 : h 线卷积的反折 : 圆卷积的反折 并取主值区间 : h- h- 3 3 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 3 / 9
104 3 平移 线性卷积与圆周卷积步骤比较 3 3 h- 4 相乘 h-=5 =5 5 4 h-=5*+4*=4 h-=5*3+4*+3*=6 3 h h3-=4*3+3*+*= JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 4 / 9 3 =7 h4-=3*3+*+*=4 h5-=*3+*=8 h6-=*3=3
105 线性卷积与圆周卷积步骤比较 4 5 相加 得到线性卷积的示意图 相加 得到圆周卷积的示意图 5 y y 可见, 线性卷积与圆周卷积相同 当 [5+3-]=7 时 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 5 / 9
106 线性卷积与圆周卷积步骤比较 5 若圆周卷积取长度为 =5, 则求圆周卷积 5 4 =5 h- y 求得圆周卷积 h-=5*+*3+*=3 h-=5*+4*+*3=7 h-=5*3+4*+3*=6 6 4 h3-=4*3+3*+*= h4-=3*3+*+*=4 看出圆卷积与线卷积不同. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 6 / 9
107 练习 求 : * 的线卷积,=4 不加长 3,=6 补零加长 4,=7 补零加长 5,=8 补零加长 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 7 / 9
108 3. 圆周卷积与线性卷积 的性质对比 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 8 / 9
109 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 9 / 9 圆周卷积 离散线卷积 : 离散圆卷积 : 离散线相关 : 离散圆相关 : 卷积与相关不同 :y 是共轭且 y 中为 -m, 卷积与次序无关而相关与次序有关 m m y m y * m m y m y m y m y m R * * ] [ m y R m y m R
110 圆周卷积定理 时域卷积 ---> 频域相乘 DFT [ ] X X 频域卷积 ---> 时域相乘 L X X DFT [ ] JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
111 圆周卷积定理 时域卷积对应于频域相乘, 而时域相乘对应于频域卷积. 这与我们曾学过的其他变换 FT/L/Z 的卷积定理是相似的. 但注意, 由于 DFT 隐含的周期性, 卷积必须是圆周卷积才有此性质. 注意第二个关系中的系数, 不要忽略 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
112 3.4.9 线卷积和圆卷积比较 线卷积 : 反折 平移 相乘 积分 或相加 圆卷积 : 反折 周期化 平移 相乘 相加 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
113 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 3 / 9 使用 DFT 计算线性卷积 两个有限长序列的线性卷积 h L g y h g y L M M h h L g g M L M h g e e C L e e 则, 定义, 令和长为 设
114 =iput' 输入第一个序列 ='; h=iput' 输入第二个序列 ='; L=legth+legthh-; XE=fft,L; HE=ffth,L; y=ifftxe.*he; =::L-; subplot,,; stem,y; title' 基于 DFT 的线性卷积结果 '; label' 时间序号 ';ylabel' 振幅 '; y=cov,h; error=y-y; subplot,,; stem,error; title' 误差序列 '; label' 时间序号 ';ylabel' 振幅 '; JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 4 / 9
115 DFT 性质一览表 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 5 / 9
116 DFT 性质一览表 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 6 / 9
117 3.5 抽样 Z 变换 --- 频域抽样理论 我们将先阐明 : z 变换与 DFT 的关系 抽样 z 变换, 在此基础上引出抽样 z 变换的概念, 并进一步深入讨论频域抽样不失真条件 频域抽样理论 频域抽样不失真条件 3 频域内插公式 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 7 / 9
118 一 z 变换与 DFT 关系 离散傅里叶变换看作是序列的傅里叶变换在频域再抽样后的变换对. 在 Z 变换中, 又可了解到序列的傅里叶变换就是单位圆上的 Z 变换. 对序列的傅里叶变换进行频域抽样时, 自然可以看作是对单位圆上的 Z 变换进行抽样. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 8 / 9
119 推导 Z 变换的定义式 正变换 重写如下 : X z z 取 z=e jw 代入定义式, 得到单位圆上 Z 变换为 jw X e e w 是单位圆上各点的数字角频率. 再进行抽样 -- 等分. 这样 w=π/, 即 w 值为,π/,4π/,6π/, 考虑到 是 点有限长序列, 因而 只需 ~- 即可 将 w=π/ 代入并改变上下限, 得 X j e 则这正是离散傅里叶变换 DFT 正变换定义式. e j jw JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 9 / 9
120 3 结论 从以上推导中可看出, 有限长序列 的离散傅里叶变换 X 序列的各点值等于对 进行 Z 变换后在单位圆上 等分抽样的各点处所得的 Z 变换值, 即 X X z z e j 这就是 Z 变换与 DFT 的关系. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
121 4 结论 有限长序列补零加长 增加, 求其 DFT 发现频谱包络不变, 只是抽样点更密. 原因 : 即 补零加长并不改变有限长序列本身, 因而其 Z 变换不变, 而只是增加了 值 根据 X X z z e 每个 X 仍等于 X e jw 这一包络. 由于 -,X 值的个数增加了, 谱线变密. j JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
122 二 频率抽样理论 频域抽样不失真条件 问题引入 由 Z 变换与 DFT 的关系, 知道 : 的离散傅里叶变换 X 序列值和 的 Z 变换在单位圆 个等分点上的抽样值相等, 这就是说实现了频域的抽样, 便于计算机计算而提出的. 是否任何一序列 或说任何一个频率特性 都能用频域抽样的办法去逼近呢? 其限制条件是什么? JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 / 9
123 分析 将 的频域函数 Xe jw, 按每周期 点抽 ~ 样, 得到一周期序列 X, 再反变换回时域, ~ 得到变换结果, 是一周期延拓的序列, 且与原序列 有如下关系 ~ r r 即频域按每周期 点抽样, 时域便按 点周期延拓. 此结果符合频域抽样, 时域周期延拓的说法. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 3 / 9
124 3 结论 长度为 M 的有限长序列, 频域抽样不失真的条件 : 频域抽样点数 要大于或等于序列长度 M, 即满足 M. 此时可得到 ~ R r R r 表明 : 长度为 或小于 的有限长序列可用它的 z 变换在单位圆上的 个均分点上的抽样值精确地表示. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 4 / 9
125 4 抽样后序列能否无失真恢 复原时域信号 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 5 / 9
126 5 注意点 DFT 变换对的一一对应关系也是由此而得到保证的. 实际上, 在我们从连续傅里叶变换引出 DFT 时, 也只有按此条件对频域进行抽样, 才能在最后正确导出 DFT 变换对定义式. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 6 / 9
127 6 例子 -- 频域抽样 : 看一个矩形序列, 频域抽样是指对时域已是离散, 频域仍是连续信号 现在频域上进行抽样处理, 使其频域也离散化 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 7 / 9
128 6 例子 -- 解 : 频域抽样, 按 =5 点, 频域抽样, 时域延拓相加, 时域延拓的周期个数等于频域的抽样点数 =5, 由于 =M, 所以时域延拓恰好无混叠现象 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 8 / 9
129 6 例子 --3 按 =4 时进行抽样, 由于 =4, 而序列长度为 M=5,<M, 时域延拓后产生混叠现象 原信号为红色, 延拓取主值区间后的恢复信号为兰色 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 9 / 9
130 例 3.,3.,3.3 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 3 / 9
131 三 频域内插公式 从频域抽样不失真条件可以知道 : 个频域抽样 X 能不失真地还原出长度为 的有限长序列 那么用 个 X 也一定能完整地表示出 Xz 以及频率响应 [ 即单位圆上的 Xz]. 过程很简单, 先把 个 X 作 IDFT 得到, 再把 作 Z 变换便得到 Xz. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 3 / 9
132 内插公式 X z X z 其中 z 称为内插函数 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 3 / 9
133 内插函数 z z w z JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 33 / 9
134 3 频域响应的内插公式 把 z用 z e jw 代替便得到 X e jw X w JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 34 / 9
135 4 频域响应的内插函数 w w si w e j w si JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 35 / 9
136 从公式中看出 : 5 说明 在每个抽样点上 Xe jw 就精确地等于 X 因为其他的内插函数在这一点上的值为零, 无影响, 即 X e jw X,,,... w 各抽样点之间的 Xe jw 值, 则由各抽样点的加权内插函数在所求点上的值的叠加而得到. 频率响应的内插函数 w 具有线性相位. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 36 / 9
137 3.6 DFT 的应用 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 37 / 9
