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长嫩广
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1 信号与系统 Sigls d Sysms 第四章离散时间信号与系统的频域分析 Chpr 4 h Frqucy Domi Alysis of Discr Sigl & Sysm 控制系网络课程平台 :hp:// 浙江大学控制科学与工程学系

2 概述 7 世纪开始离散时间信号的研究世纪 4 年代, 微电子技术的发展和数字计算机的出现扩展了离散时间信号与系统的应用范围重要工具离散时间信号与系统的频域分析方法离散时间信号与系统的分析的重要性数字信号处理与数字处理系统的研究世纪 6 年代, 设计和分析离散时间数字系统过程中, 出现大量的傅里叶变换运算现代信号分析理论和数字信号处理快速发展快速傅里叶变换 FF

3 概述第二章 : 卷积和法是将任一信号表示成一组移位的脉冲信号的线性组合 LI 系统的叠加性和时不变特性系统对 δ 信号的响应 h 系统对输入信号的响应第四章 : y * h h 将信号表示为一组基本信号 z 或 ω 复指数信号的线性组合 LI 系统的叠加性和时不变特性 z 系统对复指数信号的响应 Hzz 系统对输入信号的响应 y H z z z 3

4 本章主要内容离散时间 LI 系统的特征函数 : 特征函数与特征值离散时间周期信号的傅里叶级数表示非周期信号的表示 : 离散时间信号的傅里叶变换离散周期信号的傅里叶变换离散傅里叶变换的性质离散时间 LI 系统的频域分析 4

5 离散时间 LI 系统的特征函数特征函数与特征值复习特征函数特征值的定义 : 特征函数指系统对该信号的输出响应仅是一个常数可能是复数乘以该信号而该常数幅度因子就称为系统的特征值系统函数连续 LI 系统特征函数 s, 那么离散时间复指数信号 z 是否是特征函数? y * h h h z 特征函数 z 为复数 z r LI 系统,h z LI z H z h z 假定级数收敛 Hz y z 卷积和定理 y * h h z z 特征值 h z z H z Hz 5

6 离散时间 LI 系统的特征函数特征函数与特征值 z LI z Hz LI z y H z 对输入信号 { } 的响应为 { Hz } 首先需要研究如何用复指数信号 z 来研究一般的信号连续系统 : 复指数信号 s 中令 s=ω, s = ω 形式的复指数信号表示方法, 即连续时间傅里叶变换 ; 离散系统 : 复指数信号 z 中令 z= ω,z = ω 形式的复指数信号表示方法, 即离散时间傅里叶变换 z 6

7 对照连续 LI 系统与离散 LI 系统 : = s s s s s h y H s 傅里叶分析 H s = H h s h d d 系统函数系统频率响应 r= y H z z z z r z z h 傅里叶分析 H z h z r= H h 系统函数系统频率响应 7

8 本章主要内容离散时间 LI 系统的特征函数离散时间周期信号的傅里叶级数表示非周期信号的表示 : 离散时间信号的傅里叶变换离散周期信号的傅里叶变换离散傅里叶变换的性质离散时间 LI 系统的频域分析 8

9 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间 Fourir 级数回顾连续周期信号 FS 展开对 d 无穷级数连续时间系统 : 是周期的, 基波周期, 基波频率 ω 系的复指数信号集合,,,,, 成谐波关, 利用复指数信号的线性组合来表示周期为的连续时间周期信号连续时间周期信号的 Fourir 级数 ; 9

10 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间 Fourir 级数一. 成谐波关系的复指数信号的线性组合,,, 但只有个信号是不相同的例 : 一般关系, r, Z r 离散时间系统 : 是周期的, 基波周期, 基波频率 ω, 成谐波关系的复指数信号集合与连续系统不同的是, Φ 只有个相连信号是不同的, 利用复指数信号的线性组合来表示周期为的离散时间周期信号离散时间周期信号的 Fourir 级数 ;

11 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间 Fourir 级数 3 连续时间 Fourir 级数 : 离散时间 Fourir 级数 : 有限项的级数与连续时间 Fourir 级数的区别一离散时间 Fourir 级数系数傅里叶级数系数的确定 : 频谱系数求解方法与连续时间 Fourir 级数系数的求解方法相同

12 回顾 : 连续时间 Fourir 级数傅里叶级数系数的确定两边同乘两边从对积分 d d d d d,, d d d 如果周期信号可以表示成谐波复指数信号的线性组合, 如何确定?

