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1 第五章连续系统的 域分析 点击目录 5. 拉普拉斯变换一 从傅里叶变换到拉普拉斯变换二 收敛域三 ( 单边 拉普拉斯变换 5. 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析一 微分方程的变换解二 系统函数三 系统的 域框图四 电路的 域模型五 拉普拉斯变换与傅里叶变换, 进入相关章节 第 4- 页

2 第五章连续系统的 域分析 频域分析以虚指数信号 e jω 为基本信号, 任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和 使响应的求解得到简化 物理意义清楚 但也有不足 : ( 有些重要信号不存在傅里叶变换, 如 e ε(; ( 对于给定初始状态的系统难于利用频域分析 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题 本章引入复频率 = σ+jω, 以复指数函数 e 为基本信号, 任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和 这里用于系统分析的独立变量是复频率, 故称为 域分析 所采用的数学工具为拉普拉斯变换 第 4- 页

3 5. 拉普拉斯变换 一 从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件, 求解傅里叶变换困难 为此, 可用一衰减因子 e - ( 为实常数 乘信号 f(, 适当选取 的值, 使乘积信号 f( e - 当 时信号幅度趋近于 0, 从而使 f( e - 的傅里叶变换存在 F b (+j= F[ f( e - ]= 相应的傅里叶逆变换为 f ( f( e - = j F ( e d b j F b ( j e ( j f ( e d e j d f ( e ( j d 令 = + j,d =d/j, 有 第 4-3 页

4 F b f ( ( j 5. 拉普拉斯变换 f j j ( e F b ( e d d F b ( 称为 f( 的双边拉氏变换 ( 或象函数, f( 称为 F b ( 的双边拉氏逆变换 ( 或原函数 二 收敛域 双边拉普拉斯变换对 只有选择适当的 值才能使积分收敛, 信号 f( 的双边拉普拉斯变换存在 使 f( 拉氏变换存在 的取值范围称为 F b ( 的收敛域 下面举例说明 F b ( 收敛域的问题 第 4-4 页

5 5. 拉普拉斯变换 例 因果信号 f (= e (, 求其拉普拉斯变换 解 F b ( e 0 e d ( e (, Re[ ] 不定, 无界, 可见, 对于因果信号, 仅当 Re[]=> 时, 其拉氏变换存在 收敛域如图所示 0 [ lime ( jω 收敛边界 0 α ( e j σ ] 收敛域 第 4-5 页

6 5. 拉普拉斯变换 例 反因果信号 f (= e (-, 求其拉普拉斯变换 解 : F b 0 ( e e d ( e ( 0 [ lim e ( ( e j ] 无界 不定 (,,, Re[ ]. jω 可见, 对于反因果信号, 仅当 Re[]=< 时, 其拉氏变换存在 收敛域如图所示 0 β σ 第 4-6 页

7 5. 拉普拉斯变换 例 3 双边信号求其拉普拉斯变换 f 3 ( f( f ( 求其拉普拉斯变换 e e, 0, 0 解 : 其双边拉普拉斯变换 F b (=F b (+F b ( jω 仅当 > 时, 其收敛域为 <Re[]< 的一个带状区域, 如图所示 α 0 β σ 第 4-7 页

8 5. 拉普拉斯变换 例 4 求下列信号的双边拉氏变换 f (= e -3 ( + e - ( f (= e -3 ( e - ( f 3 (= e -3 ( e - ( 解 ( F ( 3 f Re[]= > F ( 3 F ( 3 f Re[]= < 3 ( f 3 ( 3 3 < < 可见, 象函数相同, 但收敛域不同 双边拉氏变换必须标出收敛域 第 4-8 页

9 5. 拉普拉斯变换 结论 : 对于双边拉普拉斯变换而言,F(S 和收敛域一起, 可以唯一地确定 f( 即 : 收敛域 : ( 部分 平面收敛 ; ( 整个 平面均收敛 ; (3 整个 平面均不收敛 3 不同的信号可以有相同的 F(S, 但它们的收敛域不同 ; 不同信号如果有相同的收敛域, 则它们的 F(S 必然不同! 第 4-9 页

