矩阵函数

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铭对姬
5 years ago
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1 矩阵函数矩阵分析 - 研究生课程

2 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式定义 1: 已知和关于变量的多项式那么我们称为的矩阵多项式 n x n 1 n f( x) a x + a x + L + a x+ a n n n 1 n f( ) a + a + L + a + a I n n n C 设为一个阶矩阵, 为其 Jordan 标准形, 则 n J

3 于是有 1 dag(,, L, ) 1 1 r PJP P J J J P Pdag( J ( λ ), J ( λ ), L, J ( λ )) P 1 1 r r 1 n f( ) a + a + L + a + a I n n 1 n a ( PJP ) + a ( PJP ) + L n 1 n 1 n 1 n 1 + a ( PJP ) + a I n PaJ ( + a J + L + aj+ ai) P n Pf ( J ) P 1 n 1 1 n Pdag( f ( J ), f ( J ), L, f ( J )) P 1 r 1

4 我们称上面的表达式为矩阵多项式 Jordan 表示其中 J f( ) λ 1 λ O J( λ) ( 1,, L, r) O 1 λ d d λ c λ L c λ k 1 k 1 d 1 k d+ 1 k k k k λ ( λ) O M 1 k 1 O ckλ k λ d d 的

5 f( J ) 1 ( d 1) f( λ) f ( λ) L f ( λ) ( d 1)! f ( λ ) O M O f ( λ ) f ( λ ) d d 例 1 已知多项式 4 3 f( x) x x + x 1 与矩阵求 f( )

6 解 : 首先求出矩阵的及其相似变换矩阵 P 的 Jordan 标准形 J J P 那么有 1 P

7 f ( ) Pf ( J ) P f ( 1) f( 1) f ( 1) f ( 1) 1 0 f( 1) + 4 f ( 1) 0 8 f ( 1) 3 f ( 1) f( 1) 6 f ( 1) f ( 1) 0 f( 1) 4 f ( 1)

8 定义 : 已知和关于变量的多项式 n n 1 n f( x) a x + a x + L + a x+ a n n n C 如果 f( x ) 满足 f( ) O n n, 那么称为矩阵的一个零化多项式 n n C f( ) O n n x f( x) 定理 1: 已知, f ( λ) 为其特征多项式, 则有我们称此定理为 Hamlton-Cayley 定理

9 n n 定义 3: 已知, 在的零化多项式中, 次数最低且首项系数为 1 的零化多项式称为的最小多项式, 通常记为 m( λ) C 最小多项式的性质 : 已知 (1) 矩阵的最小多项式是唯一的 () 矩阵的任何一个零化多项式均能被 n n C 整除 (3) 相似矩阵有相同的最小多项式, 那么 m( λ)

10 如何求一个矩阵的最小多项式? 首先我们考虑 Jordan 标准形矩阵的最小多项式例 : 已知一个 Jordan 块 J 求其最小多项式 λ 1 λ O O 1 λ d d

11 d 解 : 注意到其特征多项式为 f ( λ) ( λ λ), 则由上面的定理可知其最小多项式 m( λ) 一定具有如下形状 1 k d m( λ) ( λ λ) k k < d 其中但是当时 mj ( ) ( J λ I) 0 0 L 1 L O O L 0 O O 1 O 0 L k O d d 因此有 m( λ) ( λ λ) d

12 例 3 : 已知对角块矩阵 dag(,, L, ) 1 r m( λ), m ( λ), L, m ( λ) r, 1 分别为子块,, L, 1 r 的最小多项式, 则的最小多项式为即为式 [ ( λ), ( λ), L, ( λ)] m m m 1 r m m m 1 r ( λ), ( λ), L, ( λ) 的最低公倍

13 例 4 : 求下列矩阵的最小多项式 (1) () B (3) C (4) D

14 解 : (1) 首先求出其 Jordan 标准形为 J 所以其最小多项式为 ( λ + 1) () 此矩阵的 Jordan 标准形为 J 从而其最小多项式为 ( λ 1)( λ 3)

15 (3) 该矩阵的 Jordan 标准形为 J 故其最小多项式为 ( λ 1) (4) 此矩阵本身就是一个 Jordan 标准形, 所以其最小多项式 ( λ 5)( λ 3)