138 FT 及 FFT 在数字滤波 功率谱分析 仿真 系统分析 通讯理论方面有广泛的应用 归结起来, 有两个大方面, 一是计算线性卷积 线性相关 ; 二是用 DFTFFT 作为连续傅里叶变换的近似. FFT 并不是什么新的变换, 只是 DFT 在计算机上的一种高速算法, 虽实际中广泛使用的是 FFT, 但其应用的理论基础仍是 DFT. 通过考察计算线性卷积 相关 和连续傅里叶逼近这两种 DFT 应用, 可建立一般 FFT 应用的基本理论基础. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 38 / 9
139 3.6. 采用 DFT 办法求解线性卷积和相关 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 39 / 9
140 采用 DFT 办法求解线性卷积 时域圆周卷积, 频域是两序列的 DFT 相乘. 时频两域的转换 即 DFT 及 IDFT 有快速傅里叶变换 FFT 算法. 所以利用圆周卷积定理计算圆周卷积比计算线性卷积的计算速度快得多. 实际问题中 h 线性时不变系统 y=*h 即信号通过线性时不变系统 h 后的响应 y 是线性卷积运算. 设想 : 若做卷积的两序列都是有限长序列, 能否用它们的圆周卷积结果代替它们的线性卷积结果呢? 即圆周卷积与线性卷积的关系是什么? JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 4 / 9
141 定理 设有限长序列 -, - 我们把 补零点至 L 点, L ma,. 与 L 点圆周卷积 : 与 线性卷积 : y y 注意 : y 是 L 点序列, y L 是 +- 点序列 只要经过简单的推导, 就会得到 y 与 y L 的关系定理 r y y rl R L L JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 4 / 9 L
142 说明 与 的 L 点圆周卷积结果 y= 与 的线性卷积结果 y L 以 L 点周期延拓后再取主值序列. 如 L 取适当, 则线性卷积结果 y L 被 L 点周期延拓后无混叠 即其主值序列 = 线性卷积结果, 从而实现圆周卷积代替线性卷积. 所谓 L 的适当值, 显然应当 L +- 最终结论 : 当 L +- 时, 圆周卷积可以代替线性卷积即 : y L r 从 : y y L rl R L 看出 : y JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 4 / 9
143 圆卷积代替线卷积 的实现方法 --- 设 L 为圆卷积点数 : 圆卷积 选好圆卷积点数 LL +- L 点圆周延拓, 再取主值 线性卷积 设 是激励, 是 - 的有限长序列 ;h 是线性时不变系统的系统函数 冲激响应, 是 - 的有限长序列 ; y 是激励通过系统后的响应, 即 y=* h. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 43 / 9
144 圆卷积代替线卷积 的实现方法 --- 取 L +- 情况下, 圆周卷积代替线性卷积的实际实现的框图如下 L 点 DFT L 点 DFT y h L 点 DFT 上图依据的是圆周卷积定理, 做的是圆周卷积. 然而由于 L 选取符合条件, 因而结果是与线性卷积结果一致的. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 44 / 9
145 4. 相关 线性相关 圆周相关 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 45 / 9
146 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 46 / 9. 线性相关 设有限长序列 则线性相关定义为 线性相关结果长度变成 +-,, m m m m r * *
147 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 47 / 9. 圆周相关 设有限长序列 则 与 点圆周相关定义为 注 : 圆周相关结果长度不变为 相关在通信中很重要,, m m R m R m m r * *
148 3.6.3 采用 DFT 逼近连续时间信 号的傅里叶变换 级数 我们知道 DFT 的最初引入就是为了使数字计算机能够帮助分析连续时间信号的频谱 DFT 的快速算法 快速傅里叶变换 FFT 的出现使得 DFT 这种分析方法具有实用价值和重要性. 我们将讨论逼近的方法和同时产生的问题. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 48 / 9
149 讨论内容. 用 DFT 逼近连续非周期信号的傅里叶变换. 用 DFT 逼近连续周期信号的傅里叶级数 3. 用 DFT 逼近有限长信号的傅里叶变换 4. 用 DFT 做傅里叶变换 级数 的逼近时所产生的问题 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 49 / 9
150 . 用 DFT 逼近连续非周期信号 的傅里叶变换 在信号与系统中详细讨论的连续非周期信号的傅里叶变换是非周期性连续的频谱函数, 数字计算机难于处理的, 因而我们采用 DFT 对其进行逼近. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 5 / 9
151 分析 设 : 对连续非周期信号进行时域抽样, 抽样间隔为 T 时域 ; 对其连续非周期性的频谱函数进行频域抽样, 频域抽样周期为 F 频域. 又因时域抽样, 频域必然周期延拓 ; 且延拓周期为时域抽样的频率值, 即频域 fs = / T; 从频域抽样理论知识可知 : 频域抽样后对应时域按频域抽样间隔的倒数周期延拓, 即 To = /F. 对无限长的信号计算机是不能处理的, 必须对时域与频域做截断, 若时域取 点, 则频域至少也要取 点. 参见频域抽样不失真条件. 我们把以上的推演过程用严密的数学公式来表示 : JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 5 / 9
152 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 5 / 9 时域的抽样与截断 T j T j T t T e T j X d e j X t T s s 时域的截断 : 时域抽样 :
153 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 53 / 9 频域的抽样与截断 j s T j j s s s e X f e j X T e T j X j X X f T 频域的截断 : 频域抽样 : 频域抽样间隔 :
154 由对连续非周期信号进行频域 抽样就推出 DFT 变换式 把后两式进行从连续域到离散域的必要的处理, 如令 T= 等, 就得到了我们熟悉的 DFT 变换对定义式. j X e DFT的正变换 j Xe DFT的反变换 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 54 / 9
155 结论 从以上分析, 特别是最后得出的两式, 不难看出 : 如果用 DFT 定义式去计算一个非周期的信号的傅里叶变换, 则频谱的正常电平幅度与用 DFT 算得的频谱幅度相差一个加权 T. 即 : 由时域抽样截断可知 j T e T DFT [] j T X j T e T JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 55 / 9
156 结论 同理, 用 IDFT 定义式去计算一个非周期信号的傅里叶反变换, 则需再加权一个 * F = fs. 由于 fs = / T, 所以一个时间信号从时域到频域再到时域的整个变换过程中, 电平幅度并未受到影响. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 56 / 9
157 用 DFT 逼近连续非周期 信号的傅里叶变换注意点 用 DFT 逼近连续非周期信号的傅里叶变换过程中除了对幅度的线性加权外, 由于用到了抽样与截断的方法, 因此也会带来一些可能产生的问题 如 : 混叠效应, 频谱泄漏, 栅栏效应等. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 57 / 9
158 . 用 DFT 逼近连续周期信号 的傅里叶级数 在信号与系统中详细讨论的连续周期信号的傅里叶级数是数字计算机所难于处理的, 因而我们采用 DFT 对其进行逼近. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 58 / 9
159 用 DFT 逼近连续周期信号 的傅里叶级数的分析 连续周期信号的时域是连续的, 频域是离散的. 若用 DFT 逼近, 则先要对时域抽样 抽样间隔为 T, 然后截断取 点序列 类似 DFT 逼近连续非周期信号傅里叶变换中的抽样与截断, 下同. 这将导致频域周期延拓 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 59 / 9
160 对连续周期信号进行时域抽样 时域抽样和截断后, 求这 点的 DFT T X X j Te e j j T Tp JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 6 / 9
161 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 6 / 9 对连续周期信号频域进行截断 然后再对频域进行截断, 若截断后有限长序列长度正好是一个周期 或是其整数倍, 则 j T j t j e X e j X T e j X t
162 结论 从上面得到的公式可以看出, 利用 DFT 去求一个连续周期信号的 DFS 与正常级数之间相差加权 /. X 同理, 以 IDFT 计算的傅里叶级数反变换与正常值相差加权. 所以一个时间信号从时域到频域再到时域的整个变换过程中, 电平幅度并未受到影响. e X e j j JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 6 / 9
163 注意点 逼近值除了加权差别外, 还有如下特别注意处 : DFT 逼近周期信号的 DFS 中, 曾设频域的截断长度为其周期的整数倍. 如果截断长度不等于周期的整数倍, 则会造成离散和连续傅里叶变换之间出现显著差异, 而不是只相差一个加权因子. 另外当长度不是周期的整数倍时, 时域会表现为有间断点的周期函数, 频域表现为频谱泄漏成分增大. 由于 DFT 逼近连续周期信号过程中用到抽样与截断, 因此还会带来一些可能产生的问题 如 : 混叠效应, 频谱泄漏, 栅栏效应等. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 63 / 9
164 3. 用 DFT 逼近有限长时 间信号的傅里叶变换 对于有限长的时域信号, 其傅里叶变换的频域必然是无限带宽的. 因而这种信号抽样后频域的混叠是不可避免的. 混叠的大小由频谱高频分量衰减的速度决定 : 衰减越快混叠越小. 如果选择 小于长度有限的函数的样本点数, 则误差仅由混叠效应造成. 选抽样间隔 T 足够小, 可减少这种效应所引起的误差. 这种情况下, DFT 变换的计算值和连续傅里叶变换的样本值将很好的一致 相差一个系数. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 64 / 9
165 3.6.4 用 DFT 对模拟信号分析参数选择. 频率选择. 频率分辨率 3. 时域抽样点数 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 65 / 9
166 3.6.5 用 DFT 做傅里叶变换 级 数 的逼近时所产生的问题 为了能在数字计算机上分析连续信号的频谱, 常常用 DFT 来逼近连续时间信号的傅里叶变换, 但同时也产生以下问题 : 混叠现象 频谱泄漏 栅栏效应 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 66 / 9
