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减泗席
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1 第三章 DFT 离散付氏变换 DFS 和 DFT DFS 和 DFT 的性质 Z 变换与 DFS 的关系 FFT IDFT 频谱分析

傅里叶 Fourir, 768-83 法国数学家物理学家法国著名数学家物理学家,87 年当选为科学院院士,8 年任该院终身秘书,

向巴黎科学院呈交, 但经拉格朗日拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝,8 年又提交了经修改的论文, 该文获科学院大奖, 却未正式发表

2 傅里叶 Fourir, 法国数学家物理学家法国著名数学家物理学家,87 年当选为科学院院士,8 年任该院终身秘书, 后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席, 主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论傅立叶在 87 年就写成关于热传导的基本论文热的传播, 向巴黎科学院呈交, 但经拉格朗日拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝,8 年又提交了经修改的论文, 该文获科学院大奖, 却未正式发表傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程, 并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示, 从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数傅立叶级数即三角级数傅立叶分析等理论均由此创始北京邮电大学信息与通信工程学院

3 3. 问题的提出 : 离散信号的变换离散信号在两种变换域中的表示方法离散时间傅里叶变换 DTFT -- 提供了绝对可加的离散时间序列在频域 ω 中的表示方法 w Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示 z z 这两种变换有两个共同特征 : 变换适合于无限长序列它们是连续变量 ω 或 z 的函数 w 北京邮电大学信息与通信工程学院 3

4 3. 问题的提出 : 可计算性问题 :z, w 都是连续的, 利用计算机处理有困难, 例如使用 Matlab, 因此提出了在频域内取样, 使频谱离散化的问题必须截断序列, 得到有限个点的序列目标 : 我们需要得到一个可进行数值计算的变换方法 : DTFT 频域中原始信号频谱的周期拓展对 DTFT 在频域中采样 DFS 3 将 DFS 推广到有限持续时间序列 DFT DFT 避免了前面提到的那两个问题, 并且它是计算机可实现的变换方式 DFT 已成为 DSP 算法中的核心变换, 原因 : 有限长序列傅里叶变换的重要方法有快速算法北京邮电大学信息与通信工程学院 4

5 3. 问题的提出 : 傅里叶变换的四种形式时间函数频率函数非周期连续时间傅里叶变换 FT- 连续频率周期连续时间傅里叶级数 FS- 离散频率非周期离散时间离散时间傅里叶变换 DTFT- 连续频率周期离散时间离散傅里叶级数 DFS- 离散频率北京邮电大学信息与通信工程学院 5

6 3. 问题的提出 : 傅里叶变换的四种形式. 连续信号非周期的付氏变换 t t t, t t t d t t dt 时域连续函数造成频域是非周期的谱时域的非周期造成频域是连续的谱北京邮电大学信息与通信工程学院 6

7 3. 问题的提出 : 傅里叶变换的四种形式 3. 周期连续时间信号 : 傅里叶级数 FS t t T 时域周期频域离散 T t - T t t dt T 时域连续函数造成频域是非周期的谱频域的离散对应时域是周期函数 T t 北京邮电大学信息与通信工程学院 7

8 3. 问题的提出 : 傅里叶变换的四种形式 4 3. 非周期离散信号 : 离散时间傅里叶变换 DTFT T T T 时域离散频域周期 T T T T T d 时域的离散化造成频域的周期延拓时域的非周期对应于频域的连续 T T T T T T 取样定理北京邮电大学信息与通信工程学院 8

9 3. 问题的提出 : 傅里叶变换的四种形式 5 4. 周期离散时间信号 : 离散傅里叶级数 DFS 周期 T T T 一个域的离散造成另一个域的周期延拓离散傅里叶级数的时域和频域都是离散的和周期的 T T 取样间隔时域周期离散频域周期离散 T T T T T T=T 北京邮电大学信息与通信工程学院 9

