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- 铜 葛
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1 中值定理题型 题型一 : 中值定理中关于 θ 的问题 例题 设 rt C[ ] θ 求 limθ 解答 由 θ 得 rt rt θ 解得 θ rt rt rt lim θ lim lim lim rt 于是 lim θ 例题 设 二阶连续可导 且 又 h θh h < θ < 证明 : lim θ h 解答 由泰勒公式得 h h h! 其中 位于 与 h 之间 于是 θh h h h! 或 θh θh h 从而有 θ θh 两边取极限再由二阶连续可导得 lim θ h 题型二 : 证明 常见思路 : 罗尔定理 ; 极值法 ; 泰勒公式 例题 设 C[] 在 内可导 且 证明 : 存在 使得 解答 因为 C[] 所以 在 [] 上取到最小值 m 和最大值 M 由 m M 得 m M 由介值定理 存在 [] 使得 因为 所以由罗尔定理 存在 使得 例题 设 在 [ ] 上三阶可导 令 H 证明 : 存在
2 使得 H 解答 由 H H 存在 使得 H 因为 H 所以 H 再由罗尔定理 存在 得 H 使 因为 H 6 6 所以 H 由罗尔定理 存在 使得 H 题型三 : 证明 C 思路 : 高阶导数具有连续性 ; 辅助函数构造 例题 设 C[ ] 在 内二阶连续可导 证明 : 存在 使得 4 解答 由泰勒公式得!! 两式相加得 4 因为 C[ ] 所以 在 ] 上有最小值 m 和最大值 M [ 显然 m M 由介值定理 存在 ] 使得 [ 于是 4 例题 设 在 [ ] 上三阶连续可导 且 证明 : 存 在 使得 解答 由泰勒公式得
3 !! 两式相减得!! [ ] 即 6 6 因为 C[ ] 所以 在 ] 上取到最小值 m 和最大值 M 由 [ m M 得 m M 由介值定理 存在 ] 使得 [ 例题 设 < < < 为 个不同的实数 函数 在 ] 上有 阶导数 并 [ 满足 则对每个 ] 存在 满足等式! 解答 [ 当 i i 时 任取 结论显然成立 ; 当 i i 时 等价于!! k!! 令 k 则有 ϕ 显然 ϕ 有 令! k 个不同零点 不断使用罗尔定理 存在 而! k! ϕ 所以 k 使得! 即 所以结论成立 ϕ 题型四 : 结论中含一个中值 不含 导数的差距为一阶
4 例题 设 C[] 在 内可导 且 d 证明 : 存在 使得 解答 令 ϕ 由积分中值定理得 d 其中 [ ] 即 于是有 ϕ ϕ 由罗尔定理 存在 使得 ϕ 而 ϕ 所以 注意到 所以有 例题 设 C[ ] 在 内可导 且 证明 : 存在 使得 ϕ 因为 解答 令 由罗尔定理 存在 使得 ϕ 所以 ϕ ϕ 于是有 例题 设 C[] 在 内可导 且 证明 : 存在 使得 ; 对任意的实数 k 存在 使得 k[ ] 解答 令 h h h h 因为 h h < 所以存在 使得 h 即 k 令 h 使得 ϕ 因为 h h 所以由罗尔定理 存在 ϕ 于是 k[ ] 题型五 : 含两个中值 η 的问题 例题 设 在 [ ] 上连续 在 内可导 且 证明 : 存在 η 4
5 使得 解答 η η 令 F F 由柯西中值定理 存在 η 使得 F F η η 即 η F η 于是有 η η 再由拉格朗日中值定理 存在 使得 故原结论成立 例题 设 在 [ ] 上连续 在 内可导 证明 : 存在 η 使得 η η η 解答 令 ϕ 由拉格朗日中值定理 存在 η 使得 ϕ ϕ η ϕ η 即 [ η η] 再由拉格朗日中值定理 存在 使得 所以原结论成立 例题 设 C[] 在 内可导 且 证明 : 对任意的正数 存在 η 使得 η 解答 因为 < < 所以存在 使得 由拉格朗日中值定理 存在 η 使得 η 整理得结论 例题 4 设 C[ ] 在 内可导 证明 : 存在 使 解答 令 F F 由柯西定理 存在 使得 5
6 6 于是 令 F F 由柯西定理 存在 使得 于是 再由拉格朗日中值定理 存在 使得 故原结论成立题型六 : 含 及中值 的问题情形一 : 与 可分离 例题 设 < > 证明 : 存在 使得 解答 等价于 或 令 F F 由柯西中值定理 存在 使得 F F F 整理得 情形二 : 与 不可分离 例题 设 ] [ 在 内可导 且 证明 : 存在 使得 解答 等价于 令 F 因为 F F 所以由罗尔定理 存在 使得 F 整理
7 得 题型七 : 杂例 例题 设 在 [ ] 上二阶可导 且 > 证明 : 存在 使得 存在 使得 解答 设 > > 由 > 存在 使得 > ; 由 > 存在 使得 < 因为 所以存在 使得 < 令 ϕ 因为 所以 ϕ ϕ 使得 ϕ 由罗尔定理 存在 ϕ ϕ 而 ϕ [ ] 且 所以有 令 F [ ] 因为 F F 所以由罗尔定理 存在 使得 F 而 F [ ] 且 所以有 题型八 : 二阶保号性问题 注解 中值定理问题中若出现条件 > 或 < 则通常有如下两种思路 : 思路一 : 设 > < 则 单调增加 单调减少 例题 设 在 [ 上连续 且 > 证明 : 对任意的 > > 有 < 证明 不妨设 由微分中值定理得 其中 < < 其中 < < 7
8 因为 > 且 < 所以 < 从而 < 于是 < 例题 设 且 lim 讨论 是否是极值点? 设 讨论 是否是拐点? 解答 因为 lim > 所以由极限的保号性 存在 δ > 当 < < δ 时 > 因为 > 所以 > 从而 单调增加 又因为 所以当 δ 时 < ; 当 δ 时 > 于是 为极小点 由 > 得 lim lim > 根据极限的保号性 存在 δ > 当 < < δ 时 > 当 δ 时 < ; 当 δ 时 > 故 是拐点 例题 设 在 [ 上满足 : > 证明函数 内有且仅有一个零点 解答 因为 > 所以 单调增加 又因为 所以 从而当 > 时 其中 < < 于是 由极限的保号性 lim 再由 < 得 至 少有一个零点由 > 得 单调增加 故零点是唯一的 思路二 : 使用泰勒中值定理得到一个重要不等式 定理设 在 [ ] 上二阶可导 则有 若 > 则 等号成立当且仅当 ; 若 < 则 等号成立当且仅当 例题 4 设 C[ ] 且 > 取 [ ] i 设 > i i k i 在 8
9 且 k k k 证明 : k k k k k k 解答 令 k k k 因为 > 所以 于是 k k k k k k 故 k k k 相加得 k k k 例题 5 设 C > 且 lim 证明 : 解答 由 lim 得 因为 > 所以 取 则有 题型九 : 中值定理证明不等式问题 例题 C[ ] 在 内可导 且 不是常数 证明 : 存 在 使得 > 解答 因为 且 不为常数 所以存在 使得 不 妨设 > 由拉格朗日中值定理 存在 使得 > 例题 设 C[ ] 在 内可导 且曲线 y 非直线 证明 : 存在 使得 > 解答 过端点的直线为 y 令 ϕ 所以存在 使得 ϕ 不妨设 ϕ > ϕ 显然 ϕ 因为 不为直线 9
