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讨毅孟
5 years ago
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1 平稳过程的功率谱密度在无线电通信技术等领域的一些问题中, 通常需要分析平稳过程的频域结构. 为此引入平稳过程的功率谱密度随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

2 定义设 ={ t, - <t<+ } 是平稳过程, 记 S 1 T j t ( ) lim E t T e ω ω = T dt + T 则称为平稳过程的简称 S ( ω) 功率谱密度谱密度.. 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

3 预备知识信号通常有能量型和功率型能量型信号总能量有限的信号设能量型信号 x(t) 在 (-,+ ) 上绝对可积, 则 x(t) 的 Fouier 变换存在, 或说 x(t) 存在频谱, 即随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

4 + jωt Fx ( ω) = x() t e dt, 逆变换 + 1 jωt xt () = Fx ( ω) e dω π jωt x () t dt = x()[ t Fx ( ω) e dω] dt π 则有 1 π + + = x 1 = π + jωt [ F ( ω) x() t e dt] dω Fx ( ω) 上式称为 Parseval等式, 即 dω 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

5 + 1 + x () t dt = Fx ( ω) dω π 左边为 xt () 在 (-,+ ) 上的总能量右边的被积式 F ( ) () x 称为信号 xt的能谱密度. ω 即信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分. 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

6 对总能量无限的信号功率型信号 x(t), 转为讨论其平均功率 : 1 T lim x ( t) dt T T T 为信号在 xt () (-,+ 上的平均功率 ). 相应的是否也有一个能计算平均功率的谱密度? 为此构造一个截尾函数 : 令 x T () t xt () t T = 0 t > T 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

7 则 x () t 绝对可积, 存在 Fourier变换及逆变换 T jωt Fx ( ω, T ) = e xt ( td ) t = T + T 得截尾函数的等式 Parseval e jωt xtd () t + T xt () t dt = x () t dt T 1 + = Fx ( ω, T) dω π 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

8 则平均功率 1 T 1 + lim x( td ) t = lim Fx ( ω, T) dω + T T T + 4πT T lim π T + T = T T e jωt x() t dt dω 记 () 1 T j t lim ( ) e ω S ω = x t dt x T + T T 称 S() ω为 (t) x的功率谱密度. x 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

9 定义设 ={ t, - <t<+ } 是平稳过程, 记 S 1 T j t ( ) lim E t T e ω ω = T dt + T 则称为平稳过程的简称 S ( ω) 功率谱密度谱密度.. 又称 1 T lim E[ t dt] T + T T 为平稳过的程平均功率. 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

10 定理设平稳过程 ={ t - <t<+ } 的相关函数 R (τ) 绝对可积, 则有 S + jωt ( ω) = e R ( τ ) dt 证明因为 1 E T T e jωt T dt t = 1 T T E[ j s j t e sds e tdt ] T ω ω T T = 1 T T E[ j ( t s) s t ] T e ω dsdt T T 1 T T j ( t s) ( ) e ω = T R t s dsdt T T 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

11 1 = T T T T T e jω ( t s) R ( t s ) dsdt T T jwu u e (1 ) R ( u) du T = = + jwu T e R ( u) du 令令 R T 1 u = t s s = ( v u), 则 v = t + s t = ( v + u) 1 ( st,) ( uv, ) 1 1 J = = = u ( 1 ) R (u) u T (u) = T, u > T 0 T 令, T 注意到有 : 得 lim R (u) = R (u) T 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

12 S 1 T j t ( ) lim E t T e ω ω = T dt + T jwu T = lim e R ( u) du T + = + jwu e R ( u) du 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

13 由定理知道若平稳过程 ={ t - <t<+ } 的相关函数 R (τ) 绝对可积, 则有 S R jωτ ω = e R ( τ ) dτ, < ω < + ( ) jωτ ( τ) = e S( ω) dω, < τ < + π 上式表明相关函数和谱密度是一对傅里叶变换对. 上两式也称为维纳 - 辛钦公式. 傅里叶变换实现了时域与频域的转换. 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

14 谱密度的性质平稳过程的谱密度有以下性质 : (1) 谱密度是非负实函数. 1 T S j t ( ) lim E t. T e ω 由易知结论成立 ω = T dt + T () 实平稳过程的谱密度是非负实偶函数. 事实上, 对实平稳过程, 有 R ( τ) = R ( τ) jωτ S() ω = e R ( τ) dτ = + + e jωτ R = S(- ω) ( τ ) dτ = + j( ωτ ) e R S( -) ω = S( ω) ( τ ) dτ 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