10 5. 拉普拉斯变换 定义 : 对于给定的 f(, 把凡是满足下式的 组成的点集, 称作 f( 的绝对收敛域 : 收敛域的确定方法 ( 因为 :=σ+jw: 求解适合于如下条件的所有 σ 值或范围 : lim f ( e d f ( e 0 第 4-0

11 5. 拉普拉斯变换 ( ( a a f ( e e f( e e a a, 0, 0 ( ( a a f ( 3 e e 注意 : 以上 3 个信号, 具有相同的 F(S, 但收敛域不同 : jω F ( S a S a 0 a jω j 0 α σ -a 0 a σ -a 0 a a a a (a 因果信号 (b 双边信号 (c 反因果信号 第 4-

12 5. 拉普拉斯变换 通常遇到的信号都有初始时刻, 不妨设其初始时刻为坐标原点 这样,<0 时,f(=0 从而拉氏变换式写为 0 F( f ( e d 称为单边拉氏变换 简称拉氏变换 其收敛域一定是 Re[]>, 可以省略 本课程主要讨论单边拉氏变换 三 单边拉氏变换 f F ( def ( f ( e d 0 j def j j F( e d ( 简记为 F(= [f(] f(= - [F(] 或 f( F( 第 4-

13 5. 拉普拉斯变换 四 常见函数的拉普拉斯变换 (,> - ( 或 /,> 0 3 指数函数 e - 0 / > -Re[ 0 ] co 0 = (e j 0 + e -j 0 / 0 0 in 0 = (e j 0 e -j 0 /j 0 0 第 4-3

14 5. 拉普拉斯变换 4 周期信号 f T ( F ( f ( e d T 0 T f ( e d f ( e d... 令 nt n0 0 n0 T T ( n T nt T T f ( e d T T T nt e f ( e d ( e d 0 T f T e 0 T T 第 4-4

15 周期信号 的 F(: 5. 拉普拉斯变换性质 ft ( f ( f F 若 则 0 T T 3T f T F e 特例 : T ( /( e -T T 第 4-5

16 5. 拉普拉斯变换性质 0 引言 5. 拉普拉斯变换性质 利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换的性质, 可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换 常用信号的拉普拉斯变换对 f( F( ( ( / n! n ( n 第 4-6

17 5. 拉普拉斯变换性质 常用信号的拉普拉斯变换对 ( 续 f( F( e ( a a n e a n! a ( n ( co( ( in( ( 第 4-7

18 5. 拉普拉斯变换性质 一 线性性质 若 则 f ( F ( Re[ ], f ( F ( Re[ ] af ( a f ( a F ( a F ( Re[ ] max(, 例 f( = ( + ( + /, > 0 二 尺度变换 若 则 f ( F ( Re[ ] 且有实数 a 0 f ( a F( Re[ ] a 0 a a 0 第 4-8

19 5. 拉普拉斯变换性质 例 : 如图信号 f( 的拉氏变换 F 求图中信号 y( 的拉氏变换 Y( e ( ( e e 解 : y( 4 f (0.5 Y ( 4 F( 8e ( e e e ( e e 第 4-9

20 5. 拉普拉斯变换性质 三 时移 ( 延时 特性 若则 f ( F ( Re[ ] 且有实常数 0 与尺度变换相结合 f ( a ( a e a F a 0, 0 a a 例 : 求如图信号的单边拉氏变换 解 :f ( = ( (-,f ( = (+ (- F (= ( e F (= F ( f ( ( e F( Re[ ] 第 4-0

21 5. 拉普拉斯变换性质 例 : 已知 f ( F (, 求 f ( F ( f( 解 : f ( = f (0.5 f [0.5(-] 0 f (0.5 F ( f [0.5(-] F (e - f ( F (( e - f( 例 3: 求 f(= e -(- ε( F (=? 第 4-

22 第 4-5. 拉普拉斯变换性质 四 复频移 ( 域平移 特性 若 则 f F j ( ( Re[ ] 0 且有复常数 a a a a f ( e F ( a Re[ ] 0 a 例 : 已知因果信号 f( 的象函数 F ( 求 e - f(3- 的象函数 解 :e - f(3- ( ( 3 e 9 例 :f(=co( π/4 F(=? 解 : co( π/4 =co(co(π/4 + in(in (π/4 ( F 4 4 4