167 混叠现象 利用 DFT 逼近连续时间信号的傅里叶变换, 为避免混叠失真, 要求满足抽样定理, 即奈奎斯特准则 : f s f h 其中 f s 为抽样频率, f h 为信号最高频率. 但此条件只规定出 f s 的下限为 f h, 其上限要受抽样间隔 F 约束. 抽样间隔数, 即 T F P 即频率分辨力, 它是记录长度的倒 / F 若抽样点数为, 则抽样间隔与 f s 的关系为 F = fs / f h / JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 67 / 9
168 混叠现象的结论 F 由 = fs / f h / 看出 : 在 给定时, 为避免混叠失真而一味提高抽样频率 f s, 必然导致 F 增加, 即频率分辨力下降 ; 反之, 若要提高频率分辨力即减小 F, 则导致减小 f s, 最终必须减小信号的高频容量. 以上两点结论都是在记录长度内抽样点数 给定的条件下得到的. 所以在高频容量 f h 与频率分辨力参数 F 中, 保持其中一个不变而使另一个性能得以提高的唯一办法, 就是增加记录长度内的点数, F 即 f h 和都给定时, 则 必须满足 f h / 这是未采用任何特殊数据处理 例如加窗 情况下, 为实现基本 DFT 算法所必须满足条件 F JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 68 / 9
169 例子 -- 有一频谱分析仪用的 FFT 处理器, 其抽样点数必须是 的整数幂 假定没有采用任何特殊的数据处理措施, 已给条件为 : 频率分辨力 Hz 信号的最高频率 4Hz 试确定以下参量 : 最小记录长度 Tp; 抽样点的最大时间间隔 T; 3 在一个记录中的最少点数 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 69 / 9
170 解 : 由分辨力的要求确定最小记录长度 Tp. Tp=/F=/=.s 故最小记录长度为. 秒 从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔 T. f s f h, T=/f s /f h =.5* -3 s 3 最小记录点数, 它应满足 f h /F=8 该处理器所需最少采样点数为 = =4 点 因为 = 9 =5 点不够 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 7 / 9
171 频谱泄漏 在实际中, 要把观测的信号 限制在一定的时间间隔之内, 即采取截断数据的过程 时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上一个窗函数, 使原连续时间函数成为两端突然截断, 中间为原信号与窗函数相乘的结果. 时域两函数相乘, 在频域是其频谱的卷积. 由于窗函数不可能取无限宽, 即其频谱不可能为一冲激函数, 信号的频谱与窗函数的卷积必然产生拖尾现象. 造成频谱泄漏. 所以在截取 即在窗函数的选取 时, 应尽量选择适当形状的窗函数对时域信号进行截断, 使频谱泄漏最小. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 7 / 9
172 频谱泄漏注意点 由于我们无法取无数个点, 所以在 DFT 时, 时域的截断是必然的, 因而泄漏也是必然存在的 为了减少频率泄漏可采用 : 适当加大窗口宽度, 增加 M 值 ; 采用适当形状的窗函数截断 指出 : 泄漏是不能与混叠完全分开的 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 7 / 9
173 例子 -- 设信号为 =/π, 经过矩形窗函数截断, 求信号经过矩形窗函数前后的频谱函数 解 : 设信号经过矩形窗函数后的信号为, 矩形窗函数为 W, 其频谱函数为 Xe jw =W Xe jw =Xe jw *W e jw 很明显 : Xe jw Xe jw 相当于 Xe jw 失真, 这种失真是由于 Xe jw 的频谱泄漏引起, 其现象为 拖尾 扩展现象, 称之频谱泄漏 Mw 因为 Xe jw M =δw, 矩形窗函数 si jw jw W e e w JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 si73 / 9
174 例子 -- Xe jw Mw si jw W e w si jw jw 这样由 X e * W e 看出 jw X e w, 是以 w 为中心的一根谱线 变成了 Mw si jw X e 形状的连续频谱 w si 即频谱成分从 w 处 泄漏 到其他频率处 产生泄漏 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 74 / 9 w Xe jw w
175 3 栅栏效应 利用 DFT 逼近连续时间信号的傅里叶变换, 其频谱将不再是连续函数而是基频 F 的整数倍 用 DFT 计算频谱, 就如通过一个栅栏观看一个景色, 只能在离散点的地方看到真实的景象, 从而产生栅栏效应. 如果在两离散的谱线间频谱有很大变化, 不作特殊处理, 则无法将其检测出来. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 75 / 9
176 减小栅栏效应方法 减小栅栏效应的一个方法是在所取数据的末端加一些零值点, 使一个周期内点数增加, 但是不改变原有的记录数据. 这种方法等效于加长了周期 To. 因公式 F = / To F 是抽样间隔. To 增加, 抽样间隔变小, 从而能保持原来频谱形式不变的情况下使谱线变密, 也就使频谱抽样点数增加. 这样, 原来看不到的频谱分量就有可能看到了. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 76 / 9
177 补零加长使谱线细化 在 DFT 与 Z 变换的关系一节中, 我们也曾从另一角度阐明时域补加零值点后对频域的影响 下图从该角度解释这一现象的. 补零加长 谱线细化 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 77 / 9
178 减小栅栏效应注意点 补加零点以改变周期时, 所用窗函数宽度却不能变, 亦即必须按数据记录原长来选择窗函数, 而不能按补了零值点后的长度来选择窗函数. 通俗地说, 就是应先加窗, 再补零. JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 78 / 9
179 例子 画出 =, 3, =, 其它 时的 4 点 DFT,8 点 DFT,6 点 DFT 图形 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 79 / 9
180 例 3.5 截断, 频谱泄漏 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 8 / 9
181 3.7 有限长序列变换量关系. X z 和 X e jw 之间的关系. 由 X e jw X z 求 3. X z 和 X 之间的关系 例 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 8 / 9
182 小结 本章主要讲几个问题 : 傅里叶变换的四种形式 离散傅里叶级数 3 离散傅里叶变换 4 离散傅里叶变换的有关性质 5 频率抽样理论 6 离散傅里叶变换的应用 7DFT 逼近连续时间信号产生的问题 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 8 / 9
183 四种不同傅里叶变换对 连续傅里叶变换 FT: 连续时间, 连续频率的傅里叶变换 傅里叶级数 FS: 连续时间, 离散频率的傅里叶变换 序列的傅里叶变换 DTFT: 离散时间, 连续频率的傅里叶变换. 离散傅里叶变换 DFT: 离散时间, 离散频率的傅里叶变换 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 83 / 9
184 傅里叶级数 FS FS 周期连续时间信号非周期离散频谱密度函数 周期为 To 的周期性连续时间函数 t 可展成傅里叶级数 XjΩ, 是离散非周期性频谱, 表示为 : JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 84 / 9
185 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 85 / 9 DFT 正变换 反变换 X 为有限长序列的离散傅里叶变换对, 已知其中一个序列就能确定另一个序列 ] [ j W e DFT X ] [ j W e X IDFTX
186 DFT 性质一览表 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 86 / 9
187 DFT 性质一览表 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 87 / 9
188 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 88 / 9 频率抽样理论 频域抽样不失真条件 : 长度为 M 的有限长序列, 频域抽样不失真的条件 : 频域抽样点数 要大于或等于序列长度 M, 即满足 M. 此时可得到 频域内插公式 ~ r R R r w X e X jw w j e w w w si si
189 DFT 的应用 用 DFT 计算线性卷积 用 DFT 去逼近连续信号 3 用 DFT 进行谱分析 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 89 / 9
190 DFT 做傅里叶变换 级数 的逼近时所产生的问题 混叠现象 : 频谱泄漏 栅栏效应 JMY Copyrights Reserved, SDU 山东大学数字信号处理精品课程 9 / 9
DISP-2003: Advanced Digital Signal Processing
第三章 离散傅立叶变换 Discrete Fourier Trasform DFT 数字信号处理 Beijig Istitute of Techology a t 四种 C/D 的 FT 3- 引言 T,, ±, ±, a 截断 jω, X e, X,?? DFT 性质 DFT X X e 取样 截断 频域取样 X e jω,,, DFS / 3 jω? DFT 对 CS 的逼近 DFS 性质 ω
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数字信号处理 周治国 25.9 第三章 离散傅里叶变换 3-6 频域采样 问题 : 采用 DFT 实现了频域取样, 对于任意一个频率特性能否用频率取样的方法去逼近? 研究 :, 限制? 2, 经过频率取样后有什么误差? 3, 如何消除误差? 4, 取样后所获得的频率特性怎样? 一 取样点数的限制 3-6 频域采样 x(n, X( z X( e X( X( e 任一非周期序列 ( 绝对可和 jω jω
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第三章 DFT 离散付氏变换 DFS 和 DFT DFS 和 DFT 的性质 Z 变换与 DFS 的关系 FFT IDFT 频谱分析 傅里叶 Fourir, 768-83 法国数学家 物理学家 法国著名数学家 物理学家,87 年当选为科学院院士,8 年任该院终身秘书, 后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席, 主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论 傅立叶在 87 年就写成关于热传导的基本论文
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第三章 离散傅里叶变换 (DFT) 及其快速算法 (FFT) 王柯俨 kywang@mail.xidian.edu.cn http://web.xidian.edu.cn/kywang/teach.html 问题 : 序列的傅里叶变换 Z 变换是时域离散信号及系统分析与 设计的重要数学工具 ; 但变换结果均为连续函数, 无法用计算机进行处理 ; 离散傅里叶变换 (DFT) 对有限长时域离散信号的频谱进