16 函数在矩阵谱上的值与矩阵函数 C n n,, L, r r m( λ) 1 m( λ) ( λ λ1) d ( λ λ) d L ( λ λ ) dr r 定义 4: 设, λ λ λ 1 为的个互不相同的特征值, 为其最小多项式且有其中 d 1( 1, L, r), d m 如果函数 f( x) 具有足够高阶的导数并且下列 m个值 r 1 f f f r ( 1) ( λ), ( ),, d λ L ( λ), 1,, L, 存在, 则称函数 f( x) 在矩阵的谱上有定义

17 例 5: 设又已知 f( x) 容易求得矩阵 1 ( x 3)( x 4) 的最小多项式为 m( λ) ( λ )( λ 1) 并且 f() 1, f(1) 1, f (1)

18 所以在的谱上有定义但是如果取 f( x) B 容易求得矩阵 B 的最小多项式为 m( λ) ( λ 1)( λ 3) 显然不存在, 所以在 B 的谱上无定义 f (3)

19 定义 5: 设矩阵 f( x) 函数在矩阵的谱上有定义, 如果存在多项式 gx ( ) 且满足则定义矩阵函数为 f C n n ( ) g ( λ) ( k) λ ( k) d d d 1 m λ λ λ λ λ λ λ r ( ) ( ) 1( ) L ( ) r, 1,, L, r; k 1,, L, d 1 f( ) g( ) 如何求矩阵函数? 矩阵函数的 Jordan 表示, 多项式表示与幂级数表示? 的最小多项式为

20 C n n J P 为其相似变换矩阵且使得 PJP 1 如果函数 f( x) 在矩阵的谱上有定义, 那么定理 : 设, 为矩阵的 Jordan 标准形, 其中 f( ) Pf( J) P 1 Pdag( f ( J ), f ( J ), L, f ( J )) P ( d 1) f( λ) f ( λ) f ( λ) L L f ( λ)! ( d 1)! f ( λ ) O O O M O O M f( J ) 1 O f ( λ )! f ( λ ) f ( λ ) 我们称此表达式为矩阵函数 f( ) r 1 d d 的 Jordan 表示

21 例 6 : 设求 f( ) 的 Jordan 表示并计算 e, e,sn 解 : 首先求出其 Jordan 标准形矩阵 J 与相似变换矩阵从而 J P f( ) 的 Jordan 表示为 P t

22 f ( ) Pf ( J ) P 1 1 f (1) f(1) f (1) f (1) f(1) f (1) f (1) 6 f (1) f (1) f(1) f (1) 3 f (1) f (1) f (1) f(1) + 3 f (1) 当从而有 f( x) e x 时, 可得 f(1) e, f (1) e

23 当 f x 于是有 ( ) e e 6e e e 0 3e e e 4e e tx 时, 可得 t f(1) e, f (1) te t t t t (1 te ) te 6te e t te t te (1 t) e t te 3te t (1+ 3 t) e t t t

24 当 f( x) snx 时, 可得 f(1) sn1, f (1) cos1 同样可得 sn1 cos1 cos1 6Cos1 sn cos1 sn1 cos1 3cos1 cos1 cos1 sn1+ 3cos1

25 例 7 : 设求 f( ) 的 Jordan 表示并计算 e t, sn π,cosπ 解 : 首先求出其 Jordan 标准形矩阵似变换矩阵 J P P J 与相

26 从而 f ( ) Pf ( J ) P f ( 1) f( 1) f ( 1) f ( 1) 1 0 f( 1) + 4 f ( 1) 0 8 f ( 1) 3 f ( 1) f( 1) 6 f ( 1) 当 f( ) 的 Jordan 表示为 f( x) f ( 1) 0 f( 1) 4 f ( 1) tx e t 时, 可得 f(1) e, f (1) te t

27 于是有当 f( x) t t t e + 4te 0 8te t t t t e 3te e 6te t t te 0 4te snπ x 时, 可得 f( 1) 0, f ( 1) π 故 4π 0 8π snπ 3π 0 6π π 0 4π 类似可求得 π 0 4π π cos 3π 0 3π π 0 π

28 矩阵函数的多项式表示定理 3: 设函数与函数在矩阵的谱上都有定义, 那么 f( ) g( ) 的充分必要条件是 f( x ) 与 gx ( ) 在的谱上的值完全相同设矩阵 C n n f( x ) gx ( ) 的最小多项式为 d d d 1 m λ λ λ λ λ λ λ r ( ) ( ) 1( ) L ( ) r 其中 λ, λ, L, λ 1 r 为矩阵的个互异特征值且 r d 1( 1, L, r), d m r 1