10 由拉格朗日中值定理 存在 使得 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ > ϕ < 而 ϕ 所以 > < 若 则 > ; 若 < 由 < 得 > 取 例题 C[ ] 在 内二阶可导 且 > 证明 : 存在 使得 < 解答 由 > 存在 使得 > 由拉格朗日中值定理 存在 使得 > < 再由拉格朗日中值定理 存在 使得 < 例题 4 设 在 [ ] 上满足 且 在 内取到最小值 证明 : 解答 因为 在 内取最小值 所以存在 使得 由拉格朗日中值定理 存在 使得 即 最小 于是 取绝对值得 两式相加得结论 例题 5 设 C[] 在 内可导 且 mi 证明 : 存在 使得 8 解答 因为 mi 所以存在 使得 且
11 由泰勒公式得! 其中! 其中 于是有 当 ] 时 8 ; 当 时 8 例题 6 设 在 [ ] 上二阶可导 且 对任意的 证明 : 解答 由泰勒公式得!! 两式相减得 [ ] 或 [ ] 取绝对值得 [ ] [ ] 因为 所以 于是 故 例题 7 一车从开始启动 速度为零 到刹车停止用单位时间走完单位路程 证明至少有一个时间点其加速度的绝对值不小于 4 解答 设物体的运动规律为 S St 显然 S S S S 由泰 勒公式得 S S S! 4 两式相减得 S S S! 4
12 S S 取绝对值得 S S 8 8 当 S S 时 S 4 ; 当 S < S 时 S 4 例题 8 设 在 [ ] 上二阶可导 且 证明 : 存在 得 4 / 解答 由泰勒公式得! 两式相减得! [ ] 取绝对值得 8 [ ] 8 使 若 时 若 < 时 4 ; 4 4 例题 9 设 在 的邻域内四阶可导 且 M M > 任一不同于 的 有 证明 : 对此邻域内 M 其中 是 关于 的对称点 解答 由泰勒公式得!! 4! 4 4 其中 介于 与 之间 ;
13 !! 4! 4 4 其中 介于 与 之间 两式相加得 [ ] 于是有 M 例题 设 在 [ ] 上二阶可导 且 [] 有 解答 由泰勒公式得! 两式相减得! [ ] 于是 [ ] 极值 凹凸性 渐近线题型 证明 : 对任意的 一 选择题 设 在 处二阶可导 且 lim 则 A 是 的极大值 B 是 的极小值 C 是曲线 y 的拐点 D 不是 的极值点 也不是曲线 y 的拐点 解答 由 lim 得 于是 再由 lim 得 lim[ ]
14 于是 > 故 为 的极小点 选 B 设 二阶连续可导 lim 则 A 是 B 是 的极小值 的极大值 C 是曲线 y 的拐点 D 不是函数 的极值点 也不是曲线 y 解答 因为 lim > > < δ 于是 > δ 所以由极限保号性 存在 > 的拐点 δ 当 < < δ 时 故 为极小点 选 A 设 二阶连续可导 且 lim 则 A 是 的极小值 B 是 的极大值 C 是曲线 y 的拐点 D 是 的驻点但不是极值点 解答 因为 lim < 所以由极限的保号性 存在 δ > 当 < < δ 时 > δ < 故有 于是 为曲线的拐点 选 C < δ 4 设 k > 则函数 l k 的零点个数为 A B C D 解答 令 得 因为 < 所以 为 内的最大点 最大值为 M k > 在 因为 lim lim 所以 有两个零点 选 C 5 曲线 y 的渐近线的条数为 A B C D 解答 因为 lim 所以曲线没有水平渐近线 ; 4
15 由 lim lim 得曲线有两条铅直渐近线 ; y 由 lim lim y lim lim[ 选 D ] 得曲线有斜渐近线 y 故曲线有 条渐近线 二 与极值 最值相关的命题 设 在 [ ] 内二阶可导 满足 且 < 证明 : [ ] 解答 若 不恒为零 则至少存在 使得 不妨设 > 则 在 内取到最大值 存在 使得 M > 且 代入 关系式得 > 又是极小点 矛盾同理若 < 则最小值在区间内 部达到 也矛盾 所以 [ ] 求数列{ 中的最大者 解答 } 令 l l l 令 得 当 时 > ; 当 > 时 < 故 为 在 内的最大点 故数列最大项为 或 因为 所以最大项为 三 不等式的证明问题 设 < > 证明 : 当 > 时 < 解答 令 F 则 F F F > > F 由 得 F > > ; F > > 5
16 F 由 得 F > > 故 > > F > > 证明: l 解答 令 l l > < < 由 得 > > > 于是 故 l 证明: 当 > 时 有 l 解答 令 l 为 的最小点 而 所以 l l l < 于是有 > > 为 的最小点 而 所以 故 < 由 得 > > > 结论成立 于是 4 设 > > 证明 : l > 解答 原不等式的等价不等式为 为 的最小点 而 所以有 l l > 令 l l l l l l > > 由 得 > > 再由 得 > > > > > > 6
17 因为 > 所以 > 故结论成立 5 当 > 时 证明 : rt l 解答 由柯西中值定理 rt rt rt l l l < < 于是原不等式等价于 令 得 由第一充分条件得 令 为 的最大点 最大值为 M 则 所以原结论成 立 四 方程根的个数讨论 讨论方程 > 的根的个数 解答 令 ϕ 令 ϕ 得 由第一充分条件得 为 最大点 最大值为 M ϕ 当 M < 即 > 时 方程无解 ; 当 M 即 时 方程有且仅有一个解 ; 当 M > 即 < < 时 因为 lim ϕ lim ϕ < 所以方程 有且仅有两个根 设[ 内有 且 证明 : 在 内有且 仅有一个根 解答 因为 所以 单调不减 又因为 所以 由拉格朗日中值定理 < < 于是有 或 则 lim 又因为 < 所以方 7
18 程 至少有一个根 又 > 严格增加 故方程的根是唯一的 π 证明方程 l d os 在 内有且仅有两个根 解答 π os d π π os d π si d 原方程化为 l π os d 令 l > 令 得 因为 < 所以 为最大点 最大值为 M > 又因为 lim lim 所以方程有且仅有两个根 8
三 判断题 ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ;. 四 计算题 : 解 : 函数的定义域 (-,+) y ( )( ) ( y ) 令 y 得 =, = -
微分中值定理与导数的应用答案 一 选择题 :.B;.C;.B;.D; 5.C; 6.A; 7.C; 8.B; 9.B;.C;.C;.D;.C;.D; 5.C; 6.B; 7.D; 8.D; 9.B;.D;.D;.C; 5.B; 6.C; 9.C;.B;.C;.B;.D; 6.D; 7.D; 8.B; 9.B;.C;.D;.B; 7.B; 8.D;.C; 5.C;.B;.C. 二 填空题 ; (, )