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第三章 离散傅里叶变换 (DFT) 及其快速算法 王柯俨 kywang@mail.xidian.edu.cn http://web.xidian.edu.cn/kywang/teach.html 问题 : 序列的傅里叶变换 Z 变换是时域离散信号及系统分析与 设计的重要数学工具 ; 但变换结果均为连续函数, 无法用计算机进行处理 ; 离散傅里叶变换 (DFT) 对有限长时域离散信号的频谱进 行等间隔采样,
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03 年秋季学期 3 教 05 数字信号处理 第三章离散时间信号和系统的频域分析 第三章离散时间信号和系统的频域分析 3. 周期序列 DFS 的定义 3. 周期序列 DFS 的基本性质 3.3 非周期序列 DTFT 的定义 3.4 序列 DTFT 的基本性质 3.5 周期序列 DTFT 3.6 序列的频域采样 本章主要学习 对于离散时间系统 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则用 Z 变换或傅里叶变换这一数学工具
<4D F736F F F696E74202D20D0C5BAC5CFB5CDB32DB5DAC8FDD5C2>
第三章 傅里叶变换 3. 引言 时域分析 -> 变换域分析, 要讨论的变换 傅氏变换 复频域分析 L 离散信号的 Z 域变换 信号的分解 - 正交基底函数 的发展 965 年 的内容 周期的模拟信号 S 非周期的模拟信号 离散的非周期序列 今后讨论 3. 周期信号的傅氏级数分析 狭利赫利条件 一个周期内, 周期信号绝对可积 一个周期内, 周期信号的极值数目有限 一个周期内, 周期信号只有有限个间断点
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信号与系统 Sigls d Sysms 第四章离散时间信号与系统的频域分析 Chpr 4 h Frqucy Domi Alysis of Discr Sigl & Sysm 控制系网络课程平台 :hp://www.cs.zu.du.c/clss/sigl_sysm/ 浙江大学控制科学与工程学系 概述 7 世纪开始离散时间信号的研究 世纪 4 年代, 微电子技术的发展和数字计算机的出现扩展了离散时间信号与系统的应用范围
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第九章 多采样率数字信号处理 王柯俨 kwang@mail.idian.edu.cn http://web.idian.edu.cn/kwang/teach.html d /k /t h 1 91 9.1 引言 需要多采样率的场合 : 需求不同 ( 数字电视 数字电话等 非平稳信号的分析 冗余数据的存在 采样率转换 多采样率数字信号处理 2 采样率转换方法 : 方法一 : 间接转换 把离散时间信号
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信号与系统 Signls n Sysms 第三章连续时间信号与系统的频域分析 Chpr 3 h rquny Domin Anlysis of Coninuous Signl n Sysm 控制系网络课程平台 :hp://www.s.zu.u.n/lss/signl_sysm/ 浙江大学控制科学与工程学系 本章主要内容 连续时间 LI 系统的特征函数 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3 非周期信号的表示
<4D F736F F F696E74202D204C C0EBC9A2CAB1BCE4D0C5BAC5B5C4CAB1D3F2B7D6CEF62E BD6BBB6C15D>
第 讲 离散时间信号的时域分析 Discrete-Time Signals in the Time-Domain 主讲 : 金连文 eelwjin@scut.edu.cn 数字信号处理 Digital Signal Processing 本讲主要内容 离散时间信号的时域表示 离散时间信号的分类 离散时间信号的运算 典型离散信号及其性质 信号的相关分析 概念 一 离散时间信号的时域表示 离散信号 :
大理大学 2019 年自命题科目考试大纲 科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统 一 目标要求 信号与系统 是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学 公平 有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念 基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用
大理大学 2019 年自命题科目考试大纲 科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统 一 目标要求 信号与系统 是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学 公平 有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念 基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用的需求建立信号与系统的数学模型, 通过时间域与变换域的数学算法, 分析系统性能, 求解输出信号的能力,
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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平稳过程的功率谱密度 在无线电 通信技术等领域的一些问题中, 通常需要分析 平稳过程的频域结构. 为此引入平稳过程的功率谱密度 随机过程引论 西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋 定义 5.4.1 设 ={ t, -
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DP 期末复习要求 第 3 5 章. 的性质线性 时移 频移 帕斯瓦尔 卷积 加窗 对称. 系统分类 根据输入输出关系式 h OC 零点极点判断 : 线性 时不变 因果 稳定 III 全通 最小相位 线性相位 3. h 频响 差分方程间的关系 4. I 系统的输出 : 时域卷积 频域相乘 特征函数法 9. 相位和幅度的关系 5. 根据零点极点确定系统频响 7. 全通和最小相位分解 8. 线性相位系统定义
实验一 信号、系统及系统响应
实验 信号及系统基本特性分析. 实验目的 学习 Mtlb 编程的基本方法 ; 掌握常用函数用法 2 了解不同信号的频域特性, 理解时域特性与频域特性之间的关联性 3 掌握典型信号序列的时域和频域基本特性 4 熟悉理想采样的性质, 了解信号采样前后的频谱变化, 加深对采样定理的理解 5 了解离散系统的时域 / 频域特性及其对输出信号的影响, 掌握系统分析方法.2 实验原理.2. 连续时间信号的采样 采样是从连续时间信号到离散时间信号的过渡桥梁,
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Digital Signal Processing mailfzh@nwpu.edu.cn /gary/ 1. FT FT. 3. 4. DFT 5. 6. DFT 7. 1. FT FT (FS) (FT) ( ) xt () Dirichlet (, ), 1 T () = ( Ω), ( Ω ) = () T T jkωt jkωt xt X k e X k xte dt e jkω t k
实验一 信号、系统及系统响应
数字信号处理 课程基本实验 实验 信号及系统基本特性分析. 实验目的 学习 Mtlb 编程的基本方法 ; 掌握常用函数用法 2 了解不同信号的频域特性, 理解时域特性与频域特性之间的关联性 3 掌握典型信号序列的时域和频域基本特性 4 熟悉理想采样的性质, 了解信号采样前后的频谱变化, 加深对采样定理的理解 5 了解离散系统的时域 / 频域特性及其对输出信号的影响, 掌握系统分析方法.2 实验原理.2.
作业 2.3,2.5(3)(5)(6) 2.6(2)(3) 2.8(3)(7)(8) 2.9(1)(3) 2.10 (2)(4)(8) (C),2.16(2), 自己仿真 2.29,2.30
第二章 离散时间信号和系统的时域分析 作业 2.3,2.5(3)(5)(6) 2.6(2)(3) 2.8(3)(7)(8) 2.9(1)(3) 2.10 (2)(4)(8) 2.11 2.13(C),2.16(2), 自己仿真 2.29,2.30 主要内容 离散时间信号的表示 典型离散信号 序列基本运算 离散时间系统时域分析 因果稳定性分析 线性和时不变分析 输入输出关系 线性卷积求解 差分方程求解
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第 5 讲 离散时间傅里叶变换 Discrt T Fourir Trsform 主讲 : 金连文 wi@scut.du.c 数字信号处理 Digit Sig Procssig 本讲主要内容 连续时间傅里叶变换 (CTFT 离散时间傅里叶变换 ( LTI 系统的频率响应及频率特性 课本第三章内容 频率的概念 频率的概念是什么?( 从哪里来? 正弦信号 频率概念 震动 一 连续时间傅里叶变换 对频率的定义
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
数字信号处理 第五章04 IIR数字滤波器-脉冲响应不变变换法.ppt [兼容模式]
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数字信号处理 周治国 2015.11 第五章数字滤波器 IIR 数字滤波器 脉冲响应不变变换法 1 从模拟低通滤波器设计数字低通滤波器 (1) 脉冲 / 阶跃响应不变法 (2) 双线性变换法 一 从模拟滤波器设计数字滤波器 2 IIR 数字低通滤波器的频率变换 ( 高通 带通 带阻数字滤波器的设计 (1) 直接由模拟原型到各种类型数字滤波器的转换 (2) 从数字低通滤波器到各种类型数字滤波器的转换
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信号的时域分析 连续时间信号的时域描述 连续时间信号的基本运算 离散时间信号时域描述 离散时间信号的基本运算 确定信号的时域分解 连续时间信号的时域描述 典型普通信号 正弦信号 实指数信号 虚指数信号 复指数信号 抽样函数 奇异信号 单位阶跃信号 冲激信号 斜坡信号 冲激偶信号 一 典型普通信号 正弦信号 Asin ω ϕ A: 振幅 ω : 角频率弧度 / 秒 ϕ: 初始相位 sin ω ϕ A
《数字电路与系统》
一 课程基本信息 信号与系统 A 课程编号 :2020193 大纲编号 :201601 课程名称 : 信号与系统 A 课程类别 : 专业基础课学分 :4 学时 :68 课堂讲授 :56 上机实验 :12 适用范围 : 电子信息工程专业 通信工程专业预修课程 : 电路 二 课程性质与任务 本课程是电子信息工程专业 通信工程专业所必修的一门重要的专业基础课 课程主要学习确定信号的特性, 线性时不变系统的特性,
类脑计算(神经形态计算)
第 2 章离散时间信号与系统 1 2.1 离散时间信号 : 序列 在数学上表示成数值的序列一个序列 x 的第 n 个数, 记作 x(n) x = x(n), < n < 其中 n 为整数 可通过对模拟信号的周期 采样来得到 x a t t=nt = x nt, < n < 常称 x(n) 为序列的 第 n 个样本 1 x(n) 仅在 n 为整数时才有定义 2 常将序列 {x(n)} 简记为 x(n)
