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顺才终
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1 信号与系统 Signls n Sysms 第三章连续时间信号与系统的频域分析 Chpr 3 h rquny Domin Anlysis of Coninuous Signl n Sysm 控制系网络课程平台 :hp:// 浙江大学控制科学与工程学系

2 本章主要内容连续时间 LI 系统的特征函数连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3 非周期信号的表示 : 连续时间信号的傅里叶变换 4 周期信号的傅里叶变换 5 傅里叶变换的性质 6 连续时间 LI 系统的频域分析

3 非周期信号的表示 : 连续时间信号的傅里叶变换非周期信号的 ourir 变换的导出连续时间 ourir 变换的收敛典型连续时间信号的 ourir 变换对 3

4 非周期信号的 ourir 变换的导出周期信号周期,ω 非周期信号 k k k k k k 在频率上无限靠近 k 的 ω 域由离散变为连续傅里叶变换 k 3 ourir rnsform 方法 : ω ω 3ω 将非周期信号看成周期信号的时的极限, 来研究时的周期信号的傅里叶级数表示式的极限情况 ω 4

5 非周期信号的 ourir 变换的导出 ~ 周期延拓有限长度非周期信号由周期信号的 ourir 级数 : k k ~ k k k = if > k ~ k k k = for <, n = for, k 定义 k 的包络线 : k 周期信号, = < ~ ~ k k k k k k 5

6 非周期信号的 ourir 变换的导出 3 ~ k k k ~ k k k k lim ~ lim k k 非周期信号的 ourir 变换 : 的频谱 ; 不同频率复指数信号组成成分的相对度量的傅里叶变换频谱密度 k k ω ω k k kω k+ω ω 复指数信号的线性组合 ; 复指数信号出现在连续频率上加权幅度为 ωω/π 绝对度量 6

7 记 : 非周期信号的 ourir 变换的导出 4 非周期信号幅度谱相位谱 { k } 与 ω 的区别 : * 对周期信号 : 复指数信号出现在成谐波关系的一组离散点 kω 上, 复指数信号的幅度为 { k } 绝对复幅度 --S * 对非周期信号 : 复指数信号出现在连续频率点 ω 上, 其绝对复幅度周期信号为 ωω/π, 相对复幅度为 ω -- k k k k k S: s k k k k k 幅度谱系数 θ k 相位谱系数 7

8 非周期信号的 ourir 变换的导出 5 S 与的对比 k k k k 为谐波信号 k 的绝对幅度 S: 将周期信号分解为一系列具有离散频率的谐波信号之和为的相对幅度 : 将非周期信号分解为具有连续频率的纯虚指数信号之和 N 3 称为周期信号的有限项 S N k kn k W ˆ W 称为的有限频宽的 I 8

9 非周期信号的 ourir 变换的导出小结关于与 I 的反变换的总结 : : I: I 又称为信号的频谱是关于实频率变量的复函数, 可以表示为称为信号的幅度谱称为信号的相位谱 9

10 连续时间傅里叶变换的收敛与傅里叶级数收敛条件类似, 连续时间傅里叶变换收敛的条件为 : 收敛条件 : 若能量有限, 则与在能量上无差别, 但不能保证在时域上处处相等 ˆ 收敛条件 : 狄里赫利条件. 绝对可积. 在任何有限区间内, 只有有限个最大值和最小值 3. 在任何有限区间内, 只有有限个不连续点, 并且在每个不连续点上信号都必须是有限值

11 连续时间傅里叶变换的收敛 ourir 变换存在的定义 :?? 只要 ourir 变换积分的无穷大值可以用函数如冲激函数 δ 表示, 且代入 ourir 反变换式使积分收敛于原信号, 则认为这样的信号存在 ourir 变换周期信号不满足条件, 但可以表示为复指数信号的线性组合周期信号 ourir 反变换存在有限频宽来近似原信号 : 吉布斯现象周期信号 ourir 变换存在 W ˆ W

12 典型连续时间信号的傅里叶变换对单边指数信号 u 解 : u rg ω π/ φω / ω ω -π/ 实信号幅度谱偶对称相位谱奇对称 S: 时域信号 : 实偶, k k 奇

13 典型连续时间信号的傅里叶变换对双边指数信号解 : 实偶信号实偶函数实偶信号 / ω / ω S: 时域信号 : 实偶频谱 : 实偶 3

14 典型连续时间信号的傅里叶变换对 3 3 单位冲激信号 δ 解 : 讨论求对偶? 4

15 典型连续时间信号的傅里叶变换对 4 4 单位冲激偶信号 δ' 解 : 备注 : 上述过程说明, 不仅可以利用傅里叶变换式求 ω, 还可以利用傅里叶反变换式求 ω P P 微分性质 5

16 典型连续时间信号的傅里叶变换对 5-5 矩形窗函数 ls sin sin 解 : - 实偶 os 实偶 sin 抽样函数参见 P4 = sin sin 4 = - 时域扩展, 频域压缩互反关系? 6

