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炭灰贲
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IIR DF 设计 Prt 数字信号处理面向专业 : 自动化系授课教师 : 刘剑毅 Buttrworth 模拟低通滤波器设计幅度平方函数 : H( ) 为滤波器的阶数为通带截止频率当称 H ( ) /时 H( 0) 0lg 3dB H ( ) 为 Buttrworth 低通滤波器的 3 分贝带宽 ) 该型滤波器函数特点 : H( ) 0 H( ) ( ) / 3 H db 3dB 不变性

1 IIR DF 设计 Prt 数字信号处理面向专业 : 自动化系授课教师 : 刘剑毅 Buttrworth 模拟低通滤波器设计幅度平方函数 : H( ) 为滤波器的阶数为通带截止频率当称 H ( ) /时 H( 0) 0lg 3dB H ( ) 为 Buttrworth 低通滤波器的 3 分贝带宽 ) 该型滤波器函数特点 : H( ) 0 H( ) ( ) / 3 H db 3dB 不变性 < 通带内有最大平坦的幅度特性, 单调减小 > 过渡带及阻带内快速单调减小当 t ( 阻带截止频率 ) 时, 衰减为阻带最小衰减 ) 幅度平方函数的极点分布 : H H H 其极点为 : ( ),,..., ( ) ( ) ( ) /,,..., 解上述复数方程, 可得 : π 可见,Buttrworth 滤波器是一个全极点滤波器, 其极点分布规律如下 : 极点在平面呈象限对称, 分布在 Buttrworth 圆上, 共点极点间的角度间隔为 π / rd 极点不落在虚轴上为奇数, 实轴上有极点, 为偶数, 实轴上无极点 3) 求滤波器的系统函数 : 取左半开平面极点, 得,,..., π 令根据 H () ( ) ( ) ( ) 0 0 H H H 所以, 得系统函数最终为 K 0 ( ) H (), 可以解得 ( ) K 0

2 4) 滤波器设计的完整步骤 : 根据技术指标求出滤波器阶数 : H( ) 由 0lg H( ) 0. 得 : 同理 : 令 λ lg 则 : lgλ 由下式求出系统的所有极点 : 0. ( ) 0. 由式 0 或 0 π,,..., 求出 3dB 截止频率参数获得最终的系统函数 : H () ( ) 或者由, 直接查表得归一化系统函数 : H H() H 去归一化, 得 : n ( ) () n 例 : 设计一个 Buttrworth 模拟低通滤波器, 已知模拟技术指标为 : 0. π rd / db 0.3 π rd / 5dB 解 : ) 确定滤波器参数 λ / lg / lg λ 取 6 0. ( ) rd / Hn b) 求出极点 ( 左半平面 ),,...,6 π 6 ) 构造系统函数 H() 6 ( ) 或者 b ) 由 6, 直接查表得 () ) 去归一化 0.09 H() Hn Chbyhv 低通滤波器设计幅度平方函数 : H ( ) ε C ( ) 0< ε <, 表示通带波纹大小, ε 越大, 波纹越大 : 截止频率, 不一定为 3dB 带宽 : 滤波器的阶数 C ( ) x : 阶 Chbyhv 多项式

3 C ( x) h h x o( o x) x > ( ) x 等波纹幅度特性单调增加 ) 该型滤波器特点 : H ( ) C ε ( ) / H ε < 通带内 : 在和 / ε 间等波纹起伏 > 通带外 : 迅速单调下降趋向 0 Chbyhv 滤波器也是一个全极点滤波器 )Chbyhv 滤波器的三个参量 : : 通带截止频率, ε : 表征通带内波纹大小 H( ) mx 0lg 0lg ε H ( ) 0. ε 0 h 0 0. ε h min : 滤波器阶数, 等于通带内最大最小值的总数, 这里直接给出其计算公式 : 由通带衰减决定为阻带截止频率阻带衰减越大所需阶数越高 3) 幅度平方函数的极点分布 : / H ( ) H ( ) H ( ) σ,,..., σ ( ) ( ) b ε C 令上式分母为 0, 展开 Chbyhv 多项式, 求解方程, 可推得极点的实虚部满足下述椭圆方程 : 并可以解得实虚部分别为 : π σ in ( ) b π o ( ),,..., 其中 γ γ b γ γ γ ε ε 4) 求滤波器的系统函数 : 取左半开平面上的极点 : π π in ( ) bo ( ) 设系统函数为 : H () 利用关系式 H ( ) H ( ) K ε K,,..., ( ) 0 0, 可以推出增益常数

