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裔盐尤
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1 第三章傅里叶变换

2 3. 引言时域分析 -> 变换域分析, 要讨论的变换傅氏变换复频域分析 L 离散信号的 Z 域变换信号的分解 - 正交基底函数的发展 965 年的内容周期的模拟信号 S 非周期的模拟信号离散的非周期序列今后讨论

3 3. 周期信号的傅氏级数分析狭利赫利条件一个周期内, 周期信号绝对可积一个周期内, 周期信号的极值数目有限一个周期内, 周期信号只有有限个间断点周期信号周期可展成傅氏级数三角函数形式复指数形式

4 三角形式的傅氏级数 a a cos b si ] cos d cos d a cos d a cos cos md d m m

6 c a b c c a b cosϕ siϕ 任何周期信号在满足 Dirchl 条件下, 均可分解为直流分量基波分量和谐波分量周期信号的谱为离散谱

8 指数形式的傅氏级数 si cos b a b a 欧拉公式 cos si a a b

9 c d a c d a b c

10 例 : 某周期信号基频, 由有限项谐波组成的表达式为 : 3 3 / /8 / 4 / 6 设系数均为实数, 求的三角表示形式 3 3

11 cos6 3 cos4 cos

12 函数的对称性与傅氏级数的关系波形对称性对被积函数积分区间的奇偶性的判断可简化计算奇函数 ] 偶函数奇函数奇函数 ] 奇函数偶函数偶函数 ] 偶函数偶函数奇函数展开时偶函数展开时 a, a b

13 偶函数 - si 4 cos 4 / E d E a / E d E a

14 奇函数 --

15 奇谐函数 --± / a 半周期镜像信号 a a b b 只含有基波及奇次谐波

16 傅氏级数与最小方均误差周期信号的傅氏级数 a a cos b si ] N a a cos b si ] 误差函数 ε N d C ] rkr r 完备的正交函数集 ε N d a a b ]

17 N3 N 既是偶函数, 又是奇谐函数 N5 a E si,3,5...

18 ε N d a a b] N ε /4 E E d.5 E /4 4 N 3 ε /4 E E E d.e /4 4 3

19 E.5E, E3.E, E5. 5 E N 越大, 相加后的波形越接近, 误差越小高频分量对应跳变, 低频分量影响脉冲的顶部 Gibbs 现象不连续点的幅度为, 不论 N 多大, 峰值为.9

20 3.3 典型周期信号的傅氏级数周期矩形脉冲信号 ] u u E si Sa E E a E a cos Sa E E

21 E Sa 离散谱线, 间隔为, 幅度正比于 E, 反比于谱线包络为 Sa 函数,m/ 为零点信号的主要能量宽度第一个零点以内频带宽度, B /

22 保持不变,, 5 时的频谱

23 保持不变, /, /5 时的频谱频带宽度变化

24 周期全波整流信号 cos cos E E cos 4 4 E E

25 3.4 傅里叶变换周期信号的离散谱到非周期信号的连续谱 E Sa

26 周期信号非周期信号谱线间隔愈来愈密离散谱连续谱

27 周期信号的 S 非周期信号 d d d

28 Δ d d d,,, / / 频谱密度函数连续频率离散频率 < 绝对可积 d 存在的充分条件 :

29 σ σ σ σ σ σ σ σ d d d d d d ] si ] ] 设 ] ] si lim lim δ σ σ σ σ σ Sa δ σ σ d d lim I ], ]

30 例 : 求图中矩形脉冲的 ESa d / E / d E / / 连续谱具有收敛性峰值比较

31 3.5 常见信号的傅里叶变换单边指数信号 a U a a > a d d a a /a ϕ

32 符号函数 a a a d d U U Sg U U Sg a a a a a a a a a a lim ] lim ] lim ] lim 不满足绝对可积条件奇函数只有虚部

33 升余弦脉冲函数 Haig ] ] cos cos Sa E Sa E Sa E d E d E d E d E 主瓣加宽倍副瓣的幅度抑制

34 直流信号偶函数只有实部 E lim E d Elim si si Elim Elim Eδ

35 3.6 冲激信号及阶跃信号的阶跃信号 δ δ δ u Sg Sg u ] ] ] /

36 冲激信号 δ ] δ d 白色频谱

37 冲激偶的 δ ] d δ d δ d d δ ] d δ ] d

38 d d d d d d d d d d d δ δ δ δ δ δ ] ] ] 次微分 : 证 : 求证 :

39 3.7 傅里叶变换的基本性质 ] ] 唯一性

40 线性 c c c c 则 : 若 :