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第五章连续系统的 域分析 点击目录 5. 拉普拉斯变换一 从傅里叶变换到拉普拉斯变换二 收敛域三 ( 单边 拉普拉斯变换 5. 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析一 微分方程的变换解二 系统函数三 系统的 域框图四 电路的 域模型五 拉普拉斯变换与傅里叶变换, 进入相关章节 第 4- 页 第五章连续系统的 域分析 频域分析以虚指数信号 e jω 为基本信号, 任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和
<4D F736F F F696E74202D20D0ECBEB22DD0C5BAC5D3EBCFB5CDB3422DB5DA33D5C25F312DB4D3D6DCC6DAD0C5BAC5B5C4B8B5C0EFD2B6BCB6CAFDB1EDCABEB
第 3 章 从连续时间周期信号的 傅里叶级数 表示到连续时间 傅里叶变换 徐静 XI AN JIAOONG UNIVERSIY 你所知道的信号与系统 信号与系统究竟是何物? 工程数学? 傅里叶变换 傅里叶分析傅? 一种方法 一种思想? 2 傅里叶分析方法 连续和离散时间的傅里叶分析方法 第 3 章连续周期信号的傅里叶级数 (CFS) 连续时间傅里叶变换 (CF) 第 4 章离散周期信号的傅里叶级数
图所示 ), 请确定并画出 y( 的频谱 Y(j ) x( cos(5m -5m -3m 3m 5m cos(3m -3m 3m y( X(jω) -m m ω 4 ( 分 ) 一个离散 LTI 系统, 其输入 x [n] 和输出 y[n] 满足下列差分方程 : y [ n] y[ n ] x[ n
![图所示 ), 请确定并画出 y( 的频谱 Y(j ) x( cos(5m -5m -3m 3m 5m cos(3m -3m 3m y( X(jω) -m m ω 4 ( 分 ) 一个离散 LTI 系统, 其输入 x [n] 和输出 y[n] 满足下列差分方程 : y [ n] y[ n ] x[ n](/thumbs/92/110009702.jpg "图所示 ), 请确定并画出 y( 的频谱 Y(j ) x( cos(5m -5m -3m 3m 5m cos(3m -3m 3m y( X(jω) -m m ω 4 ( 分 ) 一个离散 LTI 系统, 其输入 x [n] 和输出 y[n] 满足下列差分方程 : y [ n] y[ n ] x[ n")
计算题 ( 3) 图 4- 所示的系统中, 输入信号及带通滤波器的特性如下, 求输出信号及其频谱 sin( 函数已知 f (, s( cos( H( ) j ( ) f( s( f ( s( 带通滤 y( ) 波器 - - -999 图 4-(a) 图 4-(b) 999 (rad/s) 某 LTI 连续时间系统如图 4- 所示, 已知当 f ( u( 时, 系统的全响应为 y( ( 5e 5e 3
<4D F736F F F696E74202D20B8B4BCFE20B5DAC1F9BDB C9E8BCC6>
IIR DF 设计 Prt 数字信号处理面向专业 : 自动化系授课教师 : 刘剑毅 Buttrworth 模拟低通滤波器设计 幅度平方函数 : H( ) 为滤波器的阶数 为通带截止频率 当 称 H ( ) /时 H( 0) 0lg 3dB H ( ) 为 Buttrworth 低通滤波器的 3 分贝带宽 ) 该型滤波器函数特点 : H( ) 0 H( ) ( ) / 3 H db 3dB 不变性
幻灯片 1
3 年秋季学期 3 教 5 数字信号处理 第四章 Z 变换 第四章 Z 变换 4. Z 变换定义 4. Z 变换收敛域 4.3 Z 变换的基本性质 4.4 Z 反变换 4.5 几种变换的对应关系 4.5 系统函数与频率特性 本章主要学习 Z 变换的正变换和逆变换定义, 以及收敛域与序列特性之间的关系 Z 变换的定理和性质 : 移位 反转 域微分 共轭序列的 Z 变换 时域卷积定理 初值定理 终值定理
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
第四章 １０２ 图 ４唱１６ 基于图像渲染的理论基础 三张拍摄图像以及它们投影到球面上生成的球面图像 拼图的圆心是相同的 而拼图是由球面图像上的弧线图像组成的 因此我 们称之为同心球拼图 如图 ４唱１８ 所示 这些拼图中半径最大的是圆 Ｃｋ 最小的是圆 Ｃ０ 设圆 Ｃｋ 的半径为 ｒ 虚拟相机水平视域为 θ 有 ｒ Ｒ ｓｉｎ θ ２ ４畅１１ 由此可见 构造同心球拼图的过程实际上就是对投影图像中的弧线图像
第一章 控制系统的一般概念 $1 绪论
Matlab 与信号处理 周治国 2018.5 信号与图像处理研究所 http://isip.bit.edu.cn/ 个人简介 http://teacher.bit.edu.cn/zhiguozhou/ 本科教学 数字信号处理 (48 学时 ) 控制理论基础 (48 学时 ) 实时嵌入式系统及应用 (48 学时 ) 数字图像采集与跟踪系统 实验选修课 Matlab 与信号处理 研究生教学 : 嵌入式系统与应用
中国地质大学研究生院
中国地质大学研究生院 硕士研究生入学考试 电路 信号与系统 考试大纲 ( 包括电路分析 信号与系统两部分 ) 一 试卷结构 ( 一 ) 内容比例 电路分析 信号与系统 全卷 约 60 分 约 90 分 150 分 ( 二 ) 题型比例 填空题 约 40% 综合题 约 60% 二 考试内容及要求电路分析 ( 一 ) 集总参数的基本概念与基本定律考试内容电路中电流 电压及功率等变量的定义 参考方向的概念,
5.0 引言 本章将介绍傅里叶变换的典型应用 : 采样与调制 根据采样定理, 在一定的条件下, 连续时间信号可由其样值来表示, 并可恢复原来的信号 在离散时间情况下也有类似结果 在满足采样定理的条件下, 可以用离散化的方法来处理和产生连续时间信号 将某一个载有信息的信号嵌入另一个信号的过程一般称为调
第五章 采样与调制 信号与系统第五章 1 5.0 引言 本章将介绍傅里叶变换的典型应用 : 采样与调制 根据采样定理, 在一定的条件下, 连续时间信号可由其样值来表示, 并可恢复原来的信号 在离散时间情况下也有类似结果 在满足采样定理的条件下, 可以用离散化的方法来处理和产生连续时间信号 将某一个载有信息的信号嵌入另一个信号的过程一般称为调制 调制也可理解为用一个信号去控制另一个信号的某一参量, 如幅度
Review 1. What is projection, Radon tranform? 2. What is sinogram, and its usage? 3. Direct back projection reconstruction method. 4. Center slice the
Lecture VIII CT Image Reconstruction(Ⅱ) 1 Review 1. What is projection, Radon tranform? 2. What is sinogram, and its usage? 3. Direct back projection reconstruction method. 4. Center slice theorem. 5.
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数字信号处理 教学内容 掌握离散时间系统的基本特性和离散信号的变换 数字信号的定义和特点 离散系统的普遍关系 线性 时不变 稳定性 因果性 离散卷积 离散信号的 Z 变换和离散时间傅氏变换 DTFT 离散系统的描述 时域 : 差分方程 yn 脉冲响应 hn 变换域 : 传输函数 Hz 频率响应 He jw 掌握离散傅里叶变换原理, 能够应用 DFT 分析信号频谱 离散傅氏级数 DFS 有限长度离散傅氏变换
数字信号处理在航空航天、遥测遥感、生物医学、自动控制、振动工程、通信雷达、水文科学等许多领域有着十分广泛的应用
第一章离散时间信号与系统. 数字信号处理系统的基本组成 我们来讨论模拟信号的数字化处理系统, 此系统先把模拟信号变化为数字信号, 然后用数字技术进行处理, 最后再还原成模拟信号 这一系统的方框图见图所示 X a (t) 前置滤波器 A/D 变换器 X ( 数字信号 Y ( D/A 模拟 (t) 处理器变换器滤波器 Y a 数字信号处理系统的简单方框图当然实际的系统并不一定要包括它的所有框图, 例如有些系统只需数字输出,
LN htm
kaoyan.om 线性系统 一线性系统的概念 1. 线性系统是什么? 线性时不变系统的定义 : (1) 线性 : 若 1 2 产生的输出分别是 y 1 y 2 a1 + b2 产生的输出是 ay ( t 1 ) + by 2( t ) (2) 时不变 : 若 y 产生的输出是 即 ( t τ ) y 的输出是 ( t τ ) 若非特别指出 以后 线性系统 一词总指线性时不变系统 则对任意的常数 a
3. 引言 3. 连续时间 LI 系统的特征函数 3. 连续时间傅里叶级数 3.3 连续时间傅里叶变换 3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 3.5 连续时间傅里叶变换的性质 3.6 连续时间 LI 系统的频域分析 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然
第三章 连续时间信号与系统的频域分析 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 3. 引言 3. 连续时间 LI 系统的特征函数 3. 连续时间傅里叶级数 3.3 连续时间傅里叶变换 3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 3.5 连续时间傅里叶变换的性质 3.6 连续时间 LI 系统的频域分析 7/4/ 信号与系统 第三讲 郝然 3. 引言 傅里叶的生平和主要贡献 傅里叶 :768 年 3 月 日生于欧塞尔,83
第二章 线性时不变系统的时域分析
信号与系统 Signals and Sysems 第五章采样 调制与通信系统 Chaper 5 Sampling,Modulaion and Communiaion Sysems 控制系网络课程平台 :hp://www.se.zu.edu.n/elass/signal_sysem/ 浙江大学控制科学与工程学系 本章主要内容 引言 连续时间信号的时域采样定理 P78,5. 3 欠抽样与频谱混叠 P85,5.
类脑计算(神经形态计算)
复习 数字滤波器从功能上可分为低通 高通 带通 带阻 理想滤波器的频率响应 数字滤波器的系统函数与冲激响应 3 IIR 滤波器 ( ) 4 第 8 章 IIR 数字滤波器设计 5 8. -z 变换设计 从 S 平面映射到 Z 平面三种常用的方法 : 冲激响应不变法: 从时域的角度出发进行映射 ; 双线性不变法: 从频域角度出发进行映射 ; 3 匹配 z 变换法 : 频域直接映射 6 4 ( 注意 :
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模拟电子技术 主讲教师 : 王庆凤 Emal:wangqf@jlu.edu.cn 模拟电子技术参考资料 参考教材 康华光电子技术基础模拟部分 ( 第五版 ) 高等教育 童诗白模拟电子技术基础 ( 第四版 ) 高等教育 华成英模拟电子技术基本教程清华大学出版社 习题集 模拟电子技术基础解题指南清华大学 模拟电子技术常见题型解析及模拟题西北工业大学 模拟电子技术基础学习与解题指南华中科技大学 电子技术的发展
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
Ａ
工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录 工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录 A. 复数与复变函数 ( 第一章 ).... 复数.... 复变函数...4 A. 导数 ( 第二章 )...6. 解析函数...6.4 调和函数...8 A. 积分 ( 第三章 )...9. 柯西积分公式解析函数的导数...9 A.4 级数 ( 第四章 )... 4. 泰勒级数... 4.4 罗朗级数...