15 + (3) S()= 0 R( τ) dτ 说明谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积. 1 + R(0) = S( ω) dω π 1 T 平均功率即 lim E t dt = R(0) T + T T 说明平均功率可以用谱密度曲线下的总面积来计算. 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

16 谱密度的计算以维纳 - 辛钦公式为基本公式, 并结合 Fourier 变换的性质等进行相关的计算. Fourier 变换的性质线性性质位移性质 F [ α f () t + β f ()] t = αf [ f ()] t + βf [ f ()] t F 1 1 ± = ± jωt0 [ f( t t )] e [ f( t)] 0 F 微分性质 F ( ) [ n n f ( t)] = ( jω) F [ f( t)] 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

17 例设平稳过程 ={ t, t 0} 的相关函数为试计算的谱密度. R e µτ 解谱密度 S( ω) = ( τ) =, τ (, + ) + jωτ e R ( τ) dτ + = e e jωτ µτ dτ + µτ cos( ωτ )e d 0 = 4µ =, ω (, + ) 4µ + ω 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋 τ

18 例 5.4. 设 ={ t, - <t<+ } 为零均值的实的正交增量过程, 且满足 E[ - ] =, t s t s 令 = -, t (, + ) t t t 1 验证 Y={Y t, - <t<+ } 为平稳过程, 并计算 Y 的谱密度. 证明 m Y ( t) = E[t- t 1]=0, RY( tt, + τ ) = E[(t- t 1)(t+ τ- t+ τ 1)] E[(t- t+ τ 1)], 0 τ 1 = E[(t+ τ - t 1)], 1 < τ < 0 0, τ > 1 1 τ, 0 τ 1 = 1 + τ, 1< τ < 0 0, τ > 1 Y 1 τ, τ 1 =, 0, τ > 1 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

19 所以谱密度 S( ω) = Y jωτ e R ( τ) dτ jωτ = e (1 τ ) dτ 1 = (1 τ ) cos ( ωτ ) dτ 0 Y (1 cos ω) =, ω (, + ) ω 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

20 例设平稳过程的功率谱密度为 ω S ( ω) = 4 ω + 3ω + 计算的平均功率. 解利用维纳辛钦公式得 - : 1 + jω 0 R(0) = e S( ω) dω π 1 + ω = 4 3 d ω π ω + ω = ( ) dω = ( 1). π ω + ω + 1 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

21 例已知平稳过程的功率谱密度为 S 计算相关函数. ω + ( ω) = 4 ω + 5ω + 1 解 1 + jωτ R( τ) = e S( ω) dω π = 1 + jωτ ω + e π ( ω + 4)( ω + 1) dω ( 利用留数定理 ) 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

22 ω + ω + jωτ = j[res( e, j) + Res( e, j)] 1 jωτ π π ( ω + 4)( ω + 1) ( ω + 4)( ω + 1) ( 1 τ = j e j 6 j e τ ) 1 τ τ ( ) = 6 e + e ω + ω + 1 其中, Res( e, j) = lim( ω j) e = e ( ω + 4)( ω + 1) ω j ( ω + 4)( ω + 1) 6 j jωτ jωτ τ ω + jωτ ω + jωτ 1 τ e j = ( ω j) e = e ( ω + 4)( ω + 1) ω j ( ω + 4)( ω + 1) 6 Res(, ) lim j 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

23 在工程实际中, 常用到函数的傅里叶变换和逆变换 δ - + e jωτ δ ( τ) dτ = e jωτ dω = δτ ( ) π + 1e jωτ dτ = πδ ( ω) 1 + e jωτ πδ ( ω) dω = 1 π 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

24 例已知平稳过程的相关函数解 R 求其谱密度. 3 ( τ) = e τ (cos τ) R e e S 3τ 3τ ( τ) = cos 4 τ) ( ω) = F [ R ( τ)] = + + 3τ 3τ 5 F[ [1] F [ e ] F [ e co s 4 τ ] 1 = 10 πδ ( ω) + + [ ] 9 + ω 9 + ( ω 4) 9 + ( ω+ 4) 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

25 平稳序列谱密度的相应概念和结论设平稳序列 ={ n, n=0, ±1, } 的相关函数 R 则以下级数收敛, + m= + R ( m) < + jωm S( ω) = e R( m), π ω + π m= 称 S() ω为平稳序列的谱密度. 且也有反变换 : ( m) 绝对收敛, 即 1 + π jωm R( m) = e S( ω) dω, m= 0, ± 1, ±, π π 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

26 例设 ={ n, n=0, ±1, } 为纯随机序列, 即有 E[ n] = 0, E[m n]= σδmn, nm, = 0, ± 1, { c, n= 0, ± 1, } 为一复数序列, 且, 令 c < +, c < + n n n n= n= Y= n + c =l.i.m k n k k n k M + k= N k= M 验证序列 Y={Y n, n=0, ±1, } 为平稳序列, 并计算其谱密度. N c 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

27 + 证明 m( n) = E c ] = c E[ ] = 0 [ Y k n k k = R ( n, n+ m) =E[ YY + ] Y n n m + + k = 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋 + E [ c c ] = k n k l n+ m l k=- l=- + = + =- k= l + = + E [ ( c ) c ] k=- l=- k n k cce[ ] k l n k n+ m l + σ cc k k+ m RY k=- = = k n k l n+ m l ( m) Y为平稳序列.

