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硫围寇
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1 高等代数第十章双线性函数第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V 上的线性函数 (1) f(0) = 0, f( α) = f( α). f( kα + k α + L+ kα ) = k f( α ) + k f( α ) + L k f( α ) (2) t t t t 例 1 对数域 F 上的任意方阵 A ( aj ) =, 我们已定义 tr( A) = a + a + L + a 为 A 的对角元之和, 称为 A 的迹. 容易验证映射 tr : F F, A tr( A) 满足条件 : (1) tr( A + B) = tr( A) + tr( B), A, B F ; (2) tr ( ka) = k tr( A), A F, k F. 因此 tr 是 F 的线性函数. 例 2 设 V = F[ x], a 是 F 中一个取定的数. 定义 Fx [ ] 上的函数 L 为 : L ( f( x)) = f( a), f( x) F[ x], a a 即 La ( f( x )) 为 f ( x ) 在 a 点的值, La ( f( x )) 是 Fx [ ] 上的线性函数. 如果 V 是数域 F 上的一个维线性空间, 取定 V 的一组基 ε1, ε2, L, ε. 对 V 上任意线性函数 f 及 V 中任意向量 α : α = x ε + x ε + L + x ε 第 1 页共 6 页

2 高等代数讲义都有 f( α) = x f( ε ) + x f( ε ) + L + x f( ε ) 因此, f ( α ) 由 f( ε1), f( ε2), L, f( ε) 的值唯一确定. 反之, 任给 F 中个数 a1, a2, L, a, 用下式定义 V 上一个函数 f : 这是一个线性函数, 而且我们有 : f ( xε ) = a x = 1 = 1 f ( ε ) = a, = 1,2, L, 3. 设 V 是数域 F 上的一个维线性空间, 取定 V 的一组基 ε1, ε2, L, ε, 对于任给 F 中个数 a1, a2, L, a, 存在唯一的 V 上线性函数 f 使 f ( ε ) = a, = 1,2, L, 对偶空间 1. 对偶空间定义设 V 是数域 F 上的维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记为 V. V 上定义加法与数乘 : ( f + g)( α) = f( α) + g( α), α V. ( kf )( α) = k( f ( α)), α V. 则 f + gkf, 都是线性函数, 故 V 成为 F 上的线性空间. 3. 对偶基 V 称为 V 的对偶空间取定 V 的一组基 ε1, ε2, L, ε, 定义 V 上的个线性函数 f ( = 1,2, L, ) 如下 : f ( ε ) = δ j j f, f, L, f 是 V 中线性无关的向量组, 构成 V 的一组基. 我们称之为 ε1, ε2, L, ε 的则 1 2 对偶基. 4. 对偶空间的维数 dm V dmv = =. 第 2 页共 6 页

3 高等代数第十章双线性函数 5. 对偶基之间的关系 ε, ε, L, ε 及 η1, η2, L, η 是线性空间 V 的两组基, 它们的对偶基分别是设 1 2 f1, f2, L, f 及 g1, g2, L, g. 再设由 ε1, ε2, L, ε 到 η1, η2, L, η 的过渡矩阵为 A, 那么由 f1, f2, L, f 到 g1, g2, L, g 的过渡矩阵为 ( ) 1 A. 6.V 到 V 的同构 (1) 取定 V 中一个向量 x, 定义 V 的一个函数 x 如下 : x ( f) = f( x), f V. (2) 函数 x 具有下列性质 x V 若 x ( f ) = 0对一切 x V 成立, 则 f = 0 ; 若 x ( f ) = 0对一切 (3) 同构 f V 成立的充分必要条件是 0 x =. V 是一个线性空间, V 是 V 的对偶空间的对偶空间. V 到 V 的映射是一个同构映射. 如果把 V 与 V 具有同等的地位, 它们互为对偶. x x 在这个同构下等同起来, 则 V 可以看成 V 的对偶空间. 这样 V 与 V 一双线性函数的定义与矩阵 1. 定义 10.3 双线性函数设 V 是数域 F 上一个线性空间, f ( α, β ) 是 V 上一个二元函数, 即将 V 中任意两个向量 α, β 对应于 F 中一个数 f ( α, β ), 并且满足如下条件 : (1) f( α, k1β1+ k2β2) = k1f( αβ, 1) + k2f( αβ, 2); (2) f( kα + k α, β) = k f( α, β ) + k f( α, β ) 第 3 页共 6 页

