第 5 期方彩云 : 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 17 H.X.Yi [3~5],P.Li,C.C.Yang [6],G.Frank 和 M.Reinders [7] 讨论了亚纯函数的情况, 证明了定理 B 存在一个集合 S,#S=11, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条

Size: px

Start display at page:

Download "第 5 期方彩云 : 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 17 H.X.Yi [3~5],P.Li,C.C.Yang [6],G.Frank 和 M.Reinders [7] 讨论了亚纯函数的情况, 证明了定理 B 存在一个集合 S,#S=11, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条"

唐汲
5 years ago
Views:

1 东南大学学报 ( 自然科学版 ) JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY(NaturalScienceEdition) 第 31 卷第 5 期 Vol 31 No 年 9 月 Sept.2001 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性方彩云 ( 南京师范大学数学系, 南京 ) 摘要 : 应用值分布理论研究了涉及极点重数的亚纯函数的唯一性问题. 得到了下述结论 :1 设,n >9+ 7 是 2 个正整数, 则存在一个集合 S,#S=n, 对于任意一对非常数亚纯函数 f(z) 与 g(z), 如果 f(z) 与 g(z) 的极点重数至少是, 且满足条件珔 E 珔 E(S,g), 则 f g;2 设 k 3,,n ( >6+ ) 是 3 个正整数, 则存在一个集合 S,#S=n, 对于任意一对非常数亚纯函数 f(z) 与 g(z), 如果 f(z) 与 g(z) 的极点重数至少是, 且满足条件 E k E k 上述结论推广并改进了 H.X.Yi,M.L.Fang 和 H.Guo 等人的一些已知结果. 关键词 : 亚纯函数 ; 重数 ; 唯一性中图分类号 :O17.5 文献标识码 :A 文章编号 : (2001) 引言与主要结果本文使用了 Nevanlinna 值分布论中的常用记号及基本结果 [1]. 设 f(z) 是复平面 C 上的一个非常数亚纯函数,S 是一个有穷复数集.E {zf(z)-a=0} 表示集合 S 关于 f 的原像集, 计重数 ; 而 a S 珔 E(S,f) 表示与 E(S,f) 相同的点集, 但不计重数. 令 k 是一个正整数,E k a S {z:f(z)-a=0, i, 1 i k,s.t.f (i) (z) 0} 表示 f 的 a 值点, 但是它的重数小于等于 k, 计重数. 除此之外, 还使用了下面的记号 :N k) (r,f) 表示函数 f 的重数小于等于 k 的极点的计数函数, 珚 N k) (r,f) 表示相应的计数函数, 但不计重数.N (k (r,f) 表示函数 f 的重数大于等于 k 的极点的计数函数, 珚 N (k (r,f) 表示相应的计数函数, 但不计重数,N k (r,f)= 珚 N(r,f)+ 珚 N (2 (r,f)+ + 珚 N (k (r,f). 类似的, 相对应于 f 的零点, 我们有下面的记号 : N k) r, 1 f, 珚 N k) r, 1 f,n (k r, 1 f, 珚 N (k r, 1 f,n k r, 1 f. 设 f(z) 与 g(z) 是 2 个非常数亚纯函数, 满足珔 E(1,f)= 珔 E(1,g). 珚 N L r, 1 表示 f 与 g 的公共 1 值 f-1 点的计数函数 ( 不计重数 ), 满足在公共 1 值点 f 的重数大于 g 的重数.N 11 r, 1 表示 f 与 g 的公共简 f-1 单 1 值点的计数函数. 类似的, 有记号 : 珚 N L r, 1 g-1. 用 #S 表示集合 S 的基数年,F.Gros [2] 提出下述问题 : 能否找到一个集合 S, 使得对于任意一对非常数整函数 f 与 g, 只要满足 EE(S,g), 就有 f g.199 年,H.X.Yi [3] 解决了这个问题, 证明了存在一个集合 S,#S= 15, 满足上述要求.1995 年, 他进一步证明了定理 A [] 存在一个集合 S,#S=7, 对于任意一对非常数整函数 f 与 g, 如果满足条件 EE 收稿日期 : 作者简介 : 方彩云, 女,1977 年生, 硕士研究生. 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( ) 和江苏省教育厅高等学校自然科学基金资助项目 (OOKJB11000).

