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1 信号与系统 Sigal ad Sym 第六章信号与系统的复频域分析 Chapr 6 Th Complx Frqucy Domai Aalyi of Sigal ad Sym 控制系网络课程平台 :hp:// 浙江大学控制科学与工程学系 7/4/4

2 复习与概述将输入信号表示成基本信号的线性组合系统的输出时域 : 频域 : x x d 时域 a 迭加原理频域 x LTIS 基本关系特征函数 x X LTIS LTI 系统,h H 7/4/4 h y y x * h x h d y a H H H 特征值 Y=HX h 连续系统 Fourir 变换 : 考虑特征函数复指数信号中令 =jω, = jω 形式的复指数信号表示方法 -- 第三章的内容 d 复频 Laplac 变换 : 考虑特征函数复指数信号中令 =+jω 形式的复指数信号表示 -- 广义 Fourir 变换, 求系统响应并进行 S 域的分析

3 主要内容拉普拉斯变换常用信号的拉普拉斯变换阶跃指数冲激正弦双边拉普拉斯变换的性质周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换拉普拉斯反变换单边拉普拉斯变换 LTI 系统的复频域分析 7/4/4

4 双边拉普拉斯变换的性质总结 a x LT a x a X a X ; ROC至少包含 R R 线性时域平移性质 S 域平移性质 x LT X, ROC R L{ x } X ; ROC R a L{ x } X a; ROC R R{ a} 4 尺度变换特性 L{ x a} X ; ROC R Ra 5 时域微分 6 域微分 a 7/4/4 4 a dx L { } X ; ROC R包含 R d LT dx x ; ROC R d L { x x } X X ; ROC包含 R 7 时域卷积性质 LT 8 时域积分性质 x d X ; ROC 包含 R { R{} } R

5 双边拉普拉斯变换性质 9 9 初值和终值定理即 x 当时的值 x + - 即 x 当从正值方向趋于时的值, x 定理限制条件 :, x 不包含冲激或者高阶奇异函数初值定理 : x lim X ; 注意条件, 要保证有确切的初值终值定理 : x lim x lim X ; 条件是 lim x 存在 X 的极点均在平面的左半平面或原点处有阶极点 7/4/4 5

6 双边拉普拉斯变换性质 9- 例 6-7 由例 6- x u co u 验证初值与终 x 值定理解 : 由例 6-: LT x X 5 ;R{ } 由初值定理与终值定理 x lim X lim 5 x lim x lim X lim 5 7/4/4 6

7 双边拉普拉斯变换性质 9- 验证终值定理例 6-8 X 解 : x = lim x = lim X = lim = X x u LT - L [ - ]= [ ] 发散, 终值定理不成立双边 Laplac 变换的性质列表如 P4 所示 7/4/4 7

8 主要内容拉普拉斯变换常用信号的拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换的性质周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换周期信号的 Laplac 变换抽样信号的 Laplac 变换拉普拉斯反变换单边拉普拉斯变换 LTI 系统的复频域分析 7/4/4 8

9 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 -- 周期信号的拉普拉斯变换前提 : 仅考虑在时存在的单边周期信号 x, 即当 < 时, x=, 这样的周期信号 :x=x-t, > 令第一个周期的函数为 x, 且求周期函数的 X X X X x X d T T T X x X T LT x X ; 有限信号 ROC : R d x 可以看成是 x 的移位加和,X=x + x -T+ x -T+, 可利用 L 变换的时移与线性性质, 直接由 X 得到 X, 或由定义求 x ;R{ } LT T x x T X ;R{ } T 7/4/4 9 T T T T X d T

10 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 -- 周期信号的拉普拉斯变换例 6-9 Laplac 变换. 求如图示单边周期脉冲的 x 解 : X 可以看成是单个脉冲 T/ T T x u u T 以 T 为周期进行周期性延拓的结果 T X L[ u u ] LT T x x T X ;R{ } T X T T 7/4/4 T T T T ;R{ }

11 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 -- 抽样信号的拉普拉斯变换前提 : 仅考虑在时存在的单边抽样信号 x 当 < 时,x =, x p x * 载波器 x 脉冲调制器 x * T 4T x T x * * x p x LT?? 7/4/4

12 7/4/4 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 -- 抽样信号的拉普拉斯变换考虑抽样信号 x 的 Laplac 变换 T T T x u x x 例 6- 求指数抽样序列的 Laplac 变换. u x T a 解 : } { z T z T x T x d T T x x L X T 令 = } { z x L X at T a T a T at Z 的幂级数形式