幻灯片 1
Digital Signal Processing(DSP) : 203 : 0531-88364509 Email: jiangmingyan@sdu.edu.cn : ---- ---- JMY Copyright Reserved, SDU, 1 / 69 : (,, 2007 64 48 16 1 8 1. 2 2. 6 3. 6 4. 8 5., FFT 8 6. 6 7. 8 8. 4
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
内容简介 本书系统地论述了信号与线性系统分析的基本理论和方法 全书共分 7 章, 主要内容包括 : 信号与系统的基本概念, 连续时间信号与系统的时域 频域和复频域分析, 离散时间信号与系统的时域和 z 域分析, 系统的状态空间分析 第二版在继承原书编写思想的基础上, 对全书内容进行了全面修订和完善
信 号 与 系 统 ( 第二版 ) 王颖民郭爱 西南交通大学出版社 成都 内容简介 本书系统地论述了信号与线性系统分析的基本理论和方法 全书共分 7 章, 主要内容包括 : 信号与系统的基本概念, 连续时间信号与系统的时域 频域和复频域分析, 离散时间信号与系统的时域和 z 域分析, 系统的状态空间分析 第二版在继承原书编写思想的基础上, 对全书内容进行了全面修订和完善 本书可作为高等院校电气信息类专业
标题
第 35 卷第 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年 月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近 赵晓娣, 孙渭滨 宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik
着 力 推 进 提 高 项 目 总 包 能 力 ; 加 快 优 势 产 品 进 入 海 外 市 场 ; 努 力 盘 活 资 产, 提 高 经 营 收 现 能 力 ; 开 源 节 流, 做 好 资 金 收 支 平 衡, 确 保 资 金 链 安 全 但 由 于 当 前 重 机 行 业 形 势 仍 未 明
证 券 代 码 :601268 证 券 简 称 : *ST 二 重 公 告 编 号 : 临 2014-053 二 重 集 团 ( 德 阳 ) 重 型 装 备 股 份 有 限 公 司 2013 年 年 报 事 后 审 核 意 见 函 回 复 的 公 告 本 公 司 董 事 会 及 全 体 董 事 保 证 本 公 告 内 容 不 存 在 任 何 虚 假 记 载 误 导 性 陈 述 或 者 重 大 遗 漏,
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福建师范大学硕士研究生入学考试 通讯与信息系统专业综合通讯与信息系统专业综合 考试大纲 一考查目标通信与信息系统专业综合考试涵盖信号与系统和数字电路两门学科基础课程 要求考生系统掌握上述学科的基本理论 基本知识和基本方法, 能够运用所学的基本理论 基本知识和基本方法分析和解决有关理论问题和实际问题 二 考试形式和试卷结构 1. 试卷满分及考试时间本试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟
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v = at s = 1 2 2 v = 2 π r a = v 2 = 4 π 2 r T r T 2 a 2 R = 2 R r g v 1 2 2 g = 9.8 r = 60R a = 9.8 = 0.0027 60 F = G Mm r 2 m
类 似 地, 又 可 定 义 变 下 限 的 定 积 分 : ( ). 与 ψ 统 称 为 变 限 积 分. f ( ) d f ( t) dt,, 注 在 变 限 积 分 (1) 与 () 中, 不 可 再 把 积 分 变 量 写 成 的 形 式 ( 例 如 ) 以 免 与 积 分 上 下 限 的
5 ( 一 ) 微 积 分 学 基 本 定 理 当 函 数 的 可 积 性 问 题 告 一 段 落, 并 对 定 积 分 的 性 质 有 了 足 够 的 认 识 之 后, 接 着 要 来 解 决 一 个 以 前 多 次 提 到 过 的 问 题 在 定 积 分 形 式 下 证 明 连 续 函 数 必 定 存 在 原 函 数. 一 变 限 积 分 与 原 函 数 的 存 在 性 设 f 在 [,] 上
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4-6-8 三 随机信号的相干函数 两个随机信号 和 的相干函数定义为 : 若 和 为一线性系统的输入与输出, 则有 : 5 若 和 不相关 = = 相干函数在频率域表征两个随机信号各频率成份的互相关联程度 相干函数大于 而小于 存在两种情况 : 5 相干函数大于 而小于, 存在两种情况 : 连续 和 的系统是非线性的 测量值中含有噪声, 即 和 是信号和噪声的叠加不相关与噪声信号不相关与噪声信号,,
第三讲 空间解析几何与向量代数
第 三 讲 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 3.. 向 量 代 数. 数 量 积 ( 内 积 ): a b = a b cos θ; θ 是 ab, 之 间 的 夹 角. 向 量 积 ( 外 积 ): a b = a b sin θ; a b a, a b b, 构 成 右 手 系 a b( 含 共 线 ) a b = ; a b a b = aba,, b 3. 坐 标 表 示 : ab
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第八章 时域离散系统的实现 王柯俨 8 8. 引言 时域离散系统的实现方式 软件实现 硬件实现 数字滤波器的表示方法 数字滤波器的系统函数 : H ( Y ( = = X( M = 0 b = + a 数字滤波器的表示方法 常系数线性差分方程 : M = + = = 0 yn ( ayn ( bxn ( 均由延迟 乘法 加法实现 滤波器的实现算法 运算结构 网络结构? 计算误差 有限字长效应 计算复杂度
第 9 期向强 : 线性正则变换域的带限信号采样理论研究 1985 [3] 样定理等等.LCT 域作为 FT 域 FRFT 域的推广, 其采样理论虽然已有文献研究 [8~11], 但还不够完善, 没有明确提出 LCT 域带通信号采样定理, 没有针对 LCT 域采样定理在实际应用中出现的问题进行探讨.
![第 9 期向强 : 线性正则变换域的带限信号采样理论研究 1985 [3] 样定理等等.LCT 域作为 FT 域 FRFT 域的推广, 其采样理论虽然已有文献研究 [8~11], 但还不够完善, 没有明确提出 LCT 域带通信号采样定理, 没有针对 LCT 域采样定理在实际应用中出现的问题进行探讨.](/thumbs/93/111191825.jpg "第 9 期向强 : 线性正则变换域的带限信号采样理论研究 1985 [3] 样定理等等.LCT 域作为 FT 域 FRFT 域的推广, 其采样理论虽然已有文献研究 [8~11], 但还不够完善, 没有明确提出 LCT 域带通信号采样定理, 没有针对 LCT 域采样定理在实际应用中出现的问题进行探讨.")