2 第 5 期方彩云 : 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 17 H.X.Yi [3~5],P.Li,C.C.Yang [6],G.Frank 和 M.Reinders [7] 讨论了亚纯函数的情况, 证明了定理 B 存在一个集合 S,#S=11, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条件 EE H.X.Yi [5] 讨论了亚纯函数不计重数的情况, 证明了存在一个集合 S,#S=19, 满足上述要求.M.L. Fang,H.Guo [8] 和 S.Bartels [9] 改进了他的结果, 证明了定理 C 存在一个集合 S,#S=17, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条件珔 E 珔 E 1997 年,H.X.Yi [10] 改进了定理 B, 证明了定理 D 存在一个集合 S,#S=11, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条件 E 3 (S,f) =E 3 定理 E 存在一个集合 S,#S=12, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条件 E 2 E 2 定理 F 存在一个集合 S,#S=15, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条件 E 1 E 1 本文考虑涉及亚纯函数极点重数的唯一性问题, 推广了上述结果, 得到了定理 1 设,n >9+ 7 是 2 个正整数, 则存在一个集合 S,#S=n, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果 f 与 g 的极点重数至少是, 且满足条件珔 E 珔 E 定理 2 设 k 3,,n >6+ 是 3 个正整数, 则存在一个集合 S,#S=n, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果 f 与 g 的极点重数至少是, 且满足条件 E k E k 定理 3,n > 是 2 个正整数, 则存在一个集合 S,#S=n, 对于任意一对非常数亚纯 2 函数 f 与 g, 如果 f 与 g 的极点重数至少是, 且满足条件 E 2 E 2 定理设,n >8+ 6 是 2 个正整数, 则存在一个集合 S, #S=n, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果 f 与 g 的极点重数至少是, 且满足条件 E 1 E 1 推论 1 [10] E 2 存在一个集合 S,#S=7, 对于任意一对非常数整函数 f 与 g, 如果满足条件 E 2 注易知, 在上述结果中, 当 =1 时, 由定理 1 就得定理 C, 由定理 2,3, 就得定理 D,E,F. 由推论 1 就得定理 A. 2 引理为了定理的证明, 需要下面的引理. 引理 1 [11] 设 f(z) 是一个非常数亚纯函数,a 0,a 1,,a n 是 n+1 个有穷复数, 且 a n 0, 则 T(r,a n f n +a n-1 f n-1 + +a 1 f+a 0 )=nt(r,f)+s(r,f) 引理 2 [5,8] 设 f(z),g(z) 是 2 个非常数亚纯函数,a 是一个有穷复数, 且 a 0,1. 如果满足条件珔 E(1,f)= 珔 E(1,g), 那么下面 2 种情况必有 1 种发生 : 1) 3[T(r,f)+T(r,g)] 2[ N 2 (r,f)+n 2 (r,g)+n 2 ( r, 1 f) +N 2( r, 1 g) +N 2( r, 1 f- a) + ] N 2 r, 1 g-a +3 珚 N L r, 1 f 珚 N L r, 1 g-1 +S(r,f) +S(r,g) ( 2) f= b+ 1) g+( a-b- 1) bg+ ( a-b) a 0;a,b 是 2 个复常数. 由文献 [10] 的证明过程可得引理 3 设 f(z),g(z) 是 2 个非常数亚纯函数, 令