23 5. 拉普拉斯变换性质 五 时域的微分特性 ( 微分定理 若则 f ( F( Re[ ] f ( F( f (0 f F f f ( ( (0 (0 n ( n n n m ( m f ( F( f (0 m0 ( n 若 f( 为因果信号, 则 n f ( F( 0 例 : (n (? 例 : d [co ( ] d? 例 3: d [co ] d? 第 4-3

24 5. 拉普拉斯变换性质 六 时域积分特性 ( 积分定理 若 f ( F( Re[ ], 则 0 0 n f ( x d x n F ( f ( ( f ( xd x F ( f ( (0 例 : (? ( xd x ( 0 0 ( x d x x( xd x ( 0 ( 3 第 4-4

25 第 拉普拉斯变换性质 例 : 已知因果信号 f( 如图, 求 F( 解 : 对 f ( 求导得 f (, 如图 0 f ( f '( x d x f 0 f '( x d x ( f 由于 f ( 是因果信号, 故 ( f 0 0 (0 f ( ( ( ( F ( F ( ( e e 结论 : 若 f( 为因果信号, 已知 Fn ( ( 则 : f n F ( ( e e ( n f ( F ( n

26 5. 拉普拉斯变换性质 七 卷积定理 时域卷积定理 若因果信号 则 复频域 ( 域 卷积定理 f j 例 : ε(? c j ( f ( F ( F c j (? ( e 例 : 已知 F f ( F ( Re[ ], f ( F ( Re[ ] f ( * f ( F ( F ( ( d ( * ( n ( n n0 n0 T e F( T T e e 例 3: 已知? 第 4-6

27 5. 拉普拉斯变换性质 八 域微分和积分 若 f ( F ( Re[ ], 则 ( f ( f ( d F( d F( d 例 : e (? 解 : e e 0 n ( f ( ( d ( ( d ( 3 n d F ( n d 第 4-7

28 in 5. 拉普拉斯变换性质 例 : (? in ( in ( d arcan arcan arcan 例 3: e e? e ( d ln ln 第 4-8

29 5. 拉普拉斯变换性质 九 初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由 F( 直接求 f(0 + 和 f(, 而不必求出原函数 f( 初值定理 设函数 f( 不含 ( 及其各阶导数 ( 即 F( 为真分式, 若 F( 为假分式化为真分式, 则 终值定理 f (0 lim f ( lim F( 0 若 f( 当 时存在, 并且 f( F(, Re[]> 0, 0 <0, 则 f ( lim F( 0 第 4-9

30 例 : F ( 5. 拉普拉斯变换性质 f ( 0 lim F ( lim f ( lim F( lim 0 0 例 : F ( 0 F ( f ( 0 lim F ( lim 第 4-30

31 5.3 拉普拉斯逆变换 5.3 拉普拉斯逆变换 直接利用定义式求反变换 --- 复变函数积分, 比较困难 通常的方法 : ( 查表法 ( 利用性质 (3 部分分式展开 结合 若象函数 F( 是 的有理分式, 可写为 m bm b... b b F( n a a a m m 0 n n... 0 若 m n ( 假分式, 可用多项式除法将象函数 F( 分解为有理多项式 P( 与有理真分式之和 B( F( P ( A( 第 4-3

32 5.3 拉普拉斯逆变换 F ( 由于 L - []=(, L - [ n ]= (n (, 故多项式 P( 的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成 下面主要讨论象函数为有理真分式的情形 部分分式展开法若 F( 是 的实系数有理真分式 (m<n, 则可写为 m B( bm b... b b F( n A( a... a a m m 0 n n 0 式中 A( 称为系统的特征多项式, 方程 A(=0 称为特征方程, 它的根称为特征根, 也称为系统的固有频率 ( 或自然频率 n 个特征根 p i 称为 F( 的极点 第 4-3