29 如何寻找多项式使得与所求的矩阵函数完全相同? 根据计算方法中的 Hermte 插值多项式定理可知, 在众多的多项式中有一个次数为 m 1 次的多项式且满足条件 f( ) px ( ) p ( ) m 1 m m 1 m 1 0 px ( ) a x + a x + L + ax+ a p ( k) λ f ( k) ( ) ( λ), 1,, L, r; k 1,, L, d 1

30 这样, 多项式中的系数关系式确定出来则我们称为矩阵函数 m 1 m m 1 m 1 0 px ( ) a x + a x + L + ax+ a p a a a a,,,, m 1 m L 1 0 ( k) λ f ( k) ( ) ( λ) 的多项式表示完全可以通过, 1,, L, r; k 1,, L, d 1 m 1 m m 1 m 1 0 f( ) a + a + L + a + a I f( )

31 例 8 : 设求 f( ) 的多项式表示并且计算 e t s π π, n,cos 4 4 解 : 容易观察出该矩阵的最小多项式为 mx ( ) ( x 1)( x )( x 3)

32 这是一个 3 次多项式, 从而存在一个次数为的多项式且满足 1 0 px ( ) ax + ax+ a p(1) f(1), p() f(), p(3) f(3) 于是可得 f(1) a + a + a 1 0 f() 4a + a + a 1 0 f(3) 9a + 3a + a 1 0

33 解得 a f(3) 3 f() + 3 f(1) 0 1 a (3 f (3) 8 f () + 5 f (1)) 1 1 a ( f (3) f () + f (1)) 所以其多项式表示为 f (1) 0 0 ( ) f a + a + a I 0 f() f (3)

34 当 f( x) e tx 时, 可得 t t 3 t f(1) e, f() e, f(3) e 于是有 e t 0 0 e t 0 e t e 3t 当 f ( x) snπ x 4 时, 可得 f(1), f() 1, f(3)

35 故有类似地有 0 0 snπ cosπ

36 例 9 : 设求 f( ) 0 0 的多项式表示并且计算 e t, sn π,cosπ 4 解 : 容易观察出该矩阵的最小多项式为 mx ( ) ( x 1)( x ) 这是一个 3 次多项式, 从而存在一个次数为

37 的多项式且满足 1 0 px ( ) ax + ax+ a p(1) f(1), p() f(), p() f () 于是有 f(1) a + a + a 1 0 f() 4a + a + a f () 4a + a 1 0 1

38 解得 0 1 a f () 3 f() + 4 f(1) a 3 f () + 4 f() 4 f(1) a f () f() + f(1) 所以其多项式表示为 f (1) 0 0 ( ) 0 () f a + a + a I f f () f ()

39 当 f( x) e tx 时, 可得 t t t f(1) e, f() e, f () te 于是有 e t 0 0 e 0 e te t t t 0 0 e t 当 f( x) snπ x 时, 可得 f(1) 0, f() 0, f () π

40 故有类似地有 snπ 0 0 π cosπ 0 0 π

41 例 10 : 设求 f( ) 的多项式表示并且计算 e t s π π, n,cos 解 : 容易观察出该矩阵的最小多项式为 mx ( ) ( x 1)( x ) 这是一个次多项式, 从而存在一个次数为 1 的多项式

42 且满足 px ( ) ax+ a 1 0 p(1) f(1), p() f() 于是有 f(1) a + a 1 0 解得 f() a + a 1 0 a f() + f(1) 0 a f() f(1) 1

43 所以其多项式表示为当 f( ) a + a I 1 0 f(1) f() 0 f() f(1) 0 f (1) 0 f() f(1) 0 f() f(1) f( x) e tx 时, 可得 t f(1) e, f() e t 从而可得 e t t t t t e e 0 e e t 0 e 0 t t t t e e 0 e e

44 当 f ( x) snπ x 时, 可得 f (1) 1, f() 0 故有同样可以得到 0 snπ cosπ

45 练习 : 设求 f( ) 的多项式表示并且计算 e t, sn π,cosπ 4

46 矩阵函数的幂级数表示 C n n f( x) 定义 6: 设, 一元函数能够展开成关于 x 的幂级数 f( x) ck x k 0 并且该幂级数地收敛半径为 R 当矩阵的谱半径 ρ ( ) < R 时, 我们将收敛矩阵幂级数的和 k cx k k 0 定义为矩阵函数, 一般记为 f( ), 即 k f( ) ck k 0 k