第一讲 1. 难度偏大 217 平稳 2. 知识基础 手法新颖 3. 计算量大 4. 覆盖面广 例 1 若积分 d 收敛, 则 1 1 A 1且 1 B 1且 1 C 1且 1 D 1且 如 : lim
新东方在线考研 216 新东方在线考研数学高数基础课程配套讲义 授课教师 : 张宇 欢迎使用新东方在线电子教材 目录 216 新东方在线考研数学高数基础课程配套讲义... 1 授课教师 : 张宇... 1 第一讲... 2 第二讲... 1 第三讲... 18 1 第一讲 1. 难度偏大 217 平稳 2. 知识基础 手法新颖 3. 计算量大 4. 覆盖面广 例 1 若积分 d 收敛, 则 1 1
第三章
第三章 微分中值定理与导数的应用 一 内容提要 罗尔定理 拉格朗日中值定理及柯西中值定理是本章的重要定理 是以后用导数研究函数形态的基础 洛必达法则是求极限未定式的极为重要的手段 在灵活运用的基础上 比第一章所学的方法更具规范化 泰勒公式可理解成函数用多项式近似表示 余项便是误差 4 函数单调性 凹凸性是导数的某种具体应用 由单调性产生出求极值 最大与最小值的方法 加上凹凸性等可大概将函数描绘出来
8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( )
高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 一. 选择题. 当 时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点 极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f
《高等数学》CAI课件
第三部分 中值定理和导数的应用 第三部分中值定理和导数的应用 一重点和难点 : 理解和掌握四个重要的微分中值定理 : 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理及泰勒定理 的内容 ; 中值定理的条件是定理成立的什么条件? 中值定理中的 唯一吗? 用洛必达法则求未定式极限应注意什么? 3 会判别函数单调性 凹凸性 能利用函数的单调性做证明题 4 熟练掌握求函数极值 确定极大还是极小 和最值的方法 5 求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线
第六章 微分中值定理
第六章微分中值定理及其应用 在这一章里 讨论了怎样由导数 的已知性质来推断函数质. 微分中值定理正是进行这一讨论的有效工具. 一 拉格朗日中值定理. 罗尔定理 定理设函数 在区间 [ 满足 : i 在区间 [ 上连续 ii 在区间 b 上可导 iii b 则在 b 内至少存在一点 ξ 使得 ξ. 所应具有的性 几何意义 : 在每一点都可导的一段连续曲线上 如果曲线的两端高度相同 则至少存在一条水平切线.
第三章 微分中值定理与导数应用
数学分析考研辅导讲义第三章 - 67 - 第三章 微分中值定理与导数应用 本章主要介绍微分中值定理 泰勒公式及导数的应用. 通过本章的学习 读者应 掌握利用辅助函数的方法证明一些命题. 微分中值定理与泰勒公式 一 内容概要 ( 一 ) 微分中值定理 表 3. 微分中值定理 名称定理几何意义若 满足 :(Ⅰ) 在 某邻域内曲线 y ( ) 在 处费马 定理 或 ; 有水平的切线. 罗尔定理 拉格朗日定理
A. 存在,, 有 b a b ab a B. 存在,, 有 a b a b ab a C. 存在 a,b, 有 a b a b D. 存在 a,b, 有 b a a b a, 则方程 a b c 9. 若 b ( ) A. 无实根 B. 有唯一的实根 C. 有三个实根 D. 有重实根 sin. 求
微分中值定理与导数的应用练习题 一 选择题 :. 在下列四个函数中, 在, 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ) A. y 8 B. y 4 C. y D. y sin 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A., B., C., D.,. 函数 在, 5. 方程 5 内根的个数是 ( ) A. 没有实根 B. 有且仅有一个实根 C. 有两个相异的实根 D. 有五个实根 4. 若对任意 a, b,
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一 主要内容 Cuchy 中值定理 F 洛必达法则 型 g g g 型 型 令 y 取对数 g g 型 g 型 Lgrnge 中值定理 n Tylor 中值定理 Rolle 定理 常用的泰勒公式 导数的应用单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数图形的描绘 ; 曲率 ; 求根方法. 7 年 8 月南京航空航天大学理学院数学系马儒宁 罗尔中值定理 罗尔 Rolle 定理如果函数 在闭区间 [ ] 上连续
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
参考文献：
9 年 ( 第十一届 ) 全国大学生数学竞赛 ( 非数学类 ) 预赛模拟试题 一 填空题 ( 每小题 6 分, 共 3 分 ) 考生注意 : 考试时间 5 分钟试卷总分 分. 已知 f ( ) 在 8的邻域内有连续导数, 且 lim f ( ), lim f '( ) 673, 8 8 则极限 lim 8 8 8 t f ( u)du dt t 3 (8 ) 9 f. 设函数 f (, y ) 可微,
一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一
![一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一](/thumbs/49/25862895.jpg "一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一")
拉格朗日定理和函数的单调性 中值定理是联系 中值定理, 就可以根据 质来得到 f 在该区间上的整体性质. f 一 罗尔定理与拉格朗日定理 二 函数单调性的判别 f 与 f 的桥梁. 有了 在区间上的性 返回 一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b)
高等数学（上）（ 学年）
7 高等数学上册半期复习题参考解答 一 选择题. A. C. C 4. D 5. B 二 填空题 6. si cos 7. 8. 8 ( 4 ) d 9.. 三 计算题. 解 ( )( 4 )( ) ( )( 4 si cos(si ). 解法 si 6 si ( ) )( ) 6. ( ] 4 法 cos(si ) si(si ) 6 cos. 其他方法略. 6 si(si si ) si 6 d.