13 3 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间 Fourir 级数 4 同乘 r r r r =<> 上求和 r r r ls l r r r r,,,,,, 二. 离散 FS 表示式系数的确定讨论 : 当当 =,,

14 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间 Fourir 级数 5 r r r r l, ls r,,,,, 前式右端的内层加和项为零, 除非 -r 是的整数倍设计 r 在的取值范围内, 则上式右端只有在 =r 时非零 r r r r 4

15 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间 Fourir 级数 5 离散时间傅里叶级数的两个关系式 : 综合公式 : 分析公式 : 也称的频谱系数记 : Fs 连续时间傅里叶级数的两个公式 d 5

16 6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间 Fourir 级数 6 将频谱系数看成是一离散信号, 分析 + : 是周期为的周期信号与连续时间 Fourir 级数的区别二时域离散周期频域周期离散

17 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间 Fourir 级数收敛有限项的和个线性方程, 个未知数可以证明 : 个方程是线性独立的利用已知求得系数的惟一解对任何离散时间周期信号, 其傅里叶级数系数存在且惟一离散时间傅里叶级数不存在收敛问题和吉布斯现象与连续时间 Fourir 级数的区别三 7

18 8 离散时间周期信号的傅里叶级数表示举例例 4- 求信号 =siω 和 =cosω 的傅里叶级数. 解 : 当 /ω 为有理数的情况下, 两信号是周期的, ω 基波频率 si 在一个周期内 : cos 在一个周期内 :

19 9 离散时间周期信号的傅里叶级数表示举例 - 例 4- P4 求基波周期为的周期方波的傅里叶级数系数. - - 解 : si si si si = 一周内平均值,,,,,, 等比数列前项之和

20 离散时间周期信号的傅里叶级数表示举例 - 例 4- P4 求基波周期为的周期方波的傅里叶级数系数. - - 解 :,...,, si si,...,,

21 离散时间周期信号的傅里叶级数表示,,,... si,,,... si 举例 -3 si 取 =, = 则 si 4 si / 3 3 si3 / 8 si si si5 / si / 5 r = / / / -/ 实偶?

22 本章主要内容离散时间 LI 系统的特征函数离散时间周期信号的傅里叶级数表示非周期信号的表示 : 离散时间信号的傅里叶变换离散周期信号的傅里叶变换离散傅里叶变换的性质离散时间 LI 系统的频域分析

23 离散时间傅里叶变换 DF 主要内容非周期信号的表示 : 离散时间信号的傅里叶变换非周期信号的 Fourir 变换的导出离散时间 Fourir 变换的收敛典型离散时间信号的 Fourir 变换对 3

24 离散时间傅里叶变换 DF 非周期信号的 Fourir 变换的导出回顾连续时间信号傅里叶变换的导出 : 周期信号周期,ω 非周期信号离散时间信号傅里叶变换的导出思路相同傅里叶级数 d 在频率上无限靠近的 ω 域由离散变为连续 X X 傅里叶变换 d d 若已知周期信号的第一个周期对应的时限信号的傅里叶变换为 X X 周期信号的傅里叶级数系数可以看成是一个以非周期信号的傅里叶变换为包络函数的离散采样值 4

25 离散时间傅里叶变换非周期信号的 Fourir 变换的导出考虑某离散时间信号, 具有有限持续期 -, ~ - 非周期信号周期信号的傅里叶级数 : ~ 周期延拓 lim ~ - ~ 周期信号 ~ ~,, 5

26 6 离散时间傅里叶变换非周期信号的 Fourir 变换的导出 3 定义 : X X X X X X ~ 当时,ω lim ~

27 离散时间傅里叶变换非周期信号的 Fourir 变换的导出 4 X lim ~ lim X X d 周期为式中 : d 积分区间可以取任意区间为 π 的间隔因为 =<> 是任意的求和是在一个周期的宽度上进行的, 因此等效的积分是在个宽为 ω 的间隔内完成, 则总的 ω 的积分区间为一个 π 的宽度 ω = π 复指数信号的加权系数为 X d 即将非周期信号表示为复指数信号的线性组合形式 7

28 离散时间傅里叶变换非周期信号的 Fourir 变换的导出 5 离散时间信号的傅里叶变换 : 综合公式 : 分析公式 : X d X 离散时间傅里叶反变换离散时间傅里叶变换 X 的频谱复指数信号 ω 的相对复幅度比较 : 连续时间信号的 Fourir 变换 : X X d d 离散时间与连续时间傅里叶变换形式非常类似 : 综合式中 :X ω 分析式中 : 求和 Xω 积分 8

29 9 离散时间傅里叶变换非周期信号的 Fourir 变换的导出 6 离散时间信号与连续时间信号傅里叶变换的区别 : 离散时间信号的频谱是周期为 π 的周期函数, 连续时间信号的频谱是非周期的 X 离散周期信号的频谱系数是周期的离散时间非周期信号的频谱 X ω 是周期的离散周期信号的傅里叶级数展开式综合式是有限项累加 ; 离散时间非周期信号的傅里叶反变换综合式是 π 的积分区间, π 的偶数倍附近为低频信号, π 的奇数倍附近为高频信号图 4-4 d X X