47 因为当 x <+ 时, 有 1 1 e x 1+ x+ x + L + x n + L! n! 1 1 sn x x x + x 3! 5! ( 1) 1 ( n + 1)! 3 5 n n+ 1 L + x cosx 1 x + x! 4! ( 1) 1 ( n )! 4 n n L + x + L L

48 当 x < 1 时, 有 (1 x) 1 1 x x x 3 ( 1) n x n + + L + + L 当 1< x 1 时, 有 1 1 ln(1 + x) x x + x L + ( 1) n x n+ 1 + L n + 1

49 n n 所以对于任意的矩阵, 当 ρ ( ) < C R 时, 我们有 1 1 e I L + n + L! n! sn ! 5! L + ( 1) n n+ 1 + L ( n + 1)!

50 cos 1 1 I +! 4! 4 1 L + ( 1) n n + L ( n )! ( I ) 1 I 3 ( 1) n n L ln( I + ) L 1 + ( 1) n + 1 n + L n L

51 由此可以得到一些简单的推论 : (1) () e O n n I n n ee e e I (3) e cos + sn, 1 (4) 1 cos ( e + e ) (5) 1 sn ( e e ) (6) sn( ) sn (7) cos( ) cos (8) sn + cos 1

52 矩阵指数函数与矩阵三角函数这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质, 即 (1) e t () sn (3) cos k 0 1 t k! ( 1) t t (k + 1)! t k 0 k 0 k k k k ( 1) t ( k)! k k k+ 1 k+ 1

53 定理 4: 设时, 我们有 n n B, C, 那么当 B B (1) + B B B e e e e e () sn( + B) sn cos B+ cos sn (3) sn sn cos (4) cos( + B) cos cos B sn sn B (5) cos cos sn

54 证明 : 首先证明第一个等式 ee I 1 1! n! 1 1! n! I + + B 1 +! + B + B + B B n ( L + + L ) n ( I L + + L ) ( ) ( ) 1 ( B B B ) L L 3! I + ( + B) + ( + B) + ( + B) + L L! 3! B e +

55 现在证明第二个等式 1 ( + B) ( + B) sn( + B) ( e e ) 1 ( B B e e e e ) 1 1 B B ( e e ) ( e + e ) 1 1 B B + ( e + e ) ( e e ) sn cos B+ cos sn B 同样可以证明其余的结论 B 注意 : 这里矩阵与的交换性条件是必不可少的

56 例 11: 设那么容易计算 , B 并且 3 L, B B B 3 L 0 + B 0 0 于是有 k k 1 ( + B) ( + B), k 1

57 故有显然 1 e e e I + ( e 1) 0 1 e e 1 B e I + ( e 1) B 0 1 B ee B ee e ( e 1) 0 1 e ( e 1) B 1 e 0 e I + ( e 1)( + B ) 0 1 ee B, ee B, e + B 三者互不相等

58 另外, 关于矩阵的指数函数与三角函数还有下面几个特殊性质 d (1) ( e t ) e t e t dt () e k e k gtr ( ) (3) d (sn t) (cos t) (cos t) dt (4) d (cos t) (sn t) (sn t) dt

59 例 1 : 设是一个 Hermte 矩阵, 那么是一个酉矩阵 e 证明 : 由矩阵指数函数公式可得 e cos + sn H e ( e ) (cos + sn ) H [(cos ) (sn ) ] (cos + sn )(cos sn ) H I

60 例 13 : 设是一个实的反对称矩阵 ( 或反 - H 阵 ), 那么为一个正交矩阵 ( 或酉矩阵 ) 证明 : 设为一个实的反对称矩阵, 那么由矩阵指数函数的幂级数表示可得 e 1 1 e I L + n + L! n!

61 1 1 1 e ( e ) T ( I L + n + L )! 3! n! ( I + 3 L + ( 1) n n + L )! 3! n! O ee e n n I 同样可以证明当一个酉矩阵为一个反 H- 矩阵时, e 为

矩阵论第三章：矩阵分析

矩阵论第三章：矩阵分析矩阵论第三章 : 矩阵分析马锦华数据科学与计算机学院中山大学第三章 : 矩阵分析 3.1 矩阵序列 3.2 矩阵级数 3.3 矩阵函数 3.4 矩阵的微分与积分 3.5 矩阵分析应用举例 2 矩阵序列定义 3.1: 设有中的矩阵序列其中若 m n C lim a a i 1, 2,, m; j 1, 2,, n, ij ij, 收敛于记为或 a ij mn 不收敛的矩阵序列称为发散.,