4 5) 滤波器设计完整步骤 : 根据技术指标, 求出滤波器 h ( ) h λ 0. ε 0 阶数及其他参数 : 其中 : λ 0 求出最终的系统函数 : H() ε 其中极点由下式求出 : γ ε ε γ γ b γ γ π π in ( ) bo ( ),,..., 或者由和, 直接查表得 H () H() H 去归一化 n n ( ) 例 3: 设计一个 Chbyhv 模拟低通滤波器, 已知模拟滤波器的技术指标 : 0.65 rd /.09 rd / db 5dB 解 : ) 确定参数 0.65 rd / 0. ε h h 0 0. ε 3.04 取 4 b) 求左半平面极点 γ 4.70 ε ε γ γ b γ γ.0644 π π in ( ) bo ( ) ± , ± 0.647,3 ) 构造系统函数 4 H() 3 ε 4 ( ) ( )( ) 或者 : b ) 由 4, 直接查表得 db Hn () ) 去归一化 H() H n ( )( )

5 三基于模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器设计思想 : 平面模拟系统 H ( ) ( ) H 平面数字系统 H() 的频率响应要能模仿 H () 的频率响应, 即平面的虚轴映射到平面的单位圆设计方法 : 冲激响应不变法双线性变换法阶跃响应不变法因果稳定的 H () 映射到因果稳定的 H(), 即平面的左半平面 R[] < 0 映射到平面的单位圆内 < 冲激响应不变法 Id 用数字滤波器的单位冲激响应 hn ( ) 去模仿模拟滤波器的单位冲激响应 h t hn ( ) h( t ) T 抽样周期 t nt () Imlmnttion H () h () t h ( nt) h() n H() H () A 部分分式化 t () [ ( )] () 查拉式变换表 nt T n ( ) ( ) ( ) A ( ) u( n) 时域采样 n T n n ( ) h( n) A ( ) Z 变换定义 n n 0 h t L H A u t hn h nt A unt H T A ( ) n 0 n A T H () 系数相同 : A A H( ) T 极点 : 平面平面稳定性不变 : 平面 R[ ] < 0 平面 T < A T Anlyi 时域采样将造成频域的周期延拓, 因此 DF 的频响是 AF 频响的周期延拓由于实际系统不可能严格带限, 因此本方法都会带来混迭失真, 只是程度不同阻带衰减越快, 混迭失真越小由右图公式, 这种延拓还会造成频响增益降为原来的 / T 当 T 很小时,DF 增益将很大, 易溢出, 需修正

6 修正方法 : 令 : hn ( ) Th( nt) H( ) TA T ( ω ω π 则 : H ) H T ω H ω < π T ot 模拟及数字频率间的转换问题 : 对于模拟信号 : CTFT: 对于数字信号 : DTFT: X ( ) ( ) t X xt dt n ( ω) x( n) ω n 令 t nt, 其中 T 抽样周期, 则 nt ωn ω T Conluion 优点 : h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 h () t 时域逼近良好缺点 : 会带来频域的混迭失真问题, 因此该方法仅适用于带限的低通带通两种选频滤波器设计例 4: 设模拟滤波器的系统函数为 H() 试用冲激响应不变法, 设计 IIR 数字滤波器解 : 按照公式, 可得数字滤波器的系统函数 : T T H( ) T 3T A T 3T T ( ) H() T 3T 4T ( ) 设 T, 则 TA H () 0.38 H( ) T 从而可得模拟滤波器的频率响应 : ω H ( ) H ( ) ω ω 0.38 ω ω H( ) H( ) (3 ) 4 及数字滤波器的频率响应 : 绘出两者曲线, 可观察到非理想带限延拓混叠及数字频率的周期性等特点例 5: 设计一个 Buttrworth 数字低通滤波器, 要求在频率低于 0.π rd 的通带内幅度特性下降小于 db 在频率 0.3π 到 π 之间的阻带内, 衰减大于 5dB 采用冲激响应不变设计法解 : ) 由数字滤波器的技术指标 : ω 0. π rd db ω 0.3 π rd 5dB ) 得模拟滤波器的技术指标 : 选 T ω / T 0. π rd/ db ω / T 0.3 π rd/ 5dB