10 3. 问题的提出 : 傅里叶变换的四种形式 6 四种傅里叶变换形式的归纳总结 : 形式时间函数频率函数傅里叶变换 FT 傅里叶级数 FS 离散时间傅里叶变换 DTFT 离散傅里叶级数 DFS 连续非周期连续周期 T 离散 T 非周期离散 T 周期 T 非周期连续非周期离散 Ω =π/t 周期 Ω s =π/t 连续周期 Ω s =π/t 离散 Ω =π/t 离散时间函数的取样间隔 :T, 取样频率 : 离散频率函数的取样间隔 :F, 时间周期 : 结论 : 时域中函数取样离散映射频域中函数周期重复 ; 频域中函数取样映射时域中函数周期重复 ; 3 取样间隔映射周期 π/ 间隔 s 北京邮电大学信息与通信工程学院 f s T T F

11 3. 问题的提出 : 傅里叶变换的四种形式 7 a t a Ω a FT T t -Ω Ω t t c FS a Ω -T T T -Ω Ω Ω = a T b DTFT /T T T -Ω s -Ω Ω Ω s T /T d DFS - - 时域中函数的取样和频域中函数的取样

12 3. DFS 及其性质由以上讨论可以清楚地看到, 时域取样将引起频域的周期延拓, 频域取样也将引起时域的周期延拓因此可以设想, 如果同时对频域和时域取样, 其结果是时域和频域的波形都变成离散周期性的波形, 从而我们可以利用付氏级数这一工具, 得到它们之间的离散付氏级数 DFS 关系北京邮电大学信息与通信工程学院

13 DFS 定义 : 正变换 DFS 为了推导的关系, 作下列变量代换 : 时域 : T 频域 : 则得 :? DFS 北京邮电大学信息与通信工程学院 3

14 DFS 定义 : 正变换周期离散序列的 Z 变换存在收敛的问题因为周期离散序列, 而对于周期信号, 严格数学意义上讲, 其 Z 变换不收敛, 因为 : 而对于, z z z 为整数找不到衰减因子使它绝对可和收敛为此定义新函数, 其 Z 变换 : 北京邮电大学信息与通信工程学院 4

15 北京邮电大学信息与通信工程学院 5 其频谱 :ω 是连续变量, 需要对其离散化 z z z z z DFS 定义 : 正变换取的一个主周期进行 Z 变换

16 DFS 定义 : 正变换频域取样 ω 是连续变量 ω 的周期函数, 周期为 π 把 ω 离散化, 即在 π 区间内等间隔取个点, 取样间隔为 π/ 另一个角度看, ω 是 Z 平面单位圆上的 Z 变换连续变量 ω 的离散化也可以认为是把单位圆分等分, 每份为 π/ 其中 : 称为频域中的取样间隔, 也称为频率分辨率 I R Z 平面北京邮电大学信息与通信工程学院 6

17 北京邮电大学信息与通信工程学院 7 z z DFS 定义 : 正变换则其中

18 北京邮电大学信息与通信工程学院 8 DFS: DFS 定义 : 正变换也仅有,,,- 个独立值, 周期为因为随周期变化, 仅有,,, - 个独立值仅有,,,- 个独立值所以

19 北京邮电大学信息与通信工程学院 9 反变换 IDFS 正变换两端乘以,=,,,- 然后令 =,,,- 求和, 得 : DFS 定义 : 反变换用正交条件 :

20 北京邮电大学信息与通信工程学院 DFS 定义 : 反变换即只有 = 时, 才有值, 而不等于时, 为零, 因此, 只取变量替换为, 得...,,

21 北京邮电大学信息与通信工程学院 DFS 变换对 : 时域周期序列与频域周期序列间的关系 DFS 定义 : 反变换其中

22 DFS 定义 : 几点说明在什么条件下不产生混迭失真? 频率取样频率取样 : 若时间信号有限长, 当满足下列条件时, ω 的样本值能不失真的恢复成原信号为了避免时间上的混迭 : 必须是时间限制有限时宽,, 取样频率间隔小于或 T 北京邮电大学信息与通信工程学院其它