13 主要内容拉普拉斯变换常用信号的拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换的性质周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换拉普拉斯反变换单边拉普拉斯变换 LTI 系统的复频域分析 7/4/4

14 拉普拉斯反变换 : Xx 定义法 : x 拉普拉斯反变换 j L j { X } j j j X d j j X j d j j X j d, ROC 有复数积分, 求解复杂, 一般不采用部分分式法 7/4/4 4

15 7/4/4 5 拉普拉斯反变换, m a a a b b b D N X m m 思路 : 许多信号 x 的 Laplac 变换式可表示成的有理函数所以要熟练掌握基本性质以及基本信号的 L 变换下面分几种情况讨论 j j i m i p z A D N X 常数 m a b A 因为 L 变换是线性变换, 可将 X 分解为低阶项部分分式的线性组合, 其每一低阶项的 Laplac 变换由 L 变换性质或直接查表求反变换后再迭加得到 x. 如以前提到的零极点形式即为一阶项的组合

16 7/4/4 6 拉普拉斯反变换 i i i m m p a a a b b b D N X 情况 X 的分母多项式 D 有个互异实根, 即 p i i p i X 其中 : i i p 的收敛域应包括 X 的 ROC X 无零极点相消且两种可能 :R{}>p i 右边信号 R{}<p i 左边信号由 ROC 性质,X 的每一项 ROC 都应包括 X 的 ROC, 可以向左或向右或向两边延伸, 直到被一个极点界定或至无穷远

17 拉普拉斯反变换 6 X ;R{ } 例 6- 求的 Laplac 反变换. 解 : 由 X 的 ROC 知原信号为右边信号 X ;R{ } ROC 示意图 X X 的 ROC /+ 的 /+ 的 ROC ROC L ;R{ } x u 7/4/4 7

18 拉普拉斯反变换 7 X ;R{ } 例 6- 求的 Laplac 反变换. 解 : 由 X 的 ROC 知原信号为左边信号 ROC 示意图 X ;R{ } X X 的 ROC /+ 的 /+ 的 ROC ROC L T ;R{ } x u 7/4/4 8

19 7/4/4 9 拉普拉斯反变换 8 D B p p p p D p N D N X = 处有重根 ; 在情况 X 的分母多项式 D 包含有重根, 即与重根无关, 按前无重根方法分解如何求重根项的系数?... D B p p p p X p X K K K K 令 : 再对 X 求导 p d dx i d X d i d X d p i i i p,,,!,, p X p a a u L a } ;R{ }! {

20 7/4/4 拉普拉斯反变换 j j D N D b a N D N X 情况 X 的分母多项式 D 包含有共轭复根, 即与复根无关方法一 : 按部分分式的方法分解并求每项的系数, 但因有复数, 不甚方便方法二 : 将产生共轭复数的二次项配成相应的余弦或正弦的拉氏变换式, 再求反变换, 这种方法更为方便 a a a u L a } R{ ; } co { a a u L a } R{ ; } i { 4 a b a b a

21 拉普拉斯反变换总结 : 由 XSx 用部分分式法将 XS 展开成低阶项实根重根复根的迭加确定各低阶项变换式的收敛域 -- 由此可知时域信号的特性确定各低阶项变换式的反变换 7/4/4

22 单边拉普拉斯变换定义性质

23 单边拉普拉斯变换 -- 定义实际问题中常遇到的是因果信号 :< 时 : x=, 定义 : X ~ x d X x d 记 : ul ~ x X 考虑在原点有冲激函数及其各阶导数双边 Laplac 变换与单边 Laplac 变换的异同 : 积分下限不同 ; 对于 < 不同而相同的信号 x, 双边 L 变换不同, 单边相同 ; 对于 < 为的信号, 双边和单边的 L 变换相同 ; 4 单边 L 变换的 ROC 一定在右半平面

24 由时移性质可得 : 单边变换 : 单边拉普拉斯变换 x -- 定义 u a 例 6- 求的双边与单边 Laplac 变换. 解 : 双边变换 : x L{ a LT a u ; R{ } a a LT! 不同! u ; R{ } a a ul{ a u } a u d a d a a d a ; a R{ } a 可见, 双边变换与单边变换不同原因是当 < 时信号不为

25 单边拉普拉斯变换 -- 定义解 : 由题知, 该信号在原点包含奇异函数因为 < 时信号为, 故双边 Laplac 变换与单边 Laplac 变换是一样的例 6-4 求的双边与单边 Laplac 变换. u x ; u d d x 记 : ;R ~ X x ul 例 6-5 求的 Laplac 反变换. ~ X 单边 L 变换的 ROC 为最右边极点的右侧 :R{}>- 解 : ~ C B A X