17 典型连续时间信号的傅里叶变换对 5-7 对偶?.4 S sin sin sin os sin os = 抽样函数的频谱参见 P99 矩形波 Sin. sin ls ls sin 讨论 : 若已知 ls ω ω ω -ω 求抽样函数参见 P4 sin sin

18 典型连续时间信号的傅里叶变换对符号函数 sgn - R,, u u - lim lim 时域信号 : 实奇频谱 : 纯虚奇 S:

19 典型连续时间信号的傅里叶变换对 7 7 阶跃函数 u 不满足绝对可积条件, 但存在 u sgn 参见 P. 式 -34 sgn u 启发 : 利用典型信号的傅里叶变换对的组合, 可求出函数的傅里叶变换需要有傅里叶变换的性质? sgn 9

20 典型连续时间信号的傅里叶变换对小结小结 : u sin ls u ls sin 单边指数信号双边指数信号冲激信号 δ 及冲激偶函数 δ 抽样函数 S 矩形窗函数阶跃函数 u

21 问题需要答案 : 典型连续时间信号的傅里叶变换对小结时域信号 : 实 k 偶对称, k 奇对称时域信号 : 实偶时域信号 : 实奇频谱 : 实偶频谱 : 纯虚奇对偶性? 常数 δ. 函数 sin 矩形波 ls ls Sin. sin

22 输入函数 k LI 系统输出 k k 本章主要内容 k 特征函数 s LI H s k 特征值或系统函数传递函数 s 连续时间 LI 系统的特征函数连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3 非周期信号的表示 : 连续时间信号的傅里叶变换 4 周期信号的傅里叶变换 5 傅里叶变换的性质 6 连续时间 LI 系统的频域分析 k, k k 变换对 k k

23 周期信号的傅里叶变换周期信号不满足的收敛条件, 但可以用复指数信号表示, 所以周期信号的傅里叶变换存在, 用冲激串信号表示, 并使反变换收敛考虑 : 某一函数即 : k k k k k ~ k k k k k k k k 频域为冲激函数的线性组合周期信号的公式结论 : 一个傅里叶级数系数为 { k } 的周期信号的傅里叶变换可以看成是成谐波关系的频率上的一串冲激串, 且发生于第 k 次谐波频率 kω 上冲激函数的面积是 π k 3

24 周期信号的傅里叶变换例 3-8P 求周期方波的 ourir 变换. 解 :ourir 级数系数 k k sin k, k -/ - / sin k sin k k k k k k k k k k 当 =4 时 k sin k k sin k k k k sin k k k sin ω π ω 4

25 周期信号的傅里叶变换 3 例 3-8P 周期方波的 ourir 变换. p 解 : 另一角度看周期信号的矩形窗函数 ls sin sin -/ - / 周期延拓 k sin k k k sin k k ω 与 k 相比相差一比例因子 ---- 参见 ω π 且样值信号变冲激信号 ---- 参见图 3-3 ω 5

26 周期信号的傅里叶变换 4 例 3-9P 正弦余弦信号的频谱解 : os 已知 : sin os sin π ω π ω π/ -ω ω =osω ω -ω π/ ω =sinω ω 时域信号 : 实偶频谱 : 实偶时域信号 : 实奇频谱 : 纯虚奇

27 周期信号的傅里叶变换 5 例 3- P3 周期冲激串的 ourir 变换解 : 先求 ourir 级数系数 k k k k k k k k k k k δ ω π/ - -π/ π/ ω 时域冲激时间间隔增大 / 减小频域冲激之间的间隔减小 / 增大即 : 时域和频域之间具有相反的关系 7

28 本章主要内容连续时间 LI 系统的特征函数连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3 非周期信号的表示 : 连续时间信号的傅里叶变换 4 周期信号的傅里叶变换 5 傅里叶变换的性质 6 连续时间 LI 系统的频域分析

29 典型连续时间信号的傅里叶变换对小结问题需要答案 : 时域信号 : 实 k 偶对称, k 奇对称时域信号 : 实偶频谱 : 实偶时域信号 : 实奇频谱 : 纯虚奇对偶性? 常数 δ. 函数 sin 矩形波 ls ls Sin. sin 性质? 微分性质积分性质 9

30 作用 :* 更加深刻地了解信号时域与频域之间的关系线性 * 简化 ourir 变换与反变换的求取傅里叶变换的性质证明 : 变换对所以, 是线性变换该性质可推广至任意信号的线性组合周期信号 ourir 级数 : A By A Bb s s s k y bk k k 3

31 傅里叶变换的性质 - 3 时移特性证明 : 方法一方法二 : 周期信号 ourir 级数 : k s k k s 该性质说明 : 信号在时间轴上的移位, 不改变它的傅里叶变换的幅度谱, 只引入了一个线性相位移 - 做变量替代 l :

32 傅里叶变换的性质 3 3 频移特性证明 : 同理 : 实际应用 : os sin os os 乘以同理 : sin, 相当于频谱沿频率轴移位 -- 频谱搬移功能 3