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第四章中值定理与导数的应用习题课 主要内容典型例题 一 主要内容 Cuchy 中值定理 F 洛必达法则 型 g g g 型 型 令 y 取对数 g g 型 g 型 Lgrnge 中值定理 n Tylor 中值定理 b Rolle 定理 常用的泰勒公式 导数的应用单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数图形的描绘 ; 最值的经济应用 . 罗尔中值定理 罗尔 Rolle 定理如果函数 在闭区间 [ b]
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年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析 ( 完整精准版 来源 : 文都教育 一 选择题 :~ 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 ( 当 α α 时 若 l ( (- cos 均是比 高阶的无穷小 则 α 的取值范围是 ( (A( (B( (C( (D( 解析 当 α 时 l ( ~ ( α 由 α > 且 >
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西华大学应用数学系朱雯 一 主要内容 Cuch 中值定理 F 洛必达法则 型 g g g 型 型 令 取对数 g g 型 g 型 Lgrnge 中值定理 n Tlor 中值定理 b Rolle 定理 常用的泰勒公式 导数的应用单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数图形的描绘 ; 曲率 ; 求根方法. 罗尔中值定理 罗尔 Rolle 定理如果函数 在闭区间 [ b] 上连续 在开区间 b 内可导 且在区间端点的函数值相等
【考研帮】2017寒假数学作业
考研帮 7 寒假数学作业 考研帮说 寒假是备考的重要时间段, 对于考研数学来说, 适当的练习必 不可少 每天抽一点时间来完成寒假数学作业吧! 帮帮为你准备了前 5 天的数 学作业, 每天的题目后都附有答案哦 第一天. 设 lim, lim y, lim A. 则下列命题中正确的是 ( ). z (A) lim ( y ). (B) lim ( z ). y (C) lim ( y ). (D) lim
定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)
![定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)](/thumbs/93/112009408.jpg "定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)")
柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一般的中值定理, 本节用它来解决求不定式极限的问题. 一 柯西中值定理二 不定式极限 返回 定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g()
微分中值定理反映了导数更深刻的性质, 也是导数应用的理论基础 微分中值定理应包括罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 在对微分中值定理的理解和掌握方面要重视以下几点 : 1 微分中值定理的条件和结论各是什么? 2 当微分中值定理的条件不完全满足时, 结论是否还成立? 3 微分中
第六章微分中值定理及其应用 1 拉格朗日定理和函数的单调性 2 柯西中值定理和不定式极限 3 泰勒公式 4 函数的极值与最大 ( 小 ) 值 微分中值定理反映了导数更深刻的性质, 也是导数应用的理论基础 微分中值定理应包括罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 在对微分中值定理的理解和掌握方面要重视以下几点 : 1 微分中值定理的条件和结论各是什么? 2 当微分中值定理的条件不完全满足时,
第一章 函数与极限练习题
第一章函数与极限练习题 一 选择题 下列函数对中, 函数相同的是 ( ) A f ( ) lg, g( ) lg B f ( ), g( ) C f g 4 ( ), ( ) D 已知函数 f ( ), 则 f A B 下列命题正确的是( ) A 若 lim U, 则 limu ( ) 等于 ( ) C C 若 lim, 则必有 lim 或 lim D 数列 f ( ), g( ) D B 设 为任意数列,lim,
5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (
![5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (](/thumbs/91/105953583.jpg "5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (")
第 章中值定理与导数的应用 本章学习目标 了解中值定理的条件和结论, 特别是拉格朗日中值定理 理解洛必达法则及其应用条件, 会用洛必达法则求相应的极限 了解函数与曲线的对应关系, 掌握函数的增减区间与极值的求法 掌握曲线的凹凸区间与拐点的判别方法 会求曲线的渐近线, 知道描绘函数图形的基本步骤 知道导数在经济中的一些简单应用. 中值定理.. 罗尔定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间
湖北文都考研官网 : 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k 1. 当 x 0 时, x tan x与 x 同阶
湖北文都考研官网 :www.hbwendu.com 9 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 ~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k. 当 时, tan 与 同阶, 求 k( ) A. B. C. D.4. y sin cos (, ) 的拐点坐标 A., B., C., D. (, ). 下列反常积分发散的是
第 章一元函数微分学 复合函数求导法则 : 设 = f ( u) u = g( ) 都关于自变量可导, 则 [ f ( g( ))] = f ( u) g ( ) 5 牢记基本导数公式 : α () c = () ( ) = α () ( ) = l () (e ) = e α (5) (log )
![第 章一元函数微分学 复合函数求导法则 : 设 = f ( u) u = g( ) 都关于自变量可导, 则 [ f ( g( ))] = f ( u) g ( ) 5 牢记基本导数公式 : α () c = () ( ) = α () ( ) = l () (e ) = e α (5) (log )](/thumbs/92/107866425.jpg "第 章一元函数微分学 复合函数求导法则 : 设 = f ( u) u = g( ) 都关于自变量可导, 则 [ f ( g( ))] = f ( u) g ( ) 5 牢记基本导数公式 : α () c = () ( ) = α () ( ) = l () (e ) = e α (5) (log )")
第 章一元函数微分学 一 学习要点 掌握导数的概念及其几何意义, 掌握可导性和连续性的关系 会求曲线上一点处的切线方程和法线方程 熟练掌握导数的基本公式 四则运算法则及复合函数的求导方法 掌握隐函数的求导法 对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法 理解高阶导数的概念, 会求简单函数的 阶导数 理解函数微分的概念, 掌握微分法则, 掌握可微与可导的关系 理解罗尔定理 拉格朗日中值定理的条件 结论及其几何意义
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