33 信号与系统 第 拉普拉斯逆变换 (F( 为单极点 ( 单根 n n i i p K p K p K p K A B F ( ( ( p i i i F p K ( ( ( e ] [ p L p i i 特例 :F( 包含共轭复根时 (p, = ±j j ( j ( ( ( ] [( ( ( ( D B D B F ( j j F K K B A K F K j e ] ( j [( j j K = K *

34 F ( 5.3 拉普拉斯逆变换 K j K j f ( K e co( (, j j K e K e j j 若写为 k A jb, f ( e [ Aco( B in( ] ( 0( ( 5 例 : 已知 F (, 求其逆变换 ( ( 3 k k k3 解 : 部分分式分解法 F ( m n 3 ( 其中 k F ( 0 0 ( ( ( ( 第 4-34

35 5.3 拉普拉斯逆变换 k ( F ( 0 ( ( 5 ( 3 k ( 3 F ( ( ( 5 0 ( F ( 3 3( 3 f ( e 0 3 e 3 ( 第 4-35

36 例 : 已知 F (, ( ( 求其逆变换 解 : 长除法 5.3 拉普拉斯逆变换 3 F ( 第 4-36

37 5.3 拉普拉斯逆变换 k k 分式分解法 F ( 其中 k k 3 ( ( ( 3 F ( f - ( '( ( (e e ( 第 4-37

38 例 拉普拉斯逆变换 3 已知 F (, 求其逆变换 ( 5( 解 : F( 3 ( j( j( k k k0 j j p, j, (, 其中 k 3 j ( j ( 5 j 第 4-38

39 5.3 拉普拉斯逆变换 即 k, A jb, ( A, B 5 5 k ( j ( j 5 j j F ( j j 5(, A, B 5 5 f ( e 7 co( in( e ( 第 4-39

40 第 拉普拉斯逆变换 例 4: 求象函数 F( 的原函数 f( 3 F ( ( ( ( 4 解 :A(=0 有 6 个单根, 它们分别是 =0, =, 3,4 = j, 5,6 = j, 故 F( K K K3 j K 4 j K 5 j K 6 j K = F( =0 =, K = (+F( =- = K 3 = ( jf( =j =j/ =(/e j(/,k 4 =K 3 *=(/e -j(/ 3 K 5 = (+ jf( =-+j = j e 4 K 6 =K 5 * 3 f ( [ e co( e co( ] ( 4

41 信号与系统 第 拉普拉斯逆变换 (F( 有重极点 ( 重根 若 A( = 0 在 = p 处有 r 重根, (... ( ( ( ( ( p K p K p K A B F r r r ( ( d d! ( p r r r r F p r K! ] ( [ n n n L ( e! ] ( [ n p L p n n ( ( r p K p F ( ( r p d K p F d

42 5.3 拉普拉斯逆变换 已知 F (, 求其逆变换 ( 举例 : 3 k k k k 解 : F ( ( ( ( 3 令 F ( ( F ( 其中 k F ( 3 3 p d k F ( d 3 p ( 第 4-4 4

43 5.3 拉普拉斯逆变换 d k 3 F ( d 4 k F ( 4 0 ( 3 0 p 3 F ( 3 ( ( ( f ( ( 3 e e e ( 第

44 5.4 复频域分析 一 微分方程的变换解 5.4 复频域分析 描述 n 阶系统的微分方程的一般形式为 n m ( i a i y ( i0 j0 b i 系统的初始状态为 y(0-,y (0-,,y (n- (0- 取拉普拉斯变换 y ( i ( i f Y( ( j ( i p0 i p y ( p 若 f 在 时接入, 则 f F ( j j ( 0 ( ( (0 第

45 5.4 复频域分析 [ n i i p ( p a i ] Y ( ai[ y (0] [ i0 i0 n i p0 j0 M ( B( Y ( F( Y x ( Y f ( A( A( m b j j ] F( 例 描述某 LTI 系统的微分方程为 y (+5y (+6y(=f( 已知初始状态 y(0-=,y (0-=-, 激励 f(=5co(, 求系统的全响应 y( 解 : 取拉氏变换得 y(0 y '(0 5 y(0 Y ( F( F( 第