23 DFS 定义 : 几点说明频率分量如果变量 DFS 可表示为 : T, T T T 指数项不变因此, 时域及频域都是有物理意义的北京邮电大学信息与通信工程学院 3

24 DFS 定义 : 几点说明更具体地, 傅里叶系数的标号和频率 f 的关系为 : fs T f 所以 : f 对应关系 : f s H 傅里叶系数标号 : 数字频率 ω:π 模拟频率 f :f s / f / s / s f s s 变换系数标号弧度, 数字频率 f Hz, 模拟频率弧度 / 秒, 模拟角频率北京邮电大学信息与通信工程学院 4

25 DFS 定义 : 几点说明频率成份直流分量 : 当 = 时,, 此时得到的傅里叶级数的系数称为信号的直流分量 DC Copot, /是信号的平均值; 交流分量 : 其它频率 > 称为周期信号的谐波, 此时的傅里叶级数系数称为信号的交流分量 = 时的频率为信号的一次谐波, 或基频, 频率大小为 f s /, 时间为 T s, 等于完成一个周期所需要的时间其它谐波为基频的整数倍离散傅里叶级数包含了到 -f s / 的频率, 因而个傅里叶级数的系数位于从直到接近取样频率的频率上 f s 频域 f s 时域北京邮电大学信息与通信工程学院 5

26 DFS 定义 : 几点说明周期信号的频谱由傅里叶系数可得到的幅度频谱和相位频谱 arg, 不难证明, 如果是实序列, 那么幅度频谱是周期性偶函数, 相位频谱是周期性奇函数周期信号由离散傅里叶级数 DFS 得到的频谱, 和非周期信号由离散时间傅里叶变换 DTFT 得到的频谱之间有重要区别 DTFT 产生连续频谱, 这意味着频谱在所有的频率处都有值, 因而非周期信号的幅度和相位频谱是光滑无间断的曲线与之相反,DFS 仅有点的频谱, 仅包含有限个频率, 因而周期信号的幅度和相位频谱是线谱, 即相等间隔的竖线, 当频谱的横坐标变量用实际频率 f 代替时, 谱线间隔为 f s / 并不是所有的周期信号都含有全部谐波, 例如有些频谱只有奇次谐波, 比如三角波, 偶次谐波为, 而有些频谱仅在一些谐波处的值为北京邮电大学信息与通信工程学院 6

27 例 : 求出下面周期序列的 DFS 表示式 {...,,,,3,,,,3,,,,3...} 解 : 上述序列的基本周期为 =4, 因而 4 = -π/4 = -,

28 解法一 : 数值解.,, DFS R 的求 8 为周期进行周期延拓成以将例 : 已知序列

29 解法二 : 公式解 DFS[ ]

30 利用矩阵矢量乘法表示为矩阵形式 : 4 北京邮电大学信息与通信工程学院 3

31 利用矩阵矢量乘法若令列向量,,, T,,, T 则可由矩阵运算的形式给出 DFS 的定义为 : * 矩阵为方阵, 叫做 DFS 矩阵, 北京邮电大学信息与通信工程学院 3 用下面的 Matlab 函数 dfs 和 idfs 实现 DFS 正反变换

32 例 : 下面给出一周期方波序列 :, L, L 其中, =, ±, ±,, 是基本周期, L/ 是占空比 a 确定一种用 L 与描述的的表达式 b 分别画出当 L =5, = ;L=5,=4;L=5,=6; L=7,=6 时表达式 c 对所得结果进行讨论

33 解 :a 由 DFS 定义可得 si si L L L L L L 而 : 的幅值可表示为 : othrs L L, / si / si,...,,, L othrs L L,,...,,,

34 tild tild DFS of SQ. wav: L=5, = - DFS of SQ. wav: L=5, = 个峰值 4 5 个峰值 tild tild 3 DFS of SQ. wav: L=5, =4 - DFS of SQ. wav: L=7, =6 6 5 个峰值 7 个峰值 4 - 注意 : 是周期信号, 图中只画出了从 / 到 / 的部分从图中可以看到, 方波的 DFS 系数的包络像 Sic 函数, K= 时的幅度等于 L; 同时函数的零点位于 /L 占空比的倒数的整数倍处 ; 3 L=5 不变, 变大即填, 但有效信息没有增加, 则形状不变, 只是更平滑, 即获得了一个高密度谱 ; 4 =6 不变,L 变大即增加了原始数据长度, 则变换后得形状发生了变化, 获得了更多的信息, 即高分辨率谱