第 章 微分中值定理与导数的应用!"$ %&'' 续函数的性质 在 上必取得最大值 % 和最小值 * 如果 %* 则 在 上恒等于常数 % 因此 对一切 都有 定理自然成立 若 %* 由于 因此 % 和 * 中至少有一个不等于 不妨设 %! 设 *! 证明完全类似 则 应在 内的某一点 处达到最大值
第 章 微分中值定理与导数的应用!"$ %&& 本章将利用函数的导数这一有效工具来研究函数自身所应具有的性质 首先 介绍微分中值定理 然后 运用微分中值定理 介绍一种求未定式极限的有效方法 洛必达法则 最后 运用微分中值定理 通过导数来研究函数及其曲线的某些性态 并利用这些知识解决一些实际问题 微分中值定理 中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系 因而称为中值定理 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是
![f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是](/thumbs/93/111302294.jpg "f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是")
高等数学 第五章 - 定积分 练习题 (A) 一 判断正误题 :( 判断下列各题是否正确, 正确的划, 错误的划 ) n () + + + d n + = n n n () f ( d ) = f( udu ) () 若函数 f ( ) 在区间 (, + ) 上连续, c,, 为任意三个常数, 则 c f ( d ) = ( ) f d+ c f( d ) (5). () (6) sin d (7)
7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
一 根据所给图表，回答下列问题。
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题 目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 曲线 渐近线的条数为 () (A) (B) (C) (D)3 答案 :(C) 解析 : lim, 所以 为垂直渐近线 lim, 所以 为水平渐近线, 没有斜渐近线, 总共两条渐近线, 选
2009ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧͳһ¿¼ÊÔÊýѧ¶þÊÔÌâ
9 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 8 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 () 函数 f ( ) = 与 g( ) = ln( b) 是等价无穷小, 则 () sin n (A) (B) (C) (D) 无穷多个 () 当 时, f ( ) = sin a 与 g( ) = ln( b)
1 导数和微分的概念 导数和微分的定义 1 导数和微分的概念 考虑函数 y = 在 x 0 的邻域内有定义 当 x x 0 时, 记 x = x x 0 ; y = f(x 0 ). 定义 1.1. 若函数 y = 在其定义域中的一点 x 0 处极限 y x x 0 x = f(x 0
第三章一元微分学 2017 年 11 月 2 日 目录 1 导数和微分的概念 2 1.1 导数和微分的定义..................................... 2 1.2 导数的几何意义...................................... 2 1.3 单侧导数.......................................... 3 2 导数的计算
. 0 C.1 8. 设, 则 ( ). A.-1 2 C.0 不存在.9. ( ). A.0 1 C 在时为 ( ). A. 无穷大量 ; 无穷小量 ; C. 极限存在, 但极限值不为零 ; 极限不存在, 但不为无穷大量 ; 11. 下面各组函数中表示同一个函数的是 ( ) A. ;
专升本高等数学复习题库 ( 一 ) 一 单项选择题 1. 求的极限 () A.24 12 2. ( ). A.1 3. 函数是 ( ). A. 偶函数 ; 奇函数 ; C. 单调函数 ; 有界函数 4. 函数是 ( ) 函数. A. 单调 有界 C. 周期 偶 5. 设, 则 ( ). A.-1 2 C.0 不存在 6. 求的极限 () A.1 C.0 2 7. 求的极限 ( ) . 0 C.1 8.
Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
2014高联高级钻石卡高等数学学习计划
高联学员寒假前后数学计划 特别提醒 : 在考研数学中, 高等数学占到总分 56% 分值, 高数上册又是整个高数中的重中之重 寒假期间的复习宜少而精 高联教育集团数学教研室建议学员能在寒假前后这段把高等数上册前四章根据大纲要求将知识点和章节课后题做熟 吃透即可, 为年后跟上数学基础班打下坚实基础 高联免费配发资料 ( 电子版 ): 考研数学知识分布图 ; 学员自备资料 : 同济大学数学系编写 ; 高等教育出版社
第一天 核心考点 极限的概念, 极限的计算, 连续性, 间断点的分类, 闭区间上连续函数的性质 巩固练习 一 选择题 设 时, e cos n e 与 是同阶无穷小, 则 n 为 ( ) ( A) 4 ( B) 5 ( C ) 5 ( ) 设 时, 下列 4 个无穷小量中比其它 个更高阶的无穷小量是
目录 第一天... 第一天参考答案... 4 第二天... 7 第二天参考答案... 9 第三天... 第三天参考答案... 4 第四天... 7 第四天参考答案... 9 第五天... 第五天参考答案... 4 第六天... 6 第六天参考答案... 8 第七天... 第七天参考答案... 中公教育考研学员专用资料报名专线 :4-6-966 第一天 核心考点 极限的概念, 极限的计算, 连续性,
一 根据所给图表，回答下列问题。
09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷 数学专业知识 一 选择题 ( 本大题共 题 每题 分 共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故 故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由 可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时 因为 z i R 而 z i R 知 故 p
第四章 中值定理与导数的应用
第三章中值定理与导数的应用 在第二章中 我们介绍了微分学的两个基本概念 导数与微分 本章是微积分的重要部分 主要利用导数和微分来研究函数以及曲线的某些性质 例如判断函数的单调性和凹凸性 求函数的极限 极值 最大 ( 小 ) 值以及函数作图的方法 并以此进一步解决工程和经济 ( 极值 ) 数学模型等方面的一些实际应用问题 为此 我们首先介绍微分学的几个中值定理 它们反映了导数更深刻的性质 揭示了函数在某区间上的整体性质与函数在该区间内某一点的导数之间的关系
2006ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧͳһ¿¼ÊÔÊýѧ¶þÊÔÌâ
考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 6 年全国硕士研究生入学考试数学 ( 二 ) 一 填空题 + 4sin () 曲线 = 的水平渐近线方程为. 5 cos sin d,, () 设函数 f ( ) = 在 = 处连续, 则 a =. a, = + d () 广义积分 =. ( + ) ( ) (4) 微分方程 = 的通解是. d (5) 设函数 = ( ) 由方程 =
例15
cos > g g lim lim cos lim lim lim g lim ) ) lim lim g ) cos lim lim lim 3 / ) ) y, ) ) y o y y, ) y y y) y o y) ) e, ), ) y arctan y y Ce y) C y ) e y) y ) e g n www.tsinghuatutor.com [ g ] C k n n) n