26 单边拉普拉斯变换 -- 性质单边 Laplac 性质大部分与双边变换相同, 主要区别在时域微分与时域积分性质 -- 对分析非零初始条件的系统十分重要时域微分双边单边 dx L{ x } X L{ } X d ~ dx ~ ul{ x } X ul{ } X x d 证明 : 由定义求 L 变换, 用到分部积分法推广到阶导数推广 d x ul{ } d d x ul{ } d ~ X x x x 注意 : 不同点! X 在的取值 dx dx ul{ } d x x d X x d d 类似地, 二阶微分 : ~ X x x 注 : 这里的均指为 -

27 单边拉普拉斯变换 -- 性质时域积分双边 L{ x } X ~ 单边 ul{ x } X 证明 : ul{ x d} ul{ x x d ul[ 注 :X 积分式在 = 的取值 L{ x d} X ul ~ { x d} X x d} ul{ x x d ] x d 常量 x d} 分部积分 ul{ x d} x ~ X 时域微分与时域积分引入了信号的起始值, 这给分析初始状态不为的系统带来极大的方便 -- 单边 Laplac 变换的最大优点!

28 时域平移性质双边单边证明 : L{ x } X ~ ul{ x } X 单边拉普拉斯变换 ul{ x } x d x d = + x d x d = x d+ X -- 性质 L x X ul x X x d 令当 x 是因果信号且 > 时, 单边拉氏变换的时延特性与双边拉氏变换一致 8

29 单边拉普拉斯变换 -- 性质 4 4 时域卷积性质 - 分析 LTI 系统非常有用的性质若信号 x 和 x 都是单边信号, 有当 < 时, x =x =, 则有 ul ul ~ x } X ~ x } X { { ul ~ ~ x x } X X { 注意前提条件, 若有一个不满足, 即上式不一定成立单边 Laplac 变换的其他性质与双边变换相同, 不再一一列出

30 主要内容拉普拉斯变换常用信号的拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换的性质周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换拉普拉斯反变换单边拉普拉斯变换 LTI 系统的复频域分析用 L 变换法对系统进行分析系统函数全响应的求解

31 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 定义与 Fourir 变换相似,Laplac 变换也可以用于分析连续时间系统, 特别适合于分析非零起始的系统单边 Laplac 变换可引入信号的初值, 获得系统的零状态零输入和全响应本节讨论 : 复频域 =+j 时域间的关系第三章中已经定义 : 特征函数指系统对该信号的输出响应仅是一个常数可能是复数乘以该信号特征值系统对特征函数输入信号的输出响应中的常数幅度因子称为系统的特征值系统函数

32 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 定义 x LTI 系统,h y x 卷积定理 y * h h d LTI H h d H 特征函数 H h d 特征值 -- 系统函数 LT h H h d 因为 =+j, 对于稳定系统 : 当 = 时,H=Hj 频率响应

33 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 定义另一种定义 : N 阶连续时间 LTI 系统可用起始状态为零的线性常系数微分方程表示 : M r r r r N d x d b d y d a 对微分方程进行双边 Laplac 变换 X b Y a M r r r N D N a b X Y H N M r r r z 由 Laplac 变换的卷积性质 H X Y 收敛域问题由系统性质推出 H 其他名称传递函数网络函数 LTI 系统许多性质因果性稳定性频响等与 H 的零极点分布有关

34 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 H 可写成因子相乘的形式 : N j j M i i N M r r r p z H a b H 因果性对于一个因果系统,< 时,h= h 是右边信号 H 的 ROC 应在最右边极点的右半平面如果系统是反因果的 h 是左边信号 : > 时,h= H 的 ROC 应在最左边极点的左半平面 z i - 零点 p j - 极点稳定性与因果性 N b M a H 注 : 相反结论不一定成立 ROC 在最右边极点的右边 -- 保证是右边信号, 但不能保证一定 < 时,h=

35 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性例 6-6 考虑一系统的系统函数为 H,R{ } 解 : 对于该系统, 其 ROC 是在最右边极点的右侧, 因此单位冲激响应必是右边信号为确定它的单位冲激响应, 利用考虑时移性质 L u,r{ } u 单位冲激响应 h u L,R{ } 因为 -<< 时不等于, 所以系统不是因果的对一个有理系统函数的系统, 因果性等效于 ROC 在最右边极点的右半平面该例说明 : 因果系统 ROC 在最右边极点的右边 ; 但相反结论不一定成立等价性只针对有理系统函数