28 又 σ RY ( m) = σ m= m= k=- + + m= k=- + + = σ k=- l= cc c k c k k+ m c k k+ m c l 令 k+ m= l + + = σ ( ck ) k = l= c + = σ( ck )< + k = l 所以存在谱密度 Y. 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

29 Y的谱密度 + jωm S() Y ω = e RY( m) m= = = + + jωl jωk c() l k = l=- = σ + + k=- l=- e e c jωk = σ ( e ck) e jωl R m σ cc Y = + + ( ( ) ) k k m 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋 c l k 令 k=- + j m e ω + [ σ cc ] k k+ m m= k=- + + jωm σ [ e cc ] k k+ m m= k=-k+ m= l 代入 + c e jωk k k = = σ π ω π

30 互谱密度及其性质设 ={ t, - <t<+ }, Y={Y t, - <t<+ } 是联合平稳的平稳过程, 则和 Y 的互功率谱密度 ( 简称互谱密度 ) 为其中 1 SY ( ω) = lim E[ F ( ω, T) FY ( ω, T)] T + T T jωt jωt F( ω, T) = e tdt, FY( ω, T) = e Ytdt T T T 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

31 互谱密度的性质 (1) 联合平稳的平稳过程 ={ t, - <t<+ } 和 Y={Y t, - <t<+ } 的互相关函数绝对可积 : + RY ( τ) dτ < + jωτ 则 S ω = e R ( τ) dτ, < ω < + ( ) Y + Y 1 + jωτ RY ( τ) = e SY ( ω) dω, < τ < + π 即和是一对变换对 R ( τ) S ( ω) Fourier. Y Y 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

32 () S ( ω) = S ( ω) Y Y ( R ( τ) = R ( τ) ) Y Y (3) 若和 Y 是实联合平稳的平稳过程, 则 S Y (ω) 的实部为偶函数, 虚部为奇函数. + jωτ 由 () SY ω = e RY ( τ) dτ + + = RY ( τ )co s ωτdτ j RY ( τ )sinωτdτ ( ω的偶函数 ) ( ω的奇函数 ) 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

33 ) SY( ) S( ) SY( ), SY( ) S( SY (4 ω ω ω ω ω) ( ω) 因为 1 Y = Y T + S ( ω) lim EF [ ( ω, T) F( ω, T)] T 1 lim E[ F (, ) ] E[ (, ) ] ω T FY ω T + 4T T 1 1 = lim E[ F( ω, T) ] lim E[ FY( ω, T) ] T + T T + T = S ( ω) S ( ω) Y 同理证明另一个. 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

34 例设 ={ t, - <t<+ }, Y={Y t, - <t<+ } 是联合平稳的平稳过程, 和 Y 的谱密度与互谱密度分别为 S (ω), S Y (ω),s Y (ω). 令 Z t = t +Y t, - <t<+ 试求 Z={Z t, - <t<+ } 的谱密度. 解 m () t = m + m Z Y Z + τ = t t+ R (, tt ) EZZ [ τ ] = R ( τ) + R ( τ) + R ( τ) + R ( τ) Y Y Y Z为平稳过程. 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

35 S ( ω) = F [ R ( τ) ] + F [ R ( τ) ] + F [ R ( τ) ] + F [ R ( τ) ] Z Y Y Y = S ( ω) + S ( ω) + S ( ω) + S ( ω) Y Y Y = S ( ω) + S ( ω) + S ( ω) + S ( ω) Y Y Y = S ( ω) + S ( ω) + R e( S ( ω) ) Y Y 随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋

第9章排队论

第9章排队论 9, 9. 9.. Nt () [, t] t Nt () { Nt ( ) t [, T]} t< t< t< t + N ( ( t+ ) i+ N( t) i, N( t) i,, N( t) i N + + N ( ( t ) i ( t ) i ) (9-) { Nt ( ) t [, T)} 9- t t + t, t,, t t t { Nt ( ) t [, T] } t< t,,