7 3) 由例的计算结果可知, 符合指标要求的 Buttrworth 模拟低通原型滤波器为 : 0.09 H() ) 将 () A H 展成部分分式形式 : H () 利用冲激响应不变法的公式, 可得 Buttrworth 数字滤波器 : TA H( ) T 双线性变换法 )Motivtion 在冲激响应不变法中, 采用时域的模仿逼近方式, 其缺点是会产生频域的混叠失真 ; 迫切希望提出一种直接在频域模仿逼近的方法, 即使 DF 的频响与 AF 的频响直接相似 )Id Id: 利用正切函数的映射特性, 引入一个中间模拟频率 : 实现平面到平面的映射 ; : π, π tg T T T :[, ] 平面与平面间的映射关系 : 由 ω,, ω T 可得 : T T 实现平面到平面的映射 :, 其中 3)Formultion tg T T in T o T T T T T T T T T T T T T T T T T 4) 优缺点优点 : 避免了频率响应的混迭现象由 tg T, ω T tg ω, 可得模拟频率与数字频率间转换关系 : 因此, 平面与平面实现了单值映射 > 0 ω > 0 < 0 ω < 0 ω π tg ω

8 缺点 : 从上图也可看到, 与 ω 之间存在严重的非线性关系, 这将会给 DF 的频响带来畸变一个例子 : 5)Imrovmnt 引入一个变换常数项, 称为预畸变系数, 从而使得 AF 某一频率与 DF 的某一频率间产生对应关系, 补偿畸变的影响模拟频率与数字频率间的转换公式更新为 : tg ω 系统函数变换公式更新为 : 系数的选择 ) 对于低通滤波器, 利用低频段正切函数的属性 : tn(x) x, 选 :, 从而 T tg T T ) 对于其他类型滤波器, 为使 AF 与 DF 在某一特定频率上严格相对应, 因为 tg ω, 所以选 tg ω, 从而 ω 实现对应, 可以较准确地控制截止频率位置 6)Imlmnttion 对已完成设计的 AF 系统函数, 进行变量替换即可 : H( ) H( ) H 为避免高次项展开的问题, 可将 AF 系统函数先因式分解成级联的低阶子系统 : H () H () H () H () m H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) 其中 : H ( ) H ( ) i,,..., m i i m 或者进一步将因式乘积形式部分分式化为并联的低阶子系统形式 : H () H () H () H () m H( ) H ( ) H ( ) H ( ) 其中 : H H i m ( ) ( ) i,,..., i m 例 6: 设计 Buttrworth 数字低通滤波器, 要求在频率低于 0.π rd 的通带内幅度特性下降小于 db 在频率 0.3π 到 π 之间的阻带内, 衰减大于 5dB 采用双线性变换设计法解 : ) 由数字滤波器的技术指标 : ω 0. π rd db ω 0.3 π rd 5dB ) 考虑预畸变, 得模拟滤波器的技术指标 : 选 T ω tg 0.65 rd / db T ω tg.09 rd / 5dB T

9 3) 由例的计算结果可知, 符合指标要求的 Buttrworth 模拟低通原型滤波器为 : H () ) 对 H () 因式分解, 并变量替换, 实现 Buttrworth 数字低通滤波器 : H( ) H ( ) T ( ) ( ) ( ) 例 7: 用双线性变换法设计 Chbyhv 数字低通滤波器, 要求在频率低于 0.π rd 的通带内幅度特性下降小于 db 在频率 0.3π 到 π 之间的阻带内, 衰减大于 5dB ) 由数字滤波器的技术指标 : ω 0. π rd ω 0.3 π rd db 5dB ) 考虑预畸变, 得模拟滤波器的技术指标 : 选 T ω tg 0.65 rd / db T ω tg.09 rd / 5dB T 3) 由例 3 的计算结果可知, 符合指标要求的 Chbyhv 模拟低通原型滤波器为 : H () ( )( ) 4) 上式已完成因式分解, 直接变量替换, 实现 Chbyhv 数字低通滤波器 : H( ) H ( ) T ( ) 4 ( ) ( )

类脑计算(神经形态计算)

类脑计算(神经形态计算) 复习数字滤波器从功能上可分为低通高通带通带阻理想滤波器的频率响应数字滤波器的系统函数与冲激响应 3 IIR 滤波器 ( ) 4 第 8 章 IIR 数字滤波器设计 5 8. -z 变换设计从 S 平面映射到 Z 平面三种常用的方法 : 冲激响应不变法: 从时域的角度出发进行映射 ; 双线性不变法: 从频域角度出发进行映射 ; 3 匹配 z 变换法 : 频域直接映射 6 4 ( 注意 :