35 DFS 的性质 : 线性线性若 : 两个周期序列和, 周期均为且 : 则 [ DFS ] DFS[ ] DFS[ a b ] a b -- a,b 为任意常数北京邮电大学信息与通信工程学院 35

36 北京邮电大学信息与通信工程学院 36 序列的周期移位时域若是周期序列, 其周期为, 移位后仍为周期序列, 且 : DFS 的性质 : 序列的周期移位证明 : ] [ DFS ] [ i i i i i i i DFS i i i i i i i i i i i i i i

37 DFS 的性质 : 调制特性调制特性频域周期移位证明 : DFS[ l DFS[ ] l l ] l l 若 :, 则有 : l 北京邮电大学信息与通信工程学院 37

38 DFS 的性质 : 周期卷积周期卷积时域设 : 两个周期序列和, 周期均为其 DFS 分别为, 如果 : 和 3 或者 3 则 : 3 频域相乘时域卷积周期卷积 : 两个周期序列在一个周期上的线性卷积, 是一种特殊的卷积计算形式北京邮电大学信息与通信工程学院 38

39 DFS 的性质 : 周期卷积证明 : 北京邮电大学信息与通信工程学院 39

40 DFS 的性质 : 周期卷积 3 和是周期的. 求和范围为一个周期. 3 周期序列周期卷积后, 序列的长度仍然是周期的. - - 位置保持不变 - - 北京邮电大学信息与通信工程学院 4

41 DFS 的性质 : 周期卷积 4 序列的线性卷积与周期卷积的几点区别 : 线性卷积的求和对参与卷积的两个序列无任何要求, 而周期卷积要求两个序列是周期相同的周期序列线性卷积的求和范围由两个序列的长度和所在的区间决定, 而周期卷积的求和范围是一个周期线性卷积所得序列的长度 M+- 由参与卷积的两个序列的长度确定, 而周期卷积的结果仍是周期序列, 且周期与原来的两个序列周期相同周期卷积等同于两个周期序列在一个周期上的线性卷积计算北京邮电大学信息与通信工程学院 4

42 解 : 例 : 已知序列 =R 4, =+R 5, 分别将序列以周期为 =6 拓展成周期序列, 求两个周期序列的周期卷积和 5 y

43 5 4 5

44 北京邮电大学信息与通信工程学院 44 频域周期卷积利用 DFS 的对偶性有 : 时域相乘频域卷积 DFS 的性质 : 周期卷积 5 注意频域卷积的求和号前面有 / 若 y 则 l l l l l l y y DFS Y ] [

45 DFS 的性质 : 共轭对称性由任一周期性序列, 定义如下两个序列 : 共轭偶对称周期性序列 [ ] 共轭奇对称周期性序列 o [ o ] o 且具有如下关系 : o 显然, 和具有相同的周期, 则可表示为和之和 o o o 其它对称性质见教科书北京邮电大学信息与通信工程学院 45

46 DFS 定义和性质 : 小结时域周期序列与频域周期序列的关系 DFS DFS 的性质重点 : 周期移位调制特性周期卷积 DFS[ ] l DFS[ ] l y 北京邮电大学信息与通信工程学院 46

一.本课程的目的,任务和特点

一.本课程的目的,任务和特点第 3 章周期信号的傅里叶级数表示 3. 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 (CFS) () 复指数函数作为线性时不变系统的特征函数 (2) 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 (3) 计算傅里叶系数 (4)CFS 的性质基信号的特性 a. 我们可以用这些基来构建一类信号 ; b. 线性时不变系统对这些基信号的响应是非常简单的 ; 以往的焦点 : 单位抽样信号和冲击现在的焦点 : 线性时不变系统的特征函数