作者 : 闫浩 年 月 同理两个方程对于 v 求偏导数得到 v v v v 由此解出 为 v v v v v 然后利用复合函数微分法则 v v v 若 l cos cos cos 其中 cos cos cos 求 l l 解 : l cos cos cos cos cos cos cos cos c
作者 : 闫浩 年 月 / 微积分 B 第二次习题课参考答案 第六周 一 隐函数求导 方向导数与梯度. 设函数 是由方程 确定的 则函数 在点 的微分 d 答 : d d d 设方程 可以确定隐函数 求 d d d d. 本题不用解出最终答案 会解题过程就可以. 解 : d d d d d d d d d d d d. v 求 v 解 : v 和 的函数关系由方程组 v 确定 由隐函数微分法得到两个方程对于
70 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 42 卷 珓 f(x)= [0] 珓 f(x)= [0] ω(x)e )= [0] [h(x) ω(x)e h(x) ω(x)e ] 定义 4 [20] 珘 b) 珓定义为 对于任意的模糊数 珓 b 其距离 珘 b)= 珓 [0] [sup 珓 μ b
![70 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 42 卷 珓 f(x)= [0] 珓 f(x)= [0] ω(x)e )= [0] [h(x) ω(x)e h(x) ω(x)e ] 定义 4 [20] 珘 b) 珓定义为 对于任意的模糊数 珓 b 其距离 珘 b)= 珓 [0] [sup 珓 μ b](/thumbs/88/115075018.jpg "70 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 42 卷 珓 f(x)= [0] 珓 f(x)= [0] ω(x)e )= [0] [h(x) ω(x)e h(x) ω(x)e ] 定义 4 [20] 珘 b) 珓定义为 对于任意的模糊数 珓 b 其距离 珘 b)= 珓 [0] [sup 珓 μ b")
209 年 月第 42 卷第 期 四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) Journal of Sichuan Normal University(Natural Science) Jan209 Vol 42No 结构元线性生成的模糊值函数的可导性 舒天军 莫智文 ( 四川师范大学数学与软件科学学院 四川成都 60066) 摘要 : 用一种模糊距离给出结构元线性生成的模糊值函数极限的一种新定义 然后用这种极限给出结构元线性生成的模糊值函数导数的定义
Microsoft Word - 新第3章.doc
第三章微分中值定理与导数的应用 上一章我们讨论了导数的概念和计算方法. 本章将介绍微分中值定理, 并利用这些定理 进一步研究导数的应用. 第一节 微分中值定理 本节先介绍罗尔定理, 并由此推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理. 一 罗尔定理 定理 ( 罗尔定理 ) 设函数 f ( ) 在闭区间 [ a, b ] 上连续, 在开区间 ( a, b ) 内可导, 且在区间两端点的函数值相等, 即 f (
Microsoft Word - 附件1-中国大学先修课（CAP）第六次线下考试微积分科目考试说明.doc
中国大学先修课 (CAP) 第六次线下考试 微积分科目考试说明 一 考试性质与考查目标微积分先修课线下考试是由中国大学先修课 (CAP) 联合理事会组织, 由清华大学学堂在线负责实施, 面向学习过大学先修课的优秀中学生的考试 考试要求考生比较系统地掌握 MOOCAP 微积分课程中的基本概念和基本理论, 熟练地掌握和运用 MOOCAP 微积分的基本内容和基本方法, 具备一定的抽象思维能力 逻辑推理能力
解析 : 由于 a >, 则 a 为正项级数,S =a +a + a 为正项级数 a 的前 = 项和 正项级数前 项和有界与正向级数 (4) 设 I = sid(=,,3), 则有 D (A)I < I <I 3. (B) I < I < I 3. = a = 收敛是充要条件 故选 A (C) I
年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 曲线 = + 渐近线的条数为 () (A) (B) (C) (D)3 答案 :C 解析 : lim + =, 所以 = 为垂直的 + lim =, 所以 = 为水平的, 没有斜渐近线故两条选
sin 6 f ( ) 6 f( ) (4) 若 lim, 则 lim 为 ( ) (A). (B)6. (C)6. (D). (5) 具有特解 y, y, y 的 阶常系数齐次线性微分方程是 ( ) (A) y y y y. (B) y y y y. (C) y 6y y 6y. (D) y y
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 分, 满分 5 分, 把答案填在题中横线上 ) arcan () lim. ln( ) () 设函数 y y( ) 由方程 y y所确定, 则 dy. () d ( 7). (4) 曲线 y ( ) 的斜渐近线方程为. (5) 设 A, E 为 4 阶单位矩阵, 且 B ( E A) ( E A) 则 4 5 6 7
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一 个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 已知当 f 与 c 是等价无穷小 则 ( ) 时 si si (A) c (B) c (C) c (D) c () 已知 f 在 处可导 且 (A) f f f 则 lim f (B) f (C) () 函数
2013年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷
文亮教育 (www.wligdu.com) 浙江专升本辅导第一品牌 年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷 题号一二三四总分 得分 考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔 圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整 一 选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分,
0103 收敛数列的性质 (40 分钟 ) 唯一性 有界性 保号性 * 收敛数列与其子数列的关系 0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念 (40 分钟 ) 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述 自变量趋于无穷大时函
注 :(1) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内 高等数学 ( 上册 ) 知识点的细分目录第一章函数 极限与连续 (01) ( 注 : 以下括号内的时间为建议的视频讲课时间, 不包括讲习题的时间 ) 0101 函数 (80 分钟 ) 010101 函数的概念
8 应用数学 ( 第二版 上册 ) 则 m f ( a ) ; 若 M f ( a ) 且 m f ( a ) ). 下面仅以 M f ( a ) 的情况来证明 ( 如果 设 m f ( a ), 证法完全类似 ). 设 M f ( a ), 那么必定在开区间 ( a, b ) 内有一点 ξ, 使得
第 章微分中值定理与导数的应用 学习目标 掌握并会使用罗尔定理 拉格朗日中值定理, 了解柯西中值定理. 熟练使用洛必达法则求未定式极限. 理解拐点的定义, 掌握利用导数判断函数的单调性和凹凸性的方法. 理解并掌握函数极值的概念与求法 ; 会描绘函数的图形 ; 掌握函数的最 大值和最小值的求法及其在工程 物理 科学实验中的简单应用 ; 理解 并掌握边际分析. 前面我们介绍了函数与微分的概念 性质及计算方法.