3 18 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 31 卷 F = (n-1)(n-2) f n - n(n-2) 2 fn-1 + n(n-1) fn-2 G = (n-1)(n-2) g n - n(n-2) 2 gn-1 + n(n-1) gn-2 H = F F -2 F F-1 -G G +2 G G-1 若 E k (1,F)= E k (1,G),H 0, 则有 (n+1) [ T(r,f)+T(r,g ) ] 2 珚 N(r,f)+2 f +2 f 珚 N(r,g)+2 g + 2 珚 N( r, 1 g-1 ) + 珚 N( r, 1 F-1) + 珚 N( r, 1 G-1) -N 11 ( r, 1 F-1) + 珚 N (k+1 r, 1 F-1 + 珚 N (k+1 r, 1 G-1 +S(r,f) +S(r,g) 由 Nevanlinna 第一基本定理及对数导数引理即得引理设 f 是一个非常数亚纯函数, 则 N r, 1 f N r, 1 f + 珚 N(r,f)+S(r,f) 引理 5 [12] 设 f(z) 和 g(z) 是 2 个非常数亚纯函数,n 6 是一个正整数, 若 (n-1)(n-2) f n -n(n-2)f n-1 + n(n-1) 2 2 fn-2 则 f g. (n-1)(n-2) g n -n(n-2)g n-1 + n(n-1) 2 2 gn-2 由文献 [8] 中的证明方法得引理 6 设 f(z) 和 g(z) 是 2 个非常数亚纯函数, 满足条件 1 f 和 g 均没有单重极点,n 7 是一个正整数 ; 或者条件 2 n 8.F,G,H 为引理 3 中给出的. 若 H 0, 则 f g. 3 定理的证明 { } 以下记 S= z: (n-1)(n-2) z n - n(n-2) 2 zn-1 + n(n-1) zn-2 = 定理 1 的证明由珔 E 珔 E(S,g) 得珔 E(1,F)= 珔 E(1,G) 由引理 1 得 T(r,F)= nt(r,f)+s(r,f), T(r,G)= nt(r,g)+s(r,g) 珚 N L r, 1 F-1 N r, 1 F-1 - F-1 N r, 1 f 由引理得珚 N L r, 1 F-1 N r, 1 f N r, 1 f + 珚 N(r,f)+S(r,f) 1+ 1 T(r,f) +S(r,f) (1) 易知 F-1?2=(f-1) 3 Q(f), 其中 Q(f) 是关于 f 的 n-3 次多项式. 则 N 2 r, 1 F-1?2 2 f- 1 +N 2 r, 1 Q(f ) (2+n-3)T(r,f)+S(r,f)= (n-1)t(r,f)+s(r,f) (2) 而 N 2 (r,f)=2 珚 N(r,f) 2 N(r,f) 2 T(r,f) +S(r,f) (3) N 2 ( r, 1 ) F 2 f +N r, 1 (n-1)(n-2)?f 2 -n(n-2)?2f+n(n-1)?

4 第 5 期方彩云 : 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 19 由式 (1)~() 得 (2+2)T(r,f)+S(r,f)=T(r,f)+S(r,f) () { } 2 N 2 (r,f)+n 2 r, 1 F +N 2 r, 1 F-1?2 +3 珚 N L r, 1 F-1 2n+9+ 7 T(r,f) +S(r,f)(5) 对函数 G 类似有 { } ( 2n+9+ 7 ) 2 N 2 (r,g)+n 2 r, 1 G +N 2 r, 1 G-1?2 +3 珚 N L r, 1 G-1 T(r,g) +S(r,g) (6) 由式 (5) (6) 及 n>9+ 7 可知, 引理 2 中的情形 1) 不可能发生. 则 F = (b+1)g+ (a-b-1) bg+(a-b) 易得 H 0. 由引理 6 得 f g. 3.2 定理 2~ 的证明而 a 0 由 E k E k (S,g), 得 E k (1,F)= E k (1,G). 当 k 3 时, 有珚 N( r, 1 ) F-1 + 珚 N (k+1 r, 1 F-1 n 2 T(r,f) +S(r,f) (7) G N 11 r, 1 G-1 + 珚 N (k+1 r, 1 G-1 n 2 T(r,g) +S(r,g) (8) 珚 N(r,f) 1 N(r,f) 1 T(r,f) (9) 珚 N(r,g) 1 N(r,g) 1 T(r,g) (10) 若 H 0, 则由引理 3 以及式 (7)~(10) 得 (n+1) [ T(r,f)+T(r,g ) ] ( n 2) [ T(r,f) +T(r,g )] +S(r,f)+S(r,g) 即和 n [ T(r,f) +T(r,g ) ] S(r,f)+S(r,g) 由上式及 n>6+, 即得 T(r,f)+T(r,g) S(r,f)+S(r,g), 矛盾. 故 H 0. 由引理 6 得 f g. 至于定理 3 和定理, 只要注意到 F 珚 N 2 (3 r, 1 F-1 F-1 类似定理 1 和定理 2 的证明, 容易得证. 本文是在陈怀惠教授和方明亮副教授的悉心指导下完成的, 作者在此表示衷心的感谢! 参考文献 1 YangL.Valuedistributiontheory.Berlin:Spring Verlag,1993.1~5 2 GrosF.Factorizationoferoorphicfunctionsandsoeopenprobles.CoplexVariables,1977,599:51~69 3 仪洪勋. 亚纯函数的唯一性和 Gros 的一个问题. 中国科学,199,2(5):57~66 YiHX.AquestionofGrosandtheuniquenesofentirefunctions.NagoyaMathJ,1995,138:169~177