36 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性例 6-7 有一系统, 其单位冲激响应为 h u 解 : 因为 < 时,h=, 所以该系统是因果的同时它的系统函数由例 6-5 可知为 H,R{ } 显然, 系统函数是有理的, 并且 ROC 是在最右边极点的右侧这与有理系统函数的因果性等效于 ROC 位于最右边极点的右侧的结论一致例 6-8 有一系统, 其单位冲激响应为解 : 因为 < 时,h, 所以该系统是非因果的由例 6- 可知系统函数为 H, - R{} h 系统函数是有理的,ROC 不在最右边极点的右侧, 所以该系统是非因果的

37 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 4 稳定性与 H 的极点和 ROC 之间的关系系统稳定的含义 : 在时域上, 系统稳定单位冲激响应 h 绝对可积 h d h 的 Fourir 变换收敛即 Hj 存在, 而一个信号的 fourir 变换就等于 Laplac 变换沿 j 轴求值, 即 H j H j 所以, 当且仅当系统函数 H 的 ROC 包括 j 即 R{}= 时,LTI 系统是稳定的

38 由于没有给出 ROC,ROC 存在种可能性种不同的 h 例 6-9P 某一 LTI 系统, 其系统函数为 H 在最右边极点的右半平面, 如图示 : 因果系统, 但不稳定 - ROC 示意图 u h 在最左边极点的左半平面, 如图示 : 非因果系统, 也不稳定 - ROC 示意图 u h 在两个极点的中间部分, 如图示 : 非因果系统, 稳定 - ROC 示意图包含 j 轴 u u h 若已知系统因果性与稳定性, 就能确定 ROC 与单位冲激响应系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 5

39 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 6 因果稳定性同时满足因果性与稳定性一个具有有理函数 H 的因果系统是稳定的, 当且仅当系统函数 H 的全部极点分布在的左半平面有理函数 H 是因果的系统稳定 ROC 在最右边极点的右边 ROC 包括 j 轴系统函数 H 的最右边极点位于 j 轴的左边例 6- 单位冲激响应为 h u H,R{ } 有理系统函数 H 的 ROC 位于最右边极点的右侧, 系统是因果的又,H 的 ROC 包括 j 即 R{}=} 时, 系统是稳定的 =- 在平面的左半平面所以, 该系统是因果稳定的 h u ; 因果稳定?

40 显然, 因果性稳定性这些系统性质都能直接与系统函数及特性联系起来例 6- 如一 LTIS 的输入 : Y H ; ROC? X x u 其输出为 y [ ] u 请由上述信息确定 H 与其他性质解 : X,R{ } Y,R{ } 由卷积性质,Y 的 ROC 至少包含 X H 的 ROC 相交部分检查 H 的 ROC 的种可能情况 :- 左边 ;- 与 - 之间 ;- 的右边只有 R{}>- 相符描述系统的微分方程 : 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 7 d y d dy d y Y L{ x h } ROC包含 R dx d R 又因 H 的个极点均在平面的左半平面, 所以 H 是稳定的 x X H ; 因为该 ROC 在 H 最右边极点的右边, 且 H 是是有理的, 故 H 是因果的

41 例 6- 已知一个 LTI 系统的下列信息 : 系统是因果的 ;H 是有理的, 且仅有个极点在 =- 和 =-4; 若 x=, 则 y=;4 单位冲激响应在 = + 时的值是 4 根据以上信息确定系统函数解 : H 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 8 p p P 有一个根 = 由条件 : x y H H p p q 条件 4: 由初值定理 q h lim H lim 4 q 4 68 单位冲激响应的 Y=H 若 q 的阶次 >, 极限发散综上所述 : 4 H, R{ } 4

42 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 9 例 6- 考虑一稳定而因果的系统, 假定单位冲激响应为 h, 系统函数 H 是有理的, 有一极点在 =-, 原点无零点其余零极点均未知对以下说法的是非进行判断 F{h } 收敛 ; 果而稳定系统的单位冲激响应 ; 4 极点 ; 5 h 是有限持续期的 ; 6H=H-. 解 : F{ h } dh d h d ; h 是一个因在它的 Laplac 变换中至少有一个 j j h d h d H j 相应于 h 的 L 变换在 =-+j 的值若收敛 =- 在 ROC 中但因果稳定系统的 ROC 在 H 所有极点右边, 而 - 在 - 的左边错利用特征值函数概念 : h d h d H H 相当于 H=, 而已知原点无零点 S h d 错

