数字信号处理第五章04 IIR数字滤波器-脉冲响应不变变换法.ppt [兼容模式]

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宾俵艾
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1 数字信号处理周治国

2 第五章数字滤波器 IIR 数字滤波器脉冲响应不变变换法

3 1 从模拟低通滤波器设计数字低通滤波器 (1) 脉冲 / 阶跃响应不变法 (2) 双线性变换法一从模拟滤波器设计数字滤波器 2 IIR 数字低通滤波器的频率变换 ( 高通带通带阻数字滤波器的设计 (1) 直接由模拟原型到各种类型数字滤波器的转换 (2) 从数字低通滤波器到各种类型数字滤波器的转换 IIR 数字滤波器设计二直接设计 IIR 数字滤波器 1 IIR 数字低通滤波器的频域直接设计方法 2 IIR 数字低通滤波器的时域直接设计方法 (1) 零极点位置累试法 ( 点阻滤波器 ) (2) 幅度平方函数法 (1) 帕德逼近法 (2) 波形形成滤波器设计三 IIR 数字滤波器的优化设计方法 1 最小均方误差方法 2 最小 p 误差方法 3 最小平方逆设计法 4 线性规划设计方法

4 模拟原型滤波器数字化设计方法原理 (Prnple) 首先按一定指标设计出满足要求的模拟原型滤波器, 再将其通过某种方式数字化转换方法 (Converson methods) 将微分方程转换为差分方程脉冲响应不变变换法双线性变换法匹配 Z 变换要求 (Requrement) 1 s- 平面的左半平面应映射至 z- 平面的单位圆内, 即系统稳定性要在转换中能够保持 ; 2 保形要求 ( 频率选择能力 )

5 1 从模拟低通滤波器设计数字低通滤波器 (1) 脉冲 / 阶跃响应不变法 (2) 双线性变换法一从模拟滤波器设计数字滤波器 2 IIR 数字低通滤波器的频率变换 ( 高通带通带阻数字滤波器的设计 (1) 直接由模拟原型到各种类型数字滤波器的转换 (2) 从数字低通滤波器到各种类型数字滤波器的转换 IIR 数字滤波器设计二直接设计 IIR 数字滤波器 1 IIR 数字低通滤波器的频域直接设计方法 2 IIR 数字低通滤波器的时域直接设计方法 (1) 零极点位置累试法 ( 点阻滤波器 ) (2) 幅度平方函数法 (1) 帕德逼近法 (2) 波形形成滤波器设计三 IIR 数字滤波器的优化设计方法 1 最小均方误差方法 2 最小 p 误差方法 3 最小平方逆设计法 4 线性规划设计方法

6 脉冲响应不变法 -- 变换原理 h (t) H () t W h(n)=h (n) H()--H(e jw ) n W 2/ h 1 (n)=h (n 1 ) H 1 ( 1 ) --H(e jw1 ) n W 2/ 1 me domn Frequeny domn

7 脉冲响应不变法 -- 变换原理 h (t) ) h () t h () t hn ( ) Hz ( ) hnz ( )? H () s Hˆ () s Hz ( ) n n ) h () t h(n)=h (n) t n n ) ) H s Lh t h n e sn () () ( ) n ) n ( ) () ( ) () 1 1 s lnz n s ln z Hz H s hnz H s ) 1 2 H () s H s j m H () s m 1 j 2 He ( ) Hz ( ) j H j j m H ze m j 1 1 He ( ) H j H j 结论 : 由 H (s) 和 H(z) 之间不是单值映射频率变换坐标是线性的

8 脉冲响应不变法模拟滤波器数字化 H () s N s A s 1 N N st h () t Ae ut () hn ( ) h ( n) Ae un ( ) 1 1 N N 1 n n s s n n n n 1 1 n0 N s 1 N Hz ( ) hnz ( ) A( e ) z un ( ) A e z A N 1 s z e N 1 ( e z ) lm s 1 1 e z A 1 1 e s 并联, 部分分式 z 1 A A Az ss e z z e s 1 s 1 sn 此处把课本 (5-23) 和 (5-43)(5-46) 统一起来

9 1 增益过高 ( -1 ) 优缺点 He j 1 1 ( ) H j H j -1 H(e jω ) H (j) hn ( ) h ( n) Hz ( ) N 1 1s s 1 j He ( ) H j j m m A 2 j He ( ) H j, z

10 2 混叠效应 H (j) -/ / H ˆ( j) -/ / - j He ( ) 阻带性能降低

11 IIR 滤波器设计 1 课本 P194 如果所要设计的数字低通滤波器满足下列条件 : () 在 ω 0.2π的通带范围内幅度变化不大于 1 db, (b) 在 0.3 π ω π的阻带范围内幅度衰减不小于 15 db, 试用脉冲响应不变变换法, 设计相应的数字巴特沃斯低通滤波器, (1) 确定滤波器的阶数 N (2) 确定滤波器的系统函数 H( z) j (3) 确定滤波器的频率响应 He ( ω ) (4) 给出滤波器的任意一种结构实现形式