第 9 期 2010 年 9 月 电子学报 ACTAELECTRONICASINICA Vol.38 No.9 Sep. 2010 线性正则变换域的带限信号采样理论研究 向强 1,2, 秦开宇 1, 张传武 2 (1. 电子科技大学自动化工程学院, 四川成都 610054; 2. 西南民族大学电信学院, 四川成都 610041) 摘要 : 线性正则变换是傅里叶变换 分数阶傅里叶变换的更广义形式, 是一种潜在而重要的信号变换工具,
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信号与系统 Sigls d Sstes 第七章 Z 变换 Chpter 7 Z Trsfortio 控制系网络课程平台 :http://www.cse.ju.edu.c/eclss/sigl_sste/ 浙江大学控制科学与工程学系 主要内容 双边 变换 变换的收敛域 变换的性质 常用信号的 变换对 反变换 单边 变换及其性质 LTI 系统的 域分析 单边 变换及其性质 -- 定义 实际问题中常遇到的是因果序列
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三 随机信号的相干函数 随机信号的相干函数 两个随机信号 y 和 的相干函数定义为 : y y y r y 若 和 y 为一线性系统的输入与输出, 则有 : H H y H y H y H H r y y y 5 若 y 和 不相关 R y =0 y =0 r y y y 0 相干函数在频率域表征两个随机信号各频率成份的互相关联程度 相干函数大于 0 而小于, 存在两种情况 : 连续 y 和 的系统是非线性的
32 91320301136426860D 江 苏 汉 邦 建 设 集 团 有 限 公 司 201601 41.50 45.00 0.00 86.50 33 05021063-9 江 苏 邦 实 建 设 工 程 有 限 公 司 201601 37.00 49.50 0.00 86.50 34 703
2016 年 徐 州 市 建 筑 业 施 工 企 业 上 半 年 综 合 信 用 评 价 得 分 表 日 期 :2016-06-14 序 号 组 织 机 构 代 码 单 位 名 称 批 次 基 本 信 用 分 综 合 考 核 得 分 日 常 扣 分 信 用 考 核 总 分 1 13641102-8 徐 州 市 政 建 设 集 团 有 限 责 任 公 司 201601 50.00 49.33 0.00
目录 l 傅立叶变换 l 低通 高通滤波器 l 带通和带阻滤波器 l 同态滤波器
图像处理与分析 频域内滤波 授课教师 : 孙剑 jiansun@mail.xjtu.edu.cn http://jiansun.gr.xjtu.edu.cn 西安交通大学数学与统计学院 目录 l 傅立叶变换 l 低通 高通滤波器 l 带通和带阻滤波器 l 同态滤波器 傅里叶变换 2-D 傅里叶变换 傅里叶变换定理 快速傅里叶变换 2-D 傅里叶变换 1-D 正变换 N 1 F {f ( x )}=
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
任春平 邹志利 在坡度为 的平面斜坡上进行了单向不规则波的沿岸流不稳定运动实验 观测到了沿 岸流的周期性波动 波动周期约为 利用最大熵方法和三角函数回归法求得这种波动的主 频率以及幅值 分析了波动幅值在垂直岸线方向的变化 结果表明该变化与沿岸流变化类似 即在 沿岸流最大值附近这种波动强度最大 为了分析波动的机理 利用线性沿岸流不稳定模型对模型实验结果进行了分析 求得了不稳定运动增长模式和波动周期 并与对应实测结果进行了比较
州 盟 ) 县 ( ) 组 织 机 构 代 码 企 业 详 细 名 称 武 汉 东 湖 开 发 武 汉 新 芯 集 成 电 路 制 造 有 限 公 司 黄 石 市 下 陆 大 冶 有 色 自 强 服 务 有 限 责 任 公 司 黄 石 市 下 陆
附 件 2016 年 国 家 重 点 监 控 企 业 名 单 一 废 水 国 家 重 点 监 控 企 业 名 单 ( 共 2660 家 ) 湖 北 省 (132 家 ) 市 ( 地 州 盟 ) 县 ( ) 组 织 机 构 代 码 企 业 详 细 名 称 汉 阳 616400141 百 威 ( 武 汉 ) 国 际 啤 酒 有 限 公 司 青 山 177681913 武 汉 钢 铁 ( 集 团 ) 公
IIR数字滤波器设计
IIR 数字滤波器设计 南京航空航天大学 李军 IIR 的数字滤波器设计 基本概念 IIR 滤波器设计的特点 常用模拟低通滤波器的设计方法 用脉冲响应不变法设计 IIR 数字滤波器 用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器 设计 IIR 滤波器的频率变换法 基本概念 经典滤波器 将输入信号 x 中的有用成分与希望去除的成分占有不 同的频带, 通过一个线性系统 滤波器, 可以将欲去除的成分去除掉 现代滤波器
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第 讲 Z 变换 -Trasform 主讲 : 金连文 wi@scut.u.c 数字信号处理 Diita Sia Procssi 本讲主要内容 Z 变换基本概念 有理 Z 变换 Z 变换收敛域 逆 Z 变换 利用 变换来分析和表征 LTI 系统 LTI 系统的传输函数 ( 系统函数 ) 一 概念和性质 3 什么是 变换?() Z 变换是离散时间信号与离散时间系统分析与综合的重要工具, 其作用相当于连续时间信号与系统的拉氏变换分析方法
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器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 ３ 电势与电势差 １ 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 Ｅ ｐ 与电荷量 ｑ Ｅｐ 的比值叫做该点处的电势 表达式为 Ｖ 电场中两点之间的 ｑ 电势之差叫做电势差 表达式为 ＵＡＢ Ｖ Ａ ＶＢ ２ 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量
第 期 房建成等 动态定位的强跟踪卡尔曼滤波研究
第 卷第 期 年 月 东南大学学报 房建成万德钧吴秋平 东南大学仪器科学与工程系 南京 提出一种改进的强跟踪卡尔曼滤波算法 应用于 动态定位滤波中获得明显效果 首先采用描述机动载体运动的 当前 统计模型 建立了一种新的 动态定位扩展卡尔曼滤波模型及其自适应算法 然后 为了进一步提高滤波器的动态性能 改进了周东华等提出的强跟踪滤波器 大大提高了 动态定位扩展卡尔曼滤波器的跟踪能力 动态定位 卡尔曼滤波
硬件解决方案, 整型信号量 记录型信号量 管程, 经典同步问题, 进程通信机制, 线程同 步机制, 死锁及处理方法 ;(2) 要求掌握的内容包括 : 利用记录型信号量解决同步问题, 利 用银行家算法给出避免死锁的资源分配方案, 死锁检测算法及应用 4 存储管理 (1) 要求理解的内容包括 : 程序处
计算机与信息技术学院硕士研究生入学考试自命题科目考试范围 一 920 数字信号处理 1 离散时间信号与系统 (1) 离散时间信号 ( 序列 ): 常用序列 序列基本运算 周 期性等 ;(2) 线性移不变系统 : 线性 移不变 因果性 稳定性 ;(3) 连续时间信号抽样 : 理想抽样 实际抽样 抽样定理 2 z 变换 (1)z 变换的定义与收敛域 :z 变换定义 右边序列 因果序列 左边序列 双边序列的收敛域
Microsoft Word - 北京邮电大学2010年801通信原理考研真题参考答案.docx
北京邮电大学 010 年硕士研究生入学考试试题参考答案 注 : 本参考答案为邮学考研原创, 免费提供给广大考生复习参考, 未经允许, 请勿用于其他用途 北邮考研专业课线上专项课程 线下高端集训服务咨询 北邮考研复习 / 报考指导等信息可参见邮学 考研微信公众号及邮学网官方网站 一 选择填空题 ( 每空 1 分, 共 0 分 ) 1 4 5 6 x u j c b q l n a d 7 8 9 10
, 10, (Poincare) dθ, ( ) 2 1 dθ cos θ = E 2 dt K V V = cos θ E
1. l, m, θ,, r, ω d F ml d2 θ dt 2 + rldθ dt + mg sin θ = F cos ω dt d 2 θ dt + r dθ 2 m dt + g l sin θ = F ml cos ω dt ω 0 = g/l, mω0, 2 mlω0 2 MLT β = r/2mω 0, f = F/mlω 2 0 = F/mg, ω 0 /ω 0 = 1, ω =
吉林大学学报 工学版 ２４４ 第 ４ 卷 复杂 鉴于本文篇幅所限 具体公式可详见参考文 献 ７ 每帧的动力学方程建立及其解算方法如图 ３ 所示 图４ 滚转角速度与输入量 η 随时间的变化波形 Ｆｉｇ ４ Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ｒａｔｅ ａｎｄ ｉｎｐｕｔ η ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｃｈａｎｇｉｎｇ 图５ Ｆｉｇ ５ 滚转角随时间的变化波形 Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ａｎｇｌｅ ｗｉｔｈ
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廖光洪 朱小华 杨成浩 徐晓华 基于南海 年夏季调查航次诊断计算的流函数场 选取越南以东偶极子发生海域 进行 不同的声层析观测站位设置实验 模拟计算声线传播时间信息 然后应用基函数重建方法进行了 流函数场的模拟反演研究 讨论了不同随机观测误差对反演结果的影响 研究结果表明该方法是 可行的 在所选取的约 海域内 在观测海域外围配置 个声层析观测站位就能够很好地重构原流函数场 空间分辨率约为 可以分辨模拟海域中尺度涡场结构
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主讲人 : 宋利 http://medalab.sjtu.edu.cn/teachng/dip/dip.htm Dgtal Image processng 第一章 :DIP 基础 取样与重建 量化 3 人眼视觉特性 取样与重建 Dgtal Image processng 取样 一维取样分析二维 δ 函数 二维取样定理 采样实际问题 重建 模拟图像重建双线性内插重建实际问题 Dgtal Image processng
第二讲 数列
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 高 考 中 不 等 式 问 题 的 解 决 方 法 通 润 达 久 王 力 前 言 : 近 年 来 不 等 式 问 题 正 越 来 越 多 的 出 现 在 调 研 题 和 高 考 试 题 中 而 且 大 多 出 现 在 江 苏 高 考 的 填 空 压 轴 题 中 是 高 考 考 察 的 重 点 和 难 点 由 于
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! # ! # 第 吕玉 琦 等 人 体 心 脏 的 三 维 超 声 成 像 期 左 心 室边界 轮廓 的 校 正 由于 采 集 幅 图 象时 探 头 位 置 及 角度 稍 有变 化 就 会 导 致 幅 图象 的 心 尖 位置 及 左 心 室 长 轴 位置 在 图象 中 不 重合 因 此 必 须 进 行轮 廓 校 正 校 正 以 第 幅 二 维超 声 心 动 图 为 标 准 对 后 续的 幅 图 象
矩阵函数
矩阵函数 矩阵分析 - 研究生课程 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义 1: 已知 和关于变量 的多项 式 那么我们称 为 的矩阵多项式 n x n 1 n 1 1 0 f( x) a x + a x + L + a x+ a n n n 1 n 1 1 0 f( ) a + a + L + a + a I n n n C 设为一个阶矩阵, 为其 Jordan 标准形, 则 n J 于是有 1
谷 德军 等 对 流边 界层 中 公 路 线 源 扩 散的 期 扩 散 的模 拟 式 大 气扩 散 的 方 法 是 把 污 染物 在 大 气 中 的 扩 散 看 成 标 记 粒 子 在 平 均 风 场 约束 下 的 随机 运 动 假 定 粒 子 的运 动 是 相 互独 立 的 向上 的 坐 标 为
谷 德军 等 对 流边 界层 中 公 路 线 源 扩 散的 期 扩 散 的模 拟 式 大 气扩 散 的 方 法 是 把 污 染物 在 大 气 中 的 扩 散 看 成 标 记 粒 子 在 平 均 风 场 约束 下 的 随机 运 动 假 定 粒 子 的运 动 是 相 互独 立 的 向上 的 坐 标 为 时间 步长 的 脉 动速 度 可 以 用 小 匡 每 个 粒 子 的运 动 为 小 分别 代表粒子 在
《高等数学》 CAI课件
第四部分 : 定积分 一 重点 难点与例子 第五部分定积分 共 6 例 : 定积分的存在定理 定积分性质 3 用定积分的定义求极限 关于积分限为变元的函数 5 Newo Leibiz 公式的重要意义 6 计算定积分 N L 公式 7 定积分常用公式与例子 8 广义积分二 判断题 下列运算对吗? 共 6 个 三 练习题 共 个 练习题解答 一 重点 难点与例子 定积分的存在定理 若 在闭区间 [,b]
第五章 数理统计中的统计量 及其分布
第五章 数理统计中的统计量 及其分布 随机样本 统计量 三大抽样分布 正态总体下常用统计量的一些重要结论 数理统计 以概率论为基础 主要研究如何收集 整理和分析实际问题的数据 有限的资源 以便对所研究的问题作出有效的 精确而可靠 推断 基础 概率论 功能 处理数据 目的 作出科学推断 就概率特征 总体与随机样本 总体 研究对象的某项数量指标值的全体 记作 Y 个体 总体中每个研究对象 元素.