5 150 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 31 卷 5 仪洪勋. 亚纯数的唯一性定理. 数学年刊,1996,17A():397~0 6 LiP,YangCC.Ontheuniquerangesetoferoorphicfunctions.ProcAerMathSoc,1996,12(1):177~185 7 FrankG,ReindersM.Auniquerangesetforeroorphicfunctionswith11eleents.CoplexVariables,1998,37:185~193 8 FangML,GuoH.Onuniquerangesetsforeroorphicorentirefunctions.ActaMatheaticaSinica,1998,1():569~576 9 BartelsS.Meroorphicfunctionssharingasetwith17eleentsignoringultiplicities.CoplexVariables,1999,39:85~92 10 YiHX.Soefutherresultsonuniquenesoferoorphicfunctions.CoplexVariables,1999,38:375~ YangCC.Ondeficienciesofdiferentialpolynoials.MathZ,1972,125(2):107~ FangML,GuoH.Oneroorphicfunctionssharingtwovalues.Analysis,1997,17():355~366 OnUniquenesofMeroorphicFunctions ConcerningtheMultiplicityofPoles FangCaiyun (DepartentofMatheatics,NanjingNoralUniversity,Nanjing210097,China) Abstract: Usingthevaluedistributiontheory,theauthorstudiedtheuniquenesoferoorphicfunctionsconcern ingtheultiplicitiesoftheirpoles.thefolowingresultsareobtained:1 Let,n ( >9+ 7 ) betwointegers.then thereexistsasetswithneleentssuchthat 珔 E 珔 E(S,g)caniplyf gforanypairofnonconstantero orphicfunctionsf(z)andg(z)andtheirpoleswithultiplicity ;2 Letk 3,,n ( >6+ ) bethree integers.thenthereexistsasetswithneleentssuchthate k E k (S,g)caniplyf gforanypairof nonconstanteroorphicfunctionsf(z)andg(z)andtheirpoleswithultiplicity.theabovetheoresextend andiprovesoeresultsduetoh.x.yi,m.l.fangandh.guo,etal. Keywords: eroorphicfunction;ultiplicity;uniquenes

标题

第 35 卷第期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近赵晓娣, 孙渭滨宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik

第 5 期 方彩云 : 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 17 H.X.Yi [3~5],P.Li,C.C.Yang [6],G.Frank 和 M.Reinders [7] 讨论了亚纯函数的情况, 证明了 定理 B 存在一个集合 S,#S=11, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条

第 5 期方彩云 : 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 17 H.X.Yi [3~5],P.Li,C.C.Yang [6],G.Frank 和 M.Reinders [7] 讨论了亚纯函数的情况, 证明了定理 B 存在一个集合 S,#S=11, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条