46 5.4 复频域分析 ( 4 5 Y Y x ( Y f ( ( ( 3 ( ( j e j 4 j e j y e e e e ( [ 4 3 co( ] ( 二 系统函数 系统函数 H( 定义为 def Yf ( B( H( F( A( 它只与系统的结构 元件参数有关, 而与激励 初始状态无关 h(<--> H( 4 第

47 5.4 复频域分析 例已知当输入 f(=e - ( 时, 某 LTI 系统的零状态响应 y f (=(3e - -4e - +e -3 ( 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程 解 : Y f ( ( 4 4 H( F( ( ( 3 3 h e e 3 ( (4 ( 微分方程为 y ( 5 y( 6 y( f ( 8 f ( 第

48 三 系统的 域框图 5.4 复频域分析 积分器的系统框图 : 例 : 已知系统框图如图所示 : F( 求 H( 3 F( F( X( S - X( S - X( 4 H(S / Y( F(/ Y( 第

49 5.4 复频域分析 四 电路的 域模型 对时域电路取拉氏变换 电阻 u(= R i( 电感 di u( L L d ( i( R u( U(= R I( il( L u( I( R U( U ( LIL( Li L(0 I L ( U ( L i L (0 第

50 3 电容 i( C du C d 5.4 复频域分析 C i( ( uc( I( CUC( CuC(0 U C ( C I( u C (0 I( C UC( u C ( 0 I( C 或 CuC(0 - UC( 4 电源的 S 域模型 u (, i ( U (, I ( 第 4-50

51 5.4 复频域分析 5 S 域的 KCL,KVL 节点 : 回路 : i k k u k k L ( 0 I ( S 0 L ( 0 U ( S 0 k k 例 : 如图所示电路, 已知 u S ( =ε( V,i S ( =δ(, 起始状态 u C (0 - =V,i L (0 - = A, 求电压 u( k k 第 4-5

52 5.4 复频域分析 五 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 F ( f ( e d 0 F(j f ( e j d Re[]> 0 要讨论其关系,f( 必须为因果信号 根据收敛坐标 0 的值可分为以下三种情况 : ( 0 >0,F(j 不存在 例 :f(=e ( F(=/(, >; 其傅里叶变换不存在 第 4-5

53 5.4 复频域分析 ( 0 <0, 即 F( 的收敛域包含 j 轴, 则 f( 的傅里叶 变换存在, 并且 F(j=F( =j 如 f(=e - ( F(=/(+, >-; 则 F(j=/( j+ (3 0 =0, 即 F( 的收敛边界为 j 轴, F(j lim F ( 0 如 f(= ( F(=/ F(j lim lim 0 j = ( + /j 0 lim 0 j 第 4-53

54 5.4 复频域分析 设 A(=0 有 N 个虚根 ( 单根 j, j,, j N 将 F( 展开成部分分式, 并把它分为两部分, 其中极点在左半开平面的部分令为 F a (: N a i i F( F ( 取其拉普拉斯逆变换 : F i K j j i f ( f ( K e ( a N j i 由于 e ( 傅立叶变换为 : 取其傅立叶变换 : i i ( i j j N [ f ( ] F ( j F ( K [ ( ] j j a j i i i i i 第 4-54

55 F 5.4 复频域分析 N [ f ( ] F ( j F ( K [ ( ] j j a j i i i K F ( ( N N i a j Ki i i j ji i F( j F ( K ( N j i i i 已知 co( ( 的象函数为 (, 求其傅里叶变换 例 : 0 F 解 : F( j j j F ( j F ( K ( [ ( 0 ( 0 ] j i i i 0 0 i 第 4-55

56 5.4 复频域分析 如果 F( 在 j 处有 r 重极点, 其余极点全左半开平面, F( 的部分分式展开为 : K K K r F( F ( j j j 如果 F a ( 极点全左半开平面,F( 对应的傅立叶变换为 : r r K ( j ( r K ( j ( r F( j F ( j ( i ( i ( r! ( r! K a r r K ( j r F( j d K j F ( r! d r r r ( ( r j r ( i 第 4-56

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