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
Microsoft PowerPoint - 04 信号采样.ppt [兼容模式]
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-- 前面我们讲了, 一些基本的信号处理方法 -- 信号的运算 分解 医学信息的评价方法 正交函数 欧拉公式 复平面上的一个单位圆上的点, 与实轴夹角为 θ 时, 此点可表示为 co θ inθ Im 欧拉公式 θ θ coθ inθ inθ { θ θ θ { R coθ θ θ 是自然对数的底, 此式称为欧拉 Elr 公式 可以用计算方法定义为 n lim.788l n n 欧拉公式推导 由泰勒级数展开
第 期 曹 源 等 形式化方法在列车运行控制系统中的应用
第 卷 第 期 年 月 交通运输工程学报 曹 源 唐 涛 徐田华 穆建成 为了确保列车运行控制系统设计和开发的正确性 比较了仿真 测试和形式化 种能够验证 系统设计正确性的方式 根据列车运行控制系统对安全的苛求性 提出了 个与系统安全相关的重要特性 即实时性 混成性 分布 并发 性 反应性 并分析了与这些特性相关的具体形式化方法 通 过对每种形式化方法的数学基础和应用范围的分析和归类 给出了各种方法的优势和不足
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1996 2 ( ), :,, = = : A BX A B X, A B A B,, : a A B A B ; b A B :, : a, b, A BX= A B X X,,, :,,,,,,, 79 ,,,,,,,,,,,,, :,, ;,,,,, ( ),,,, : ( ) ; ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( A ) ; ( ) ( ),,,,,,, 80 ,,,, (,, )
一 根据所给图表，回答下列问题。
09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷 数学专业知识 一 选择题 ( 本大题共 题 每题 分 共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故 故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由 可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时 因为 z i R 而 z i R 知 故 p
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1 2 3, 4. 5. 150 37 91 22 1 37 (1) 14 10610183 10610193 10610204 4 10610224 4 312 (2) 4 1-4 (1)-(4) 1 5-8 5-6 7-8 1-4 2017 (3) 8+2 6 8 2 1 2 8 2 3 4 8 2 4 4 6 4 8 8 8 STEM STEM 5 12090043 2 91 1 18 6 3
幻灯片 1
203 年秋季学期 3 教 05 数字信号处理 第二章离散时间信号和系统的时域分析 第二章离散时间信号和系统的时域分析 2. 时域离散信号 : 序列, 周期序列, 序列运算 2.2 采样与量化 : 信号的采样, 采样定理, 重建 2.3 时域离散系统 : 线性时不变因果稳定 2.4 常系数线性差分方程 2 本章主要学习 典型信号及信号的基本运算 ; 线性时不变系统的因果性和稳定性 ; 系统的输入输出描述法
数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数
![数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数](/thumbs/51/27870416.jpg "数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数")
.. 数学分析 (I) 短课程 [Part 2] 自然数 整数和有理数 孙伟 华东师范大学数学系算子代数中心 Week 2 to 18. Fall 2014 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014 1 / 78 3. 自然数理论初步 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014
余玉苗 田 娟 朱业明 当前审计环境中 审计合谋现象普遍存在 双重审计制度可以看作是阻止审计合谋的一种制度设计 在分析审计合谋成因的基础上 建立了一个包括引入第二个审计师的概率因子 融合外部监督惩罚与激励机制的博弈模型 对阻止审计合谋的条件进行了均衡分析 研究结果 显示 当外部监督惩罚力度强化后与适当的激励机制存在时 双重审计制度有利于降低对审计师的监督成本 从而为其实施提供了理论依据 从多期博弈角度看
数据采集与处理第 卷 载波同步过程中频率和相位估计是关键 常见的估计算法可分为时域类和频域类两大类 时域 类算法中 +9 算法具有很高的估计精度 但存在适应的频率动态范围有限 运算量大 硬件实现代价高等缺点 文献 ( 针对 +9 算法进行了改进 提升了算法适应的频率范围 但性能损失较大 同时未能克服
第 卷第 期 年 月 数据采集与处理!"$%&!'$$ 文章编号 ()((* 基于三角多项式插值的频率和相位联合估计算法 胡景明 叶 展 张邦宁 解放军理工大学通信工程学院 南京 ) 摘要 为了使其载波同步系统在低信噪比下能获得运算复杂度和同步精度的双重最佳性能 本文提出了一种新的频率和相位联合估计算法 该算法在 ++, 运算的基础上 进一步对谱线进行三角多项式插值运算 并通过求解最大值 获得精确的频率和相位估计
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动态测试与分析技术 Dynamic Measurement and Analysis Technology http://cc.sjtu.edu.cn/vibt.html 余征跃 33476347 yuzy@sjtu.edu.cn 上海交通大学工程力学实验中心 第 2 章动态信号特性分析 被测对象 ~ 测量系统 ~ 分析系统 ~ 激振系统 ~ 反馈系统 ~ 信号是信息的载体 广义的说, 信号是随着时间变化的某种物理量
<4D6963726F736F667420576F7264202D2032303036C4EAB9FABCD2B9ABCEF1D4B1D0D0D5FEC4DCC1A6B2E2D1E9A3A841C0E0A3A92E646F63>
2006 年 中 央 国 家 公 务 员 考 试 行 政 职 业 能 力 测 验 一 第 一 部 分 言 语 理 解 与 表 达 1. 在 公 路 发 展 的 早 期, 它 们 的 走 势 还 能 顺 从 地 貌, 即 沿 河 流 或 森 林 的 边 缘 发 展 可 如 今, 公 路 已 无 所 不 在, 狼. 熊 等 原 本 可 以 自 由 游 荡 的 动 物 种 群 被 分 割 得 七 零 八
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 解 析 : 由 极 限 的 保 号 性 知 存 在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在 点 a 不 取 极 值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a)
年 考 研 数 学 二 模 拟 题 ( 二 ) 参 考 答 案 本 试 卷 满 分 5 考 试 时 间 8 分 钟 一 选 择 题 :~8 小 题 每 小 题 分 共 分 下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 的 请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 () 在 点 处 不 存 在 极 限 的 函 数 是 (
春 天 来 了, 万 物 复 苏, 小 草 绿 了 小 河 解 冻 了 柳 树 发 芽 了 桃 花 盛 开 了 春 天 给 大 自 然 带 来 了 盎 然 生 机 春 天 的 景 物 是 美 丽 的, 春 天 的 故 事 是 动 人 的, 我 们 有 取 之 不 尽 的 以 春 为 主 题 的 作
主 编 寄 语 祝 你 在 作 文 世 界 展 翅 腾 飞 学 作 文, 必 须 从 读 别 人 的 好 作 文 开 始 中 国 旧 时 代 的 文 人 有 一 句 顺 口 溜 : 熟 读 唐 诗 三 百 首, 不 会 作 诗 也 会 诌 这 句 话 告 诉 我 们 : 写 作 必 须 从 阅 读 开 姑, 而 且 必 须 从 精 选 的 佳 作 开 始 进 入 新 世 纪 以 后, 在 新 课 标
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信号与系统 Sigal ad Sym 第六章信号与系统的复频域分析 Chapr 6 Th Complx Frqucy Domai Aalyi of Sigal ad Sym 控制系网络课程平台 :hp://www.c.zju.du.c/cla/igal_ym/ 浙江大学控制科学与工程学系 7/4/4 复习与概述 将输入信号表示成基本信号的线性组合 系统的输出 时域 : 频域 : x x d 时域 a
Lecture 06. 图像频域变换
数字图像处理 频域变换 背景 法国数学家傅里叶 ( 生于 1768 年 在 1822 年出版的 热分析理论 一书中指出 : 任何周期函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦和的形式 即傅里叶级数 20 世纪 50 年代后期 快速傅里叶变换算法出现 得到了广泛的应用 频域变换 2 2018 年 4 月 2 日 背景 频域变换 3 2018 年 4 月 2 日 背景 在计算机的图像处理中 所谓图像变换就是为达到图像处理的某种目的而使用的一种数学技巧
帝国CMS下在PHP文件中调用数据库类执行SQL语句实例
帝国 CMS 下在 PHP 文件中调用数据库类执行 SQL 语句实例 这篇文章主要介绍了帝国 CMS 下在 PHP 文件中调用数据库类执行 SQL 语句实例, 本文还详细介绍了帝国 CMS 数据库类中的一些常用方法, 需要的朋友可以参考下 例 1: 连接 MYSQL 数据库例子 (a.php)