4 高等代数讲义 α, α, α, β, β, β V; k, k F. 我们称 f ( α, β ) 是 V 上一个双线性函数. 这里注 : 将 V 中一个变元固定时的映射 fα : V F, β a f( αβ, ) 和 ϕα : V F, β a ϕ( β, α) 都是 V 上的线性函数, 就是说, ϕ 都是 V 的对偶空间 V 中的向量. f α α 2. 定理 ( 双线性函数的形式 ) 设在数域 F 上的线性空间 V 上定义了双线性函数 f, ε1, ε2, L, ε 是 V 的任意一组基. 则任意 α, β V 在 f 下的值 f ( α, β ) 可以由 α, β 在该基下的坐标 X, Y 按下列公式计算 : f ( αβ, ) = X AY, 其中 A= ( a j ) 由 aj = f( ε, ε j ) 组成, 称为双线性函数 f 在 ε1, ε2, L, ε 下的度量矩阵. 3. 简单性质设 f, g 在 ε1, ε2, L, ε 下的度量矩阵分别是 A, B, 则 (1) f + g 在 ε1, ε2, L, ε 下的矩阵分别是 A + B ; (2) kf 在 ε1, ε2, L, ε 下的矩阵分别是 ka 4. 同构 σ : LV (, V, F) F 将线性空间 V 上的全体双线性函数组成的集合记为 LV (, V, F ), 则它对以上定义的加法和数乘运算封闭, 这样的加法和数乘也满足线性空间的八条运算律, 因而它是 F 上的线性空间. 上面定义的对应关系 σ : LV (, V, F) F 是线性空间之间的同构. 因此 LV (, V, F ) 是 F 2 上维空间, 我们可由 F 的基得到 LV (, V, F ) 的基. 5. 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的在不同基下, 同一个线性函数的度量矩阵一般是不同的. 设 ε1, ε2, L, ε 与 η1, η2, L, η 是线性空间 V 的两组基 : 第 4 页共 6 页

5 高等代数第十章双线性函数 ( η, η,, η ) ( ε, ε,, ε ) L = L C 对于 α, β V, 有则 1 1 α = ( ε, ε, L, ε ) X = ( η, η, L, η ) X, β = ( ε, ε, L, ε ) Y = ( η, η, L, η ) Y, X = CX, Y = CY. 代入 f 在两组基下的坐标表达式, 得到又有由向量, f ( αβ, ) = X AY = X BY. 1 1 f ( αβ, ) = ( CX ) A( CY ) = X ( C AC) Y α β 的任意性, 可知上式中 X1, Y 1的任意性. 因此 B = C' AC 即同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的. 二对称和反对称双线性函数 1. 定义设 f ( α, β ) 是线性空间 V 上一个双线性函数, 若对 V 中任意两个向量 α, β 都有 f( α, β) = f( β, α) 则称 f ( α, β ) 为对称双线性函数. 若对 V 中任意两个向量 α, β 都有则称 f ( α, β ) 为反对称双线性函数. f( α, β) = f( β, α) 2. 命题双线性函数是对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵 ; 双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵. 3. 对称的情况定理设 V 是数域 F 上维线性空间, f ( α, β ) 是线性空间 V 上一个对称双线性函数, 则 V 中存在正交基 ε1, ε2, L, ε, 使 f 在这组基下的矩阵为对角阵 A= dag( a1, L, ar,0, L,0), r = rak( A), a 0, 1 r 第 5 页共 6 页

6 高等代数讲义注 : 如果 f ( α, β ) 在 ε1, ε2, L, ε 下的度量矩阵为对角矩阵, 那么对, 有 α = x ε, β = y ε = 1 = 1 f dxy dxy dxy ( α, β ) = L + 推论若 F 是实数域 R, 可进一步使 A= dag( E, E, O ); p r p r 若 F 是复数域 C, 可进一步使 4. 反对称的情况 A= dag( Er, O r). 定理设 V 是数域 F 上维线性空间, f ( α, β ) 是线性空间 V 上一个反对称双线性函数, 则 V 中存在一组基 ε1, ε2, L, ε, 使 f 在这组基下的矩阵为准对角阵 dag L 0 L F 上任意反对称方阵 A 合同于上面形式的准对角矩阵. 5. 关于对称双线性函数 f ( α, β ) 正交基 V 上的对称双线性函数 f ( α, β ) 如果是非退化的, 则有 V 的一组基 ε1, ε2, ε3, L, ε 满足 f ( ε, ε) 0, = 1,2, L, ; f ( ε, ε j) = 0, j. 这组基称为 V 的对于 f ( α, β ) 的正交基. 第 6 页共 6 页

1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP:// 线性空间与线性映射知识回顾 1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,