33 傅里叶变换的共轭及对称性小结若为实信号, 即 = 若 : 若 : R[ ] Im[ ] R[ ] R[ ] Im[ ] Im[ ] 幅度谱偶对称相位谱奇对称实部偶对称虚部奇对称若为实偶信号, 即 = 且 -= 实偶 = -= 实偶 3 若为实奇信号, 即 = 且 -=- 实 = 虚奇 -=- 奇 4 R{ } Im{ } o R{ } o Im{ 33 }

34 傅里叶变换的性质 5-5 微分与积分微分 : n n 推广积分 : 频域上分析微分方程表示的系统例 3-P7 求 =u 的 ourir 变换解 : 由积分产生的 u u 直流分量应用微分性质可以得到 δ 的 ourir 变换 u u n δ 函数仅在 = 时有值 34

35 积分性质傅里叶变换的性质 5- n n n 例 3-3 求下列图示信号的 ourir 变换解 : 首先对求导数, 得 g G G sin os sin os - 求导 - sin sin os sin g G os g 35

36 例 3-5 P8 求符号函数 sgn 的 ourir 变换解 : sgn u u O { u } 方法一 : u 由实信号的共轭对称性得 : 虚部由函数的奇部贡献同样利用共轭对称性得 : 方法二 : sgn u 傅里叶变换的性质 sgn u 利用线性性质得 : sgn O - { u } { u u } u u Ev{ u } u 36

37 傅里叶变换的性质 6-6 时间与频率的尺度变换证明 : 说明 : 时域压缩频域扩展时域扩展频域压缩或 : 37 不同域存在互反关系从定义出发, 做变量替代

38 傅里叶变换的性质 7- 说明 : 可以通过的正变换值来求的反变换 7 对偶性回顾若为偶函数, 则 - ls sin sin sin =, A= sin W sin W.4 W W W W = W W sin ls W -W W 38

39 傅里叶变换的性质 7-7 对偶性若为偶函数, 则例如 : 频域微分性质 : 对偶性微分性质证明 : 对偶性尺度变换 =- 39

40 频域微分性质 : 傅里叶变换的性质对偶性频域积分特性 : 例 3-7 P 求的 ourir 变换解 : 已知 = 解 : 已知对偶性质例 3-8 P 求 ω 的 ourir 反变换 u u 频域微分 v uv vu, u u u 推广 u n n! u n 4

41 傅里叶变换的性质 7-4 重要对偶关系式 ls sin sin ls 熟悉常用信号的变换对, 利用对偶关系往往可简化变换 4

42 傅里叶变换的性质 8-8 帕斯瓦尔定理 Prsvl s Rlion 能量守恒信号在时域拥有的总能量 = 频谱在单位频率内能量 / 的总和证明 : * * * * * * 对于周期信号 : k k k k k k 周期信号平均功率 = 各谐波频率分量平均功率之和 4

43 例 3-9 已知 ω 和 ω. 求解 : E D E ω ω - ω.5.5 / 傅里叶变换的性质 8- ω

44 傅里叶变换的性质 9-9 时域卷积性质 H h * H h 证明 : 书上从卷积的含义系统的分析出发证明的, 这里从定义推导 * * H H h h h h 对于周期信号 : k k b h k k s b h 频域系统分析时域卷积频域相乘 44 时移性质

45 傅里叶变换的性质 9- 例 3- Wi sin W h sin y h? H Y -W i W i = -W W -W o W o W o =minw i, W - 注意到 : 在此应用时域卷积性质会使问题的求解变得容易 y Wo sin 45

46 调制性质频域卷积对偶性质对偶性质 * 4 4 * 一个信号被另一个信号相乘, 可以理解为用一个信号去调制另一个信号的振幅调制性质 * 证明 : 可以直接用定义证明, 也可以用对偶性证明时域反褶频域反褶傅里叶变换的性质 - 对偶性质 * 卷积性质 46

47 傅里叶变换的性质小结 - 线性性质 : 时移特性 : 3 频移特性 4 共轭性质 : 共轭对称性 : * * * * 推论 : 若为实数, 则 R{ω} 是 ω 的偶函数, Im{ω} 是 ω 的奇函数推论 : 若为实且偶函数, 则频谱为实值偶函数推论 3: 若为实且奇函数, 则频谱为纯虚且奇函数推论 4: 若实函数 = + o R{ } o Im{ } 47

48 傅里叶变换的性质小结 - 5 微分与积分 6 时间与频率的尺度变换 7 对偶性 8 帕斯瓦尔定理 * h H 9 时域卷积性质 * 调制性质频域卷积时域反褶频域反褶 48

49 傅里叶变换的性质小结 -3 重要对偶关系式 ls sin sin ls 熟悉常用信号的变换对, 利用对偶关系往往可简化变换 49

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PowerPoint 演示文稿信号与系统 Sigls d Sysms 第四章离散时间信号与系统的频域分析 Chpr 4 h Frqucy Domi Alysis of Discr Sigl & Sysm 控制系网络课程平台 :hp://www.cs.zu.du.c/clss/sigl_sysm/ 浙江大学控制科学与工程学系概述 7 世纪开始离散时间信号的研究世纪 4 年代, 微电子技术的发展和数字计算机的出现扩展了离散时间信号与系统的应用范围