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. 微积分课程 微积分 2 复习 2019 年 5 月 2 日 暨南大学数学系 吕荐瑞 (lvjr.bitbucket.io)
微积分课程 微积分 2 复习 2019 年 5 月 2 日 暨南大学数学系 吕荐瑞 (lvjrbitbucketio) 第五章不定积分 第六章定积分 第七章无穷级数 第八章多元函数 第九章微分方程 5 6 7 8 9 积分公式大全 (1) 1 d = + C (2) d = 1 + 1 +1 + C 1 (3) d = ln + C (4) d = ln + C (5) e d = e + C 5
Microsoft Word - 数二答案
数二测试答案 一 选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 分, 满分 分, 每小题给出的四个选项中, 只有一 项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 5 6 7 8 C A C B A () 当 时, 下面 个无穷小量中阶数最高的是 (A) + (B) + 5 + 5 (C) 答案 () ln( ) ln( ) + () cos sin t dt 解析 (A) 项 : 当 时, +
2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )
年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当 充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合 题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 函数 f ( ) = + 的无穷间断点的个数为 ( ) (A) (B) (C) (D) () 设 y y 是一阶线性非齐次微分方程 y p( ) y q( ) + = 的两个特解 若常数 λ µ 使 λ
<4D F736F F D20B5DAC8FDD5C220B5BCCAFDB5C4D3A6D3C32E646F63>
第 章导数的应用 在上一章中, 从实际问题中因变量相对于自变量的变化率出发, 我们引进了导数的概念, 并讨论了导数的计算方法 本章中, 我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态, 并利用这些知识解决一些实际问题 为此, 我们先介绍微分中值定理, 它们建立了函数在一个区间上的平均变化率与函数在区间内部一点的瞬时变化率之间的联系, 是导数应用的理论基础 微分中值定理 首先让我们观察如图 中的连续曲线弧
13年考研数学第19，20讲
3 年考研数学第 9, 讲 第 9 讲. 极, 拐, 零点巧讨论 连续函数的图形特征, 在单调性外, 还有极值点, 图形拐点, 零点 ( 与 轴的交点 ) 极值点与图形拐点 极值点与极值定义 如果定义域内存在 的邻域, 在其内恒有 f ( ) f (, 则称 是函数 f ( 的一个极大点,f ( ) 是极大值 ( 潜台词 : 常函数除外, 按照游戏规则, 定义区间端点没有资格做极值点 ) 用增量的语言来说,(
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2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C
9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为
2009年课标甲乙
绝密 启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 文科数学试题答案及评分参考 评分说明 :. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据 试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半
一 根据所给图表，回答下列问题。
一 选择题 : () 下列结论中正确的是 ( ) 8 年考研数学模拟试题 ( 数学一 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟 版权所有翻印必究 (A) 若 f () 在 点处连续 则 f () 在 点处也必连续 ; (B) 若 f ( ) 在 点处连续 则 f () 在 点处也必连续 ; (C) 若 f ( ) 在 点处连续 则 f () 在 点处也必连续 ; (D) 若 f () 在 点处连续 则
3. 中值定理. 5. 由图 3. 可以看出, 函数 y fpq 在点, 2, 3, 4 取得极值, 如果有切线, 则切线与 轴平行. 即在极值点, 如果函数 y fpq 存在导数, 则导数为零. 反之不然. 即函数在导数等于 的点不一定取得极值. 例如, 函数 fpq 3, f pq, 但 fpq
第 3 章 导数应用 学习目标与要求. 掌握微分中值定理并能解决实际问题. 2. 掌握洛必达法则及其应用. 3. 掌握用导数求函数的极值 最值的方法. 4. 掌握用导数的方法判断函数的单调性 描绘函数图像. 5. 掌握用导数与微分的知识解决实际问题的方法. 6. 掌握理解曲率的概念, 掌握曲率的应用. 3. 中值定理 3.. 罗尔定理如图 3. 所示, 函数 y fpq 的图像在点, 3 处出现 峰,
6.4－零点分布打印版
6.4 零点分布 6.4.1 纯函数的零点与极点的个数 引理 6.1 设 f() z 是有界区域 D内的亚纯函数, 在边界 D上没有零点, 且在每一点解析. 那么 f( z) 在 D内至多有有限个零点和极点. 证 : 假设 f() z 在 D内有无穷多个零点, 则可选择无穷收敛点列 { z } b, 满足 f( z ) = 0, = 1, 2, L. 由连续性, f() b = lim f( z )
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(8) 设 A = ( α α α α) 是 阶矩阵 A 为 A 的伴随矩阵 若 ( ) T 是方程组 A = 的一个基础解系 则 A= 的基础解系可为 ( ) (A) α α (B) α α (C) α α α (D) α α α 二 填空题 (9~ 小题 每小题 分 共 分 请将答案写在答题纸
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一 个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 已知当 k f = 与 c 是等价无穷小 则 ( ) 时 ( ) si si (A) k = c= (B) k = c= (C) k = c= (D) k = c= () 已知 f ( ) 在 = 处可导 且
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第一章主要内容 一 极限 定义 : 运算法则 : 四则运算 复合函数 3 性质 : 有界性 唯一性 3 保号性 4 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量 5 lim A A α, 其中 lim α 4 无穷小量的阶 : 5 求极限的方法 : 定义, 运算法则及性质 ; 夹逼定理 ; 3 单调有界原理 求数列极限 ; 4 单侧极限与极限的关系 ; 5 两个重要极限 : si lim lim e lim
第六章 一阶偏微分方程
第六章一阶偏微分方程 主讲人 : 刘兴波 6. 微分方程组的首次积分 对于非线性微分方程组 d d d d d d f (,,, f(,,,,, 6. f (,,, 它没有一般的求解方法. 本节介绍一种所谓的首次积分方法, 它不仅在某些情况下能有效地求解方程组 (6., 而且它与求 解一阶偏微分方程密切相关. 一 概念的引入 6. 求解方程组 d d dy d 解 : 将方程组中的两式相加得 d(
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8 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 若 lim(e + a + b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b.. a, b. 答案 :(B) e + a + b e + a + b 解析 : lim( e + a + b )
一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f
![一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f](/thumbs/91/105953711.jpg "一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f")
含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一 含参量正常积分的定义二 含参量正常积分的连续性三 含参量正常积分的可微性四 含参量正常积分的可积性五 例题 返回 一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [
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4 二元函数的泰勒公式 一 高阶偏导数 z z 二元函数 z = ( ) 的两个 ( 一阶 ) 偏导函数 仍是 与 的二元函数 若它们存在关于 和 的偏导数 即 z z z z 称它们是二元函数 z = ( ) 的二阶偏导 ( 函 ) 数 二阶偏导函数至多有 个 通常将 z z 记为或 ( ) z z 记为或 ( 混合偏导数 ) z z 记为或 ( 混合偏导数 ) z z 记为或 ( ) 一般地 二元函数
Ζ # % & ( ) % + & ) / 0 0 1 0 2 3 ( ( # 4 & 5 & 4 2 2 ( 1 ) ). / 6 # ( 2 78 9 % + : ; ( ; < = % > ) / 4 % 1 & % 1 ) 8 (? Α >? Β? Χ Β Δ Ε ;> Φ Β >? = Β Χ? Α Γ Η 0 Γ > 0 0 Γ 0 Β Β Χ 5 Ι ϑ 0 Γ 1 ) & Ε 0 Α
1 2 3 1950 1973 1950 3.10 3.26 4.1 4.13 4.21 4.29 1951 3.12 3.28 4.6 4.15 5.4 1952 3.16 4.1 4.4 4.18 4.14 5.6 5.10 5.12 1953 3.10 3.24 4.5 4.15 4.23 4.26 5.9 5.19 1954 3.13 3.29 4.5 4.19 4.29
2014年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷
4 年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷 题号一二三四总分 得分 考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔 圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整 一 选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分, 共 分 ) 得分 阅卷人. 当 时, 若 f () 存在极限,
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第三章 微分中值定理与导数的应用 导数是研究函数在一点处性态的有力工具, 是函数的局部概念, 而我们常常需要知道函数在整个区间上的各种性态, 即整体概念. 中值定理就是沟通二者之间的桥梁. 也正是由于中值定理的出现, 才使得导数的应用得到了长足的发展. 本章主要内容包括微分中值定理 洛必达法则 函数的单调性与极值 函数的最值 曲线的凹凸与拐点 函数图形的描绘 曲线的曲率等. 微分中值定理的起源与发展人们对微分中值定理的认识可以追溯到古希腊时代.