30 3 离散时间非周期信号的傅里叶变换 : d X 综合公式 : X 分析公式 : 离散时间周期信号的傅里叶级数 : 综合公式 : 分析公式 : 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换的收敛

31 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换的收敛关键 : 分析公式若 X lim 离散时间的傅里叶反变换不存在收敛性问题 X 绝对可和 X 平方可和综合公式的频域收敛性则处处收敛, X ω 是的连续函数则均方收敛, X ω 可能存在跳变点用有限项分析公式近似频谱时, 存在吉布斯现象 X d W ˆ X d W ˆ W 离散时间情况下, 用有限频率分量近似原离散时间信号时, 不存在吉布斯现象例子见 P44 3

32 离散时间傅里叶变换典型离散时间非周期信号傅里叶变换对单位脉冲 δ 的频谱 X F X F 表明包含了所有频率的分量, 而且这些频率分量都具有相同的幅度与相位离散时间 LI 系统对应的响应, 即单位脉冲响应 h, 反映了系统对所有频率信号的响应特征, 反映了系统本身的特性, 因此 h 能完全表征 LI 系统 7/3/6 第四章 3

33 离散时间傅里叶变换典型离散时间非周期信号傅里叶变换对 - 单边指数信号 u, 等比数列 : q= -ω X 讨论 << Im 单位圆 B R X << - << 7/3/6 第四章 33 3 F u 周期为的周期函数 X B B B 3 X B

34 7/3/6 第四章 34 R Im B 单位圆离散时间傅里叶变换典型离散时间非周期信号傅里叶变换对 - 幅频特性,,, B X X - - 幅度谱偶对称低通滤波器 X << =.5

35 离散时间傅里叶变换典型离散时间非周期信号傅里叶变换对 -3 相频特性 Im X B R 单位圆 << = 相位谱奇对称 - - 7/3/6 第四章 35

36 7/3/6 第四章 36 离散时间傅里叶变换典型离散时间非周期信号傅里叶变换对 -4 讨论 -<< R Im B,,, B X X - - 高通滤波器 =-.5 X

37 离散时间傅里叶变换典型离散时间非周期信号傅里叶变换对 -5 讨论 -<< X B Im R - - = 实信号幅度谱偶对称相位谱奇对称 - - 7/3/6 第四章 37

38 离散时间傅里叶变换典型离散时间非周期信号傅里叶变换对 3-3 双边指数信号, X cos 实偶 << 7/3/6 第四章 38 F u 3 实偶函数 F cos 实偶信号实偶函数

39 离散时间傅里叶变换典型离散时间非周期信号傅里叶变换对 3- F cos X 3 = X 3 = /3/6 第四章 39

40 离散时间傅里叶变换典型离散时间非周期信号傅里叶变换对 4-4 矩形脉冲信号 X - si si si F si 实偶 si si 实偶函数 7/3/6 第四章 4

41 离散时间傅里叶变换典型离散时间非周期信号傅里叶变换对 4- 取 = X si5 / si / si F si 5 X = = = - - 周期方波的傅里叶级数系数 :. si si X 7/3/6 第四章 4

42 离散时间傅里叶变换典型离散时间非周期信号傅里叶变换对 5 5X ω 是频域以 π 为周期的均匀冲激串 X X d d F F F = 不满足收敛条件, 频谱是发散的, 但可以用冲激函数表示出来, 即傅里叶反变换是收敛的, 因此 = 可以表示为复指数信号的线性组合, 所以 = 存在傅里叶变换类似情况还有单位阶跃信号 u 7/3/6 第四章 4

43 7/3/6 第四章 43 离散时间傅里叶变换典型离散时间非周期信号傅里叶变换对 6 6 已知频谱为矩形窗周期函数 ω X ω W -W -π π d X 实偶函数 W d d W W W W W W si si cos 实偶信号?

44 典型傅里叶变换对小结离散时间信号连续时间信号 F F F u, F u, F cos, si F si F, F si ls siw F, W siw F, W, ls, ls 离散时间信号的频谱的频谱是非周期的 X 是周期为 π 的周期函数, 连续时间信号 44

45 45 总结 - 傅里叶级数与傅里叶变换离散时间周期信号傅里叶级数的两个关系式 : 综合公式 : 分析公式 : 离散时间信号的傅里叶变换 : d X 综合公式 : X 分析公式 :, d d X d X

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PowerPoint 演示文稿信号与系统 Signls n Sysms 第三章连续时间信号与系统的频域分析 Chpr 3 h rquny Domin Anlysis of Coninuous Signl n Sysm 控制系网络课程平台 :hp://www.s.zu.u.n/lss/signl_sysm/ 浙江大学控制科学与工程学系本章主要内容连续时间 LI 系统的特征函数连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3 非周期信号的表示