43 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性例 6- 考虑一稳定而因果的系统, 假定单位冲激响应为 h, 系统函数 H 是有理的, 有一极点在 =-, 原点无零点其余零极点均未知判断 : 续前 : h 是一个因果而稳定系统的单位冲激响应? 对 LT 由域微分性质, L{ x } X ; ROC R dx x ; ROC d L{ h} 与 H 具有相同的 ROC 系统稳定已知 H 稳定,H 的 ROC 包括 j <, h= 因为 dh h 代表的是因果系统的单位冲激响应 4 在它的 Laplac 变换中至少有一个极点? d dx L{ x } X ; ROC R L { } X ; ROC R包含 R d H 没有消去 H 中原有的 =- 的极点所以该说法 : 对 R

44 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性例 6- 考虑一稳定而因果的系统, 假定单位冲激响应为 h, 系统函数 H 是有理的, 有一极点在 =-, 原点无零点其余零极点均未知判断 : 续前 :5 h 是有限持续期的因为若 h 是有限持续期的, 则 H 的收敛域是整个平面, 对有理 L 变换来说,ROC 内不应包含任何极点时域特性与 ROC 的关系, 但已知 H 在 =- 有一个极点错 6 H=H- 因为若 H=H-, 则必须在 = 有一个极点, 但对于一个因果稳定的系统, 所有极点都必须在的左半平面, 这与已知条件矛盾错

45 o j p i M i N i i i j z i 系统的复频域分析 -- 系统函数 H 与系统的频率响应 Hj 由 H 的零极点分布, 可在域上进行 H 的几何求值 N i i M i i p z H H 由零点 z i 引向某点的矢量由极点 p i 引向某点的矢量 =j ] [ j j m N i i M i i Hjω M M M N N N H p j z j H j H m 频率响应 : 当沿虚轴移动时, 各矢量模与幅角随之改变, 即可画出幅频特性与相频特性幅频特性相频特性参见教材 P5, 例 6-9

46 系统的复频域分析 -- 全响应的求解方法一 : 由微分方程起始状态求零输入响应 + = 全响应方法二 : 直接用单边 Laplac 变换法可自动计入起始状态一次性的计算全响应, 且可区分零状态零输入响应 -- 注意收敛域问题 X H Y z x b x d d b x d d b x d d b y a y d d a y d d a y d d a m m m m m m,,, N y 常系数线性微分方程描述的因果系统???: 为什么双边 L 变换只能求解零状态相应?

47 系统的复频域分析 -- 全响应的求解, ; 5 y y u y d dy d y d 5 ] [ Y y Y y y Y 例 6-4P8 例 6- 设因果 LTI 系统的微分方程如下, 求 y, y z y zi. 解 : 取单边 Laplac 变换 ' 5 y y y Y 将起始条件代入得 : X 5 5 y y y Y Yz Yzi

48 ,R Y z,r Y zi Y Y Y zi z LT - y y y zi z u Y L y z z 4 5 u Y L y zi zi 系统的全响应 : u y y y zi z 6

49 系统的复频域分析 H X 极点分布与自由相应强迫相应特征对应 Y H X y L Y [ ] H m j i z j p i X u v z p Y v Ki K p p i i y = i= K i p i + v = K p 自由响应强迫响应

50 主要内容拉普拉斯变换 : 与 FT 关系,ROC, 零极点表示,ROC 与时域常用信号的拉普拉斯变换 : 阶跃指数冲激正弦双边拉普拉斯变换的性质 : 与 F 变换性质相同, 区别在 ROC 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 : 变换式中出现拉普拉斯反变换 : 分解成部分分式再进行反变换, 注意 ROC 问题单边拉普拉斯变换 : 因果信号, 时域微分与积分性质 LTI 系统的复频域分析 : 系统函数,H 的零极点与稳定性因果性的关系, 单边 LT 可求全响应 T

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PowerPoint 演示文稿信号与系统 Sigls d Sstes 第七章 Z 变换 Chpter 7 Z Trsfortio 控制系网络课程平台 :http://www.cse.ju.edu.c/eclss/sigl_sste/ 浙江大学控制科学与工程学系主要内容双边变换变换的收敛域变换的性质常用信号的变换对反变换单边变换及其性质 LTI 系统的域分析单边变换及其性质 -- 定义实际问题中常遇到的是因果序列