12 解 :(1) 由已知条件列出对模拟滤波器的衰减要求 20lg H( jωp) 1dB 20lg H( jωs) 15dB jω ω He ( ) = H( j ) = H( jω), ω π ω =Ω, = 1 ωp ωs Ω p = = 0.2 π, Ω s = = 0.3 π, 20lg H( j0.2 π) 1dB 20lg H( j0.3 π) 15dB A ( Ω ) = H( jω ) = 2N Ω 1+ Ω Ω 20lg H( jω ) = 10lg 1+ Ω 2 N 0.2π 10lg 1+ 1dB Ω 2N 0.3π 10lg 1+ 15dB Ω 2 N 2 N 0.2π = 10 ( ) Ω 取等号 2N 0.3π = 10 ( b) Ω 解出 : N = 5.89, Ω = 取 N = 6 代入 ( ), Ω = 代入 ( b), Ω =

13 (2) 由巴特沃斯滤波器极点公式得到 1 2k 1 jπ[ + ] 2 2N s =Ω e, k = 1,2, L, N k s = 0.18± j0.70; s = 0.50± j0.50; s = 0.70± j0.18 1,2 3,4 5,6 K H() s = ; K = 0.12 ( H () 1) s = s= 0 ( s s+ 0.49)( s s+ 0.49)( s s+ 0.49) 或直接由表 5-1 H H () s = s 展成部分分式 6 5 Ω s s s s Ω s Ω Ω Ω Ω +Ω A B C D () s = s ( j0.70) s ( 0.18 j0.70) s ( j0.50) s ( 0.50 j0.50) E F + + s ( 0.70 j0.18) s ( 0.70 j0.18) + 解得 : A= ; B = ; C = ; D = ; E = ; F = 1 s s 1 z = e z z e 由 s 1 1 H( z) = s

14 IIR 滤波器设计 2-- 往年真题如果所要设计的数字低通滤波器满足下列条件 : () 在 ω π /8的通带范围内幅度变化不大于 3 db, (b) 在 π /2 ω π的阻带范围内幅度衰减不小于 20 db, 试用脉冲响应不变变换法, 设计相应的数字巴特沃斯低通滤波器, (1) 确定滤波器的阶数 N (2) 确定滤波器的系统函数 H( z) j (3) 确定滤波器的频率响应 He ( ω ) (4) 给出滤波器的直接 I型结构实现形式 03A(05-06)

15 提示 : (1) 所有小数均计算到小数点后两位 (2) 假设取样间隔 = 1 (3) 双线性变换的频率变换关系为 : Ω= 2 tg( ω 2) (4) 模拟巴特沃斯低通滤波器 H () s 的极点为 : jπ[1 2 + (2k 1)/(2 N)] sk e, k 1,2,, N (4) 模拟巴特沃斯低通滤波器平方函数为 : A =Ω = ( Ω ) = 1[1 + ( ΩΩ) ] 2 2N L

16 解 :(1) 由已知条件列出对模拟滤波器的衰减要求 20lg H( jω) 3dB 20lg H( jωs) 20dB jω ω He ( ) = H( j ) = H( jω), ω =Ω, = 1 ω π ωs π Ω = =, Ω s = = 8 2 π 20lg H( j ) 3dB 8 π 20lg H( j ) 20dB 2 ( Ω ) = ( 2 Ω ) = 1 Ω 1+ Ω 2 A H j 2N Ω 20lg H ( jω ) = 10lg 1+ Ω 2 N π /8 10lg 1+ 3dB Ω 2 N π /2 10lg 1+ 20dB Ω 2 N π /8 + = Ω 取等号 2N π /2 + = Ω Ω = π /8= ( ) b ( ) 解出 : N = 1.66, 取 N = 2 2 N

17 (2) 由巴特沃斯滤波器极点公式得到 1,2 1 2k 1 jπ [ + ] 2 2N s =Ω e, k = 1,2 k 3 π jπ 4 s1 = e 8 = 0.39( j0.707) 5 jπ π 4 s2 = e 8 = 0.39( j0.707) s = 0.28( 1 ± j) 由表 5-1 H () s = s s (3) 展成部分分式 0.15 H() s = 2 s s A B = + s ( j0.28) s ( 0.28 j0.28) A= 0.28 j 解得 B = 0.28 j 0.28j 0.28 j H() s = + s ( j0.28) s ( 0.28 j0.28) 由 1 1 = 1 s k 1 s k s sk e z z e 0.28j 0.28 j H( z) = + 1 e z 1 e z ( j0.28) 1 ( 0.28 j0.28) 1 此处修订了符号错误把课本 (5-23) 和 (5-43)(5-46) 统一起来 z

18 0.28j 0.28 j H( z) = + ( j0.28) 1 ( 0.28 j0.28) 1 1 e z 1 e z ( 0.28 j0.28) 1 ( j0.28) j(1 e z ) j(1 e z ) = 1 ( e + e ) z + e e z ( 0.28 j0.28) ( j0.28) 1 ( j0.28) ( 0.28 j0.28) j0.28 j je ( e e ) z = j j 1 e ( e + e ) z + e z je g( 2 j)sn(0.28) g z = 1 e g2os(0.28) g z + e z gjg0.76 g( 2 j)0.77 g z = g20.64 g z z z = z z 此处修订了符号错误把课本 (5-23) 和 (5-43)(5-46) 统一起来

19 1 0.33z H( z) = z z 1 2 (5) 频率响应 He jω ( ) = H ( z ) j ω (6) 滤波器结构直接 I, II z= e x(n) z -1 z -1 z y(n)

数字带通带阻高通滤波器的设计把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器

数字带通带阻高通滤波器的设计把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器数字带通带阻高通滤波器的设计把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) H ( j) 3 3 3 模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) 模拟低通

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