精勤求学自强不息 Bor to w! (A) t (B) 5 t (C) t 5 (D) t 5 答案 B 从 到 t 这段时间内甲乙的位移分别为 t v (t) v (t) dt, 当 5 t 时满足, 故选 C. t t v (t) dt, v (t) dt, 则乙要追上甲, 则 (5) 设 是
Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f (
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第三章 中值定理与导数的应用 函数的导数刻画了函数相对于自变量的变化快慢, 几何上就是用曲线的切线倾斜度 斜率反映曲线上点的变化情况. 本章将利用函数的一 二阶导数进一步研究函数及曲线的性态, 并介绍导数在一些实际问题中的应用. 微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系, 是导数应用的理论基础. 微分中值定理包括罗尔定理 拉格朗日中值定理与柯西中值定理, 它们在微分学理论中占有重要地位. 第一节 中值定理
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第三章导数的应用 在第二章建立了导数和微分的概念, 并讨论了它们的计算方法. 本章将利用导数逐步地研究 函数的某些性质, 进而求函数的极值, 并应用这些知识描绘函数的图像. 这些知识在日常生活 科 学实践 经济往来中都有着广泛的应用. 3.1 微分中值定理 中值定理是微分学中最重要的定理, 它描述了函数与其导数之间的联系, 是导数应用的理论基础. 本章的好多结果都是建立在中值定理的基础上. 本节将学习拉格朗日中值定理和利用导数如何判断函数的单调性.
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2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合 题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 函数 f 的无穷间断点的个数为 ( ) (A) (B) (C) (D) () 设 y y 是一阶线性非齐次微分方程 y p y q 的两个特解 若常数 使 y y 是该方程的解 y y是该方程对应的齐次方程的解
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
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西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
目 录 第 I 部分函数极限连续...2 第 1 讲函数...2 一 函数的基本概念...2 二 常见的函数类...3 三 函数的构造方法...4 四 函数的基本性质...6 五 常用的重要公式...7 第 2 讲数列极限...10 一 数列极限的概念...10 二 数列极限的性质...10 三 收
目 录 第 I 部分函数极限连续... 第 讲函数... 一 函数的基本概念... 二 常见的函数类...3 三 函数的构造方法...4 四 函数的基本性质...6 五 常用的重要公式...7 第 讲数列极限... 一 数列极限的概念... 二 数列极限的性质... 三 收敛准则... 四 数列极限的运算法则... 重点问题归纳... 第 3 讲函数极限...3 一 函数极限的概念...3 二 函数极限的性质...3
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分析 利用极坐标 有 ( ) F 于是 vf ( u ) u (7) 答案 ( C) v u f ( r ) θ u r F uv d rdr v f( r) dr 故应选 ( A ) 分析 利用逆矩阵的定义或特征值进行讨论 详解 方法一 : 由 A 得 所以 E AE + A 均可逆 故选 ( C
8 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案与解析 一 选择题 : () 答案 ( D) 详解 f ( ) ( )( ) + ( ) + ( ) ( 4 9+ 4) 令 f ( ) 则可得 f ( ) () 答案 ( C) 零点的个数为 详解 因为 其中 f () 是矩形 ACOB 的面积 为曲边梯形 ABCD 的面积 所以为曲边三角形 ACD 的面积 () 答案 ( D) 详解 由通解表达式可知其特征根为
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9 数学全真模拟测试卷解析 ( 数学二 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 l( si t) cos f( )= dt g ( )= tatdt t 则当 时 f( ) 是 的低阶无穷小 g ( ) 是 的高阶无穷小 则正整数 的值为
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09 考研考点预测白皮书数学 中公考研 目录 版权所有翻版必究 高数篇... 必考题型一 : 极限的计算... 必考题型二 : 定积分的应用... 必考题型三 : 不等式证明... 必考题型四 : 经济学应用... 必考题型五 : 二重积分... 3 必考题型六 : 极值与最值... 4 必考题型七 : 幂级数 (* 数学一 三 )... 5 必考题型八 : 物理应用 + 微分方程 (* 数学一 二
4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
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第三章微分中值定理和导数的应用 上一章以几个实际问题的变化率为背景, 抽象出函数的导数概念, 讨论了导数的计算方法. 由于函数在一点的导数仅反映函数在这点邻近的局部性质, 这一章将用导数研究函数的整体性质, 在函数的整体性质中, 单调性是最基本的性质, 利用导数讨论函数的单调性, 首先必须在函数的定义区间内寻求联系自变量增量 函数增量和导数之间的数量关系式, 这就是本章的微分中值定理. 然后在微分中值定理的基础上讨论函数的单调性
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梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 7 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一 选择题 ( 本题共 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每小题给的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后括号内 ) + () 当 时, 与 等价的无穷小量是 ( ) + A. e B. l C. + D. cos () 曲线 y= l( e + + ), 渐近线的条数为
湖北文都考研官网 : 考研数学一考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0, 若 x tan x与 x 是同阶
湖北文都考研官网 :wwwhbweducom 9 考研数学一考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要求的 k 当 若 ta 与 是同阶无穷小 则 k = A B C D4 设函数 f( ) 则 = 是 f() 的 l A 可导点 极值点 B 不可导点 极值点 C 可导点 非极值点 D 不可导点
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露 年 老 女 兩 留 兩 離 不 不 不 料 車 不 料 來 1. 22 年 讀 律 說 2. 女 20 老 女 麗 3. 45 老 論 4. 林 女 43 見 識 女 5. 45 來 老 6. 女 20 女 7. 劉 女 45 利 說 8. 60 9. 50 良 10. 50 11. 45 12. 45 露 1 13. 老 14. 里 50 兩 L 不 1 : L L 切 2 1 切 泥 留 露