41 对称性 ] ] > 若 : 则 : ] ] δ δ δ ] d dx x dx x d d x x x x

42 ESa c E csa c E U U c ]

44 3 奇偶虚实性是实函数 * 若 R X * R X * R X R R 实部偶对称 X X 虚部奇对称 d cos d si d 实偶实偶实奇虚奇 d * * ] d]* d] * *

45 是虚函数虚部偶对称实部奇对称若 * * * X X R R X R X R X R ] ] * * * * d d d 虚偶实奇虚奇虚偶

46 ] 4 尺度变换特性 a] a a

47 5 时移特性 ] x dx x x d 幅度谱不变, 有附加相移

48 例 : 求三脉冲的频谱 cos ] cos ] ] Sa E Sa E

49 > < > < > < c c c c c c c c c c c Sa Sa Sa ] ]} { 令求 : 例 :

51 6 频移特性 ] ] 时移频移 ] ] si ] ] cos ] si ] cos 载频信号

52 ], si > a a a a G u g a a a 求例 : 已知

53 7 微分特性 ] ] d d d d d ] ] d d d d 频域微分特性 d

54 4 ] 4 4 cos 4 ] ] ' ' ] ' ' ] ] ' ] ] δ δ δ Sa E Sa E Sa E E E E u u E u u E u u E u u E 例 : 求图示三角脉冲信号的频谱

56 8 积分特性 ] ] ] δ d d d d 积分特性积分引起的直流或平均值 ] ] ] ] ] ] δ δ δ δ δ δ δ u d du d u

57 9 卷积特性时域卷积 ] ] ] ] ] * d d dx x d dx x d d d d x x

58 频域卷积 ] du u u d du u d du u d u u ] ]

59 例 : 用卷积定理证明积分特性 ] ] * ] * δ δ u d d d u u

60 利用卷积定理求余弦脉冲的频谱例 : 已知 / / / cos > E ] ] ] * ] cos δ δ δ δ Sa E Sa E Sa E Sa E G

62 利用卷积定理求三角脉冲的频谱例 : 已知 > E 4 ] 4 4 Sa E Sa E Sa E G

67 3.9 周期信号的傅里叶变换周期信号 -S 非周期信号 - 研究的问题 : 如何确定周期信号的? 它与 S 的谱系数的关系如何?

68 正弦信号及余弦信号的 ] si ] cos, cos δ δ δ δ δ δ 同理, / si, / cos ± ± ±

69 一般的周期信号周期信号的是由一系列在谐频处的冲激函数组成, 冲激的强度是谱系数的倍 δ

70 周期性脉冲序列的与单脉冲信号关系 / / / / SI SI d d

71 3 周期单位冲激序列的 S 及 d d / / / / δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 间隔越大, 频域间隔越小, 幅值也越小

73 4 周期信号的 δ d p δ d * δ p ] δ δ

74 例 : 周期矩形脉冲信号的 S 及

75 3. 抽样信号的信号的抽样抽样 : 连续信号, 用该信号的等间隔的离散序列,s, S, 来表示, 这一过程称为抽样

77 时域抽样 s s s s s s s P P P P P p P p ] ~ ~ δ δ δ 周期信号原来的频谱发生周期延拓, 其重复周期为 s, 幅度乘 P

78 周期矩形脉冲抽样

79 冲激抽样

80 频域抽样时域上以 s 抽样, 频域上以 s 为周期延拓 s s s 频域上以 s 抽样, 时域上以 s 为周期延拓 s s

82 周期矩形抽样信号周期信号 -> 离散谱冲激抽样 -> 周期延拓周期性的离散谱

84 ASa δ p A Sa δ p s p ms s m A Sa δ m s s m

85 3. 抽样定理抽样定理 : 数字信号传输, 数字信号处理的基本理论依据模拟信号 A/D 抽样信号数字信号时域抽样定理若 s h, 则 s 可唯一表示 s Nyquis rqucy

87 由抽样信号恢复原来信号 ]. * * c c > < s c s c s s s s s c c s s Sa h d h d h h Sa d h h H H c c δ δ 理想低通 :

88 作业 P bc

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PowerPoint 演示文稿信号与系统 Signls n Sysms 第三章连续时间信号与系统的频域分析 Chpr 3 h rquny Domin Anlysis of Coninuous Signl n Sysm 控制系网络课程平台 :hp://www.s.zu.u.n/lss/signl_sysm/ 浙江大学控制科学与工程学系本章主要内容连续时间 LI 系统的特征函数连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3 非周期信号的表示